Přednášky

1. přednáška
Úvod do statistiky
poměrně stará věda (evidování válečné kořisti, hospodářských výsledků)
moderní charakteristika spojena s rokem 1900, vedle toho se rozvíjí st. jako věda metodologická, zpracování výsledků ( zevšeobecnění
od 30.let základy matematické statistiky – složitější metody hlavně ve zpracování
40. – 50. léta – rozvoj spojen hlavně s rozvojem výpočetní techniky
zpracovává hlavně kvantitativní povahy
spjata s řadou disciplín – věda metodologická: matematika (rovnice), biologické a technické experimenty . . .
zabývá se hromadnými jevy, které se opakují
je s ní spjata teorie pravděpodobnosti – počet pravděpodobností vytváří určité (statické) modely – popisují jevy založené na náhodě
je to souhrn metod, které na sebe navazují
dělení statistiky
popisná – nejjednodušší – elementární metody sběru a zpracování hromadných údajů
speciální
matematická – ovlivněna teorií pravděpodobnosti
biometrika – zabývá se biologií
inženýrská statistika
ekonomická statistika – mezi metodologickou a teoretickou disciplínou
Základy popisné statistiky
Statistická jednotka (student, podnik, město, vesnice, …)
musí být přesně definována
vlastnosti statistických jednotek jsou statistické znaky:
kvantitativní znaky – čísla ( hmotnost, výška, věk, …)
spojité – používá se na desetinná místa ( pokud použiji číslo celé a jedná se např o l, cm, m, jde stále o spojitý znak)
nespojité – celočíselné hodnoty (počet lidí, počet zkoušek, …)
kvalitativní znaky – znaky povahy slovní – práce s nimi je obtížnější, pokud je to možné, převádím je na znaky kvantitativní
alternativní – nabývají pouze dvou obměn (ano – ne, muž – žena, …)
množné – nabývají více než dvou hodnot (barva vlasů, ano – ne – nevím,…)
Soubor - skládá se ze statistických jednotek (3.ročník = soubor studentů)
základní – obsahuje všechny jednotky
výběrový – obsahuje pouze část jednotek
Statistické zjišťování – získávání stat. údajů o znacích stat. jednotek
různé formy získávání (zjišťování) – výkaznictví, anketa, terénní zjišťování – dotazy,výsledek experimentu, …
výsledkem jsou většinou neuspořádané a nepřehledné údaje
statistické výkaznictví – podniky vyplňují výkazy o činnosti, mzdách – výchozí bod pro statistické zjišťování
Statistické zpracování – různé metody:
třídění – nejjednodušší, (různé formy zpracování – ručně, na PC,…)
dle rozdělení četností
xi
ni
fi %
0
124
1
365
grafem je polygon četností :
n - počet jednotek v souboru
xi – hodnota znaku
ni – absolutní četnost ( kolikrát se znak vyskytl) xifi – relativní četnost [%] fi = ni / n
kumulativní četnosti N1 – absolutní k.č.
Fi -relativní k.č.
itervalové rozdělení – u spojitých znaků!!!
xi
ni
fi
10-14
12
15-19
36
graf je sloupcový - histogram
interval se dá nahradit i středem intervalu
dvoustupňové třídění – podle více znaků – získáme 2-stupňovou tabulku
výpočet charakteristik – soubor zastoupíme čísly a pracujeme dále pouze s těmito čísly
kontingenční tabulky – u znaků kvalitativních (slovních)
korelační tabulky – při hledání závislosti mezi znaky – kvantitativní znaky
2.přednáška
Charakteristiky
zastoupení statistického souboru jedním nebo několika čísly
Polohy – střední hodnoty - vyjadřují střední úroveň hodnoty znaků v souboru
Průměry – jsou počítány ze všech hodnot znaků
Aritmetický průměr – nejběžnější charakteristika
aritmetický průměr prostý

aritmetický průměr vážený
Celkový aritmetický průměr – vypočítáme jako ar.prům. průměru dílčích souborů



Harmonický průměr – průměr převrácených hodnot
- prostý
vážený
Geometrický průměr – je aplikován v časových řadách

- prostý
- vážený
Kvadratický a chronologický průměr
Ostatní střední hodnoty – vybereme určitou hodnotu ze souboru
medián - prostřední hodnota znaků v souboru uspořádaných podle velikosti
modus - hodnota znaku, který se nejčastěji vyskytuje, výpočet z intervalu četností
v případě, že máme v souboru extrémně nízké (vysoké) hodnoty, může být medián a modus vhodnější charakteristika než průměr
Charakteristiky variability (absolutní)
- vyznačují kolísání, proměnlivost st.znaku
- vyjadřují variabilitu ve smyslu odchylek jednotlivých hodnot mezi sebou a jednak ve smyslu odchylek od nějaké střední hodnoty, obvykle průměru
Variační rozpětí – nejjednodušší variabilita
R = xmax - xmin
- vyjadřuje variabilitu pouze ve smyslu odchylek jednot. hodnot mezi sebou
- tato charakteristika je pouze orientační míra variability
Průměrná odchylka – vyjadřuje variabilitu ve dvojím smyslu, je vhodnější

- prostá forma

- vážená forma
Rozptyl – nejdůležitější charakteristika variability

- definiční tvar - prostá forma

- výpočetní tvar - prostá forma

- definiční tvar - vážená forma
- výpočetní tvar - vážená forma

- vyjadřuje variabilitu ve dvou smyslech
- nedostatek: vyjadřuje variabilitu v jednotkách, které jsou (čtvercem) druhou
mocninou původních jednotek

Směrodatná odchylka
Charakteristiky relativní variability
- pomocí nich porovnáváme variabilitu 2 či více souborů
- konstrukce: abs.char.var. porovnáváme k nějaké střední hodnotě
Relativní prům. odchylka
* 100 v %
Variační koeficient – nejdůležitější míra relat. variability
- používáme, chceme-li porovnat variabilitu 2 souborů, snadno je porovnáme ( ,(

*100 v %
3.přednáška
Rozptyl součtu hodnot
s02(x,y) = s02x + s02y + 2sxy
Směrodatná odchylka součinu obou hodnot – kovariance


Rozklad celkového rozptylu – rozložení na rozptyl dílčích průměrů + průměr dílčích rozptylů
-rozptyl dílčích průměrů vyjadřuje meziskupinovou variabilitu, průměr dílčích roz. vyjadřuje variabilitu
uvnitř skupin
- vzorec pro rozklad rozptylu má analytický význam
Kvartylová odchylka
Charakteristika šikmosti – stupeň koncentrace malých a velkých hodnot
Charakteristika alfa
Charakteristika špičatosti – vyjadřují nahuštění hodnot kolem střední hodnoty - průměru
- moc se nepočítají, berou se jako doplňkové
Charakteristika beta
Výběrová zjišťování
základní soubor – obsahuje všechny jednotky
výběrový soubor – část základního souboru, je z něj určitým způsobem vybrán
úplné (vyčerpávající) zjišťování – u základního souboru
neúplné (nevyčerpávající) zjišťování – u výběrového souboru
vztah mezi základním a výběrovým souborem je základní vztah, na němž je založena statistika, jde o určité zevšeobecnění
výběrový soubor by měl být dobrým zástupcem základního souboru
musíme vybrat takové jednotky, které soubor zastupují
důležitý je rozsah výběrového souboru, kolik % základního souboru bude tvořit výběrový soubor
nejméně 30 jednotek, lepší je větší než 100 jednotek, s 10 jednotkami nepracujeme
z 10 000 000 obyvatel zkoumáme 3 000 lidí, nepřesné, děláme odhady
výběrový soubor pořizujeme v prvé řadě, aby nám přinesl informace o celém základním souboru
Druhy zjišťování
anketa
- rozeslání dotazníků institucím, osobám; problém návratnosti ( u nás kolem 13%,v zahraničí je to lepší)
metoda základního masivu
-u souboru, který se skládá z několika velkých jednotek a velkého počtu malých jednotek
- zjišťování pouze u velkých rozhodujících jednotek
-problém u ankety i metody zákl.mas.je zevšeobecnění, chceme odhadnout, jak to je v základním soub.
záměrný výběr
-soubor vybírá znalec dané problematiky, vybere takové jednotky, u nichž předpokládá, že nám dobře zastoupí zákl. soubor
- zevšeobecnění je tady velice obtížné
- snažíme se zlepšit kvalitu výběr. soub. (vybíráme jednotky vlastnostmi blízko průměru
- snažíme se, aby ve výběr.soub.bylo přibližně stejné rozdělení četností jako v zákl.souboru
- na základě záměrného výběru nejde objektivně stanovit odhad – nestanovíme chybu odhadu
náhodný (pravděpodobnostní) výběr
- celý soubor rozdělíme na výběrové jednotky, které jsou zpravidla totožné se stat.jednotkami
- o tom, která jednotka je vybrána rozhoduje pouze náhoda
- vzdáváme se výběru, neovlivňujeme jeho tvorbu
- jsme schopni stanovit kvalitní odhady, s rostoucím rozsahem souboru se zlepšuje kvalita
- při zevšeobecňování používáme teorii pravděpodobnosti

teorie pravděpodobnosti
náhoda - komplex drobných příčin, dokážeme jí modelovat
náhodný pokus – experiment, výrobní postup, lékařský pokus – vše, co je zatíženo určitou nejistotou
náhodný jev – je určen výsledkem náhodného pokusu, může a nemusí nastat při uskutečnění daného komplexu podmínek
- hromadný jev – narození zvířete, vyklíčení semene, telefonický hovor
- vše, co nás obklopuje
- značíme velkými písmeny A,B,C,
A = B jevy jsou si rovny
A ( B sjednocení dvou jevů, realizace alespoň jednoho z jevů
A ( B průnik dvou jevů, součastná realizace obou jevů
A A opačný jev k jevu A
jevy A a B jsou neslučitelné neboli disjunktivní
A aB jestliže výskyt jednoho vylučuje výskyt druhého
jistý jev – uskuteční se za komplexu podmínek (východ Slunce)
jev nemožný – nemůže nikdy nastat
- základní jevy se odlišují objektivní možností své realizace
klasická definice pravděpodobnosti – nejjednodušší
P(A) = m/nn – počet případů všech možných
m – počet případů příznivých jevu A kostka – že padne 6 ( P = 1/6
statistická definice pravděpodobnosti –
m/n – relativní četnost výskytu, závisí na počtu pokusů
- podmínkou použití je statistická stabilita relativních četností
- s rostoucím počtem pokusů se blížíme k pravděpodobnosti
axiometická definice pravděpodobnosti
- každému náhodnému jevu je přirozená určitá pravděpodobnost jako nezáporné číslo od 0 – 1
- jev jistý = 1 jev nemožný = 0

vlastnosti pravděpodobnosti
pravděpodobnost jevu opačného

pravděpodobnost sjednocení 2 jevů

podmíněná pravděpodobnost

věta o násobení pravděpodobnosti
4.přednáška
( Nezávislý jev
- pokud jsou jevy na sobě nezávislé, nelze stanovit jejich podmíněnou pravděpodobnost
- u nezávislých jevů bude pravděpodobnost průniku rovna součinu průniku jejich pravděpodobností
- základní kámen počtu pravděpodobností
( Náhodná veličina
- kvantitativní charakteristika číselná
- má vztah k náhodným jevům, výpočet náhodných veličin X,Y,Z
- je to proměnná, která nabývá různých hodnot v závislosti na náhodě X = (x1,x2,…,xn)
- 2 typy náhodných veličin:
diskrétní NV – nabývá celočíselných obměn a množina těchto obměn je spočetná (počet dětí v rodině, počet zkoušek)
spojitá NV – nabývá hodnot z určitého spojitého intervalu, obměny jsou vyjádřeny desetinným číslem (roční dojivost)
- abychom plně charakterizovali NV je nutno znát nejen všechny hodnoty, kterých nabývá, ale též pravděpodobnost, s jakou se při velkém počtu pokusů vyskytuje
zákon rozdělení náhodné veličiny
- charakterizuje výsledek náhodného pokusu kvantitativně (číselně)
- každý předpis, který určuje vztah mezi možnými hodnotami náhodné veličiny a pravděpodobností jejich výskytu
- má 3 formy:
řada (tabulka) rozdělení pravděpodobností – používá se pouze u diskrétních NV
- má podobu tabulky rozdělení pravděpodobností

xi
x1
x2…xn
pi
p1
p2…pn

( pi = 1, grafem polygon
distribuční funkce F(x) – používá se pro spojité i diskrétní NV
- univerzální zákon o rozdělení
F(x) = P (X( x) x(R
- 5 základních vlastností
F(X) ( (0,1(
F(-() = P (X( -() = 0 jev nemožný
F((() = P (X( +() = 1 jev jistý
je to f-ce neklesající
x1( x2 ( F(x1) ( F(x2)
P(x1( X( x2) = F(x2) – F(x1)
je f-ce spojitá zleva
- grafem je schodovitá čára u diskrétních NV nebo spojitá f-ce u spojitých NV
hustota pravděpodobnosti f(x) – používá se pro spojité NV
f(x) = F´(x) plocha pod f-cí


-3 vlastnosti
f(x) ( 0
P(x1( X( x2) =
číselné charakteristiky náhodné veličiny
- uvedené formy Zákona rozdělení NV nám udávají sice úplnou informaci o daném rozdělení, avšak tato informace bývá nepřehledná, proto se při výpočtech využívají tzv. číselné charakteristiky náhodné veličiny
- udávají v koncentrované podobě základní rysy a vlastnosti rozdělení NV
- člení se na:
charakteristiky polohy – reprezentují střed rozdělení, kolem kterého kolísají při opakovaném náhodném pokusu hodnoty náhodné veličiny
- E(X) - střední hodnota
- diskrétní NV
- spojité NV
charakteristiky variability – udávají, jak se jednotlivé hodnoty NV rozptylují kolem průměru
- D(X) - rozptyl náhodné veličiny
D(X) = [X – E(X)]2 definiční tvar
D(X) = E(X2) – [E(X)]2 výpočetní tvar

diskrétní NV

-
spojité NV
- ((X) – směrodatná odchylka „( - sygma“
rozdělení náhodných veličin – diskrétních
alternativní rozdělení A(p)
- diskrétní náhodná veličina X nabývá pouze 2 obměn: x1 = 1, x2 = 0
xi
1
0
pi
p
1 - p
E(X) = p
D(X) = p – q q = 1 – p
(pi = 1
binomické rozdělení Bi[n,p]
- mějme sérii n nezávislých pokusů při nichž jev A může nastat s pravděpodobností p
(a nenastane s pravděpodobností 1 – p)
- Bernoulliho schéma

i = 0,1,2,…,n obměny náhodné veličiny X n = 1,2,3,…, počet pokusů
E(X) = n*p
D(X) = n*p(1 – p)n – 1
poissonovo rozdělení P0(X( = (n*p(
- jestliže počet pokusů v Bernoulliho schématu je velký (n(() a pravděpodobnost, že
nastane jev A je malá (p((), přičemž součin p*n je konstantní, pak se náhodná
veličina X řídí poissonovým rozdělením s parametrem ( (( = p*n)
((0 i = 0,1,2,…,n
n – počet pokusů
n(( F(X) = (, D(X) = ( ( E(X) = D(X)
hypergeometrické rozdělení H(N,M,n(
- mějme N libovolných prvků z nichž M má jistou vlastnost V. Ze souboru N
vybereme n prvků tak, že vybrané prvky nevracíme zpět (výběr bez vracení –
opakování), pak náhodná veličina X má hypergeometrické rozdělení s par.N,M,n
rozdělení náhodných veličin – spojitých
normální rozdělení – nejdůležitější
- významný pravděpodobnostní model spojitých náhodných veličin (v technice, ek.)
- říkáme, že náhodná veličina X má normální rozdělení, jestliže její stř. hodnota
E(X) = ((m´) a rozptyl D(X) = (2 ((R (2( 0
( - střední hodnota – průměr (2 - rozptyl
f(x)
- grafem hustoty pravděpodobností je Gaussova křivka (=4, (=1
- zvonovitá symetrická křivka, (=0,5 (=2
která nabývá max. v bodě x = (
- je symetrická kolem stř.hodnoty
obecné normální rozdělení
X …… N((, (2) – zcela libovolné parametry (, (2
normované normální rodělení.
U…… N(0,1)
- pro praktické výpočty byly sestaveny tabulky distribuční f-ce nor. nor. roz.
- převod náhodné veličiny X s normálním rozdělením N((, (2) ( převod U s normo.
normálním rozdělením
(=0 posun (=4
pravidlo 3(: P((-( ( X ( (+() = 2F(1) – 1 = 0,68268 P((-2( ( X ( (+2() = 2F(2) – 1 = 0,95450
P((-3( ( X ( (+3() = 2F(3) – 1 = 0,99730
Pearsonovo (2 rozdělení – „chí kvadrát“
- nechť V1,V2,…,Vn jsou nezávislé náhodné veličiny s rozdělením N(0,1). Součet
jejich čtverců, označený (2 = U12+U22+…+Un2
představuje náhodnou veličinu, jež zní tzv. (2 rozdělení o n stupních volnosti
- f - počet stupňů volnosti, je jediným parametrem tohoto rozdělení a představuje
počet nezávislých sčítanců ve výrazu (2
Studentovo t rozdělení
- pro praktické účely byly tabelovány kritické hodnoty t(n, kde ( je hladina
významnosti (( = 0,05, ( = 0,01) a n počet stupňů volnosti
F rozdělení – Fischer – Schnedecorovo)
- v praxi se používají tabulky kritických hodnot F(n1,n2, kde ( je hladina význm.
a n1,n2 jsou stupně volnosti

exponenciální rozdělení
rovnoměrné rozdělení
5.přednáška
Náhodný (pravděpodobnostní) výběr
celý soubor rozdělíme na výběrové jednotky, které jsou zpravidla totožné se statistickými jednotkami
hlavní přednost: dokážeme dělat odhady, dokážeme stanovit i chybu odhadu
je důležitá příprava výběru, formulujeme problém, proč výběr provádíme
důležité je určení rozsahu výběru – snaha o co nejmenší kvůli nákladům, ale kvůli kvalitě je lepší větší
dělení výběru
výběr se stejnými pravděpodobnostmi – prostý –nejjednodušší – všechny jednotky mají stejnou pravděpodobnost vybrání do základního souboru
výběr s nestejnými pravděpodobnostmi – různé skupiny jednotek mají různou pravd.vybrání, každá jednotka má jinou pravděpodobnost vybrání
možnosti výběru:
s vrácením (s opakováním) – jednodušší – jednotku po vybrání vrátíme zpět, pravd. vybrání v dalším tahu je stále stejná
- výhoda – základní soubor je pořád stejně veliký
- nevýhoda – jednotka se do výběru může dostat víckrát
bez vrácení (bez opakování) – jednotky po výběru nevracíme zpět, jednotku nemohu vybrat víckrát, rozsah základního souboru se zmenšuje, pravd. vybrání pro ostatní jednotky se zmenšuje
- když vybírám velmi malý soubor z velkého souboru je možné zaměnit možnosti výběru
techniky výběru – je zaručena náhodnost
losování soubor lístků = opora výběru
použití tabulek náhodných čísel nebo generátor náhodných čísel
mechanický (systematický) výběr – každá n-tá jednotka z náhodně uspořádané posloupnosti – nejjednod.
speciál