Skripta Spojité systémy 2.část

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ



Signály a systémy

Část 2: Spojité systémy

Garant předmětu:
Doc. Ing. Pavel Jura, CSc.


Autor textu:
Doc. Ing. Pavel Jura, CSc.



Signály a systémy 1
Obsah
1 SPOJITÉ SYSTÉMY A JEJICH ANALÝZA ...............................................................4
1.1 ÚVOD A MOTIVACE......................................................................................................4
1.1.1 Příklady jednoduchých systémů..........................................................................4
1.1.2 Shrnutí ................................................................................................................7
1.1.3 Příklady složitějších systémů..............................................................................8
1.1.4 Shrnutí ..............................................................................................................11
1.2 LINEÁRNÍ ČASOVĚ INVARIANTNÍ SPOJITÉ SYSTÉMY ...................................................12
1.2.1 Systémy se soustředěnými a rozloženými parametry........................................12
1.2.2 Linearita a její důsledky ...................................................................................13
1.2.3 Časová invariance a její důsledky....................................................................14
1.2.4 Systémy s pamětí a bez paměti..........................................................................14
1.2.5 Shrnutí ..............................................................................................................15
1.3 VNĚJŠÍ POPIS SPOJITÝCH SISO SYSTÉMŮ...................................................................15
1.3.1 Diferenciální rovnice systému, její řešení a fyzikální význam..........................15
1.3.2 Operátorový přenos systému ............................................................................18
1.3.3 Rozložení pólů a nul systému............................................................................26
1.3.4 Frekvenční přenos systému...............................................................................31
1.3.5 Frekvenční charakteristiky systému..................................................................33
1.3.6 Impulsová charakteristika systému...................................................................41
1.3.7 Přechodová charakteristika systému................................................................45
1.3.8 Shrnutí ..............................................................................................................48
1.3.9 Cvičení..............................................................................................................49
1.4 VAZBY MEZI SYSTÉMY...............................................................................................52
1.4.1 Motivace ...........................................................................................................52
1.4.2 Sériové (kaskádní) spojení................................................................................53
1.4.3 Paralelní spojení systémů.................................................................................54
1.4.4 Zpětnovazební (antiparalelní) spojení..............................................................54
1.5 STABILITA LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ..............................................................................55
1.5.1 Motivace ...........................................................................................................55
1.5.2 Matematická formulace stability ......................................................................56
1.5.3 Kriteria stability ...............................................................................................59
1.5.4 Cvičení..............................................................................................................63
1.6 STATICKÝ SYSTÉM 2. ŘÁDU .......................................................................................64

2 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Seznam obrázků
Obr. 1-1: Příklady jednoduchých systémů.......................................................................................................4
Obr. 1-2: Příklady složitějších systémů ...........................................................................................................8
Obr. 1-3: Vnější popis SISO systému (vlevo) a vnitřní popis SISO systému (vpravo) ...................................12
Obr. 1-4: Vnější popis MIMO systému (vlevo) a vnitřní popis MIMO systému (vpravo) ..............................12
Obr. 1-5: Odezva časově invariantního systému ...........................................................................................14
Obr. 1-6: Přirozená (vlevo) a vynucená (vpravo) odezva..............................................................................17
Obr. 1-7: Jednoduchý systém a jeho reakce na jednotkový skok ...................................................................24
Obr. 1-8: Příklad rozložení pólů a nul...........................................................................................................26
Obr. 1-9: Rozložení pólů a nul jednoduchého systému..................................................................................27
Obr. 1-11: Poloha pólů systému druhého řádu ...............................................................................................28
Obr. 1-12: Odezva systému druhého řádu .......................................................................................................29
Obr. 1-13: Dva elektrické systémy prvního řádu.............................................................................................30
Obr. 1-14: K fyzikálnímu významu nul ............................................................................................................31
Obr. 1-15: Buzení jednoduchého systému harmonickým signálem..................................................................31
Obr. 1-16: Dva způsoby zobrazení frekvenčních charakteristik ......................................................................34
Obr. 1-17: Frekvenční charakteristiky systému 1. řádu...................................................................................35
Obr. 1-18: Frekvenční charakteristiky systému 2. řádu...................................................................................37
Obr. 1-19: Frekvenční charakteristiky systému 3. Řádu..................................................................................38
Obr. 1-20: Frekvenční charakteristiky nádrže bez otvoru ...............................................................................39
Obr. 1-21: Motor s výstupem úhel natočení ....................................................................................................39
Obr. 1-22: Frekvenční charakteristiky motoru s výstupem úhel natočení .......................................................40
Obr. 1-23: Definice impulsové charakteristiky................................................................................................41
Obr. 1-24: Impulsová charakteristika systému 1. řádu....................................................................................42
Obr. 1-25: Impulsová charakteristika systému 2. řádu....................................................................................42
Obr. 1-26: Reálné měření impulsové charakteristiky ......................................................................................43
Obr. 1-27: Konvolutorní integrál ....................................................................................................................44
Obr. 1-28: Definice přechodové charakteristiky .............................................................................................45
Obr. 1-29: Přechodová charakteristika systému 1. řádu.................................................................................46
Obr. 1-30: Přechodová charakteristika systému 2. řádu.................................................................................46
Obr. 1-31: Přechodová charakteristika nádrže bez výtoku..............................................................................47
Obr. 1-33: Motor s převodovkou .....................................................................................................................52
Obr. 1-34: Sériové spojení systémů .................................................................................................................53
Obr. 1-35: Sériové spojení dvou elektrických systémů ....................................................................................53
Obr. 1-36: Paralelní spojení systémů ..............................................................................................................54
Obr. 1-37: Zpětnovazební spojení systémů......................................................................................................54
Obr. 1-38: Složený systém a jeho zjednodušení...............................................................................................55
Obr. 1-39: Ozvučená místnost .........................................................................................................................55
Obr. 1-40: Stabilní, nestabilní a neutrální systémy .........................................................................................57
Obr. 1-41: K pojmu stabilita lineárního systému.............................................................................................57
Obr. 1-42: Poloha pólů a mechanický příklad.................................................................................................59
Obr. 1-43: Stabilizace systémů zpětnou vazbou...............................................................................................62
Obr. 1-44: Statický systém 2. řádu přetlumený................................................................................................66
Obr. 1-45: Statický systém 2. řádu na mezi aperiodicity .................................................................................67
Obr. 1-46: Statický systém 2. řádu- kmitavý....................................................................................................70
Obr. 1-47: Statický systém 2. řádu netlumený .................................................................................................72
Obr. 1-48: Frekvenční charakteristiky systému 2. řádu v komplexní rovině ...................................................73
Obr. 1-49: Amplitudové frekvenční charakteristiky systému 2. řádu...............................................................74
Obr. 1-50: Fázové frekvenční charakteristiky systému 2. řádu .......................................................................74






Signály a systémy 3
Seznam tabulek
Tab. 1-1: Malý slovník Laplaceovy transformace ......................................................................................... 18
Tab. 1-2: Jednoduché systémy a jejich reakce na jednotkový vstupní skok................................................... 24


4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

1 Spojité systémy a jejich analýza
1.1 Úvod a motivace
1.1.1 Příklady jednoduchých systémů
Na následujících příkladech jsou demonstrovány základní principy teorie systémů.
Příklady jsou zvoleny z různých fyzikálních oblastí tak, aby vynikl jednotící pohled teorie
systémů.
R
u(t)
i(t)
u(t)e
ω(t)
R
S
q (t)
1
q (t)
2
y (t)
1
B
D
f(t)
y(t)
p(t)
ϑ (t)
v
ϑ
o
=konst.
R
C
i (t)
1
u (t)
1
i (t)
c
i (t)
2
u (t)
2
Elektrický systém Hydraulický systém
Tepelný systém Elektromechanický systém Obecné označení systému
u(t) y(t)
vstup výstup
Mechanický systém

Obr. 1-1: Příklady jednoduchých systémů

Elektrický systém
Schéma zapojení jednoduchého elektrického obvodu je uvedeno na Obr. 1-1. Vstupem
do systému je časově proměnné napětí ( )tu
1
, výstupní veličinou ze systému je napětí ( )tu
2
.
Předpokládejme, že počáteční napětí na kapacitoru je nulové tj. ( ) 00
2
=u . Za předpokladu, že
výstupní proud platí tj. platí () 0
2
=ti () ()titi
C
=
1
()
() ()
()
( )
dt
tdu
Cti
R
tutu
ti
C
221
1
==
−
= . . ( 1.1 )
Úpravou této rovnice obdržíme pro výstupní napětí elektrického obvodu diferenciální rovnici
()
() ()tutu
dt
tdu
RC
12
2
=+
( 1.2 )
s počáteční podmínkou . Tento elektrický obvod obsahuje jeden akumulátor energie
(elektrické) a počáteční podmínka definuje stav tohoto akumulátoru na počátku děje.
() 00
2
=u
Signály a systémy 5
Hydraulický systém
Schematické zobrazení jednoduchého hydraulického systému je uvedeno na Obr. 1-1.
Do nádrže o ploše přitéká časově proměnné množství kapaliny S ()[ ]sec/
3
1
mtq . V nádrži se
v čase vytvoří hladina s výškou t ( )ty
1
. Vstupem do systému je množství přitékající kapaliny
()[ ]sec/
3
1
mtq , výstupem ze systému je výška hladiny v nádrži . Z nádrže vytéká ()ty
1
()[ ]sec/
3
2
mtq kapaliny. Předpokládejme, že množství vytékající kapaliny je úměrné
hydrostatickému tlaku u dna nádrže tj. je úměrné výšce hladiny v nádrži tj.
() () [ ]sec//
3
12
mRtytq = . Koeficientem úměrnosti je převratná hodnota hydraulického odporu
(čím vyšší hydraulický odpor, tím méně kapaliny vyteče) [ ]
2
sec/ mR . Na počátku nechť je
nádrž prázdná tj. . Budeme-li předpokládat, že hydraulický odpor je konstanta
nezávislá na výšce hladiny (přesně vzato z fyzikálního hlediska tomu tak není, hydraulický
odpor závisí na výšce hladiny, ale pro naše úvahy tuto skutečnost zanedbáváme), bude pro
elementární změnu objemu kapaliny v nádrži za dobu platit:
() 00
1
=y
dV dt
() ()
( )
dt
R
ty
tqtdySdV
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=⋅=
1
11
.
( 1.3 )
Úpravou této rovnice obdržíme pro výšku hladiny v nádrži diferenciální rovnici
()
() ()tqRty
dt
tdy
RS
11
1
⋅=+⋅⋅ .
( 1.4 )
s počáteční podmínkou . Uvažovaný hydraulický systém obsahuje jeden akumulátor
energie (potenciální energie kapaliny v nádrži) a počáteční podmínka definuje stav tohoto
akumulátoru na počátku děje.
() 00
1
=y

Mechanický systém
Jednoduchý mechanický systém je tvořen pružinou, spojenou s tlumičem (píst). Opačné
konce pružiny a tlumiče jsou pevně fixovány. Vstupem do systému je časově proměnná síla
, výstupem ze systému je výchylka ()[]Ntf ( )[ ]mty . Situace je znázorněna na Obr. 1-1.
Hmotnost pístu i pružiny prozatím zanedbejme. Předpokládejme, že na počátku děje je
výchylka nulová tj. což znamená, že pružina není na počátku ani stlačená ani
natažená ale je ve své přirozené poloze. V místě spojení pružiny a tlumiče působí vnější síla
, síla pružiny a síla způsobená tlumičem
() 00 =y
()tf ()tf
D
( )tf
B
. Síly jsou v rovnováze tj. platí
. Síla, způsobená pružinou, je úměrná výchylce pružiny tj. () () ()tftftf
BD
+= () ( )tyDtf
D
⋅=
kde koeficientem úměrnosti je tzv. tuhost pružiny [ ]mND / . Síla, způsobená tlumičem je
úměrná rychlosti pohybu tj. () dtdyBtf
B
/⋅= , kde koeficientem úměrnosti je tzv. konstanta
viskosního tlumení . Z rovnosti těchto sil vyplývá rovnice [mNB sec/ ]
()
() ()tftDy
dt
tdy
B =+
( 1.5 )
s počáteční podmínkou . Uvažovaný mechanický systém obsahuje jeden akumulátor
energie (potenciální energie pružiny) a počáteční podmínka definuje stav tohoto akumulátoru
na počátku děje (předepnutí pružiny).
() 00 =y

6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Tepelný systém
Vařme vodu na čaj ponorným vařičem tak, jak ukazuje Obr. 1-1. Teplota okolí
O
ϑ nechť je
konstantní. Vstupní veličinou do systému je elektrický příkon vařiče ( )[]Wtp . V systému
platí tepelná rovnováha tj. množství tepla, které za čas do systému vstupuje, se částečně
spotřebuje na ohřev vody o
dt
()[ ]Ctd
o
V
ϑ a zbylá část přejde do okolí. Množství tepla, které do
systému vstoupí za čas je . Na ohřev vody se spotřebuje množství tepla o velikosti dt ()dttp
()tdcm
VVV
ϑ , kde je hmotnost vody a []kgm
V
( )[ ]CkgWsc
o
V
/ je specifické teplo vody.
Množství tepla, které za čas přejde do okolí, je úměrné teplotnímu rozdílu mezi vodou a
okolím tj.
dt
( dtK
OVV
)ϑϑ − , kde konstanta [ ]CWK
o
V
/ je koeficient přestupu tepla. Na počátku
děje nechť je teplota vody stejná jako teplota okolí tj. ( )
OV
ϑϑ =0 . Pro tepelnou rovnováhu
tedy platí
() ( )()[]dttKtdcmdttp
OVVVVV
ϑϑϑ −+=
( 1.6 )
což po úpravě vede k diferenciální rovnici
()
()[]()tptK
dt
td
cm
OVV
V
VV
=−+ ϑϑ
ϑ
.
( 1.7 )
Budeme-li se zajímat nikoliv o absolutní teplotu vody ( )t
V
ϑ ale jen o rozdíl mezi teplotou
vody a teplotou okolí () ()
OV
tt ϑϑϑ −= tj. provedeme-li v rovnici substituci () ()
OV
tt ϑϑϑ −= ,
obdržíme diferenciální rovnici ve tvaru
()
() ()tptK
dt
td
cm
VVV
=+ ϑ
ϑ

( 1.8 )
s počáteční podmínkou () 00 =ϑ . Uvažovaný tepelný systém obsahuje jeden akumulátor
energie (tepelná energie vody) a počáteční podmínka definuje stav tohoto akumulátoru na
počátku děje.
Elektromechanický systém
Příkladem tohoto systému může být stejnosměrný motorek, např. takový, jaký se používá v
hračkách. Stator motorku je tvořen permanentním magnetem, v jehož magnetickém poli se
otáčí rotor. Rotor je tvořen vinutím o odporu [ ]ΩR (indukčnost vinutí prozatím zanedbejme),
do kterého je přiváděn proud přes kartáče. Situace je znázorněna na Obr. 1-1. Za
vstup do systému budeme považovat napětí
()[]Ati
( )[ ]Vtu a výstup budou otáčky hřídele
()[sec/radt ]ω . Označme [ ]
2
kgmJ moment setrvačnosti rotoru a zatěžovací
moment na hřídeli motoru. Pohybem rotoru v magnetickém poli v něm vzniká indukované
elektromotorické napětí, které je úměrné otáčkám motoru tj.
[NmM
Z
]
( ) ( )tktu
ee
ω= , kde konstanta
je dána konstrukcí motoru. Pro elektrickou část systému platí tedy rovnice [radVk
e
sec/ ]
() () ( )tktRitu
e
ω+=
( 1.9 )
Motor na své hřídeli vyvozuje moment [ ]NmM
m
, který je úměrný proudu, který prochází
rotorem tj. . Konstanta ()tikM
mm
= [ ]ANmk
m
/ je opět dána konstrukcí motoru. Na hřídeli
dále působí moment setrvačných sil, který je úměrný zrychlení tj. ( ) dttJd /ω a dále moment
zatěžovací . Pro hřídel platí rovnováha momentů tj.
z
M
Signály a systémy 7
()
()
zm
M
dt
td
Jtik +=
ω
.
( 1.10 )
Budeme-li předpokládat, že motor není na hřídeli zatížen ( 0=
z
M ) a že na počátku děje je
rotor v klidu ( () 00 =ω ) potom dosazením za proud ( )ti do této rovnice z rovnice předchozí
obdržíme diferenciální rovnici
()
() ()tutk
dt
td
k
JR
e
m
=+ ω
ω
( 1.11 )
s počáteční podmínkou () 00 =ω . Uvažovaný elektromechanický systém obsahuje jeden
akumulátor energie (kinetická energie rotoru) a počáteční podmínka definuje stav tohoto
akumulátoru na počátku děje. A mohli bychom najít celou řadu dalších příkladů z různých
fyzikálních oblastí.
1.1.2 Shrnutí
1. Výše uvedené systémy jsou systémy, kde všechny proměnné fyzikální veličiny jsou
funkcemi spojitého argumentu- času. Takové systémy se nazývají systémy se spojitým
časem nebo zkráceně spojité systémy. U takového systému můžeme zavést pojmy vstup
systému a výstup systému.
2. Přesto, že jsou uvedené příklady spojitých systémů různé fyzikální podstaty, je jejich
chování popsáno formálně stejnou diferenciální rovnicí tvaru
()
() ()tubtya
dt
tdy
a
001
=+
( 1.12 )
kde jsme obecně označili a ()tu ( )ty vstup a výstup systému (viz. Obr. 1-1). Existence této
formálně stejné diferenciální rovnice je jednou z příčin vzniku obecné teorie systémů.
Koeficienty se liší podle typu systému. Tuto diferenciální rovnici zapisujeme tak, že
na její levé straně je výstupní veličina a je