Přednášky

li (12 ( (22 ( testovací kritérium - řídí se t-rozdělením studentovým

s12, s22 = nestranné odhady rozptylů
- musím vypočítat přepočtenou tabulkovou hodnotu t(*
(t (( t(* ( A: (1 ( (2
- Berens – Fisherův problém
- v praxi tuto metodu moc nepoužíváme ( může to ale vést ke sporným výsledkům
( důležitou podmínkou je podmínka normality – v řadě případů nebude splněna ( rozdělení ZS bude jiné než normální nebo ho nebudeme znát
H0: (1 = (2
ověřování - řídí se normálním rozdělením, ale test můžeme provést jen, pokud m,n ( 30
(U (( U( ( A: (1 ( (2
( předpokládáme, že máme 2 závislé VS
ZS s normálním rozdělením, získané hodnoty tvoří logické páry
H0: (1 = (2
testovací kritérium - řídí se t-rozdělením
- sd2- rozptyl diferencí
di = xi1 – xi2

rozsah obou souborů musí být n
(t (( t((n-1) ( A: (1 ( (2
je-li rozsah VS n ( 50 , můžeme použít stejné testovací kritérium s normálním rozdělením ( i v případě, že nebudeme znát rozdělení ZS nebo bude libovolné
11.přednáška
test o rozdílu dvou relativních četností
máme 2 VS o rozsazích n1 a n2, které pocházejí ze ZS s alternativním rozdělením
H0 : F1=F2 .- není rozdílu v rel. četnostech
test lze provést pouze je-li n1 a n2 ( 100, řídí se rozdělením normálním
test. kritérium m1,m2 – výskyt jevu v 1.a 2. souboru
P – pomocná veličina
- v tabulkách nalezneme U( U ( U( ( H0 na ( zamítáme ve prospěch dvoustranné A: F1( F2
Vícevýběrové testy
mám k dispozici více než 2 nezávislé VS
lze vyhodnotit i pomocí t-testu, pak porovnávám každý s každým
nedostatky: zdlouhavý
výsledek zkreslen, protože hodnotíme vždy dvojice
testy o rozdílu více než dvou výběrových rozptylů
máme k nezávislých, náhodných VS, k ( 2, soubory pocházejí ze ZS s normálním rozdělením, rozsahy jsou n1, n2,…nk
H0 :(12 = (22 =(32 =……= (k2
Bartletův test:
- test. kritérium B = 1/C ((N-k) ln s2 - ( (ni – 1)ln si2 ) C =
- celk. rozsah N = n1+ n2+…+nk
- celk. rozptyl s2 = 1/ (N – k) * ( (ni – 1)si2
si2- nestranné odhady rozptylů jednotlivých souborů
- hodnotu B porovnáváme s tab. hodnotou (2 rozděleném
- B ( ((2 (k-1) ( H0 na ( ve prospěch A, která říká, že alespoň2 rozptyly jsou různé
- Bartletův test poskytuje velmi přesné výsledky, je velmi citlivý na porušení normality rozdělení
Cochranův test
- v případě, že máme stejné rozsahy VS, n1 = n2=…=nk
- je jednodušší než Bar.
- test. kritérium G = s2max / (si2 + s22 + …+ sk2) největší z rozptylů/součet ost.rozpt.
- k tomuto testu existují speciální tabulky ( najdeme G( a G s ní porovnáme
- G ( G((k,n-1) ( zamítáme H0, A: alespoň 2 z rozptylů jsou různé
Hartleyův test
- méně přesný, pro soubory se stejnými i různými rozsahy
- Fmax = s2max / s2mun řídí se F rozdělením (rozdělení spojité náhodné veličiny)
- Fmax porovnáváme s F(
- Fmax ( F((k,n-1) ( zamítáme H0
- síla testu – schopnost testu zamítnout nesprávnou H0, tento test má menší sílu
test o shodě více než dvou rel. četností
máme k nezávislých výběrových souborů, k ( 2, které pocházejí ze ZS s alternativním rozdělením
H0 : F1=F2 =F3=…=Fk není rozdílu v relativních četnostech
testovací kritérium P – výb. rel. čet. = m/n
mi – podíl prvků se sledovanou vlast.v i-tém výběru

- G se řídí (2 rozděleném G ( ((2 (k-1) ( H0 na (
test o rozdílu více než 2 výběrových průměrů – analýza rozptylů
je to zobecnění t-testu na více než 2 VS
AR spočívá v rozkladu výběr. rozptylu na několik částí, které jsou příslušné jednotlivým uvažovaným zdrojům variability
AR vymyšlena pro potřeby zemědělského pokusnictví, autor Fischer (USA)
AR umožňuje hodnotit tyto pokusy, přehledně uspořádává podklady
metody na zakládání polních prací ( metoda zakládání bloků, met. latinského čtverce, met. lat. obd.)
AR má přísné omezující podmínky, porušení způsobuje špatné výsledky
podmínky: normalita rozdělení ZS ze kterého jsou pořízeny VS
shoda rozptylů (ověřujeme Bartletovým testem)
úskalí klasického přístupu: - máme-li malý VS ( vede to často k mylnému přijetí H0
- u velmi velkých výběrů ( chybně zamítáme H0, protože ve velkém výběru se sníží sm. odchylka a i velmi malý rozdíl je rozlišitelný
- moderní přístupy – k testování hypotéz se používají int. spolehlivosti ( každá hypotéza, která leží vně intervalu je nepravděpodobná a zamítá se. Každá hyp. ,která leží uvnitř int. se přijímá, interval spolehlivosti chápeme jako množinu přijatelných hypotéz
- ověřuje se, jak je H0 podporována zjištěnými údaji. Počítá se P- hodnota – pravděpodobnost, že výběrová charakteristika bude alespoň tak velká jako skutečně zjišťovaná hodnota a to za předpokladu, že H0 je pravdivá
- test. kri. neporovnáme s tab.hodnotou, ale porovnáváme P s (
P( ( ( zamítáme H0
P ( ( ( nelze zamítnout H0
12.přednáška
Analýza rozptylu – „ANOVA“ –analysys of Variance
Základní pojmy a typy matematických modelů
- speciálně vypracované pro účely zemědělského pokusnictví
( obecná statistická metoda pro všechny vědní obory
( technika pro zakládání a vyhodnocování experimentů
- je zobecněním t-testu na více než 2 VS
H0: (1 = (2 ( u t-testu)
H0: (1 = (2 = (3 =……= (m (analýza rozptylu)
- zkoumá vliv jednoho či více faktorů na výsledný znak kvantitativní. Každý faktor je uvažován na několika úrovních. Úroveň faktoru je buď určitá hodnota kvantitativního znaku nebo určitá varianta kvalitativního znaku
- např. kvalitativní faktor – dosažené vzdělání (ZŠ, SŠ, VŠ), barva
- kvantitativní faktor – množství hnojiva, krmné dávky
- každá úroveň faktoru představuje 1 výběrový soubor. Podle počtu faktorů se člení analýza rozptylu:
( AR jednoduchého třídění (zkoumá vliv jednoho faktoru na zn. kvantitativní)
( AR dvojného třídění (zkoumá vliv dvou faktorů)
( AR trojného třídění
- úroveň sledovaných faktorů má různý charakter:
( jsou-li úrovně faktoru pevně fixovány (např. způsob hnojení, způsob obdělávání)
- jedná se o model AR s pevnými efekty
( jsou-li úrovně faktoru náhodně vybrány z velkého počtu možných úrovní (výběr studentů při zjišťování názorů na něco)
- model AR s náhodnými efekty
analýza rozptylu jednoduchého třídění
- máme výsledky pokusu roztříděné podle jednoho faktoru „A“
- úroveň těchto faktorů je A1,A2,……Am
- budeme předpokládat, že každá úroveň faktoru A v jednotlivých třídách má stejný počet opakování n
- jedná se o tzv. vyvážený model
- jednotlivé zjištěné hodnoty xij
- matice vstupních dat
faktor A
1
2
3……
n
1
x11
x12
x13….
x1n
2
x21
x22
x23….
x2n
3
.
.
.
.
.
.
.
.
…
…
. .. xij
…
m
xm1
xm2
xm3….
xmn
počet výběr. souborů = m o rozsahu n, které pocházejí ze základních souborů S
rozdělením N ((,(2) přitom předpokládáme, že rozptyly všech těchto ZS jsou shodné ((12 = (22 = ……= (n2 = (2)
počet opakování = n

- matematický model AR jednoduchého třídění
xij = ( + ai + eij ( - celkový teoret. průměr vypočtený v rámci všech úrovní faktoru A
ai – efekt i-té úrovně faktoru A eij – náhodná chyba, kterou je zatíženo každé měření
i = 1,2,……,m j = 1,2,……, n
- v AR jednoduchém třídění formulujeme H0: (1 = (2 = (3 =……= (m
A: alespoň jeden průměr se liší od ostatních
( Tečkový způsob zápisu
xi( = ( xij xi( = ( xij = xi( –řádkový součet x(( – celkový součet
x(j – sloupcový součet
x(j = ( xij x(j = ( xij =
- tečka nahrazuje indexy, přes které sčítáme
x(( = ( ( xij x(( = ( ( xij =
- testování H0 je založeno na rozkladu celkové variability – reprezentované součtem čtverců odchylek na 2 aditivní složky S1, Sr
S = S1 + Sr S = celkový součet čtverců odchylek, který má f stupňů volnosti, přičemž f = m*n - 1
S1 = součet čtverců odchylek mezi třídami, má f1 stupňů volnosti, přičemž f1 = m – 1
Sr = součet čtverců odchylek reziduální (uvnitř tříd), má fr st. voln., fr = m*(n – 1)
- významnost rozdílu var. mezi třídami a uvnitř tříd se zjišťuje f- testem
- testovací kritérium F= s12 /sr2 - řídí se f-rozdělením, krit. hodnota f(((m-1),m*(n-1))
s12 = rozptyl mezi třídami
sr2 = rozptyl uvnitř tříd (reziduální)
( Tabulka analýzy rozptylu ( vyvážený model)
Variabilita
Součet čtverc. odchylek
Stupeň volnosti
Rozptyl
Test. krit. F
mezi třídami
m – 1
F = s12 /sr2
uvnitř tříd
m* (n-1)
celková
m*n - 1
------------
--------------
( výpočtové tvary pro součet čtverců odchylek
S1 = ( xi(2 - C S = (( xij2 - C Sr = S – S1
( rozhodovací pravidlo
F ( F( ((m-1), m*(n-1)(, zamítáme H0 na hladině významnosti (
F ( F( ((m-1), m*(n-1)(, není důvod k zamítnutí H0 na hladině významnosti (
( AR jednoduché třídění (nevyvážený model)
- výběrové soubory mají různý počet opakování
S = (( xij2 – C Sr = S – S1
- počet stupňů volnosti S……f = (ni – 1 S1…….f1 = m – 1 Sr …… fr = (ni – m

modely podrobnějšího vyhodnocení AR
- jestliže F – testem zamítáme H0, znamená to, že ne všechny průměry ZS jsou shodné
- je nutné zjistit, který (které) průměr se statisticky liší od ostatních průměrů
- k tomu se používá metod podrobnějšího vyhodnocení
( Duncanova metoda uspořádání průměrů
( Kramerova
( Scheffeho
( Terkeyeiův test
( Duncanova metoda uspořádání průměrů
- je to jedna z nejcitlivějších metod, kterou lze použít pouze pro modely vyvážené
- postup:
1) výběrové prům. x1, x2, ……xm uspořádány podle velikosti (sestupně)
2) vytvoříme matici rozdílů mezi dvojicemi průměrů
3) určíme kritické hodnoty diferencí pro každý řádek
4) je-li vypočtená diference mezi průměry větší než kritická hodnota příslušného řádku, pak rozdíl mezi oběma soubory v průměrech je statisticky významný
Krit.hod.dif.
Sx*Rp (f)(
xm
xm-1
x3
x2
x1
Sx*Rm (f)(
xm - x1
------
……
------
------
------
Sx*Rm-1 (f)(
xm - x2
xm-1 – x1
……
------
------
------
Sx*Rm-2 (f)(
xm - x3
xm-1 – x2
……
------
------
------
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sx*R3 (f)(
xm - xm-2
xm-1 - xm-3
……
x3 - x1
------
------
Sx*R2 (f)(
xm - xm-1
xm-1 - xm-2
……
x3 – x2
x2 - x1
------
R(f) ( = tabulková hodnoty pro Duncanův test
p – počet srovnatelných průměrů
f – počet stupňů volnosti reziduálního rozptylu
( Kramerova metoda ( nevyvážený model)
( Schaffeho metoda ( S- metoda, univerzální)
( Tukeyův test ( vyvážený model)
13-přednáška
Podmínky použitelnosti analýzy rozptylu
* normalita rozdělení ZS, ze kterých byly použity VS
- podmínka se v praxi většinou neověřuje, i když bývá porušována
- narušení normality totiž nemá vliv na výsledky AR
* statistická nezávislost náhodných chyb - eij
- tato podmínka je splněna téměř vždy, neověřujeme - předpokládáme
* shodnost rozptylu ZS, ze kterých vycházejí VS
- tuto podmínku ověřujeme na základě např. Bartletova, Hartleho nebo Cochranova testu
Analýza rozptylu dvojného třídění
analyzuje vliv současného působení dvou faktorů
A – faktor na m úrovních A ……A1,A2,……Am
B – faktor na n úrovních B ……B1, B2,……Bn
( AR dvojného třídění s jedním pozorováním v každé podtřídě
- pro každou kombinaci faktorů Ai, Bj máme k dispozici pouze jedno pozorování
- schéma matice vstupních dat je následující:
fa B
fa A
1
2
……
j
……
n
ř. součet xi(
ř. průměr xi(
řádky úrovně A
1
x11
x12
……
x1j
……
x1n
x1(
x1(
2
x21
x22
x2j
x2n
x2(
x2(
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
i
xi1
xi2
……
xij
……
xin
xi(
xi(
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
m
xm1
xm2
……
xmj
……
xmn
xm(
xm(
s.součet x(j
x(1
x(2
……
x(j
……
x(n
s.prům. x(j
x(1
x(2
……
x(j
……
x(n
celkový průměr x(( =
xij = (+ai+bj+eij ( - celkový obecný průměr eij – náhodná chyba, kterou je zatíženo každé pozorování
ai – efekt i – té úrovně faktoru A (odrůda, plemeno)
bj – efekt j – té úrovně faktoru B
formuluje 2 nulové hypotézy (H0(1), H0(2)) a tedy i 2 alternativní hypotézy A(1), A(2)
H0(1): a1 = a2 = a3 =……= am = 0 ( H0(1): (1 = (2 = (3 =……= (m )
- efekty jednotlivých úrovní faktoru A jsou zanedbatelné (= 0)
H0(2): b1 = b2 = b3 =……= bn = 0 ( H0(2): (1 = (2 = (3 =……= (n )
- efekty jednotlivých úrovní faktoru B jsou zanedbatelné (= 0)
variabilita
součty čtverců odchylek
stupně volnosti
rozptyl
testovací kritérium F
mezi řádky
m – 1
s12 = S1 / (m-1)
F1 = s12 / sr2
F2 = s22 / sr2
mezi sloupci
n – 1
s22 = S2 / (n-1)
reziduální
(m-1)*(n-1)
sr2 = Sr / (m-1)*(n-1)
celková
m*n – 1
----------------
-------------
c = x((2 / mn
F1 – vztahuje se k řádkovým údajům k fa.A
F2 – k sloupco- vým údajům fa. B
( vyhodnocení F1 řádky (A) F1 = F1(((m-1), (m-1)*(n-1)) sloupce (B) F2 = F2(((n-1), (m-1)*(n-1))
F1( F1( ( H0(1) na hladině ( III. F1( F1( ( H0(1) na (
( podrobnější vyhodnocení pro řádky F2( F2( ( H0(2) na ( ( vyhodnocení
F2( F2( ( H0(2) na hladině (
( podrobnější vyhodnocení pro sloupce IV. F1( F1( ( H0(1) na (
II. F1( F1( ( H0(1) na ( ( vyhodn. F2( F2( ( H0(2) na (
F2( F2( ( H0(2) na (
( AR dvojného třídění s různým počtem pozorování v každé podtřídě
- při realizaci určitého experimentu se dvěma či více faktory často dochází nejen k izolovanému působení každého faktoru na znak kvantitativní, ale zpravidla dochází k současnému působení všech faktorů
- současné působení se nazývá interakce
- schéma matice dat dvou faktorového pokusu se stejným počtem pozorování v každé podtřídě
A B
1
……
j
……
n
1
xij1,……,x1jp
.
.
.
.
.
.
i
xi11,……,xi1p
……
xij1,……,xijp
……
xin1,……,xinp
.
.
.
.
.
.
m
xmj1,……,xmjp
každá hodnota je hodnotou xijk i = 1,…,m j =1,…,n k = 1,…,p
xijk = ( + ai + bj + (ai*bj) + eijk ( - obecný (celkový průměr)
ai – efekt i-té úrovně f.A ai*bj – interakční člen, který vzniká současným působení fakt.A,B
bj – efekt j-té úrovně f.B eijk - nákl.chyba, kterou je zatíženo měření
( formulujeme 3 nulové hypotézy
H0(1) : a1 = a2 = …… = am efekty A jsou zanedbatelné
H0(2) : b1 = b2 = …… = bn
H0(12) : ai*bj = 0 interakční člen je 0, neexistuje působení obou faktorů současně
variabilita
součty čtverců
stupně volnosti
rozptyl
testovací kritérium F
mezi řádky
S1
m – 1
s12 = S1 / (m-1)
F1 = s12 / sr2
F2 = s22 / sr2
F12 = s122 / sr2
mezi sloupci
S2
n – 1
s22 = S2 / (n-1)
interakce
S12
(m-1)*(n-1)
s122 = S12 / (m-1)*(n-1)
reziduální
Sr
mn (p-1)
Sr2 =Sr / (mn(p-1))celkovámnp – 1-----------------------------












( rozhodovací pravidlo
F1 ( F( ((m - 1), mn (p - 1)) ( H0(1) na (
F2 ( F( ((n - 1), mn (p - 1)) ( H0(2) na (
F12 ( F( ((m - 1)*(n - 1), mn (p - 1)) ( H0(12) na (


Vícefaktorové modely AR
- při vyhodnocování pokusů se zpravidla pracuje s jedním až pěti faktory na 2-6ti úrovních
- vícefaktorové modely jsou numericky náročné, proto se při jejich výpočtu využívá statistických produktů
Některé metody zakládání polních pokusů
- metoda znáhodněných bloků
- metody latinského čtverce
- metoda dělených dílů ( metoda split-plot)
- atd.
Statistika - P
- -


 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3





dx
X
f
X
F
)
(
)
(


 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3

 EMBED Equation.3