Skripta Vlny

Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.1

2. VLNĚNÍ
(RNDr. Vladimír Z d r a ž i l, Ph.D.)

Literatura: H – R – W : Fyzika
1. vydání, VUTIUM Brno, r.2000
Část 2., kapitola 17 (Vlny I), str. 439 – 465.


2.1 ÚVOD
• V kapitole o kmitech jsme se dozvěděli, že velmi častou formou pohybu jsou kmitavé pohyby.
Pohybem však rozumíme nejen mechanické přemístění, nýbrž jakoukoli změnu stavu. Kmity jsou
periodicky se opakující změny stavu, které však zůstávají na místě svého vzniku.

• Jestliže se kmity šíří od místa svého vzniku do okolí, vzniká děj nazvaný vlnění. Vlnění je děj
závislý na čase jehož podstatou je šíření periodických změn fyzikálních veličin (např.
mechanických výchylek, nebo změn vektorů intenzity elektrické nebo magnetické složky
elektromagnetického pole, změn teploty, atp.) látkovým prostředím, příp, vakuem. Budeme-li však
sledovat určitý, jinak libovolný bod prostředí, kterým prochází vlnění, zjistíme kmity v tomto bodě.

• V přírodě existují tři základní druhy vlnění: vlny mechanické
vlny elektromagnetické
vlny de Broglieho.

1. Vlny mechanické: Přenášejí mechanické kmity. Přenášejí kmity částic látkového prostředí,
kterým se mechanické vlny šíří. Proto se nemohou šířit vakuem. Mechanické výchylky jsou
většinou velmi malé (řádově 10
-6
m), rychlost jejich šíření je relativně vysoká (ve vzduchu za
běžné teploty kolem 340m.s
-1
, ve vodě asi 1400m.s
-1
, v železe (oceli) přibližně 5 100m.s
-1
).
Zvukové vlny, tlakové vlny nebo seismické vlny jsou nejběžnějším příkladem
mechanických vln.
2. Vlny elektromagnetické: Jsou nositelem rozruchů elektromagnetického pole. Jsou
nezávislé na látkovém prostředí. Na rozdíl od mechanických vln se mohou šířit i vakuem.
Právě rychlost elektromagnetických vln ve vakuu je podle Einsteinovy teorie relativity horní
hranicí, kterou látková tělesa nemohou překročit. Příkladem elektromagnetických vln je
světlo, tepelné nebo ultrafialové záření, rozhlasové a televizní vlny, rentgenové záření, γ
záření, atd.
3. Vlny de Broglieho: Vlny hmoty, nebo vlny doprovodné či vlny pravděpodobnosti.
Mikročástice, jako např. elektrony, protony, neutrony, mezony, atd., i atomy a molekuly, se
za určitých situací chovají jako vlnění. Zvlášť výrazně se tato „vlnová povaha“ mikročástic
projevuje při jejich průchodu krystaly. Při průchodu krystalovou mřížkou mikročástice
vytvářejí difrakční obrazce podobně jako záření rentgenové. Existenci těchto vln
předpokládal francouzský fyzik Louis de Broglie, po němž tyto vlny nesou jméno. De
Broglieho vlny jsou charakterizovány veličinou Ψ nazývanou vlnová funkce. Hodnota
vlnové funkce, která přísluší částici nacházející se v okamžiku t v bodě x, y, z, souvisí
určitým způsobem s pravděpodobností výskytu částice v tomto okamžiku právě v uvedeném
bodě prostoru. Konkrétněji – tato pravděpodobnost je přímo úměrná hodnotě
2
Ψ . Také
pravděpodobnosti možných hodnot různých fyzikálních veličin, vztahujících se ke
sledované částici, lze určit pomocí vlnové funkce Ψ. Jinak vlnová funkce žádný přímý
fyzikální význam nemá a může být vyjádřena i v komplexním tvaru. Proto
2
Ψ = Ψ.Ψ
*
, kde
Ψ
*
je funkce komplexně sdružená k funkci Ψ.

Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.2
• Žádný druh vlnění (ani mechanické) nepřenáší látku (alespoň na makroskopické vzdálenosti ne).
Mechanická vlnění (např. zvuk) a elektromagnetické vlny však přenášejí energii kmitů.Existují i
taková vlnění, která nepřenášejí ani energii, např. vlny de Broglieho.

2.2 Základní pojmy
• Šíření kmitů (výchylek z rovnovážného stavu) z místa jejich vzniku (z místa rozruchu) nazýváme
postupné vlnění. Má-li se z místa rozruchu trvale šířit postupné vlnění, tak je k tomu třeba nejen trvalého
rozruchu, nýbrž i neohraničeného prostředí. To prakticky není možné. Takže na hranicích prostředí, kterým
se postupné vlnění šíří, dochází k některému z následujících jevů:
1. - k úplné absorpci postupného vlnění na hranici prostředí.
2. - k částečné absorpci a k částečnému odrazu vlnění od hranice prostředí. Vlnění odražené se následně
skládá s vlněním postupným přímo jdoucím a vzniká částečné vlnění stojaté.
3. - k úplnému odrazu vlnění od hranice prostředí (žádná absorpce). Složením odraženého vlnění a
postupného vlnění vznikne opět stojaté vlnění, ale tentokrát úplné.

V pevných tělesech se stojaté vlnění projevuje jako chvění (vibrace).

• Vlnění může být příčné nebo podélné. Jestliže výchylky jednotlivých kmitů jsou kolmé na směr šíření
vlnění, jde o vlnění příčné (např. elektromagnetické vlny jsou vlny příčné). Jsou-li výchylky kmitů
rovnoběžné se směrem šíření vlnění, pak jde o vlnění podélné (např. zvukové vlny v kapalinách a v plynech
jsou vlny podélné, ale zvukové vlny v pevných látkách mohou být podélné i příčné, to podle tzv. počátečních
nebo okrajových podmínek).
• Vlny příčné lze polarizovat. Nepolarizované příčné vlny se vyznačují tím, že příčné kmity mají v různých
bodech prostoru navzájem různé a nahodilé směry. Proti tomu polarizovaná příčná vlna se vyznačuje
určitou prostorovou symetrií kmitů. Příčné vlny mohou být polarizované elipticky, kruhově, nebo lineárně.

• Postupná příčná vlna polarizovaná lineárně přenáší kmity navzájem rovnoběžné, tj. rovnoběžné s jednou
rovinou (kmitovou rovinou):




x




Obr.: Postupná (rovinná), příčná, lineárně polarizovaná vlna.

• Postupná příčná vlna polarizovaná kruhově přenáší kmity, které se rovnoměrně stáčejí kolem směru ve
kterém vlna postupuje, tj. vektory okamžitých výchylek se stáčejí kolem směru postupu vlnění tak, že jejich
koncové body v kterémkoliv okamžiku vytvářejí šroubovici navinutou na válci (s kruhovou podstavou).

• Postupná příčná vlna polarizovaná elipticky přenáší také kmity rovnoměrně se stáčející, avšak koncové
body výchylek vytvářejí šroubovici navinutou na „válci“ s eliptickou podstavou.
……………………………………………………………………………………………………………
• Různé druhy vlnění mohou mít různou fyzikální podstatu, přesto je lze charakterizovat stejnými
základními veličinami (např. výchylkou, amplitudou, vlnovou délkou, frekvencí, fázovou nebo grupovou
rychlostí, atp.). Také matematický popis různých druhů vlnění je stejný.

• Časová a prostorová závislost jakéhokoliv vlnění je vyjádřena vlnovou funkcí, tj. funkcí, vyjadřující
okamžitou výchylku z rovnovážného stavu. Vlnová funkce je obecně funkcí času t a prostorových souřadnic
x, y, z vyšetřovaného místa, u = u(x, y, z, t). V případě, že vlnění je harmonické, tj. přenáší-li harmonické
kmity, a zvolíme-li směr, podél kterého vlnění postupuje, za osu x, pak u = u
m
sin ω(t -
v
x
), kde v je fázová
v
u
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.3
rychlost vlnění. (Harmonickou funkci sinus je však možné nahradit harmonickou funkcí kosinus.) Vlnové
funkce jsou řešením diferenciálních pohybových rovnic vlnění, jak poznáme dále.
Je-li vlnová funkce vyjádřena harmonickou funkcí (sinus, kosinus), tzn., že vlnění má harmonický
průběh, pak vlnění je jednoduché harmonické vlnění, či harmonický mod (harmonický vid), nebo normální
mod (normální vid).
• Vlnění s neharmonickým průběhem (periodickým i neperiodickým) je vlnění složené. Složené vlnění
lze rozložit v řadu diskrétně nebo spojitě se měnících harmonických modů, tzn. vlnovou funkci v řadu
funkcí sinus nebo kosinus.

• Je-li prostředí, kterým se vlnění šíří, homogenní, pak rychlost šíření vlnění, tzv. fázová rychlost, je stálá,
nezávislá na prostorových souřadnicích. Fázovou rychlostí se šíří všechny fáze vlnění, např. i čelo vlny.
Vzdálenost, do které se vlnění (čelo vlny) rozšíří za dobu T, dobu trvání jednoho kmitu, je vlnovou délkou λ:


(2,1)


2.3 Vlnová funkce postupné harmonické vlny
• Okamžitá výchylka kmitů v libovolném okamžiku t v místě jejich vzniku je vyjádřena vztahem
u = u
m
sin(ωt + ϕ
0
). (2,2)
Úplný popis vlnění však musí obsahovat informaci o kmitání v kterémkoli bodě (x, y, z) prostoru
v libovolném okamžiku t.

• Za tím účelem je nutné zvolit souřadnicový systém, nejlépe pravoúhlý a pravotočivý (a tak, aby
matematický popis vlnění byl co nejjednodušší). Počátek takového souřadnicového systému volíme
zpravidla v místě zdroje kmitů a směr, kterým se kmity ze zdroje šíří, volíme za osu x. Počáteční
podmínky volíme obvykle tak, aby v okamžiku t = 0 (tj. v okamžiku, kdy začínáme sledovat kmity
a měřit čas) okamžitá výchylka kmitů zdroje byla buď nulová (u = 0), pak podle (2,2) musí být i
počáteční fáze ϕ
0
= 0, nebo aby platilo u = u
m
( pak ovšem musí být i počáteční fáze ϕ
0
nenulová,
ϕ
0
=
2
π
). Zvolíme první možnost (v okamžiku t = 0 je u = 0). Vzhledem k této počáteční podmínce
bude mít (2,2) jednodušší tvar
u= u
m
sin(ωt). (2,3)
Rovnice (2,3) vyjadřuje okamžitou výchylku kmitů v místě jejich vzniku.

• Rychlost v jakou se šíří (postupují) jednotlivé fáze kmitů se nazývá fázová rychlost. V určitém
okamžiku t > 0 bude vlněním zasažen bod ležící ve vzdálenosti x od zdroje kmitů. Výchylka u
kmitů v tomto bodě x v daném okamžiku t je stejná jako byla výchylka kmitů v místě zdroje kmitů
v okamžiku t´ dřívějším (předcházejícím):
t´ = t -
v
x
. (2,4)

• Dosadíme (2,4) do (2,3) a dostaneme

(2,5)


Vztah (2,5) vyjadřuje vlnovou funkci harmonické postupné vlny, která postupuje ve směru
zvoleném za kladný směr osy x.
Argument funkce sinus , tj. ω (t -
v
x
), je okamžitá fáze vlny,
u = u
m
sin ω(t -
v
x
) .
λ = vT =
f
v

Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.4
ω = 2πf je úhlová frekvence vlnění, f je frekvence vlnění a
f
1
= T je perioda.
Vlnová délka λ je rovna nejkratší vzdálenosti dvou bodů, které kmitají se stejnou fázi. Nebo jinými
slovy – vlnová délka je vzdálenost, o kterou postoupí vlnění během jedné periody (T).
Proto
λ = v .T, nebo λ . f = v.
λ
1
je prostý vlnočet, který určuje, kolik vln se vytvoří na úseku dlouhém 1metr.
λ
π2
je úhlový vlnočet (také absolutní hodnota vlnového vektoru k
r
).
0
.
2
nk
r
r
λ
π
= je vlnový vektor, a
0
n
r
je jednotkový vektor směru, kterým vlnění postupuje.
k
r
= k =
λ
π2
=
v
ω
(=
f
f
λ
π2
).
Okamžitou fázi vlnění lze upravovat různě: ω(t -
v
x
) = ωt – kx = ωt – φ
0
.
φ
0
je počáteční fáze kmitů, tzv. fázová konstanta.
…………………………………………………………………………………………………………
………...
Vztah v =
k
ω
je tzv. disperzní vztah. Závisí-li totiž fázová rychlost vlnění na vlnové délce (na
frekvenci vlnění), pak se takové prostředí nazývá disperzním, protože v případě, že vlnění je
složeno z několika vlnových délek (z vlnění různých frekvencí), dochází k rozkladu vlnění na
jednotlivé monofrekvenční vlny, jelikož každá z nich postupuje rychlostí lišící se od rychlostí
ostatních monofrekvenčních vln. Např. všechna látková prostředí jsou pro elektromagnetické vlny –
tedy i pro světlo – prostředím disperzním. Naštěstí vzduch je prostředím s velmi malou,
zanedbatelnou disperzí, a to i pro zvukové vlny (jinak by nebylo možné tvořit hudbu, zpěv apod.).
…………………………………………………………………………………………………………
Někdy je vhodnější vyjádřit vlnovou funkci v komplexním tvaru:
- podle Eulerova vztahu e
±jφ
= cos φ ± j sin φ platí

u= u
m
.e
j(ωt
–kx)
. (2,6)

Nebo zavedeme-li komplexní amplitudu vztahem

m
u = u
m
e
-jkx
,
dostaneme: u =
m
u .e
jωt
.
Kde reálná část (2,6) je Re u= u
m
cos(ωt - kx),
a imaginární část (2,6) je Im u= u
m
sin(ωt – kx).


2.4 Postupné vlny podélné a vlny příčné
• Postupné vlnění může být podélné nebo příčné.

1. Vlny podélné (longitudinální): elementy látkového prostředí kmitají ve směru
rovnoběžném se směrem postupu mechanické vlny. Mechanické vlny podélné se mohou šířit
v látkách všech čtyř skupenství: v látkách pevných, kapalných, plynných i plazmatických.
Např. zvuk šířící se vzduchem je mechanické vlnění podélné. Podélné zvukové vlny mohou
být libozvučné (např. tóny), nebo nelibozvučné (např. třesky, hluky apod.).
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.5
2. Vlny příčné (transversální): elementy látkového prostředí kmitají ve směrech kolmých ke
směru šíření mechanické vlny. Obecně pro tento druh vlnění platí, že výchylky
z rovnovážného stavu jsou kolmé ke směru šíření vlnění. Proto příčné mechanické vlny se
mohou šířit jen takovým prostředím, ve kterém mohou vzniknout pružné smykové síly (v
prostředí s nenulovým modulem pružnosti ve smyku). Tomu vyhovují jen látky pevné.
• Také vlny elektromagnetické, tedy i světlo, jsou vlny příčné. Zvukovou vlnu příčnou mohou
vydávat jen pevná tělesa, jsou-li rozkmitána určitým způsobem. Např. jednoduchý hudební nástroj,
triangl, vydává zvukovou vlnu příčnou. Není libozvučná.
• V pevných látkách se mohou šířit mechanické vlny podélné i příčné současně, např. vlny
seismické (zemětřesné). V tekutinách (v kapalinách a plynech) jen vlny podélné.

2.5 Tvar vln
• Vlny se mohou šířit jednorozměrným prostředím, např. na struně. Kmity struny rozechvěné
tahem smyčce, úderem, či drnknutím, nazýváme chvěním struny. Je to vlnění příčné a vzhledem ke
konečné délce struny je to i vlnění stojaté (viz dále).
• Vlny mohou postupovat i prostředím dvojrozměrným (desky, blány). Také v těchto případech
mluvíme o chvění desek nebo blan. Vzhledem ke konečným rozměrům desek (např. hudebních
poklic, činelů a pod.) a blan (např. bubnů) vzniká i zde vlnění stojaté.
• Ve většině případů vlny vznikají ve trojrozměrném prostředí (zvuk, elektromagnetické vlny).
V trojrozměrném prostředí mohou vznikat vlny různých tvarů, ale jen dva tvary jsou pro homogenní
a izotropní prostředí nejtypičtější – vlny kulové a vlny rovinné. (Prostředí homogenní má ve všech
bodech stejné fyzikální vlastnosti, prostředí izotropní pak ve všech směrech.)

1. Vlny kulové: Nachází-li se bodový nebo kulový zdroj vlnění v prostředí homogenním a
izotropním, šíří se od něho vlny všemi směry stejnou rychlostí. Tzn., že čelo vlny i
vlnoplochy mají tvar soustředných kulových ploch se společným středem v místě bodového
zdroje, příp. ve středu křivosti kulového zdroje. Vlnoplochy i čelo vlny (čelní vlnoplocha)
jsou množinami bodů (geometrickými místy bodů), které kmitají se stejnou fází. V kulové
vlně platí, že velikost amplitudy kmitů je nepřímo úměrná vzdálenosti r od zdroje, čímž se
její tvar nepatrně deformuje (u
m
= u
m
(
r
1
)).
2. Vlny rovinné: Vlnění je rovinné, tvoří-li jeho čelo i vlnoplochy roviny vzájemně
rovnoběžné. Normála k vlnoplochám rovinné vlny určuje směr šíření rovinných vln. Reálné
vlny nejsou rovinné, to by zdrojem vlnění musela být neohraničená, reálná, zářící rovina. Za
(téměř) rovinnou vlnu však můžeme považovat část kulové vlny o velmi velkém poloměru
(tj. ve velké vzdálenosti od zdroje). Za rovinné vlnění můžeme např. považovat část přímého
slunečního záření, vstupujícího oknem do místnosti. Poloměr křivosti těchto kulových vln je
téměř 150 mil. km.
Je-li vliv prostředí na postupnou rovinnou vlnu zanedbatelný, pak - na rozdíl od kulových
vln – tvar a velikost amplitudy kmitů přenášených rovinnou vlnou se nemění.

2.6 Energie a intenzita vlnění
• Vlnivý pohyb sice nepřenáší látku (alespoň ne na makroskopické vzdálenosti), ale přenáší
energii.
• Nastavíme-li postupnému vlnění do cesty pomyslnou, orientovanou plošku Sd
r
a projde-li touto
ploškou za časový interval dt energie dW, pak tzv. tok energie touto plochou (v případě
elektromagnetického vlnění zářivý tok plochou) je poměr
dP =
dt
dW
.

Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.6
Tok energie plochou ( podobně zářivý tok plochou) je číselně roven energii, kterou za 1 sekundu
vlnění pronese pomyslnou plochou. Řečeno jinak – je to výkon, který vlnění proneslo zvolenou
plochou.
• Tok energie (ani zářivý tok) plochou však necharakterizuje přenos energie vlněním dostatečně,
protože přenos energie se může v jednotlivých místech plochy velmi výrazně lišit. Proto byl
zaveden pojem intenzita vlnění I (pro elektromagnetické vlny pojem hustota zářivého toku, resp.
Poyntingův vektor).




• Někdy se zavádí pojem vektor intenzity vlnění I
r
. Jeho velikost je rovna intenzitě vlnění a směr
je totožný se směrem proudění energie. Tok vektoru intenzity vlnění orientovanou ploškou Sd
r
je
definován skalárním součinem obou vektorů:
dP = SdI
rr
. = I.dS cos α,
kde α je úhel, který svírají kladné směry obou uvedených vektorů,
a dS cos α je průmět plošky dS do roviny kolmé k vektoru intenzity vlnění.
.........................................................................................................................................................