Skripta - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce

n!1 2n2+2n3n2+n¡2; 2) limn!1(5n2 ¡ 3n);
3) limn!1 3n3¡7n4n2+5n+2; 4) limn!1 2n+54n2+3n¡6;
5) limn!1
pn¡2+pn
p4n¡1 ; 6) limn!1
‡
n4
n2+n+2 ¡
n3
n+1
·
;
7) limn!1pn + 1¡p2n¡ 1 ¡p2n + 1¢;
8) limn!1¡n¡pn2 + 2n¢:
2.3 Pojem limity funkce
Pojem limity funkce hraje v matematickØ anal ze døle itou roli. Vyu vÆ se
napł klad płi de novÆn derivace, parciÆln derivace, nevlastn ho integrÆlu,
souŁtu nekoneŁnØ łady funkc a podobn . Z hlediska praktick ch v poŁtø
budeme limity potłebovat zejmØna płi vy„etłovÆn prøb hø funkc , v -
poŁtech nevlastn ch integrÆlø, urŁovÆn oborø konvergence funŁn ch ład.
Proto c lem tØto kapitoly je zejmØna pochopen pojmu limita, zvlÆdnut
zÆkladn ch pravidel pro poŁ tÆn s limitami a v poŁet jednodu„„ ch limit
potłebn ch płi łe„en œloh v „e uveden ch parti matematickØ anal zy.
V klad limity funkce zalo me na vlastnostech limit Ł seln ch posloupnost ,
kterØ byly probrÆny v płedchoz m odstavci. Uva ujme napł klad funkce g : y =tg
3x
2x a h : y = sin
…
2x; kterØ nejsou de novÆny v nule, ale v bl zkØm okol nulyjsou v„ude de novÆny. Mø eme proto z skat urŁitou informaci o chovÆn zadan ch
funkc v bl zkosti nuly vytvołen m tabulek funkŁn ch hodnot v Ł slech bl c ch se
k nule a rozd ln ch od nuly. Zvolme si napł klad posloupnost
(xn)1n=1 = (0:1;¡0:01;0:001;¡0:0001;:::) = ((¡1)n+110¡n)1n=1:
Pak xn ! 0 a xn 6= 0 pro v„echna n 2N: Pro funkce g;h pak z skÆme nÆsleduj c
tabulky:
xn 0.1 -0.01 0.001 -0.0001
g(xn) 1.546681248 1.500450162 1.5000045 1.500000045
xn 0.1 -0.01 0.001 -0.0001
h(xn) 0 0 0 0
Z tabulek je vid t, e posloupnost g(xn) mÆ pravd podobn za limitu Ł slo 1.5
a posloupnost h(xn) mÆ limitu rovnu nule (nebo» jde vlastn o posloupnost sinø
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 Limita a spojitost funkce
celoŁ seln ch nÆsobkø Ł sla …:) Pokud by Ł slo 1.5 m lo b t limitou funkce g v nule,
pak by złejm m lo platit, e kdy si zvol me libovolnou jinou posloupnost Ł sel
(x0n) konverguj c k nule, x0n 6= 0 pro v„echna n 2N; pak odpov daj c posloupnosti
funkŁn ch hodnot budou op t konvergovat k Ł slu 1.5 . To tedy znamenÆ, e limita
funkce g v nule (pokud existuje) nesm zÆviset na volb posloupnosti (xn) ! 0;
xn 6= 0: Zvolme si proto je„t napł klad posloupnost (x0n)1n=1 = (13; 111; 119;:::) =
( 18k¡5); kterÆ mÆ takØ limitu rovnou nule a płitom x0n 6= 0 pro v„echna n 2 N:
Dostaneme tyto tabulky:
x0n 1/3 1/11 . . . 1/155 1/787
g(x0n) 2.3361116 1.538330912 . . . 1.500187333 1.500007266
x0n 1/3 1/11 . . . 1/155 1/787
h(x0n) -1 -1 . . . -1 -1
Z tabulek pro funkci h u mø eme prohlÆsit, e funkce h nemÆ v nule limitu,
proto e jsme na„li dv røznØ posloupnosti (xn);(x0n) konverguj c k nule, pro kterØ
odpov daj c posloupnosti h(xn);h(x0n) konverguj k røzn m Ł sløm.
DruhÆ tabulka pro funkci g zat m potvrzuje na„i domn nku, e funkce g by
mohla m t v nule limitu rovnu Ł slu 1.5 . Je ale jasnØ, e po vyzkou„en dvou po-
sloupnost to je„t tvrdit nemø eme. Pro ilustraci uvÆd me płibli nØ grafy funkc
g;h:
-x
6
y
b
1121314
f
-x
6
y
…
6
:= 0:5¡…
6
1:5
g
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4 De nice limity funkce 15
CviŁen 2.3.1:
1. Jak vliv na na„e œvahy o limit funkce g v bod nula by m lo nÆsleduj c
dode novÆn funkce g v nule, jestli e a) g(0) = 7; b) g(0) = 1:5?
2. Vytvołen m tabulek funkŁn ch hodnot odhadn te, zda a pł padn jakou
limitu maj funkce g : y = sin 2x+2x+1 ; h : y = cos…x v bodech a) ¡1; b) 1:
[DoporuŁujeme posloupnosti a) (¡1 + 110n ); (¡1 + 110n); b) (2n); (12 + 2n):]
3. Podobn jako ve 2. œloze odhadn te limity funkce f : y = x+1x v bodech
a) ¡ 1; b) 0; c) 1:
2.4 De nice limity funkce
Na zÆklad na„ich œvah je logickØ ł ci, e funkce f mÆ v bod x0 limitu tehdy, kdy
limita posloupnosti funkŁn ch hodnot (f(xn)) nezÆvis na volb posloupnosti (xn);
płiŁem xn ! x0; xn 6= x0: Tuto spoleŁnou limitu posloupnosti funkŁn ch hodnot
nazveme limitou funkce f v bod x0: Uv domte si, e nÆs płitom nezaj mÆ, jak se
funkce chovÆ pł mo v bod x0: NezÆle na tom, je-li funkce v bod x0 de novanÆ,
ani jakou mÆ eventuÆln funkŁn hodnotu f(x0): Proto p „eme xn 6= x0:
DostÆvÆme se tak k tzv. Heineho de nici limity.
De nice 2.4.1: ekneme, e funkce f : y = f(x) mÆ v bod x0 2 R⁄ limitu
rovnu Ł slu b 2R⁄; jestli e
1) funkce f je de novanÆ v n jakØm prstencovØm okol P(x0) bodu x0 2R⁄;
2) pro ka dou posloupnost (xn) ‰P(x0) s vlastnost limn!1xn = x0 plat
limn!1f(xn) = b:
Pak p „eme limn!1f(xn) = b:
4
StruŁn ji lze psÆt: limx!x0 f(x) = b; jestli e pro v„echny posloupnosti plat
(xn) ! x0; xn 6= x0 =) f(xn) ! b (n !1):
Z Heineho de nice vypl vÆ, e funkce mÆ v bod x0 2R⁄ nejv „e jednu limitu
(tato vlastnost je døsledkem jednoznaŁnosti limity konvergentn posloupnosti).
V„imn te si, e v de nici limity mohou b t Ł sla x0 i b i nekoneŁnÆ (nevlastn )
reÆlnÆ Ł sla +1 a ¡1: Pak se Łasto hovoł o røzn ch typech limit, napł klad
nevlastn limit ve vlastn m bod , vlastn limit ve vlastn m bod , nevlastn
limit v nevlastn m bod . JednotlivØ varianty limit si znÆzorn me gra cky:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 Limita a spojitost funkce
-x
6y
‘af(x0)
x0
bb
f
x0 2R; b 2R; limx!x0 f(x) = b
-x
6y
x0
f
x0 2R; b 2R⁄; b = +1
limx!x0 f(x) = 1
-x
6y
b
f
x0 = 1; b 2R; limx!1f(x) = b
-x
6y
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡¡
f
x0 = 1; b = +1
limx!1f(x) = 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je„t si ukÆ eme grafy funkc , kterØ v uveden ch bodech nemaj limitu.
-x
6
y
al ‘ak
x0
f
a)
-x
6
y
x0 !1
g1
¡1
b)
-x
6
y
x0
c)
h
Funkce f;g;h nemaj v bod x0 limitu, nebo» jist napł klad existuj posloup-
nosti (xn); (x0n); xn ! x0; xn 6= x0; x0n ! x0; x0n 6= x0 s nÆsleduj c mi vlastnostmi
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 Spojitost funkce 17
† a) f(xn) ! k; f(x0n) ! l pro funkci f
† b) f(xn) ! 0; f(x0n) ! 1 pro funkci g
† c) f(xn) !¡1; f(x0n) ! +1 pro funkci h
CviŁen 2.4.1:
Gra cky znÆzorn te dal„ typy limit funkc :
a) limx!x0 f(x) = ¡1; x0 2R
b) limx!¡1f(x) = b; b 2R
c) limx!¡1f(x) = +1:
Nyn si ukÆ eme, jak je mo nØ pro v poŁet limit funkc vyu vat vlastnost
limit posloupnost .
Pł klad 2.4.1: U it m Heineho de nice limity vypoŁ tejte limx!3 4x2¡12x¡1 :
e„en : M sto konkrØtn ch posloupnost konverguj c ch k Ł slu 3 uva ujeme
obecn libovolnou posloupnost (xn) konverguj c k Ł slu 3 (xn 6= 3): Z vlastnost
limit posloupnost v me, e jestli xn ! 3; pak 4x2n ¡1 ! 4¢9¡1 = 35: Podobn
2xn ¡ 1 ! 2 ¢ 3 ¡ 1 = 5: Celkem
4x2n ¡ 1
2xn ¡ 1 ¡!
35
5 = 7:
Vid me tedy, e pro ka dou posloupnost (xn) konverguj c k Ł slu 3, odpov daj c
posloupnost (f(xn)) konverguje k Ł slu 7. Proto
limx!3 4x
2 ¡ 1
2x¡ 1 = 7:
CviŁen 2.4.2:
Pomoc Heineho de nice limity vypoŁt te
a) limx!3(x3 ¡x + 7); b) lim
x!13
4x2 ¡ 1
2x¡ 1 ; c) limx!¡2
x2 + x + 2
1 ¡x2 :
2.5 Spojitost funkce
Mo nÆ jste si v„imli, e ve v„ech pł kladech ve cviŁen 2.4.2 se v slednÆ limita
rovnÆ funkŁn hodnot ve studovanØm Ł sle. DostÆvÆme se tak k dal„ mu døle i-
tØmu pojmu { spojitosti funkce.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
18 Limita a spojitost funkce
De nice 2.5.1: Funkce f je spojitÆ v bod x0 2R; jestli e
a) f je de novanÆ v n jakØm okol U(x0);
b) limx!x0 f(x) = f(x0):
4
Z tØto de nice si hned mø eme ujasnit vztah mezi limitou a spojitost funkce
v bod .
Je tłeba si uv domit, e z existence limity funkce v bod x0 2R; je„t nemus
vypl vat spojitost funkce v tomto bod . O tom nÆs jist płesv dŁ nÆsleduj c
obrÆzky.
-x
6
y
b2 ‘a4
3
f
limx!3 f(x) = 2;
f(3) = 4
-x
6
y
5
limx!5 f(x) = ¡1
f nen v 5 de novanÆ
f
Pro v poŁet limit je døle itØ, e je-li funkce spojitÆ v bod x0; pak mÆ v tomto
bod takØ limitu rovnou funkŁn hodnot f(x0): Płitom Łasto vyu vÆme toho, e
v„echny elementÆrn funkce jsou v ka dØm bod svØho de niŁn ho oboru spojitØ
(viz. grafy funkc ). Odtud napł klad limx!2 cos…x = cos 2… = 1; limx!1 lnx =
ln 1 = 0; limx!1 arctg x = arctg 1 = …=4; a podobn
V„imn me si nyn podrobn ji chovÆn funkce f : y = 1=x v okol nuly.
- x
6
y
Vid me, e tato funkce nemÆ v nule limitu. Zvol me-li toti
posloupnost kladn ch Ł sel (xn), jej limita je nula, pak f(xn) mÆ limitu +1:
MÆ-li posloupnost (x0n) samÆ zÆpornÆ Ł sla konverguj c k nule, pak f(x0n) mÆ
limitu rovnu ¡1: T mito œvahami se dostÆvÆme k tzv. jednostrann m limitÆm.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 Spojitost funkce 19
De nice 2.5.2: ¨ slo b 2 R⁄ se naz vÆ limitou zprava (pravostrannou
limitou) funkce f v bod x0 2R; jestli e
1) funkce f je de novanÆ v n jakØm okol P+(x0);
2) pro ka dou posloupnost (xn) ‰P+(x0); (xn) ! x0; plat limn!1f(xn) = b:
Pak p „eme b = limx!x0+ f(x) = f(x0+):
4
PoznÆmka: Pro nevlastn body jednostrannØ limity nezavÆd me.
CviŁen 2.5.1:
1. Zformulujte si sami analogickou de nici limity zleva funkce f v Ł sle x0:
2. Zapi„te matematicky Łemu se rovnaj limity zleva a zprava funkce f v Ł sle
x0 = 1 prvn ho, x0 = 2 druhØho obrÆzku.
- x
6
y
1
1
3
-x
6
y
2
4
3. Na zÆklad grafø funkc urŁete limity
a) limx!0+ log7 x; b) limx!0+ log0:7 x; c) limx!…2
+
tg x;
d) limx!…2
¡
tg x; e) limx!7…+ cotg x; f) limx!7…¡ cotg x;
g) limx!1¡ arcsinx; h) limx!1¡ arccosx:
PoznÆmky:
1. Pomoc limity zprava de nujeme spojitost zprava funkce
f v bod x0; tj., po adujeme, aby funkce f byla de novanÆ
v U+(x0) a aby platilo limx!x0+ f(x) = f(x0): Analogicky de-
nujeme spojitost zleva.
- x
6
y
x0
f(x0)
-x
6
y
x0
f(x0)
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
20 Limita a spojitost funkce
2. ekneme, e funkce f je spojitÆ na otevłenØm intervalu
(c;d) D(F); je-li spojitÆ v ka dØm bod tohoto intervalu. Spo-
jitost funkce f na uzavłenØm intervalu hc;di D(f) budeme
rozum t spojitost funkce f v intervalu (c;d) a souŁasn spojitost
funkce f zprava v bod c a zleva v bod d:
- x
6
y
c d
CviŁen 2.5.2: Na zÆklad grafø funkc urŁete intervaly spojitosti t chto funkc
a) f1 : y = x2 + 1; b) f2 : y = 1x; c) f3 : y = log2 x;
d) f4 : y = arcsin x; e) f5 : y = sinx; f) f6 : y = tg x;
g) f7 : y = ex:
pp KomentÆł 2.5.1: Ne -li uvedeme pł klad zÆkladn ch vlastnost limit, se-
znÆm me se je„t s tzv. Cauchyovou de nic limity funkce o n se dÆ dokÆzat, e
je ekvivalentn s Heineovou de nic limity. UvÆd me ji mimo jinØ proto, e v mnohØ
literatułe se płi de novÆn limity funkce v bod prÆv z tØto de nice vychÆz . Jde
o nÆsleduj c tvrzen .
Funkce f mÆ v bod x0 2R limitu rovnou Ł slu b 2R; kdy pro ka dØ " 2R; " > 0;
existuje – 2 R; – = –(") > 0 takovØ, e pro v„echna x 2 P(x0) spl uj c podm nku
0 < jx¡x0j < – plat nerovnost jf(x) ¡bj < ":
Tento pł stup k limit si vysv tl me op t na pł kladu
lim
x!12
4x2 ¡ 1
2x¡ 1 :
MÆ-li b t limita funkce f v Ł sle 12 rovna dv ma (viz graf funkce g : y = 2x+1; kterÆ se
pro x 6= 12 rovnÆ funkci f), pak mus b t funkŁn hodnoty f(x) libovoln bl zkØ Ł slu
2, a to pro v„echna x rozd lnÆ od 12 a dostateŁn bl zkÆ Ł slu 12. VyjÆdł me-li m ru
bl zkosti (vzdÆlenosti) u it m zaveden ch okol bodø, pak mus pro libovoln zvolenØ
malØ kladnØ Ł slo " platit nerovnice jf(x) ¡ 2j < "; tj. f(x) 2 U(2;"); pro v„echna x
z n jakØho prstencovØho okol Ł sla 12: Bude proto existovat Ł slo – = –(") > 0 takovØ, e
nerovnice jf(x)¡2j < " bude platit pro v„echna x 2P(12;–); tj. x 2 (12 ¡–; 12 +–)¡f12g;
tedy 0 < jx¡ 12j < –: Gra cky lze situaci znÆzornit takto:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6 ZÆkladn vlastnosti limity funkce 21
-
x
6
y
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
b¡
¡
¡
2
2 + "
2 ¡"
1
2
1
2 ¡–
1
2 + –
Kdybychom si napł klad zvolili " = 0:01; pak pro to, aby platila nerovnice jf(x)¡2j <
0:01; staŁ vz t takovÆ x; pro kterÆ plat x 6= 12 a
flfl
fl4x2¡12x¡1 ¡ 2
flfl
fl < 0:01; tj. j2x+1¡2j < 0:01:
Odtud 2jx¡12j < 0:01 a tedy jx¡12j < 0:005 = "=2: StaŁ tedy za – zvolit libovolnØ Ł slo,
pro kterØ plat 0 < – • "=2 (napł klad – = 0:0025). Domn vÆme se v„ak, e Heineova
de nice je pro studenty technick ch fakult nÆzorn j„ a pł stupn j„ a proto jsme j dali
płednost.
2.6 ZÆkladn vlastnosti limity funkce
V nÆsleduj c m płehledu zÆkladn ch vlastnost limit budeme stÆle płedpoklÆdat,
e uvedenØ funkce jsou de novÆny v potłebnØm prstencovØm okol P(x0)
uva ovanØho bodu x0:
V ta: (Vlastnosti limit)
Je-li limx!x0 f(x) = r 2R⁄; limx!x0 g(x) = s 2R⁄; x0 2R⁄; pak pokud mÆ
pravÆ strana rovnosti smysl, plat :
a) limx!x
0
(f(x) + g(x)) = r + s;
b) limx!x
0
(f(x) ¢g(x)) = r¢s;
c) limx!x
0
f(x)
g(x) =
r
s;
d) limx!x
0
jf(x)j = jrj:
Pokud x0 2R; plat uvedenÆ tvrzen i pro jednostrannØ limity.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 Limita a spojitost funkce
JednotlivÆ tvrzen se lehce dokazuj p