Skripta - Diferenciální počet I, Derivace funkce

pak je na mno in M£R de novanÆ funkce dvou prom nn ch x a h; kde x 2 M;
h 2R; kterou naz vÆme diferenciÆlem n{tØho łÆdu funkce f (nebo tØ n{t m
diferenciÆlem funkce f). OznaŁujeme jej
dnf(x;h) = f(n)(x) ¢hn; x 2 M; h 2R:
Płi pevn zvolenØm h pak p „eme jen dnf(x0):
4
PoznÆmka: Pokud budeme płi v poŁtech diferenciÆlø vy„„ ch łÆdø (n ‚ 2) uva o-
vat tent konstantn pł røstek h nezÆvisle prom nnØ x, pak mø eme diferenciÆl n{tØho
łÆdu (za płedpokladu existence vlastn ch derivac funkce f v bod x a do łÆdu n) vy-
jÆdłit rekurentn vztahem
dnf(x;h) = d¡dn¡1f(x;h)¢:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
20 Derivace funkce
Pł klad 2.5.1: VypoŁt te d3f(2;0:3); jestli e f(x) = log (2x¡ 1):
e„en : UrŁ me derivace
f0(x) = 2(2x¡ 1) ¢ ln 10; f00(x) = ¡4(2x¡ 1)2 ¢ ln 10; f000(x) = 16(2x¡ 1)3 ¢ ln 10:
Pak
d3f(2;0:3) = f000(2) ¢ (0:3)3 = 1627 ¢ ln 10 ¢ 27 ¢ 10¡3 = 161000 ¢ ln 10:
CviŁen 2.5.1: Pro danou funkci f vypoŁ tejte płedepsanØ diferenciÆly.
1) d3f(x0;h) pro f(x) = ln (1 + 2x)
2) d2f(2;h) pro f(x) = px2 ¡ 1
3) d2f(0;h) pro f(x) = 1cosx
2.6 Taylorøv polynom
Płi v kladu diferenciÆlu jsme vyu ili existence vlastn derivace f0(x0) a aproxi-
movali jsme lokÆln zadanou funkci f polynomem 1. stupn (pokud f0(x0) 6= 0).
Plat płitom rovnice f(x) = f(x0) + f0(x0)(x ¡ x0) + R1(x); kde R1(x) je zby-
tek (chyba), kterÆ vznikne nahrazen m pł røstku funkŁn ch hodnot pł røstkem na
teŁn (diferenciÆlem df(x0;h) = f0(x0)h).
- x
6y
P0
P
?
6df(x0;h)
T
6
?
R1(x)
DÆle je spln no
limx!x
0
R1(x) = limx!x
0
R1(x)
x¡x0 = limx!x0
f(x) ¡f(x
0)
x¡x0 ¡f
0(x0)
¶
= f0(x0)¡f0(x0) = 0;
co znamenÆ, e chyba jde k nule rychleji ne pł røstek nezÆvisle prom nnØ x:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6 Taylorøv polynom 21
Tento fakt potvrzuje rozumnost { smysluplnost na„ aproximace.
V„imn me si, e płi oznaŁen T1(x) = f(x0) + f0(x0)(x ¡ x0) plat
T1(x0) = f(x0); T01(x0) = f0(x0): Tyto rovnosti nÆm zaruŁily, e zmi-
ovanÆ teŁna se płimykÆ v dostateŁn malØm okol bodu P0 ke grafu
funkce f lØpe , ne jakÆkoliv jinÆ pł mka p 6= t (jde o tzv. nejlep„
lokÆln lineÆrn aproximaci). DÆ se oŁekÆvat, e pokud chceme dosÆh-
nout vy„„ płesnosti aproximace, mø eme pou t polynomy vy„„ ch
stup ø, płiŁem budeme po adovat, aby se rovnaly funkŁn hodnoty
a hodnoty derivac v bod x0 hledanØho polynomu a zadanØ funkce.
Pł klad 2.6.1: JakØ koe cienty mus m t polynom Tn nejv „e n{tØho stupn ,
mÆ-li platit Tn(x0) = f(x0); T0n(x0) = f0(x0); :::; T(n)n (x0) = f(n)(x0)?
e„en : Uva ujme polynom Tn ve tvaru
Tn(x) = a0 + a1(x¡x0) + a2(x¡x0)2 + a3(x¡x0)3 + ¢¢¢ + an(x¡x0)n:
Pak
T0n(x) = a1 + 2a2(x¡x0) + 3a3(x¡x0)2 + ¢¢¢ + nan(x¡x0)n¡1;
T00n(x) = 2a2 + 6a3(x¡x0) + ¢¢¢ + n(n¡ 1)an(x¡x0)n¡2;
T000n (x) = 6a3 + 24a4(x¡x0) + ¢¢¢ + n(n¡ 1)(n¡ 2)an(x¡x0)n¡3:
Z po adovan ch rovnost pak dostÆvÆme
Tn(x0) = f(x0) =) a0 = f(x0);
T0n(x0) = f0(x0) =) a1 = f0(x0);
T00n(x0) = f00(x0) =) a2 = f
00(x0)
2 =
f00(x0)
2! ;
T000n (x0) = f000(x0) =) a3 = f
000(x0)
6 =
f000(x0)
3! :
Pomoc dal„ ch vy„„ ch derivac bychom ukÆzali, e plat
ak = f
(k)(x0)
k! ; k = 0;1;:::;n:
CviŁen 2.6.1: Potvr te sprÆvnost vztahu ak = f(k)(x0)k! pro k = 4;5:
ProvedenØ œvahy nÆs oprav uj k nÆsleduj c de nici.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 Derivace funkce
De nice 2.6.1: MÆ-li funkce f v bod x0 derivace a do łÆdu n, pak polynom
Tn(x) = f(x0) + f0(x0)(x¡x0) + f
00(x0)
2! (x¡x0)
2 + ¢¢¢ + f
(n)(x0)
n! (x¡x0)
n =
= Tn(f;x0;x¡x0);
kde x0;x 2R; se naz vÆ Taylorøv polynom stupn n funkce f v bod x0: Funkci
Rn; de novanou vztahem f(x) = Tn(x) + Rn(x) naz vÆme zbytkem łÆdu n: Je-li
x0 = 0; pak polynom Tn se n kdy naz vÆ Maclaurinøv polynom.
4
Nyn si je„t uvedemeTaylorovu v tu, kterÆ uvÆd odhad pro zbytek.
V ta: MÆ-li funkce f v okol U(x0) bodu x0 derivace a do łÆdu n + 1; pak
pro bod x 2U(x0) plat
f(x) = Tn(x) + Rn(x);
płiŁem Rn(x) lze psÆt ve tvaru
Rn(x) = f
(n+1)(»)
(n + 1)! (x¡x0)
n+1;
kde bod » je bod intervalu J s krajn mi body x0 a x; tedy » = x0 + t(x¡x0);
0 < t < 1:
PoznÆmky:
1. Uveden tvar zbytku Rn se naz vÆ Lagrangeøv tvar zbytku. Pro bod » plat :
x0 • » • x
-
x0 » x
2. Je vhodnØ si uv domit, e Taylorøv polynom je mo nØ zapsat struŁn ji u it m
diferenciÆlø ve tvaru
Tn(x) = f(x0) + df(x0;h) + d
2f(x0;h)
2! + ¢¢¢ +
dnf(x0;h)
n! ;
kde h = x¡x0:
3. Pro zbytek Rn v Taylorov v t plat vztah
lim
h!0
f(x) ¡Tn(f;x0;h)
jhjn = limh!0
Rn(f;x0;h)
jhjn = 0;
kde h = x¡x0. Lze tedy ł ci, e zbytek Rn konverguje pro h ! 0 k nule rychleji, ne -li
n{tÆ mocnina absolutn hodnoty pł røstku h nezÆvisle prom nnØ x.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6 Taylorøv polynom 23
Pł klad 2.6.2: VyjÆdłete funkci f(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 jako polynom
v prom nnØ x¡ 1:
e„en : StaŁ urŁit Taylorøv polynom ŁtvrtØho stupn v bod x0 = 1: Plat
f(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 =) f(1) = 5;
f0(x) = 4x3+3x2+2x+1 =) f0(1) = 10 =) df(1;x¡1) = f
0(1)
1! (x¡1) = 10(x¡1);
f00(x) = 12x2+6x+2 =) f00(1) = 20 =) d2f(1;x¡1) = f
00(1)
2! (x¡1)
2 = 10(x¡1)2;
f000(x) = 24x + 6 =) f000(1) = 30 =) d3f(1;x¡1) = f
000(1)
3! (x¡1)
3 = 5(x¡1)3;
f(4)(x) = 24 =) d4f(1;x¡ 1) = f
(4)(1)
4! (x¡ 1)
3 = (x¡ 1)4:
Odtud
T4(f;1;x¡ 1) = 5 + 10(x¡ 1) + 10(x¡ 1)2 + 5(x¡ 1)3 + (x¡ 1)4:
Je jasnØ, e polynomy se sob rovnaj , nebo» f(5)(x) = 0 a tedy zbytek je nulov .
O rovnosti polynomø se mø ete snadno płesv dŁit œpravou nalezenØho Taylorova
polynomu na tvar zadanØ funkce f:
Pł klad 2.6.3: UrŁete Taylorøv polynom n{tØho stupn funkce
f(x) = ln (2 ¡ 3x) v bod x0 = ¡1:
e„en :
f(x) = ln (2 ¡ 3x); f0(x) = ¡ 32 ¡ 3x; f00(x) = ¡ 3
2
(2 ¡ 3x)2; f
000(x) = ¡ 3
3 ¢ 2
(2 ¡ 3x)3;
f(4)(x) = ¡ 3
4 ¢ 3 ¢ 2
(2 ¡ 3x)4; f
(5)(x) = ¡3
5 ¢ 4 ¢ 3 ¢ 2
(2 ¡ 3x)5 ; :::;f
(n)(x) = ¡3
n ¢ (n¡ 1)!
(2 ¡ 3x)n ;
proto
f(¡1) = ln 5; f0(¡1) = ¡35; f00(¡1) = ¡
3
5
¶2
; :::;f(n)(¡1) = ¡
3
5
¶n
¢(n¡1)!:
Odtud
Tn(f;¡1;x+1) = ln 5¡
nX
k=1
3
5
¶k
¢(k ¡ 1)!k! ¢(x+1)k = ln 5¡
nX
k=1
3
5
¶k 1
k(x+1)
k:
Døkladn si tento pł klad propoŁ tejte a promyslete. Mø ete se na
n m hodn nauŁit. V„imn te si toho, e nen vhodnØ płi v poŁtu de-
rivac konstanty roznÆsobovat, n br naopak, je zapotłeb je vyjÆdłit
v takovØm tvaru, kter nÆm umo n popsat obecn derivaci n{tØho
łÆdu.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 Derivace funkce
Pł klad 2.6.4: UrŁete Maclaurinøv polynom n{tØho stupn funkce
f(x) = sinx:
e„en :
f(x) = sinx; f0(x) = cosx; f00(x) = ¡sinx; f000(x) = ¡cosx; f(4)(x) = sinx;
f(5)(x) = cosx
a derivace se opakuj ,
f(0) = 0; f0(0) = 1; f00(0) = 0; f000(x) = ¡1; f(4)(0) = 0; f(5)(0) = 1; ::: :
Tedy
sinx =
nX
k=0
(¡1)kx2k+1
(2k + 1)! + R2n+1(x);
R2n+1(x) = (¡1)
n+1 ¢ sin» ¢x2n+2
(2n + 2)! ; odtud jR2n+1(x)j•
jxj2n+2
(2n + 2)!:
CviŁen 2.6.2: Ov łte, e plat
a)
cosx =
nX
k=0
(¡1)kx2k
(2k)! + R2n(x); kde R2n(x) =
(¡1)n+1 ¢ sin» ¢x2n+1
(2n + 1)!
b)
ex =
nX
k=0
xk
k! + Rn(x); kde Rn(x) =
e» ¢xn+1
(n + 1)! :
CviŁen 2.6.3: UrŁete Taylorøv (Maclaurinøv) polynom funkce f v bod x0
stupn n, je-li:
a) f(x) = px + 1, x0 = 0, n = 3,
b) f(x) = x¢ arctg x, x0 = 1, n = 2,
c) f(x) = xex, x0 = 0, n 2N.
2.7 L’Hospitalovo pravidlo
Płi dosavadn ch v poŁtech limit pod lu funkc
limx!x
0
f(x)
g(x); kde limx!x0 f(x) = 0; limx!x0 g(x) = 0
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.7 L’Hospitalovo pravidlo 25
jsme vyu vali røzn ch œprav (krÆcen , roz„iłovÆn zlomkø apod.) pro zjednodu„en
pod lu funkc f(x)g(x): Płi v poŁtu limit
limx!0 sinxx ; limx!0 e
x ¡ 1
x ; limx!1
lnx
x¡ 1
nÆm v„ak tyto œpravy nepomohou. Płitom jde o limity v „e uvedenØho typu, kde ve
v„ech tłech pod lech je f(x0) = 0; g(x0) = 0 a płitom existuj derivace f0(x0); g0(x0) a
g0(x0) 6= 0: Pak ale plat
limx!x
0
f(x)
g(x) = limx!x0
f(x)
x¡x0
g(x)
x¡x0
= limx!x
0
f(x)¡f(x0)
x¡x0
g(x)¡g(x0)
x¡x0
= limx!x0
f(x)¡f(x0)
x¡x0
limx!x0 g(x)¡g(x0)x¡x0
= f
0(x0)
g0(x0):
Vid me tedy, e se nÆm podałilo vyu t derivace funkc f;g pro zjednodu„en v poŁtu
zadanØ limity, napł klad
limx!1 lnxx¡ 1 =
•0
0
‚
= f
0(1)
g0(1) = 1:
CviŁen 2.7.1: VypoŁt te uveden m zpøsobem zb vaj c dv limity
limx!0 sinxx ; limx!0 e
x ¡ 1
x :
Na„e œvahy o vyu it derivac funkc f a g pro v poŁet limit pod lu funkc
f=g se daj zobecnit nÆsledovn :
V ta (L’Hospitalovo pravidlo ): Maj -li funkce f a g v prstencovØm okol bodu
x0 2R koneŁnØ derivace a plat -li nav c
limx!x0 f(x) = limx!x0 g(x) = 0
nebo limx!x0 jg(x)j = 1
pak z existence limity limx!x0 f0(x)g0(x) plyne existence limx!x0 f(x)g(x) a plat
rovnost
limx!x
0
f(x)
g(x)
LP= lim
x!x0
f0(x)
g0(x):
Pro x0 2R plat tvrzen vety takØ pro jednostrannØ limity.
CviŁen 2.7.2: e„enØ pł klady:
1.
lim
x!32
cos…x
ln 23x =
•0
0
‚
LP= ¡ lim
x!32
… ¢ sin…x
1
x
= ¡… ¢ lim
x!32
xsin…x = 32…:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
26 Derivace funkce
2.
limx!1 2
x
x3 =
h1
1
i LP
= limx!1 2
x ¢ ln 2
3x2 =
h1
1
i LP
= limx!1 2
x ¢ ln2 2
6x =
=
h1
1
i LP
= limx!1 2
x ¢ ln3 2
6 = 1
V„imn te si, e płi pou it l’Hospitalova pravidla zvlÆ„» derivujeme Łitatele
a zvlÆ„» jmenovatele zlomku. Nederivujeme tedy f=g jako pod l.
Dal„ ŁastØ pł pady limit typø 0¢1; 1¡1 se v t„inou sna me algebraic-
k mi œpravami płevØst na typ 0=0 nebo 1=1:
3.
limx!0
+
3px2 lnx = [0 ¢ (¡1)] = lim
x!0+
lnx
1
3px2
=
•¡1
1
‚
LP= lim
x!0+
1
x
¡23x¡53 =
= ¡32 lim
x!0+
3px2 = 0:
4.
lim
x!2+
1
ln (x¡ 1) ¡
1
x¡ 2
¶
= [1¡1] = lim
x!2+
x¡ 2 ¡ ln (x¡ 1)
(x¡ 2) ln (x¡ 1) =
•0
0
‚
=
LP= lim
x!2+
1 ¡ 1x¡1
x¡2
x¡1 + ln (x¡ 1)
=
•0
0
‚
LP= lim
x!2+
1
(x¡1)2
1
(x¡1)2 +
1
x¡1
= limx!2
+
1
x =
1
2:
5.
lim
x!1
‡
(x¡ 4)e 12¡x ¡x
·
= [1¡1] = lim
x!1
‡
¡4e 12¡x + x(¡1 + e 12¡x )
·
=
= ¡4 + limx!1 ¡1 + e
1
2¡x
1
x
=
•0
0
‚
LP= ¡4 + lim
x!1
1
(2¡x)2e
1
2¡x
¡ 1x2 =
= ¡4 ¡ limx!1
x2
(2 ¡x)2e
1
2¡x
¶
= ¡4 ¡ 1 = ¡5:
pp KomentÆł 2.7.1:
† Je tłeba v dy nejprve ov łit, zda jsou spln ny płedpoklady pro pou it
l’Hospitalova pravidla. StÆvÆ se, e l’Hospitalovo pravidlo je nesprÆvn po-
u ito k v poŁtu limit typu k0, kde k 6= 0; k 2 R: V sledky jsou pak zcela
chybnØ, jak se o tom mø ete płesv dŁit na jednostrannØ limit limx!0+ 1x;
kdy nesprÆvn m pou it m pravidla dostaneme limitu rovnou nule. SprÆvn
v sledek je ov„em 1:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8 Asymptoty grafu funkce 27
† N kdy jsou spln ny płedpoklady pro pou it l’Hospitalova pravidla, ale po-
kus o jeho pou it nevede k c li. Napł klad
limx!1
px2 ¡ 1
x =
h1
1
i
= limx!1
xp
x2¡1
1 =
h1
1
i
= limx!1 1xp
x2¡1
= limx!1
px2 ¡ 1
x :
† Dokonce se mø e stÆt, e limx!x0 f0(x)g0(x) neexistuje a płitom limx!x0 f(x)g(x)
existuje, napł klad pro limx!1 2x+5 sinx3x+4 cosx typu 11 je limx!1 f0(x)g0(x) =
limx!1 2+5 cosx3¡4 sinx a limity Łitatele a jmenovatele neexistuj . Plat v„ak
limx!1 f(x)g(x) = limx!1 2x + 5 sinx3x + 4 cosx = limx!1 2 + 5
sinx
x
3 + 4cosxx =
2
3:
† V n kter ch pł padech vede pou it l’Hospitalova pravidla k limitÆm slo i-
t j„ ch funkc , jak ukazuje pł klad
limx!0
+
e¡1=x2
x =
•0
0
‚
= limx!0
+
2e¡1=x2
x3 :
CviŁen 2.7.3: U it m l’Hospitalova pravidla najd te limity:
1) limx!0 x¡arctgxx3
2) limx!1 x¡1lnx
3) limx!0 ex2¡1cosx¡1
4) limx!1 ln (2+x)42x¡3
2.8 Asymptoty grafu funkce
Pro zakreslen grafø funkc je u iteŁnØ z skat bli „ informace o chovÆn zadan ch
funkc v prstencov ch okol ch problØmov ch bodø , k nim zejmØna patł
1. body x0; pro kterØ je funkce de novÆna alespo v jejich jednostrannØm
prstencovØm okol a je płitom v tomto okol neohraniŁenÆ.
-x
6
y
al ‘ak
x0
f
-x
6
y
x0
-x
6
y
x0
h
2. body nevlastn 1 a ¡1:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
28 Derivace funkce
SvislØ asymptoty grafu funkce
Z kapitoly o limitÆch v me, e informace tohoto typu nÆm poskytuj znalosti
limit (i jednostrann ch) funkc v uveden ch bodech. Płi vy„etłovÆn n kter ch
jednoduch ch limit jsme vychÆzeli ze znÆm ch grafø elementÆrn ch funkc . V me
ji , e napł klad
limx!0
+
1
x = 1; limx!…2¡tg x = 1; limx!…¡ cotg x = ¡1:
UvedenØ funkce maj v pł slu„n ch prstencov ch okol ch nÆsleduj c płibli nØ
grafy:
-x
6
y
0
1
x -
x
6
y
0 …2
-x
6
y
……20
V„imn me si, e napł klad existence nevlastn levostrannØ limity funkce tg v
bod …=2; tj. limx!…2
¡
tg x = 1; vlastn mj. znamenÆ, e funkce tg je v P¡(…=2)
neohraniŁenÆ a e graf funkce tg se neomezen bl ke grafu pł mky o rovnici
x = …=2: Tuto pł mku nazveme svislou (vertikÆln ) asymptotou grafu funkce
f : y = tg x: Odtud se dostÆvÆme k de nici:
De nice 2.8.1: Pł mku o rovnici x = x0; x0 2R; nazveme svislou asymptotou
grafu funkce f v bod x0; jestli e f mÆ v bod x0 alespo jednu jednostrannou
limitu
limx!x
0+
f(x); limx!x
0¡
f(x)
nevlastn .
4
Pł klad 2.8.1: UrŁete svislØ asymptoty grafø funkc
a) f : y = xx¡ 1; b) g : y = xe1=x2:
e„en :
a) Funkce f nen de novÆna v bod x0 = 1: Na zÆklad znamØnka funkce f
a v ty o limit typu a=0 , a 6= 0; dostÆvÆme
-‘a
0
b
1
+ ¡ +znam f(x)
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8 Asymptoty grafu funkce 29
a existuj dokonce ob limity limx!x1+ f(x) = +1; limx!x1¡ f(x) = ¡1 ne-
vlastn . Pł mka x = 1 je tedy svislou asymptotou grafu funkce f v bod 1:
b) Funkce g nen de novÆna v bod x0 = 0: Je jasnØ, e limx!0 1x2 = 1
a limx!0 e1=x2 = 1: DostÆvÆme tedy limitu typu 0 ¢1; co je neurŁit v raz.
Uprav me proto zadanou funkci na tvar
e 1x2
1
x
a odtud
limx!0
+
e 1x2
1
x
=
h1
1
i LP
= limx!0
+
¡ 2x3e 1x2
¡ 1x2 = limx!0+
2e 1x2
x = 1;
lim
x!0¡
e 1x2
1
x
=
• 1
¡1
‚
LP= lim
x!0¡
2e 1x2
x = ¡1:
Pł mka o rovnici x = 0 je svislou asymptotou grafu funkce g v bod 0.
CviŁen 2.8.1: UrŁete svislØ asymptoty grafø funkc
a) f : y = x
2
x2 + 2x; b) g : y = ln
2x + 1
x¡ 3 :
VodorovnØ asymptoty grafu funkce
Analogicky napł. z płibli n ch grafø
- x
6y
0
ex
-x
6
y
…=2
¡…=2
0arctg x
funkc ex; arctg x v me, e limx!¡1ex = 0; limx!1 arctg x = …2: Vid me,
e tentokrÆt dostÆvÆme koneŁnØ limity v nevlastn ch Ł slech. Gra cky mø eme
tuto situaci znÆzornit tak, e napł klad pro funkci arctg se graf funkce op t ne-
omezen bl ke grafu pł mky o rovnici y = …=2; kterou naz vÆme vodorovnou
(horizontÆln ) asymptotou grafu funkce f : y = arctg x:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
30 Derivace funkce
De nice 2.8.2: Pł mku o rovnici y = d; d 2 R; nazveme vodorovnou
(horizontÆln ) asymptotou grafu funkce f v bod 1 (event. v ¡1), jestli e
limx!1f(x) = d; (event. limx!¡1f(x) = d):
4
Pł klad 2.8.2: UrŁete vodorovnØ asymptoty (existuj -li) grafø funkc
a) f : y = 3x¡ 12x + 5; b) g : y = 2 ¡ 3e2x:
e„en :
a) Z teorie limit v me, e
limx!§1 3x¡ 12x + 5 = 32:
Pł mka o rovnici y = 3=2 je tedy vodorovnou asymptotou grafu funkce f v bod
1 i v bod ¡1.
b) limx!1g(x) = ¡1 a proto graf funkce g nemÆ v bod 1 vodorovnou
asymptotu. Pro bod ¡1 dostÆvÆme limx!¡1(2 ¡ 3e2x) = 2 a proto pł mka
y = 2 je horizontÆln asymptotou grafu funkce g v bod ¡1:
CviŁen 2.8.2: UrŁete vodorovnØ asymptoty (existuj -li) grafø funkc
a) f : y = 3x
2
2x(3x¡ 1); b) g : y = arctg
p3x
2 ¡x:
'ikmØ asymptoty grafu funkce
Mø e se v„ak stÆt, e napł klad limita funkce f v nevlastn m bod 1 (nebo ¡1)
je nevlastn , ale płitom existuje pł mka o rovnici y = ax + b; a 6= 0; a;b 2R; k
n se op t graf funkce neomezen bl v n jakØm prstencovØm okol n kterØho
z nevlastn ch bodø. Pak ł kÆme, e lineÆrn funkce g : y = ax + b je „ikmou
asymptotou grafu funkce f v pł slu„nØm nevlastn m bod .
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8 Asymptoty grafu funkce 31
- x
6y
0
-x
6
y
''
''
''
''
''
''
''
'
HH
HH
HH
HH
HH
HH
HH
H
y = f(x)
y = ax + b
De nice 2.8.3: LineÆrn funkci g : y = ax + b; a 6= 0; a;b 2 R; nazveme
„ikmou asymptotou grafu funkce f v bod 1; jestli e
limx!1(f(x) ¡ (ax + b)) = 0:
4
CviŁen 2.8.3: De nujte „ikmou asymptotu grafu funkce f v bod ¡1:
pp KomentÆł 2.8.1: V rovnici „ikmØ asymptoty se vyskytuj dv neznÆmØ
konstanty. Uka me si, jak je mø eme vypoŁ tat. Je-li g asymptotou grafu funkce
f; pak podle de nice plat limx!1(f(x) ¡ (ax + b)) = 0: Proto e limx!1 1x = 0;
pak limx!1(f(x)¡(ax + b)) 1x = 0: Odtud dostÆvÆme limx!1(f(x)x ¡a¡ bx)) = 0
a tedy
limx!1 f(x)x = a:
Ze vztahu limx!1(f(x) ¡ (ax + b)) = 0 dÆle plyne, e
b = limx!1(f(x) ¡ax):
ObrÆcen , jestli e limx!1 f(x)x = a; b = limx!1(f(x) ¡ ax); pak
limx!1(f(x) ¡ax¡b) = 0 a tedy funkce g : y = ax + b je „ikmou asymptotou
grafu funkce f v bod 1:
Plat tedy nÆsleduj c tvrzen .
V ta: Funkce g : y = ax + b; a 6= 0; a;b 2 R; je „ikmou asymptotou grafu
funkce f v bod 1; prÆv tehdy, kdy plat
a = limx!1 f(x)x ; b = limx!1(f(x) ¡ax):
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
32 Derivace funkce
Pł klad 2.8.3: UrŁete „ikmØ asymptoty (existuj -li) ke graføm funkc
a) f : y = x
2
2x¡ 1; b) f : y =
x2 + px2 ¡ 1
x ; c) f : y =
ex
x :
e„en :
a) Proto e mÆme naj t (pokud existuj ) „ikmØ asymptoty, budeme se zab vat
chovÆn m funkce v okol ch nevlastn ch bodø 1 nebo ¡1: Funkce je v okol ch
t chto bodø de novanÆ a mÆ tedy smysl poŁ tat v „e uvedenØ limity. Dostaneme
limx!1 f(x)x = limx!1 x
2
x(2x¡ 1) =
1
2 = a:
DÆle
limx!1(f(x) ¡ax) = limx!1
x2
2x¡ 1 ¡
x
2
¶
= [1¡1] =
= limx!1 2x
2 ¡ 2x2 + x
4x¡ 2 = limx!1
x
4x¡ 2 =
1
4:
Pł mka o rovnici y = 12x+ 14 je tedy „ikmou asymptotou grafu funkce f : y = x22x¡1
v bod 1: Z rozboru poŁ tan ch limit zjist me, e pro nevlastn bod ¡1 obdr me
stejnØ v sledky jako pro bod 1: Pł mka
y = 12x + 14
je proto „ikmou asymptotou grafu funkce f v bodech §1:
b) Nyn ji uvedeme struŁn j„ v poŁty:
limx!¡1 f(x)x = limx!¡1 x
2 + px2 ¡ 1
x2 = limx!¡1

1 +
px2 ¡ 1
x2
¶
=
= lim
x!¡1
ˆ
1 +
r 1
x2 ¡
1
x4
!
= 1 = a;
limx!¡1(f(x) ¡ax) = limx!¡1

x +
px2 ¡ 1
x ¡x
¶
= limx!¡1
px2 ¡ 1
x =
• 1
¡1
‚
=!!
!! = ¡ lim
x!¡1
r
x2 ¡ 1
x2 = ¡ limx!¡1
r
1 ¡ 1x2 = ¡1:
Pł mka y = x¡ 1 je asymptotou grafu funkce f v bod ¡1:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.9 ExtrØmy funkce 33
KomentÆłe:
1. Jsou ŁastØ pokusy łe„it limitu limx!¡1
px2¡1
x u it m l’Hospitalova pra-vidla. Zkuste si sami ov łit, e tento postup nevede k œsp „nØmu v poŁtu.
2. Rovnost limx!¡1
px2¡1
x = ¡limx!¡1
q
x2¡1
x2 płi v poŁtu limity je
dÆna skuteŁnost , e px2 = jxj = ¡x pro x < 0:
Jako cviŁen vypoŁt te „ikmou asymptotu funkce f(x) = x2+
px2¡1
x v bod
1:
c) Proto e limx!¡1f(x) = limx!¡1 exx = 0; mÆ funkce f v bod ¡1 vodo-
rovnou asymptotu y = 0 jako speciÆln pł pad y = 0x + 0 asymptoty „ikmØ.
V nevlastn m bod 1 dostÆvÆme
lim
x!1
f(x) = lim
x!1
ex
x =
h1
1
i LP
= lim
x!1
ex
2x
LP= lim
x!1
ex
2 = 1:
Odtud plyne, e v bod 1 nemÆ funkce „ikmou asymptotu (nebo» konstanty
a;b 2R mus b t koneŁnÆ reÆlnÆ Ł sla).
CviŁen 2.8.4: UrŁete „ikmØ asymptoty (existuj -li) grafø funkc
a) f : y = 2x
3 + 3x2
3x2 ¡ 1 ; b) f : y =
px2 ¡ 1; c) f : y = xln 2x
x + 1:
2.9 ExtrØmy funkce
V mnoha praktick ch œlohÆch je zapotłeb zji„»ovat extremÆln hodnoty pł slu„-
n ch funkŁn ch zÆvislost . Tato problematika je elementÆrn m zÆkladem tzv. op-
timalizaŁn ch œloh, kterØ hraj døle itou roli v aplikac ch matematiky płi łe„en
røzn ch praktick ch problØmø.
C l: ZvlÆdnout problematiku urŁovÆn extrØmø funkc , kterou budeme pou -
vat płi vy„etłovÆn prøb hø funkc .
PotłebnØ znalosti: Um t dobłe derivovat a urŁovat znamØnka funkc , znÆt
de nici derivace a Lagrangeovu v tu.
Nejprve si pop „eme vlastnost funkce rostouc v bod .
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
34 Derivace funkce
De nice 2.9.1: ekneme, e funkce f je rostouc v bod x0; jestli e existuje
okol U(x0) ‰ D(f) takovØ, e
pro libovolnØ x1 < x0; x1 2U(x0) je f(x1) < f(x0)
a pro libovolnØ x2 > x0; x2 2U(x0) je f(x2) > f(x0):
4
CviŁen 2.9.1: Zformulujte si sami vlastnosti: klesaj c , neklesaj c , nerostouc
funkce v bod x0 a płiła te odpov daj c nÆzvy ke zb vaj c m obrÆzkøm.
-x
6
y
funkce rostouc v bod x
0
-x
6
y
-x
6
y
''
' ¡
¡¡
x0 x0 x0
-x
6
y
@
@@
@@
x0
Tyto vlastnosti œzce souvis s hodnotou derivace f0(x0) (pokud existuje). Plat
nÆsleduj c døle itØ tvrzen , kterØ budeme opakovan vyu vat płi zdøvod ovÆn
dal„ ch v sledkø (c lem je mimo jinØ: um t tvrzen odvodit ).
MÆ-li funkce f v bod x0 derivaci f0(x0) > 0; pak je funkce v bod x0 rostouc .
Je tomu tak proto, e z podm nky f0(x0) > 0 dostaneme z de nice deri-
vace, e limx!x0 f(x)¡f(x0)x¡x0 = f0(x0) > 0: Existuje tedy okol P(x0) takovØ,
e f(x) ¡f(x
0)
x¡x0 > 0:
Tato nerovnice bude spln na, pokud bu x¡x0 > 0 a souŁasn f(x)¡f(x0) > 0
nebo x¡x0 < 0 a souŁasn f(x) ¡f(x0) < 0: Kdy x > x0; pak f(x) > f(x0) a
pro x < x0; je f(x) < f(x0): To ale znamenÆ, e funkce f je rostouc v bod x0:
Roz„ ł me uvedenou vlastnost na interval.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.9 ExtrØmy funkce 35
Je