Přednášky

ní typy výběru
vícestupňový výběr – např. výběrem bude soubor studentů – nejdříve vybírám město, pak školu, pak fakultu, pak třídu, nakonec studenty - 5-ti stupňový výběr
oblastní výběr – 2stupňový – je typem vícestupňového výběru
1.st. – náhodně vybíráme oblasti
2.st. – v oblastech vybíráme náhodně jednotky
Charakteristiky základního a výběrového souboru
- výběrový soubor tvoří n nezávislých pozorování x1,x2,……xn
veškeré informace o výběrovém souboru získáme ze známého základního souboru, který je popsán charakteristikami
výběrový soubor se snažíme popsat výběrovými charakteristikami a hledáme souvislosti mezi výběrovými charakteristikami a charakteristikami základního souboru

základní soubor
výběrový soubor
rozsah
N
n
jednotka
Xi
xi
absolutní četnost
Ni
ni
relativní četnost
Fi
fi
průměr
rozptyl
směrodatná odchylka
variační koeficient
Soubor výběrových průměrů – teoretická veličina
ze základního souboru bychom vybrali všechny teoreticky možné výběrové soubory – těch ( mnoho, v každém výběrovém souboru bychom vypočítali výběrový průměr. Tyto průměry by nám vytvořili soubor výběrových průměrů
střední hodnota výběrového souboru
rozptyl souboru výběrových průměrů - s vrácením

rozptyl souboru výběrových průměrů - bez vrácení
Závislosti mezi základním a výběrovým souborem – typy rozdělení
výběr z normálně rozděleného základního souboru
- rozdělení souboru výběrových průměrů budeme považovat také za normální
- normovaná rozdělená náhodná veličina
řídí se norm.norm.rozdělením N=(0,1)

- v řadě praktických problémů nebudeme znát (2, nahrazujeme ho tedy výběr. rozptylem
tato veličina se řídí t-rozdělením (studentovo)
je-li n ( 100, pak rozdělení této veličiny
lze nahradit rozdělením normálním
výběr velkého rozsahu z libovolně rozděleného základního souboru (rozdělení zákl. souboru neznáme)
- výběr velkého rozsahu: min. n ( 50, lepší je n ( 100
- rozdělení souboru výběrových průměru je možno nahradit rozdělením normálním
- veličina ke konstrukci odhadu, při velkém rozsahu se také řídí rozdělením normálním
Základní princip výběrových odhadů
statistická indukce – zevšeobecnění – pořídíme výběrový soubor, vypočítáme výběrové charakteristiky a na jejich základě odhadujeme neznámé charakteristiky základního souboru
2 způsoby odhadu:
bodový – jednodušší
- vybereme jednu hodnotu z výběrového souboru a ta nám nahradí neznámou charakteristiku základního souboru
- např. neznámou T základního souboru odhaduji pomocí t výběrového souboru T(t
((x, x, x
- požadavky pro co nejkvalitnější bodový odhad:
požadavek nestrannosti – použitá charakteristika by neměla podhodnocovat, ani nadhodnocovat
E(t) = T - splněno, jestliže se střední hodnota t rovná odhadované char. T
- odchylky se nám eliminují
- vychýlenost s rostoucím rozsahem výběru mizí, proto ho můžeme zanedbat
konzistence – odhad je konzistentní, když se s rostoucím rozsahem výběru zvětšuje pravděpodobnost, že odhad dá hodnotu blízkou odhadované charakteristice
vydatnosti – nejvydatnější bude odhad, který má nejmenší rozptyl
postačujícího odhadu – pokud splňuje všechny informace o charakteristice základního souboru, které poskytuje výběrový soubor
- ale – nejsme schopni určit chybu odhadu, proto používáme intervalový odhad
(( x E(x) = ( - jsou splněny požadavky bodového odhadu
(2( s02 nesplňuje požadavek nestrannosti, systematicky podhodnocuje rozptyl základního souboru
(2( s2 s2 – odhad rozptylu základního souboru
je-li n ( 100 – rozptyl je nevýznamný

výběr s vrácením

výběr bez vrácení
mám-li k dispozici (
((s0 nesplňuje požadavek nestrannosti a podhodnocuje
((s
V(vnesplňuje požadavek nestrannosti
V(v´
6.přednáška
intervalový
- jako odhad používám dvě hodnoty – t1,t2 – ty nám vymezí interval spolehlivosti, ve kterém bude ležet neznámá hodnota základního souboru
- P(t1( T( t2) = 1- ( 1- ( - koeficient spolehlivosti
- interval spolehlivosti 100 *(1- ()%
- ( musí být malé číslo, ( = 0,05( 95%, ( = 0,01( 99%, ale snižujeme-li ( ne např. 0,0001 rozšiřujeme tím interval, což už není tak dobré
- obvykle pracujeme s intervaly symetrickými, ale existují i nesymetrické
- dvoustranný int. spolehlivosti P(t1( T( t2) = 1- (
jednostranný int. spolehlivosti P(T ( t2) = 1- ( - pravostranný
P(t1 ( T) = 1- ( - levostranný
- spolehlivost odhadu – pravděpodobnost, se kterou bude neznámá charakteristika zákl.souboru ležet ve vymezeném intervalu
- přesnost odhadu – maximální možná chyba, které se při odhadu s danou spolehlivostí můžeme dopustit
konstrukce intervalu spolehlivosti pro neznámý průměr základního souboru- (
- nejdůležitější charakteristikou je průměr základního souboru - (
výběr z normálně rozděleného základního souboru
výběr velkého rozsahu – z libovolně rozděleného základního souboru
– řídí se normovaným normálním rozdělením


P( -U(( U( U() = 1- ( ( ( (

- dvoustranný interval spolehlivosti pro neznámý průměr základního souboru
- levostranný interval spolehlivosti

- pravostranný interval spolehlivosti
ve většině praktických úloh nebudeme znát (2 (rozptyl ZS) a budeme ho nahrazovat jeho nestranným odhadem, hodnoty nalezneme v kritických hodnotách – tabulka t-rozdělení
- řídí se studentovým t-rozdělením
P( -t(( t ( t() = 1- ( ( dvoustranný symetrický interval
levostranný interval t´- kritická hodnota t
je-li n ( 100, nahrazujeme t((U(
uvedené intervaly pokrývají s pravděpodobností 1- ( neznámý průměr ( základního souboru
( = 0,05 ( U0,05 = 1,96 2( = 2*0,05 U0,1 = 1,64
( = 0,01 ( U0,01 = 2,58 2( = 2*0,01 U0,02 = 2,32
směrodatná odchylka souboru výběrových průměrů (x =


vymezení intervalu spolehlivosti
x ( (( - delta – přípustná chyba odhadu, vymezuje nám interval spolehlivosti a tvoří nám
polovinu šířky intervalu

vzorec pro výpočet přípustné chyby - ( - použití ke 3 druhům výpočtů
ke stanovení šířky intervalu spolehlivosti
x ( (
ke stanovení nutného rozsahu výběrového souboru

( ( (
stanovíme nutný rozsah výběrového souboru při určení spolehlivosti a při určení požadované chyby
ke stanovení spolehlivosti odhadů

(
- uvedené vzorce platí pro případ výběrů s vrácením nebo tam, kde je možno rozdíl mezi oběma způsoby výběru zanedbat
- pro případ výběrů bez vrácení musíme vzorce upravit (vzorce přípustné chyby) konečnostním násobitelem
( 1 , zužuje nám interval spolehlivosti
- význam použití konečného násobitele tam, kde výběrový soubor tvoří značnou část zákl.soub.
interval spolehlivosti lze spočítat i na základě znalosti variačního koeficientu
(´ - relativní přípustná chyba V – variační koef. základního souboru
v´ - nestranný odhad var. koef. základního souboru - s vrácením
- bez vrácení

interval spolehlivosti pro neznámý rozptyl zákl. souboru - (2
- při jeho konstrukci se omezíme na předpoklad výběru z normálně rozděleného souboru
- řídí se (2 - rozdělením
P( -c1( R ( c2) = 1- ( ( v tab. (2 – rozdělení najdeme hodnoty –c1, c2
ty nám vymezí int. spolehlivosti

dvoustranný nesymetrický interval spolehlivosti pro neznámý
rozptyl základního souboru


levostranný interval


interval spolehlivosti pro neznámou směrodatnou odchylku zákl. souboru - (
dvoustranný nesymetrický interval spolehlivosti
interval spolehlivosti pro relativní četnost zákl. souboru- Fi
n ( 100
- konstrukce intervalu spolehlivosti vychází z binomického rozdělení v případě s vrácením
- v případě výběru bez vrácení z hypergeometrického rozdělení
- výpočet je složitý, prováděn pomocí vzorců – v praxi používáme tabulek pro relativní četnosti – lze přímo odečíst meze intervalu spolehlivosti
n ( 100
- můžeme provést normální aproximaci a konstrukci budeme opírat o tuto veličinu:
- řídí se normálním rozdělením
( (
dvoustranný symetrický int.spol.
pro neznámou rel.četnost ZS
levostranný interval
fi ( ( s opakováním

bez opakováni
jednoznačně budeme dávat přednost intervalovým odhadům před bodovými
int.odhady dokážeme stanovit s různou pravděpodobností, nejznámější 99%, 95%, někdy i 90%
7. přednáška
intervaly spolehlivosti pro rozdíl dvou charakteristik
rozdíl průměrů VZ
při nahrazení (2 nestranným odhadem
- tento interval spolehlivosti platí pro případ nezávislých výběrů
- my ale často používáme i závislé výběry - párové
- výsledky párových výběrů tvoří logické páry (např.výběr studentů a zkoumání jejich studijních výsledků v zimním a letním semestru)
VZ
xi1
xi2
di=(xi1- xi2)
di-d
Nový
1,9
2,4
-0,5
Černá
1,6
1,4
0,2
Dvořák
2,6
2,9
-0,4
- interval spolehlivosti
- pro párové výběry dostáváme interval užší
rozdíl relativních četností VZ
TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ
( pracujeme se statistickými hypotézami – určitý předpoklad o parametrech nebo tvaru rozdělení ZS
hypotézy se týkají: ( shody dvou či více parametrů stejného druhu
( shody výběrové charakteristiky a charakteristiky ZS
( shody empirického a teoretického rozdělení
( extrémních hodnot mezi jednotkami souboru
( je to proces, při kterém ověřujeme, zda předem vyslovená hypotéza platí pod vlivem provedených pozorování
( hypotézy jsou: ( parametrické – týkají se parametru ZS
( neparametrické – nemají nic společného s parametry
( H0 – hypotéza nulová - předem vyslovená hypotéza – není rozdíl mezi parametrem, typem rozdílu
( A – hypotéza alternativní – aby mělo testování smysl, stojí proti H0, může být formulována více způsoby
H0: T = T0 ( A : T = T1 - jednoduchá alternativní hypotéza
A : T ( T0 - dvoustranná složená alternativní hypotéza
A : T ( T0 - pravostranná složená alternativní hypotéza
A : T ( T0 - levostranná složená alternativní hypotéza
- volbou alternativních hypotéz je určen způsob testování
- použijeme-li dvoustrannou ( dvoustranný test
- jaký test použijeme záleží na praktickém zadání
( chyby při rozhodování mezi alternativními a nulovými hypotézami
skutečnost
úsudek
H0 je pravdivé
H0 je nepravdivé
nezamítá se
správné rozhodnutí
1 - (
chyba 2. druhu
(

zamítá se
chyba 1. druhu
(
správné rozhodnutí
1- (
- můžeme se tedy dopustit dvou chyb
- (, ( - pravděpodobnosti chyb – chceme co nejmenší
- snižuje-li se pravděpodobnost chyby 1. druhu, zvyšuje se pravděpodobnost chyby 2. druhu
- ve standardních postupech volíme ( = 0,05 nebo ( = 0,01 (5%, 1% riziko)
- 1- ( - síla testu – schopnost testu zamítnout nepravdivou nulovou hypotézu
Testování
( celý postup testování vychází z následující úvahy:
- celý výběrový prostor S  rozdělíme na obor přijetí P
kritický obor K
- je-li výsledek v oboru přijetí ( H0 zůstává v platnosti
- je-li výsledek v kritickém oboru ( H0 zamítáme
- princip je založen na tom, že K je ve srovnání s P velmi malý. Padne-li výsledek do K, je nepravděpodobné, že se dopustíme chyby
K P K ( u dvoustranného testu
u jednostranného testu ( P K
( postupujeme tak, že z VS vypočítáme testovací kritérium t
každé t se řídí nějakým zákonem rozdělení ( v tabulkách najdeme hodnotu t( a porovnáme ji s t
t ( t( ( zamítáme H0 ve prospěch A
t ( t( ( nelze zamítnout H0
t = t( ( nemůžeme učinit žádné rozhodnutí – volíme jiný test
pokud se t blíží t( ( váháme s rozhodnutím, je riziko chyby
( testy jsou ( parametrické – při používání těchto testů používáme obecný postup
( neparametrické
Parametrické testy
( obecný postup – rozdělen do 8 bodů
- výběr vhodného standardního testu
- formulace nulové hypotézy
- formulace alternativní hypotézy (volbou určen i způsob testování)
- volba hladiny významnosti (
- výpočet testovacího kritéria z hodnot výběru
- vyhledání příslušné kritické hodnoty v tabulkách
- porovnání hodnoty testovacího kritéria a hodnoty v tabulkách
- zhodnocení a interpretace výsledků – zamítnutí nebo přijetí H0, odpověď na otázku testu
( dělení parametrických testů:
( jednovýběrové
( dvouvýběrové
( vícevýběrové
Jednovýběrové testy - pracujeme s jedním výběrovým souborem
( test o rozdílu výběrového průměru a předpokládané hodnoty průměru ZS
- např.: V obchodě jsou krájené sýry v balíčku po 100g, lidé si stěžují, že je méně sýra( kontrola 100 balíčků ( zjištěna průměrná hmotnost 95 g ( automat je špatný. Ale rozdíl může být náhodný, protože bylo kontrolováno jen 100 balíčků ( ??? je rozdíl náhodný ???
- postup řešení:
* formulujeme H0: ( = (0
* předpokládáme, že máme k dispozici náhodný výběr o rozsahu n , který pochází ze ZS s normálním rozdělením
* testovací kritérium - řídí se normovaným normálním rozdělením

* najdeme U( v tabulkách a porovnáme s U
(U (( U( - zamítáme H0 ( A: ( ( (0 - vyhodnocení jako dvoustranný test
U ( U2( - zamítáme H0 ( A: ( ( (0 - jednostranný test
U (-U2( - zamítáme H0 ( A: ( ( (0 - jednostranný test
- náš problém se sýrem bychom řešily jako jednostranný test, prokazujeme A: ( ( (0
( v řadě praktických problémů nebudeme znát (2 a budeme ho nahrazovat nestranným odhadem
VZ - řídí se t rozdělením
* najdeme t( v tabulkách a porovnáme s t
(t (( t( - zamítáme H0 ( A: ( ( (0 - vyhodnocení jako dvoustranný test
… … …
- neznáme-li rozdělení ZS (je libovolné) – můžeme použít stejné testovací kritérium pokud n ( 50
8.přednáška – odpadla
9.přednáška - odpadla
10.přednáška
test o hodnotě rozptylu základního souboru – test hypotézy o rozptylu
- ZS se řídí normálním rozdělením
- používá se, když testujeme přesnost, spolehlivost, jaké jsou stavy – v oblasti měření jakosti podniků
- formulujeme H0 :(2 = (02 (02 - předpokládaná hodnota rozptylu ZS
- testovací kritérium řídí se (2 rozdělením
(2 ( ((/22 (n-1) ( zamítáme H0 ( A: (2 ( (02 ???
(2 ( ((2 (n-1) ( A: (2 ( (02
nevýhodou testu je, že je velmi citlivý na odchylky od normálního rozdělení
test o hodnotě relativní četnosti
VS ze ZS s alternativním rozdělením
H0: F =F0
ve výběrovém souboru odhadujeme relativní četnost m/n
testovací kritérium - řídí se normálním rozdělením
test lze použít pouze za předpokladu n( 50
(U (( U( - zamítáme H0 ( A: F ( F0
Dvouvýběrové testy - jsou nejčastěji využívány, testování mezi dvěma VS, vychází z experimentů
test o shodě rozptylů ve 2 souborech – F- test
předpokládáme, že máme dva nezávislé náhodné VS, první má rozsah m, druhý n
tyto soubory byly pořízeny ze ZS s normálním rozdělením
H0 :(12 = (22 - není rozdílu v rozptylech obou souborů
testovací kritérium větší rozptyl se dává do čitatele (podíl odhadů rozptylů ZS)
- výhradně se používá pravostranná alternativa
F ( F(((m-1) (n-1)) ( A: (12 ( (22
F-test bude úzce souviset s dalšími testy – bude sloužit k ověřování splnění předpokladů
test o shodě průměrů ve 2 souborech – t- test
je nejvyužívanějším testem s rozsáhlým uplatněním
VS s rozsahy m,n ze ZS s normálním rozdělením
pomocí tohoto testu budeme testovat hypotézu
H0: (1 = (2 - není rozdílu v průměrech obou souborů
testovací kritérium - řídí se normálním rozdělením
- x – průměr 1.souboru, y – průměr druhého souboru
(U (( U( ( A: (1 ( (2 - dvoustranná alternativa
U ( U2( ( A: (1 ( (2 - pravostranná alternativa
U ( - U2( ( A: (1 ( (2 - levostranná alternativa
předpokladem je, že známe rozptyly ZS
( v řadě praktických problémů nebudeme znát (2 a budeme ho nahrazovat nestranným odhadem
před provedením t-testu musíme F-testem zjistit, zda rozptyly jsou
( rovné (12 = (22
( různé (12 ( (22
poté testujeme hypotézu H0: (1 = (2
je-li (12 = (22 ( testovací kritérium - řídí se t-rozdělením studentovým
s = společná směrodatná odchylka
(t (( t((m+n-2) ( A: (1 ( (2
t ( t(´(m+n-2) ( A: (1 ( (2
t ( -t(´(m+n-2)( A: (1 ( (2
- je-