Skripta - Diferenciální počet I, Derivace funkce

-li funkce f spojitÆ na intervalu ha;bi a mÆ-li v intervalu (a;b) derivaci,
kterÆ je kladnÆ (zÆpornÆ), pak je f rostouc (klesaj c ) na intervalu ha;bi:
Je-li toti napł klad f0(x) > 0 na (a;b) a x1;x2 2 ha;bi; x1 < x2; pak podle
Lagrangeovy v ty existuje c 2 (x1;x2) tak, e f(x2)¡f(x1) = f0(c)(x2 ¡x1) > 0
a odtud f(x2) > f(x1): Je tedy f rostouc na intervalu ha;bi:
Nyn se dostÆvÆme k de nici lokÆln ch extrØmø.
De nice 2.9.2: ekneme, e funkce f mÆ v bod x0 2 D(f) ostrØ lokÆln
minimum (ostrØ lokÆln maximum), jestli e existuje okol P(x0;–) ‰ D(f)
tak, e pro v„echna x 2P(x0;–) plat f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0):)
4
pp KomentÆł 2.9.1:
† Pokud plat neostrÆ nerovnice f(x) • f(x0); hovoł me jen o lokÆln m ma-
ximu funkce.
-x
6
y
a x0 x1 x2 x3 x4 x5 b
OtÆzka: Co lze vyŁ st z grafu funkce o extremÆln ch hodnotÆch funkce f na zÆklad
na„ich znalost o derivac ch?
† V bodech x0;x1;x2;x3 a x4 nastÆvaj ostrØ lokÆln extrØmy funkce. V„imn te si
toho, e teŁny v bodech x0;x1;x4 jsou rovnob nØ s osou x; tj. f0(x0) = f0(x1) =
f0(x4) = 0: Płitom je vid t, e extrØmy nastÆvaj i v bodech x2 a x3; v nich
złejm derivace neexistuj .
† Je tłeba si uv domit, e takØ v bod x5 je teŁna rovnob nÆ s osou x; tj. f0(x5) =
0; i kdy v tomto bod extrØm nenastÆvÆ. Graf funkce se v bodech x4 a x5 li„
napł klad t m, e existuj okol t chto bodø takovÆ, e v okol bodu x4 funkce
nejprve klesÆ a pak roste (derivace funkce m n znamØnko), kde to v okol
bodu x5 funkce stÆle roste (derivace funkce nem n znamØnko)
† Z pł kladu je vid t, e funkce mø e m t lokÆln extrØmy
a) v bodech, v nich f0(x) = 0;
b) v bodech, v nich f nemÆ derivaci.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
36 Derivace funkce
† Body, v nich f0(x) = 0; se naz vaj stacionÆrn .
Pro hledÆn extrØmø plat tato døle itÆ tvrzen :
1. MÆ-li funkce f v bod x0 2R lokÆln extrØm, pak je bu f0(x0) = 0 nebo f0(x0)
neexistuje.
2. Je-li funkce f spojitÆ v bod x0 2 R a existuje-li okol P(x0;–) tak, e f je
v P¡(x0;–) rostouc (klesaj c ) a v P+(x0;–) klesaj c (rostouc ), pak f mÆ v
bod x0 ostrØ lokÆln maximum (minimum).
3. Je-li f0(x0) = 0 a mÆ-li funkce funkce f v bod x0 druhou derivaci
f00(x0) 6= 0; pak mÆ f v bod x0 ostr lokÆln extrØm a to
minimum v pł pad f00(x0) > 0; maximum v pł pad f00(x0) < 0:
Tvrzen (1) je tzv. nutnÆ podm nka existence lokÆln ho extrØmu, tvrzen (2), (3)
jsou tzv. postaŁuj c podm nky pro existenci lokÆln ho extrØmu.. Prvn dv tvrzen
zcela odpov daj na„im geometrick m płedstavÆm (viz rozbor grafu). Pokud jde o tłet
tvrzen , to plyne z toho, e z existence f0(x0) plyne spojitost funkce v bod x0 a je-li
napł klad f00(x0) > 0; pak je funkce f0 rostouc v bod x0: To ale znamenÆ, e existuje
okol P(x0;–) takovØ, e pro x 2P¡(x0;–) plat f0(x) < f0(x0) = 0 a pro x 2P+(x0;–)
je f0(x) > f0(x0) = 0: Odtud plyne, e f mÆ v bod x0 ostrØ lokÆln minimum.
Pł klad 2.9.1: UrŁete lokÆln extrØmy funkc
a) f(x) = xln2 x; b) g(x) = arcsin
p
1 ¡x2:
e„en :
a) Funkce f je de novanÆ v intervalu (0;1) a f0(x) = ln2 x+2 lnx = (2+lnx)¢lnx:
Pro stacionÆrn body plat rovnice (2 + lnx) ¢ lnx = 0 a tedy x1 = e¡2 a x2 = 1:
ZnamØnko f0(x) je
znam f0(x) -
x
a
0
% +
f roste e¡2
& ¡
f klesÆ 1
% +
f roste
Proto e f0(x) m n v x1 i x2 znamØnko, mÆ funkce f v bodech x1 a x2 lokÆln extrØmy,
a to v x1 = e¡2 ostrØ lokÆln maximum a v bod x2 = 1 ostrØ lokÆln minimum.
b) Pro de niŁn obor funkce g plat postupn nerovnice 0 • p1 ¡x2 • 1; 0 •
1 ¡x2 • 1 a tedy x 2< ¡1;1 > : Derivace funkce g je rovna
g0(x) = 1p1 ¡ (1 ¡x2) ¢ ¡xp1 ¡x2 = ¡xpx2 ¢p1 ¡x2 = ¡xjxj¢p1 ¡x2:
Odtud g0(x) = ¡1=p1 ¡x2 pro x 2 (0;1); g0(x) = 1=p1 ¡x2 pro x 2 (¡1;0): De niŁn
obor funkce g0 je (¡1;0) [ (0;1) a pro znamØnko g0(x) plat
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.10 Funkce konvexn a konkÆvn 37
znam g0(x) -
x
a
¡1
% + a
0
& ¡ a
1
Funkce g je v bod x = 0 de novÆna a mÆ v n m ostrØ lokÆln maximum (viz 2.
vlastnost pro urŁen extrØmø).
Pł klad 2.9.2: UrŁete polom r r a v „ku h rotaŁn ho vÆlce, kter mÆ płi zadanØm
objemu V minimÆln povrch S:
e„en : Proto e znÆme objem vÆlce V; mø eme vyjÆdłit ze vztahu V = …r2h v „ku
h = V…r2: Povrch S je pak roven
S = 2…r2 + 2…rh = 2…r2 + 2…r V…r2 = 2…r2 + 2Vr :
Nyn budeme hledat takovØ r; płi kterØm funkce S nab vÆ minimÆln hodnoty. Z de-
rivace S0(r) = 4…r ¡ 2Vr2 = 4…r2 ¡r3 ¡ V2…¢ dostaneme stacionÆrn bod r1 = 3
q
V
2…: Pro
S00(r1) plat
S00(r1) = 4… + 4Vr3
1
> 0 pro r1 > 0; V > 0:
Funkce S mÆ tedy v bod r1 = 3
q
V
2… ostrØ lokÆln minimum (viz 3. vlastnost pro
urŁovÆn extrØmø). Płi tØto hodnot r1 je povrch S minimÆln . Pro v „ku h1 mÆme
h1 = V…r2
1
= V
… 3
q
V 2
4…2
= 2 3
r
V
2… = 2r1:
2.10 Funkce konvexn a konkÆvn
Zavedeme je„t pojem konvexnosti a konkÆvnosti, kter nÆs bude u funkc maj c ch
derivaci informovat o prohnut grafu funkce.
Chceme-li napł klad nakreslit grafy funkc urŁen ch płedpisy f(x) = x3; g(x) = 3px
v intervalu (0;1); pak zjist me, e ob funkce jsou spojitØ a rostouc . Jejich grafy se
v„ak li„ t m, e graf funkce f le nad teŁnou , kde to graf funkce g le pod teŁnou
grafu funkce sestrojenou v libovolnØm bod grafu pł slu„nØ funkce.
De nice 2.10.1: MÆ-li funkce f derivaci v bod x0 2R; pak łekneme, e f je
ryze konvexn v bod x0; jestli e existuje okol P(x0;–) takovØ, e pro v„echna
x 2P(x0;–) plat f(x) > f(x0) + f0(x0)(x¡x0), tj. graf funkce f le v P(x0;–)
nad teŁnou sestrojenou v bod [x0;f(x0)]:
4
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
38 Derivace funkce
ObrÆzek 2.2:
pp KomentÆł 2.10.1:
† Zm n me-li nerovnici na opaŁnou, dostaneme de nici ryz konkÆvnosti
(tj. graf je pod teŁnou).
† Płipust me-li neostrØ nerovnice, dostaneme de nici konkÆvnosti event. kon-
vexnosti v bod x0:
Pro ov łen t chto vlastnost mÆme k dispozici nÆsleduj c tvrzen .
MÆ-li funkce f v bod x0 2R druhou derivaci f00(x0); pak je-li f00(x0) > 0; je
f v bod x0 ryze konvexn .
Je tomu tak proto, e v n jakØm P(x0;–) plat
f(x) ¡f(x0)| {z }
f0(c)(x¡x0)| {z }
dle Lagrangeovy v ty
¡f0(x0)(x¡x0) = (f0(c) ¡f0(x0))(x¡x0) > 0| {z }
f0 je rostouc v bod x0
Je tedy f(x) > f(x0) + f0(x0)(x ¡ x0) pro x 2 P(x0;–) a f je ryze kon-
vexn v bod x0:
pp KomentÆł 2.10.2:
† MÆ-li funkce na intervalu J D(f) derivaci druhØho łÆdu f00 a plat -li
f00(x) > 0 na J; pak łekneme, e f je ryze konvexn na J:
† Jestli e v bodech dostateŁn bl zk ch bodu x0 płechÆz graf z polohy
nad teŁnou do polohy pod teŁnou (nebo obrÆcen ), nazveme bod x0
in exn m bodem.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.11 Prøb h funkce 39
-x
6
y
-x
6
y
''
''
''
''
''
''
''
''
''
''
x0 x0
Pro in exn body plat :
1. Je-li x0 in exn bod funkce f a existuje-li f00(x0); pak je f00(x0) = 0:
2. MÆ-li funkce f spojitou derivaci f0 na U(x0;–) a plat -li f00(x0) < 0 pro
x 2 P¡(x0;–) a f00(x0) > 0 pro x 2 P+(x0;–) nebo naopak, pak je x0
in exn bod funkce f:
3. Je-li f00(x0) = 0 a f000(x0) 6= 0; pak je x0 in exn bod funkce f:
Tvrzen (3) op t plyne z toho, e napł klad pro f000(x0) > 0; je f00 ros-
touc funkc v bod x0: Odtud pro x 2 P¡(x0;–) je f00(x) < f00(x0) = 0 a pro
x 2P+(x0;–) je f00(x) > f00(x0) = 0: Tedy x0 je in exn bod.
2.11 Prøb h funkce
C l: U it m diferenciÆln ho poŁtu um t vyjÆdłit prøb hy a nakreslit grafy funkc .
O slo itosti a tvarech t chto funkc z skÆte nejlØpe płedstavu ze skript Sb rka
pł kladø z matematiky I - kapitola Prøb h funkce.
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Z skÆme o funkci f co nejv ce u iteŁn ch informac pł mo ze zadÆn . V zÆ-
vislosti na druhu a slo itosti funkŁn ho płedpisu urŁ me de niŁn obor, zna-
mØnko f(x); sudost, lichost, periodiŁnost funkce, prøseŁ ky grafu funkce se
souładnicov mi osami.
2. VypoŁteme f0;D(f0), urŁ me znamØnko f0(x); intervaly monotonie, funkŁn
hodnoty v extremÆln ch bodech.
3. UrŁ me f00;D(f00), znamØnko f00(x); konvexnost, konkÆvnost, in exn body,
funkŁn hodnoty v in exn ch bodech.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
40 Derivace funkce
4. Pokud je de niŁn obor tvołen otevłen mi intervaly, urŁ me (jednostrannØ)
limity funkce f v jejich krajn ch bodech (event. vŁetn nevlastn ch Ł sel
§1). Nalezneme asymptoty grafu funkce.
5. NaŁrtneme graf zadanØ funkce.
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Pł klad 2.11.1: Vy„etłete prøb hy funkc
a) f(x) = x
3
x2 ¡ 4; b) g(x) = x
2e¡3=x; c) h(x) = arcsin 2
x:
e„en : Prvn pł klad vyłe„ me s podrobn j„ m komentÆłem. U zb vaj c ch
dvou pł kladø budeme ji struŁn j„ .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a) f(x) = x
3
x2 ¡ 4;
1. D(f) = R¡f¡2;2g;
znam f(x) -
x
¡ a
¡2
+ a‘
0
¡ a
2
+
f(0) = 0; f je lichÆ (nebo» de niŁn obor je symetrick vzhledem k poŁÆtku
a plat f(¡x) = (¡x)3(¡x)2¡4 = ¡ x3x2¡4 = ¡f(x)):
2.
f0(x) = 3x
2 ¢ (x2 ¡ 4) ¡x3 ¢ 2x
(x2 ¡ 4)2 =
x4 ¡ 12x2
(x2 ¡ 4)2 =
x2 ¢ (x2 ¡ 12)
(x2 ¡ 4)2 ;
D(f0) = D(f): Na zm nu znamØnka budou m t vliv pouze reÆlnØ kołeny lichØ
nÆsobnosti Łitatele a jmenovatele, tj. kołeny x1 = ¡2p3 a x2 = 2p3:
znam f0(x) -% + a‘
¡2p3
&¡ a
¡2
&¡ a
2
&¡ a‘
2p3
% +
(Płi nevynesen bodø §2 bychom mohli doj t k chybnØmu zÆv ru, e funkce f klesÆ
v intervalu (¡2p3;2p3):)
f mÆ v bod x1 = ¡2p3 ostrØ lokÆln maximum a v bod x1 = 2p3 ostrØ
lokÆln minimum. Płitom f(¡2p3) = ¡3p3; f(2p3) = 3p3:
3.
f00(x) = (4x
3 ¡ 24x) ¢ (x2 ¡ 4)2 ¡ (x4 ¡ 12x2) ¢ 2 ¢ (x2 ¡ 4) ¢ 2x
(x2 ¡ 4)2 =
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.11 Prøb h funkce 41
= 8x
3 + 96x
(x2 ¡ 4)3 =
8x¢ (x2 + 12)
(x2 ¡ 4)3 ;
D(f00) = D(f0) = D(f); f00(x) bude m nit znamØnko v bodech ¡2;0;2;
-znam f00(x) ¡ _
pod
a
¡2
+ ^
nad
a‘
0
¡ _
pod
a
2
+ ^
nad teŁnou
in exn bod x3 = 0:
4. Proto e D(f) = (¡1;¡2) [ (¡2;2) [ (2;1); vy„etł me postupn (jedno-
strannØ) limity v bodech ¡2;2;¡1;1: Vzhledem k tomu, e v bodech ¡2;2 jde
o limity typu £a0⁄; a 2 R; a 6= 0; z skÆme ze znamØnka f(x) tyto v sledky pro
jednostrannØ limity.
limx!¡2
¡
x3
x2 ¡ 4 = limx!¡2¡ f(x) = ¡1; limx!¡2+ f(x) = 1;
limx!2
+
f(x) = ¡1; limx!2
+
f(x) = 1:
Pł mky x = ¡2 a x = 2 jsou tedy svislØ asymptoty grafu funkce f: V nevlastn ch
Ł slech ¡1 a 1 plat :
limx!1 x
3
x2 ¡ 4 = limx!1
x3
x2 ¢ (1 ¡ 4=x2) = limx!1x = 1 a limx!¡1f(x) = ¡1:
Pro „ikmØ asymptoty dostÆvÆme:
a = limx!1 f(x)x = limx!1 x
3
(x2 ¡ 4) ¢x = 1
(viz limity racionÆln ch funkc v nevlastn ch Ł slech),
b = limx!1(f(x) ¡ax) = limx!1
x3
x2 ¡ 4 ¡x
¶
= limx!1 4xx2 ¡ 4 = 0:
Pł mka o rovnici y = x je tedy „ikmou asymptotou grafu funkce f v bod 1:
Promyslete si sami, e tato pł mka je asymptotou i v bod ¡1:
5.
† Na ose x si vyneseme body, kterØ nepatł do D(f); v nich f(x) = 0; ve
kter ch funkce f;f0;f00 m n znamØnka.
† V extremÆln ch bodech a v in exn m bod vyneseme funkŁn hodnoty.
† NaŁrtneme asymptoty.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
42 Derivace funkce
† V jednotliv ch podintervalech kresl me graf funkce f se souŁasnou kontro-
lou, zda v danØm podintervalu vyhovuje graf v„em podm nkÆm, kterØ jsme
postupn zjistili (zda je graf nad osou x nebo pod osou x; zda je f rostouc
nebo klesaj c , zda je f konvexn nebo konkÆvn ).
† Na zÆv r zkontrolujeme, jestli mÆ graf (2.3) funkce f zji„t nØ vlastnosti
(vŁetn lichosti) v celØm de niŁn m oboru.
ObrÆzek 2.3:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) g(x) = x2e¡3=x;
1. D(g) = (¡1;0) [ (0;1);
znam g(x) -
x
+ a‘
0
+
g nen sudÆ ani lichÆ.
2.
g0(x) = e¡3x ¢ (2x + x2 ¢ 3x2 ) = e¡3x ¢ (2x + 3):
znam g0(x) -
x
&¡a‘
¡32
% + a‘
0
% +
D(g0) = D(g);
Funkce g mÆ v bod x1 = ¡3=2 ostrØ lokÆln minimum. Płitom g(¡3=2) = 94e2:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.11 Prøb h funkce 43
3.
g00(x) = e¡3x ¢ (2 + (2x + 3) ¢ 3x2 ) = e¡3x ¢ 2x
2 + 6x + 9
x2 ;
D(g00) = D(g0) = D(g);
znam g00(x) -
x
^ + a‘
0
^ +
In exn bod funkce g nemÆ.
4.
limx!0
+
x2e¡3=x = 0 ¢ 0 = 0;
limx!0
¡
x2e¡3=x = [0 ¢1] = limx!0
¡
e¡3=x
1
x2
=
h1
1
i LP
= limx!0
¡
e¡3=x ¢ 3x2
¡ 2x3 =
= ¡32 limx!0
¡
e¡3=x
1
x
=
• 1
¡1
‚
LP= ¡3
2 limx!0¡
e¡3=x ¢ 3x2
¡ 1x2 =
9
2 limx!0¡ e
¡3=x = 1:
(Limitu je mo no jednodu„eji spoŁ tat zaveden m substituce t = 1=x:)
Pł mka x = 0 je tedy (svislÆ) asymptota. nebo» jedna jednostrannÆ limita je
nevlastn . DÆle
limx!1x2e¡3=x = 1¢ 1 = 1;
lim
x!¡1
x2e¡3=x = 1¢ 1 = 1;
limx!§1 f(x)x = limx!§1xe¡3=x = §1:
'ikmØ ani vodorovnØ asymptoty nejsou.
5. Graf funkce (2.4).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) h(x) = arcsin 2x;
1. Pro de niŁn obor plat ¡1 • 2x • 1: Odtud D(f) = (¡1;¡2i[h2;1):
(Pozor na ŁastØ chybnØ łe„en , z skanØ roznÆsoben m x bez płedpokladø o jeho zna-
mØnku.)
znam h(x) -
x
¡ ‘a
¡2
‘a
2
+
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
44 Derivace funkce
ObrÆzek 2.4:
h je lichÆ (plyne to z lichosti funkce arcsin).
2.
h0(x) = 1q
1 ¡ 4x2
¢ ¡2x2 = ¡2jxjx2 ¢px2 ¡ 4;
proto
h0(x) = 2x¢px2 ¡ 4 pro x 2 (¡1;2); h0(x) = ¡2x¢px2 ¡ 4 pro x 2 (2;1):
(Pozor na ŁastØ chybnØ odmocn n : px2 = jxj a nikoli x.)
D(h0) = D(h);
znam h0(x) -
x
&¡ a
¡2
a
2
&¡
LokÆln extrØmy nenastanou.
3.
h00(x) = 2x2 ¢ (x2 ¡ 4) ¢
p
x2 ¡ 4 + x
2
px2 ¡ 4
¶
pro x 2 (2;1);
proto
h00(x) = 4(2 ¡x
2)
x2 ¢p(x2 ¡ 4)3 pro x 2 (¡1;2) a h
00(x) = 4(x
2 ¡ 2)
x2 ¢p(x2 ¡ 4)3 pro x 2 (2;1);
D(h00) = D(h0):
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.11 Prøb h funkce 45
znam h00(x) -
x
_ ¡ a
¡2
a
2
^ +
In exn bod funkce h nemÆ.
4. Plat
limx!2
+
arcsin 2x = …2; limx!2
¡
arcsin 2x = ¡…2;
asymptoty svislØ tedy nejsou. DÆle
limx!§1arcsin 2x = arcsin 0 = 0
a pł mka y = 0 je vodorovnÆ asymptota (2.5).
5.
ObrÆzek 2.5:
CviŁen 2.11.1: Vy„etłete prøb h funkce f.
1) f(x) = xx2¡1.
2) f(x) = exx+1.
3) f(x) = 1¡lnxx .
4) f(x) = arcsin 2x1+x2 .
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
46 Derivace funkce
2.12 Kontroln otÆzky
† De nujte derivaci funkce f v bod x0: Vysv tlete jej geometrick v znam,
napi„te rovnice teŁny a normÆly ke grafu funkce f v bod [x0;f(x0)]:
† Jak je vztah mezi derivac f0(x0) a spojitost funkce f v bod x0 ?
† Uve te pravidla pro derivovÆn souŁtu, souŁinu a pod lu funkc . Uve te
pravidla pro derivovÆn slo enØ a inverzn funkce.
† Gra cky znÆzorn te geometrick v znam diferenciÆlu a uve te vztah pro
jeho v poŁet. K łe„en jakØ œlohy lze diferenciÆl pou t?
† Pomoc obrÆzkø vysv tlete v znam zÆkladn ch v t o spojit ch funkc ch
(Cauchyova, Weierstrassova, Rolleova, Lagrangeova).
† Jak se de nuj derivace a diferenciÆly n{tØho łÆdu?
† Co je to Taylorøv polynom stupn n funkce f v bod x0? Jak se odvozuj
jeho koe cienty? Zapi„te Lagrangeøv tvar zbytku.
† Co je to Maclaurinøv polynom?
† K Łemu slou l’Hospitalovo pravidlo? Co płesn pravidlo tvrd ? JakÆ jsou
œskal tohoto pravidla? Kdy pravidlo nevede k c li?
† JakØ druhy asymptot znÆte? Nakreslete obrÆzky, kterØ je charakterizuj .
Uve te vztahy potłebnØ pro jejich v poŁet.
† Jak lze matematicky vyjÆdłit vlastnost - funkce f je rostouc v bod x0? Jak
tato vlastnost souvis s hodnotou f0(x0)? Souvislost vlastnosti s hodnotou
f0(x0) zdøvodn te.
† De nujte lokÆln extrØmy funkce f v bod x0:
† Co jsou to stacionÆrn body funkce f? Kdy mÆ funkce v t chto bodech
lokÆln extrØmy?
† Kdy łekneme, e je funkce f v bod x0 konvexn (konkÆvn )?
† Co jsou in exn body?
† Vysv tlete postup płi vy„etłovÆn prøb hu funkce.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.13 Kl Ł, Testy ke zpracovÆn 47
2.13 Kl Ł, Testy ke zpracovÆn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.1.4
1) f0(x) = ¡ 6p…x; x 2R
2) f0(x) = 5px3 + 13 3px; x 2R+
3) f0(x) = 1¡1+cosx; D(f0) = D(f) = R¡f2k…;k 2Zg
4) f0(x) = 1¡x+lnx(1¡x)2 ; D(f0) = D(f) = (0;1) ¡f1g
5) f0(x) = p x2¡x; D(f) = h0;2i; D(f0) = (0;2)
6) f0(x) = x2p5+4x¡x2; D(f) = h¡1;5i; D(f0) = (¡1;5)
7) f0(x) = 11+x2+x4; D(f0) = D(f) = R¡f¡1;1g
8) f0(x) = cos2 xsin3 x; D(f0) = D(f) = [k2x5a(2k…;(2k + 1)…)
9) f0(x) = ¡ 4xln3(x2+1); x 2R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.2.1
1) df(1; 0;2) = 0;2
2) df(x0;h) = 1p1+x2
0
¢h
3) df(0;h) = 2h
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.4.1
1) f00(x) = xp(x2¡1)3; D(f) = h1;1); D(f00) = (1;1)
2) f00(x) = ¡ x(x2+1)2; D(f) = D(f00) = R
3) f00(x) = 1x; D(f) = D(f00) = (0;1)
4) f00(x) = x(2x2+9)p(x2+3)3; D(f) = D(f00) = R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
48 Derivace funkce
CviŁen 2.5.1
1) d3f(x0;h) = 8(1+2x0)3 ¢h3
2) d2f(2;h) = ¡ 13p3 ¢h2
3) d2f(0;h) = h2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.6.3
a) T3(f;0;x) = 1 + x2 ¡ x28 + x316 ,
b) T2(f;1;x¡ 1) = …4 + …+24 (x¡ 1) + 14(x¡ 1)2,
c) Tn(f;0;x) = Pnk=1 1(k¡1)!xk.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.7.3
1) 13, 2) 1, 3) -2, 4) 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.8.1
1) limx!¡2¡ f(x) = 1; limx!¡2+ f(x) = ¡1; pł mka x = ¡2 je asymptotou
(existuje limx!0 f(x) = 1; proto nen pł mka x = 0 asymptotou).
2) g(x) = ln 2x+1x¡3 existuje, pokud x 2R¡h¡12;3i;
plat limx!3+ g(x) = 1 a limx!¡1
2¡
g(x) = ¡1, proto jsou pł mky x = 3;
x = ¡12 asymptotami.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.8.2
a) y = 12 pro x !§1,
b) y = ¡…3 pro x !§1
jsou asymptoty.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.8.4
a) y = 23x + 1 pro x !§1,
b) y = x pro x !1 a y = ¡x pro x !¡1;
c) y = ¡1 + x¢ ln 2 pro x !§1 jsou asymptoty.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.11.1
UvÆd me v sledky meziv poŁtø, kterØ jsou ji postaŁuj c pro nakreslen grafø
z skan ch funkc .
PoznÆmky k oznaŁen : N nulovØ body, I in exn body, E extremÆln body
funkce.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.13 Kl Ł, Testy ke zpracovÆn 49
1) f(x) = xx2¡1; f0(x) = ¡ x2+1(x2¡1)2; f00(x) = 2x¢(x2+3)(x2¡1)3 ,
D(f) = D(f0) = D(f00) = R¡f¡1;1g;
N = [0;0]; I = [0;0];
asymptoty: x = 1 pro x ! 1§; x = ¡1 pro x !¡1§;y = 0 pro x !§1:
2) f(x) = exx+1; f0(x) = xex(x+1)2; f00(x) = (x2+1)ex(x+1)3 ,
D(f) = D(f0) = D(f00) = R¡f¡1g;
E = [0;1];
asymptota: y = 0 pro x !¡1:
3) f(x) = 1¡lnxx ; f0(x) = ¡2+lnxx2 ; f00(x) = 5¡2 lnxx3 ,
D(f) = D(f0) = D(f00) = (0;1);
N = [e;0]; E = [e2;¡e2]; I = [e5=2;¡32e¡5=2];
asymptoty: x = 0 pro x ! 0+, y = 0 pro x !1:
4) f(x) = arcsin 2x1+x2 , D(f) = R,
f0(x) =
‰ 2
1+x2 pro jxj < 1
¡ 21+x2 pro jxj > 1 , f
00(x) =
(
¡ 4x(1+x2)2 pro jxj < 1
4x
(1+x2)2 pro jxj > 1
,
D(f0) = D(f00) = R¡f¡1;1g;
N = [0;0]; E1 = [¡1;¡…=2]; E2 = [1;…=2]; I = [0;0];
asymptota: y = 0 pro x !§1:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
50 Derivace funkce
Test I.3
JmØno a pł jmen :
Adresa:
E-mail:
Telefon:
1. UrŁete derivaci f0(x) a de niŁn obory D(f); D(f0) funkce
a) f(x) = xp1¡x2 ¢ arcsin x + lnp1 ¡x2;
b) f(x) = ¡ xx¡1¢x = ex¢ln xx¡1:
2. Derivujte a upravte
a) f(x) = pax¡x2 ¡a¢ arctg
q
a¡x
x ; a > 0 je konstanta,
b) f(x) = px2 + 1 ¡x¢ ln (x + px2 + 1):
3. VypoŁt te f00(x); je-li f(x) = arctg x+1x¡1:
4. UrŁete rovnice teŁny a normÆly ke grafu funkce f(x) = e¡x cos 2x v bod
A = [0;y0]:
5. VypoŁ tejte limity funkc
a) limx!0 xcosx¡sinxx3 ;
b) limx!0 ¡ 1ex¡1 ¡ 1sinx¢;
c) limx!1ex¢ln x1+x;
6. Napi„te rovnice asymptot grafø funkc
a) y = x¢ arctg x;
b) y = x + 2xx2¡1;
c) y = xe 1x2 :
Tabulka hodnocen
1. a 1. b 2. a 2. b 3. 4. 5. a 5. b 5. c 6. a 6. b 6. c
2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 body
Opravil:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.13 Kl Ł, Testy ke zpracovÆn 51
Test I.4
JmØno a pł jmen :
Adresa:
E-mail:
Telefon:
I. Vy„etłete prøb h funkce y = f(x) a nakreslete jej graf, je-li
1) f(x) = x4 ¡ 2x2;
2) f(x) = x2x2¡1;
3) f(x) = xe¡x;
4) f(x) = ln (x2