Skripta - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce

omoc analogick ch tvrzen pro po-
sloupnosti, napł. pro døkaz tvrzen b) si staŁ uv domit, e pro ka dou
posloupnost (xn) ‰ P(x0) ‰ (D(f) \ D(g)); pro kterou limn!1xn = x0;
plat limn!1(f(xn) ¢ g(xn)) = limn!1f(xn) ¢ limn!1g(xn) = r ¢ s; pokud
je r ¢ s de novÆno. Proto e posloupnost (xn) byla zvolena libovoln , plat
limx!x0(f(x) ¢g(x)) = r¢s:
pp KomentÆł 2.6.1:
Płi pou it v „e uvedenØ V ty je nezbytnØ respektovat po adavek, e pravÆ
strana rovnosti mus m t smysl. Proto je zapotłeb znovu si døkladn zo-
pakovat, e mezi v razy, kterØ nejsou de novÆny, patł napł klad v razy
typu
(§1) + (currency11);(§1) ¡ (§1); §1§1; §1currency11;0 ¢ (§1); a0 pro a 2R⁄:
Pro takovØ hodnoty prav ch stran uvedenÆ tvrzeni a);b);c) neplat . Na-
pł klad
limx!1 kxx ;
kde k 6= 0 je konstanta, je limita typu §11 a je rovna Ł slu k 2R¡f0g:
CviŁen 2.6.1: Uvedeme n kolik łe„en ch pł kladø jako vzor pro poŁ tÆn .
Pł klad 1.
lim
x!1
1
2
¶x
+ arctg x
¶
= lim
x!1
1
2
¶x
+ lim
x!1
arctg x = 0 + …2 = …2;
Pł klad 2.
limx!¡1(x + 2x) = limx!¡1x + limx!¡12x = ¡1 + 0 = ¡1;
Pł klad 3.
limx!1(x3 ¡ 2x + 1) = limx!1x3

1 ¡ 2x2 + 1x3
¶
= 1¢ 1 = 1;
Pł klad 4.
limx!¡1 4x
3 + x + 2
1 + 2x¡ 3x2 = limx!¡1
x3(4 + 1x2 + 2x3 )
x2( 1x2 + 2x ¡ 3) =
= limx!¡1x¢ limx!¡1 4 +
1
x2 +
2
x3
1
x2 +
2
x ¡ 3
= ¡1¢

¡43
¶
= 1;
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6 ZÆkladn vlastnosti limity funkce 23
Pł klad 5.
lim
x!1
x2
x¡ 1 ¡
x3
x2 + 1
¶
= [1¡1] = lim
x!1
x3 + x2
(x¡ 1)(x2 + 1) =
= limx!1 x
3(1 + 1
x)
x3(1 ¡ 1x + 1x2 ¡ 1x3 ) = 1:
Nyn si uvedeme døle itØ tvrzen o limit slo enØ funkce.
V ta:
M jme slo enou funkci h = f(g) = f – g; tj. h(x) = f(g(x)); płiŁem
limx!x0 g(x) = u0; limu!u0 f(u) = b; kde x0 2R⁄; u0 2R⁄; b 2R⁄:
Pak plat :
a) Existuje-li prstencovØ okol P(x0) bodu x0 takovØ, e pro v„echna x 2P(x0)
je g(x) 6= u0; pak limx!x0 h(x) = b:
b) Je-li funkce f spojitÆ v bod u0; tj. limu!u0 f(u) = f(u0) = b; pak
limx!x0 f(g(x)) = f(limx!x0 g(x)) = f(u0) = b:
Pokud x0 2R; plat uvedenÆ tvrzen i pro jednostrannØ limity.
pp KomentÆł 2.6.2:
Obsahuje tłi poznÆmky:
(a) UkÆ eme si nejprve pł klad, kter vysv tl nutnost po adavku g(x) 6= u0
v tvrzen a) V ty. Zvolme si napł klad funkce f;g takto:
g(x) = 1 pro x 2R; f(u) =
‰ 3 pro u 6= 1; u 2R;
2 pro u = 1:
- x
1
‘
6
u
1 g
-u
6
y
a
‘a2
1
f
y = 3
Pak h(x) = f(g(x)) = 2 pro v„echna x 2 R: Odtud limx!1 h(x) = 2;
płiŁem u0 = limx!1 g(x) = 1; limu!u0 f(u) = limu!1 f(u) = 3: Je tedy
vid t, e V ta by bez płedpokladu g(x) 6= u0 v okol P(x0) neplatila.
(b) Pokud je uveden płedpoklad spln n, pak płi v poŁtu postupu-
jeme tak, e nejprve nalezneme limitu u0 vnitłn slo ky g a v tØto hodnot
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 Limita a spojitost funkce
u0 pak nalezneme limitu vn j„ slo ky f:
(c) Je-li spln n płedpoklad spojitosti funkce f v bod u0 (tvrzen
b) V ty), pak v slednou limitu vypoŁteme jako funkŁn hodnotu funkce f
v limit vnitłn slo ky g v bod x0:
CviŁen 2.6.2: e„enØ œlohy
1. limx!2
q
x+2
x¡1:
Polo me-li g(x) = x+2x¡1 pro x 6= 1 a f(u) = pu pro u 2< 0;1); mø eme
zadanou funkci h psÆt jako slo enou funkci h = f –g = f(g) s de niŁn m oborem
D(h) = fx 2R; x + 2x¡ 1 ‚ 0g = (¡1;¡2 > [(1;1):
Funkce g je v bod x0 = 2 spojitÆ a tedy limx!2 g(x) = g(2) = 4 = u0: Funkce f je
v bod u0 = 4 rovn spojitÆ a podle tvrzen b) V ty mø eme psÆt limx!2 h(x) =
f(limx!2 g(x)) = f(4) = p4 = 2:
2. limx!1
q
x+2
x¡1:
U ijeme-li oznaŁen slo ek z pł kladu 1, pak funkce g nen spojitÆ v bod +1;
ale plat limx!1 x+2x¡1 = 1 = u0: Funkce f je op t v bod u0 = 1 spojitÆ a tedy
op t podle b) V ty plat limx!1h(x) = f(limx!1g(x)) = f(1) = p1 = 1:
3. limx!¡1e x
2
x+1:
OznaŁ me-li g(x) = x2x+1; f(u) = eu; pak plat limx!¡1g(x) = ¡1 = u0;
płiŁem funkce f nen spojitÆ v u0: Je v„ak jasnØ, e pro v„echna x 2 P(¡1)
plat g(x) 6= ¡1 a tedy dle a) V ty lze psÆt
limx!¡1h(x) = limx!¡1f(g(x)) = limu!u
0
f(u) = limu!¡1eu = 0:
CviŁen 2.6.3: VypoŁ tejte limity
1: limx!4 3
q
x¡5
5x+7; 2: limx!1 sin
x¡1
x2+x¡2;
3: limx!¡1 ln x2+32x2+x; 4: limx!1 arctg x2x+1:
Pozd ji, płi vy„etłovÆn prøb hu funkce budeme vyu vat nÆsleduj c tvrzen :
V ta:
Jestli e limx!x0 f(x) = 0; kde x0 2 R⁄; a existuje-li prstencovØ okol P(x0)
v n m pro v„echna x 2 P(x0) plat f(x) > 0; resp. f(x) < 0; pak
limx!x0 1f(x) = 1; resp. limx!x0 1f(x) = ¡1;
Pokud x0 2R; plat uvedenÆ tvrzen i pro jednostrannØ limity.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6 ZÆkladn vlastnosti limity funkce 25
PoznÆmka. U limit tohoto typu tedy staŁ zjistit znamØnko funkŁn ch
hodnot f(x) v n jakØm okol P(x0) a limita je pak rovna bu +1 nebo¡1:
Pokud je x0 2R a znamØnka funkŁn ch hodnot f(x) se v okol ch P+(x0)
a P¡(x0) li„ , je zapotłeb uva ovat pł slu„nØ jednostrannØ limity, nebo»
limx!x0 1f(x) neexistuje.
Pł klad 2.6.1:
1) limx!1 1(x¡ 1)4:
e„en : limx!1 f(x) = limx!1(x¡1)4 = 0 a tedy jde o limitu typu 10: Proto e
znamØnko znamf(x) > 0 v P(1); mø eme psÆt limx!1 1(x¡1)4 = +1:
2) lim
x!23 +
1
(2 ¡ 3x)3:
e„en : Op t jde o limitu typu 10; płiŁem znamf(x) je v P(23) zÆpornØ.
Odtud limx!2
3 +
1
(2¡3x)3 = ¡1:
PoznÆmka. Pokud mÆme vypoŁ tat limitu limx!x0 g(x)f(x); kde x0 2 R⁄;
limx!x0 g(x) = b 2 R⁄ ¡ f0g; limx!x0 f(x) = 0; pak staŁ tuto limitu
uva ovat ve tvaru limx!x0 g(x) 1f(x) a pou t v tu o limit souŁinu funkc .
CviŁen 2.6.4: e„enØ pł klady
1. limx!2 4x¡3(x¡2)2 = limx!2(4x¡ 3) 1(x¡2)2 = 5 ¢1 = 1;
2. limx!3¡ ex3¡x = limx!3¡ex 13¡x = e3 ¢1 = 1;
3. limx!0+ lnxx3 = limx!0+ 1x3 lnx = 1¢ (¡1) = ¡1;
4. limx!1 arctg xe1¡x = limx!1 1e1¡x arctg x = 1¢ …2 = 1:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
26 Limita a spojitost funkce
CviŁen 2.6.5: VypoŁ tejte limity funkc :
1) limx!¡1 x3+x2+x+12x2+x¡1
2) limx!2¡ x2¡4+jx¡2jx¡2
3) limx!3 x2¡2x¡3p2x+3¡3
4) limx!1
px¡1
px3¡1
5) limx!1
2¡
j6x2+x¡2j
2x2+x¡1
6) limx!¡3+ 2¡x2x2+5x¡3
7) limx!1 1¡xx¢arccotg x
8) limx!4+ ln 3x+1x2¡4x
9) limx!¡1(x3 ¡x + 2)
10) limx!1 3x4¡22x4+x+3
11) limx!¡1 arctg x3x2+x+1
12) limx!1e 2xx2¡1
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6 ZÆkladn vlastnosti limity funkce 27
2.6.1 Testovac œlohy
AUTOTEST 2.6.1: Limity.
œloha a b c
1 limx!2 x2¡4x¡2 = neexistuje 1 4
2 limx!2¡ x2¡4jx¡2j = -4 neexistuje 4
3 limx!0 1x2 = neexistuje 1 0
4 limx!0 13px = 1 neexistuje -1
5 limx!1¡ 1x¡1 = neexistuje 1 -1
6 limx!0¡ x+1arctg x = -1 neexistuje 1
7 limx!3+
‡
1
x¡3 ¡
1
x2¡9
·
= neexistuje 0 1
8 limx!1 x2x¡1 = 1 1 0
9 limx!¡1 x22x2¡3 = 1 1/2 ¡1
10 limx!¡1 x34x2+2 = 1 1/4 ¡1
11 limx!1
‡
x2
x¡1 ¡
x3
x2¡1
·
= 0 1 1
12 limx!1¡px + 2 ¡px¢ = 1 0 2
13 limx!1 xpx+1+px = 0 1 1
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
28 Limita a spojitost funkce
2.7 Kontroln otÆzky
† Kdy mÆ posloupnost (an) limitu rovnou Ł slu a 2R ?
† Co je to osciluj c posloupnost? Uve te pł klad takovØ posloupnosti.
† Jak je de novanÆ geometrickÆ posloupnost a kdy konverguje?
† KterØ vlastnosti patł k tzv. algebłe limit posloupnost ?
† Co jsou to neurŁitØ v razy?
† KterØ operace s nevlastn mi Ł sly patł mezi de novanØ operace?
† Uve te Heineovu de nici limity funkce.
† Kdy je funkce f spojitÆ v bod x0 ?
† Co rozum me jednostrann mi limitami a jednostrannou spojitost ?
† Kdy łekneme, e je funkce spojitÆ v uzavłenØm intervalu?
† Co plat pro limity souŁinu a pod lu funkc ?
† Jak lze vypoŁ tat limitu slo enØ funkce?
† Co lze ł ci o limit limx!x0 1f(x), jestli e limx!x0 f(x) = 0 ?
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8 V sledky cviŁen ,
Testy ke zpracovÆn 29
2.8 V sledky cviŁen ,
Testy ke zpracovÆn
CviŁen 2.2.3
1) 23, 2) 1, 3) 1, 4) 0, 5) 1, 6) ¡2, 7) ¡ 1p2, 8) ¡1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.3.1
1) Ædn
2) limx!¡1 g(x) = 2; limx!¡1 h(x) = ¡1,
limx!1g(x) = 0; limx!1h(x) neexistuje.
3) limx!¡1 f(x) = 0; limx!0 f(x) neexistuje,
limx!1f(x) = 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.4.2
a) 31, b) 53, c) ¡43.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.5.1
3a) ¡1, 3b) 1, 3c) ¡1, 3d) 1, 3e) 1, 3f) ¡1, 3g) ¡…2 , 3h) 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.5.2
a) R, b) (¡1;0); (0;1), c) R+, d) h¡1; 1i,
e) R, f) ¡¡…2 + k…; …2 + k…¢, k 2Z, g) R.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.6.3
1) ¡13, 2) sin 13, 3) ¡ln 2, 4) …2 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.6.5
1) ¡23, 2) 3, 3) 12, 4) 13, 5) ¡73, 6) ¡1, 7) ¡1, 8) 1, 9) ¡1, 10) 32, 11) ¡…2 ,
12) 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Autotest 2.6.1
1 c, 2 a, 3 b, 4 b, 5 c, 6 a, 7 c, 8 b, 9 b, 10 c, 11 c, 12 b, 13 c.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
30 Limita a spojitost funkce
Test I.1
JmØno a pł jmen :
Adresa:
E-mail:
Telefon:
1. Nakreslete graf funkce f : y = 2jx¡ 1j¡ 3j2 ¡ 3xj + 1:
2. UrŁete zÆkladn periodu, tabulku vybran ch zÆkladn ch hodnot a znÆzorn te
graf funkce
f : y = 32 sin
2
3x¡
…
6
¶
:
3. UrŁete de niŁn obor funkce
f : y = px2 ¡x + 6 + arcsin xx + 2:
4. Najd te obor, na kterØm je funkce f prostÆ, urŁete inverzn funkci f¡1
a obory D(f¡1); H(f¡1) jestli e
a) f : y = 1 + 2 sin(3x¡ 1);
b) f : y = 3 + ln(2x + 1):
5. VypoŁ tejte limity posloupnost
a) ¡pn¢ (pn + 3 ¡pn)¢1n=1 ;
b)
‡
2n3
2n3+3 +
1¡5n2
5n+1
·1
n=1
:
6. VypoŁ tejte limity funkc
a) limx!¡1 arcsin x+1x¡2;
b) limx!2¡ e x+1x2¡x+2;
c) limx!0
p1+x2¡1
x ;
d) limx!1¡p1 + x2 ¡x¢:
Tabulka hodnocen
1. 2. 3. 4. a 4. b 5. a 5. b 6. a 6. b 6. c 6. d
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 body
Opravil:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8 V sledky cviŁen ,
Testy ke zpracovÆn 31
Test I.2
JmØno a pł jmen :
Adresa:
E-mail:
Telefon:
I. UrŁete a) rozklad polynomu f v reÆlnØm oboru,
b) znamØnko sgn f(x) polynomu f je-li:
1. f : y = x4 + 3x3 ¡ 7x2 ¡ 9x + 12;
2. f : y = x4 + x3 ¡ 11x2 ¡ 9x + 18;
3. f : y = 9x5 ¡ 21x4 ¡ 29x3 + 29x2 + 16x¡ 12;
4. f : y = 2x5 ¡ 8x3 ¡ 8x2 + 32:
II. UrŁete a) rozklad racionÆln funkce f na souŁet polynomu a parciÆln ch
zlomkø,
b) znamØnko sgn f(x) racionÆln funkce f je-li:
1.
f : y = 11x¡ 123x2 ¡ 11x + 6;
2.
f : y = 4 ¡x
3
4x3 + 7x2 ¡ 2x:
III. UrŁete rozklad racionÆln funkce f na souŁet polynomu a parciÆln ch
zlomkø je-li:
1.
f : y = x
5 ¡ 4x4 ¡ 5x3 + 37x2 ¡ 42x + 57
x4 ¡x3 ¡ 7x2 + 9x¡ 18 ;
2.
f : y = x
5 ¡ 4x4 + x3 + 16x2 ¡ 13x¡ 5
x4 ¡ 2x3 ¡ 3x2 + 4x + 4 :
Tabulka hodnocen
I 1 I 2 I 3 I 4 II 1 II 2 III 1 III 2
2 2 2 2 4 4 4 4 body
Opravil:
PoznÆmka: k nalezen celoŁ seln ch kołenø pou ijte Hornerova schØmatu
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Rejstł k
funkce
limita
Cauchy, 20
Heine, 15
vlastnosti, 21
zleva, 19
zprava, 19
slo enÆ
limita, 23
spojitost, 17
na intervalu, 20
v bod , 18
zleva, 19
zprava, 19
limita
funkce, 13
posloupnost, 9
posloupnost, 7
aritmetickÆ, 8
divergentn , 9
geometrickÆ, 8
klesaj c , 8
konvergentn , 9
limita, 9
algebra, 11
neurŁitØ v razy, 12
monot nn , 8
ryze, 8
neklesaj c , 8
nerostouc , 8
ohraniŁenÆ, 8
shora, 8
zdola, 8
osciluj c , 9
rostouc , 8
stacionÆrn , 8
vybranÆ, 10
zÆkladn vlastnosti, 10
reÆlnÆ Ł sla
posloupnost, 7
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Literatura
[1] Anton H., Calculus with Analytic Geometry, John Wiley, 1995.
[2] Brabec J., Martan F., Rozensk Z., MatematickÆ anal za I, SNTL, Praha
1989.
[3] Dan Łek J. a kolektiv, Sb rka pł kladø z matematiky I, VUT, FAST, CERM,
Brno 2000.
[4] DrÆbek P., M ka S., MatematickÆ anal za I, ZÆpadoŁeskÆ univerzita v Plzni,
Fakulta aplikovan ch v d, Plze 1999.
[5] Jankovsk Z., Prøcha L., DiferenciÆln poŁet I, ¨VUT, Fakulta elektrotech-
nickÆ, Praha 1996.
[6] Jarn k V., DiferenciÆln poŁet I, N¨SAV, Praha 1963.
[7] NovÆk V., DiferenciÆln poŁet v R (skripta), Masarykova univerzita, Pł ro-
dov deckÆ fakulta, Brno 1997.
[8] Tryhuk V., Matematika I2, ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ, VUT,
FAST, CERM, 2001.
[9] Veverka J., Slatinsk E., Matematika I3, DiferenciÆln poŁet funkce jednØ
reÆlnØ prom nnØ, VUT, FAST, CERM, Brno 1995.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||