Skripta Spojité systémy 2.část

jí derivace a na pravé straně potom veličina vstupní.
001
,, baa
3. Počáteční podmínka u spojitých systémů definuje počáteční stav akumulátorů energie.
Působí-li na vstup systému při nenulových počátečních podmínkách nulová vstupní veličina
, potom se nazývá přirozená odezva systému. Přirozená odezva y(t) je
důsledkem nenulové počáteční podmínky (nabitý kapacitor se bude vybíjet, naplněná nádrž se
bude vyprazdňovat atd.). Blíže viz kapitola 1.3.1.
() 0=tu ()ty
4. Popisující diferenciální rovnice je rovnice lineární s konstantními koeficienty. S
konstantními koeficienty proto, že jsme při jejím odvozování předpokládali, že jednotlivé
komponenty systému (odpor a kapacitor u elektrického systému, rozměry nádrže a
hydraulický odpor u hydraulického systému, tuhost pružiny a viskózní tlumení u
mechanického systému, hmotnost a specifické teplo vody u tepelného systému, odpor vinutí a
moment setrvačnosti rotoru u elektromechanického systému) nezávisí ani na čase ani na
působících fyzikálních veličinách. V případě hydraulického systému jsme záměrně
považovali vztah mezi výškou hladiny a výtokem z nádrže za lineární za cenu jisté
nepřesnosti v popisu (ve skutečnosti je tato závislost nelineární).


8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
1.1.3 Příklady složitějších systémů
V dalším textu bude někdy pro stručnost používáno pro zápis -té derivace nějaké funkce
symbolu případně jen stručně
k
()tf
()
()tf
k ( )k
f .
B
D
f(t)
y(t)
m
R
C
L
i (t)
1
u (t)
1
u (t)
2
i (t)=0
2
i (t)
C
1
q (t)
1
y (t)
1
S
1
R
2
q (t)
2
S
2
R
2
y (t)
3
q (t)
p.dt
m .c .dϑ
ii i
m .c .dϑ
v v v
K .( - ).dtϑ ϑ
i i v
K .( - ).dtϑ ϑ
v v o
R
L
u(t)
i(t)
ω(t)
u (t)
e
Elektrický systém
Hydraulický systém
Mechanický systém Tepelný systém Elektromechanický systém

Obr. 1-2: Příklady složitějších systémů
Elektrický systém
Příklad složitějšího elektrického obvodu je uveden na Obr. 1-2. Obsahuje další akumulátor
elektromagnetické energie-induktor L . Snadno sestavíme rovnici pro součet napětí v
uzavřeném obvodu
()
()
() ()tutu
dt
tdi
LtRi
12
1
1
=++ .
( 1.13 )
Za předpokladu, že výstupní proud je nulový platí ()ti
2
( ) ( ) ( ) dttCdutiti
C
/
21
== . Dosazením
do předchozí rovnice obdržíme diferenciální rovnici druhého řádu
() ()
() ()tutu
dt
tdu
RC
dt
tud
LC
12
2
2
2
2
=++
( 1.14 )
se dvěma (jak je známo z matematiky) počátečními podmínkami ( )0
2
u a . První
podmínka určuje počáteční stav jednoho akumulátoru energie (počáteční napětí na
kapacitoru), druhá podmínka určuje proud induktorem, neboť
()
()0
1
2
u
( ) ( )
()
()000
1
2
Cuii
CL
== a tedy
určuje počáteční stav druhého akumulátoru.

Hydraulický systém
Systém sestává ze dvou propojených nádrží, přičemž ze druhé nádrže kapalina vytéká.
Vstupem do systému je přítok do první nádrže, výstupem je hladina v druhé nádrži viz Obr.
1-2. Význam symbolů v obrázku je obdobný jako u jednoduchého hydraulického systému.
Pro změnu objemu v jednotlivých nádržích za čas lze psát dV dt
Signály a systémy 9
() ()
( ) ( )
dt
R
tyty
tqtdySdV
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
−==
1
21
1111

( 1.15 )
()
() ( ) ( )
dt
R
ty
R
tyty
tdySdV
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
==
2
2
1
21
222
.
( 1.16 )
Z těchto dvou rovnic vydělením snadno získáme soustavu dvou diferenciálních rovnic
prvního řádu
dt
()
()
() ( )
1
21
1
1
1
R
tyty
tq
dt
tdy
S
−
−= ( 1.17 )
() ()
()
21
22
112
11
dy t y t
Sy
dt R R R
⎡⎤
=−+
⎢⎥
⎣⎦
t.
( 1.18 )
Z těchto rovnic vyloučením hladiny v první nádrži tj. dosazením za z druhé rovnice do
první (hladina v první nádrži nás nezajímá, zajímá nás výstup tj. hladina ve druhé nádrži),
získáme pro hladinu ve druhé nádrži diferenciální rovnici druhého řádu
1
y
( ) ( )
() ()
2
22
12
121 1 2 2 1
2
22
1
dy t dy t
RR
SSR S S y t q t
dt R dt R
⎡⎤+
+++=
⎢⎥
⎣⎦

( 1.19 )
se dvěma počátečními podmínkami ( )0
2
y a
( )
( )0
1
2
y . První počáteční podmínka určuje hladinu
ve druhé nádrži na počátku děje. Druhá počáteční podmínka definuje počáteční hladinu v
první nádrži neboť pro tuto počáteční hladinu platí
()
()
() ()000
2
2
211
2211
y
R
RR
ySRy
+
+= ( 1.20 )
což vyplývá ze druhé výše zmíněné diferenciální rovnice. Systém má dva akumulátory
energie a je popsán lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s konstantními koeficienty
(tzv. vnější popis) nebo dvěma rovnicemi prvního řádu (tzv. vnitřní popis).

Mechanický systém
Doplňme původní jednoduchý mechanický systém ještě hmotností tak, jak ukazuje
Obr. 1-2 (do této hmotnosti můžeme zahrnou i zatím zanedbanou hmotnost pístu případně
pružiny). Systém má nyní dva akumulátory mechanické energie a to potenciální (pružina) a
kinetické (pohybující se hmota). Do rovnováhy sil přibude ještě setrvačná síla, která je rovna
. Pro rovnováhu sil bude nyní platit
[kgm ]
()
22
/ dttymd
() ()
() ()tftDy
dt
tdy
B
dt
tyd
m =++
2
2

( 1.21 )
což je opět lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty a počátečními
podmínkami a . První podmínka určuje počáteční výchylku tj. předepnutí pružiny
tj. počáteční potenciální energii, druhá podmínka určuje počáteční rychlost hmoty a tedy
počáteční kinetickou energii.
()0y
()
()0
1
y

10 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Tepelný systém
Při našich úvahách o ohřevu vody jsme zcela zanedbali tu skutečnost, že vlastní těleso vařiče
má také svoji hmotnost a své specifické teplo []kgm
i
( )[ ]CkgWsc
o
i
/ . Vezmeme-li toto do
úvahy, potom tepelné toky v systému budou takové, jak ukazuje Obr. 1-2, kde
i
ϑ je teplota
hmoty vařiče. Množství tepla, které za čas vstupuje do systému ( ) se částečně
spotřebuje na ohřev tělesa vařiče (
dt pdt
iii
dcm ϑ ) a část ho přeje do vody ( ( )dtK
Vii
ϑϑ − . Z části,
která přejde do vody, se část spotřebuje na ohřev vody (
VVV
dcm ϑ ) a zbytek odchází do okolí
( ( dtK
OVV
)ϑϑ − ). Pro tepelnou rovnováhu tedy platí rovnice
() ( )dtKdcmdttp
Viiiii
ϑϑϑ −+=
( 1.22 )
() ()dtKdcmdtK
OVVVVVVii
ϑϑϑϑϑ −+=− .
( 1.23 )
Z těchto rovnic snadno nalezneme soustavu dvou diferenciálních rovnic 1. řádu
()tpK
dt
d
cm
Vii
i
ii
=−+ ϑϑ ()
ϑ

( 1.24 )
() ()
OVV
V
VVVii
K
dt
d
cmK ϑϑ
ϑ
ϑϑ −+=− .
( 1.25 )
Vyloučením teploty
i
ϑ z těchto rovnic (vypočtením
i
ϑ ze druhé a dosazením do první- opět
nás nezajímá teplota hmoty vařiče ale zajímá nás teplota vody tj. výstup systému) obdržíme
lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty
()tpK
dt
d
cm
K
K
cm
dt
d
K
cmcm
OVV
V
VV
i
V
ii
V
i
VVii
=−+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++ ϑϑ
ϑϑ
1
2
2
().
( 1.26 )
Budeme-li za výstupní veličinu systému opět považovat rozdíl teploty vody a teploty okolí tj.
provedeme-li substituci
OV
ϑϑϑ −=, obdržíme výslednou rovnici ve tvaru
()tpK
dt
d
cm
K
K
cm
dt
d
K
cmcm
VVV
i
V
ii
i
VVii
=+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++ ϑ
ϑϑ
1
2
2

( 1.27 )
opět se dvěma počátečními podmínkami, které definují počáteční stavy dvou akumulátorů
tepelné energie (těleso vařiče a hmota vody).
Elektromechanický systém
V našich úvahách o elektromotoru jsme zanedbali indukčnost vinutí rotoru . Vezměme
ji nyní v úvahu tak, jak ukazuje Obr. 1-2. Pro elektrickou a mechanickou část systému platí
nyní rovnice
[]HL
() () ()
()
dt
tdi
LtktRitu
e
++= ω
( 1.28 )
()
()
zm
M
dt
td
Jtik +=
ω
.
( 1.29 )
Za předpokladu nulového zatěžovacího momentu a vyloučením proudu z těchto
rovnic, obdržíme jednu lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty
z
M ()ti

Signály a systémy 11
() ()
() ()tutk
dt
td
k
JR
dt
td
k
JL
e
mm
=++ ω
ωω
2
2

( 1.30 )
a s počátečními podmínkami ()0ω a
( )
( )0
1
ω . První počáteční podmínka představuje počáteční
otáčky tj. počáteční kinetickou energii rotujících hmot. Druhá počáteční podmínka určuje
počáteční proud rotorovým vinutím tj. počáteční magnetickou energii akumulovanou v
indukčnosti vinutí rotoru, neboť z druhé diferenciální rovnice vyplývá (při ) 0=
z
M
()
()
()00
1
ω
m
k
J
i = . ( 1.31 )
1.1.4 Shrnutí
1. Uvedené příklady obsahují dva nezávislé akumulátory energie a chování systému je
popsáno formálně stejnou diferenciální rovnicí druhého řádu tvaru
( ) ( )
() ()tubtya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
001
2
2
2
=++
kde je vstup systému a je jeho výstup. Řád spojitého systému tj. řád diferenciální
rovnice je určen počtem nezávislých akumulátorů energie v systému.
()tu ()ty
2. Počáteční podmínky příslušné k diferenciální rovnici definují počáteční stavy těchto
akumulátorů.
3. Koeficienty této diferenciální rovnice závisí na jednotlivých prvcích
(komponentech) konkrétního systému (rezistoru, induktoru a kapacitoru v případě
elektrického systému, plochách nádrží a hydraulických odporech v případě hydraulického
systému atd.). V dalším budeme předpokládat, že tyto prvky jsou konstantní tj. nemění se
s časem. Potom i koeficienty diferenciální rovnice jsou konstantní a v dalším se
budeme zabývat jen takovými systémy tj. systémy, které jsou popsány diferenciální rovnicí
s konstantními koeficienty.
0012
,,, baaa
0012
,,, baaa
4. Výše uvedený způsob popisu chování spojitého systému, kdy je pro pozorovatele přístupný
pouze vstup a výstup systému se nazývá vnější popis systému (viz Obr. 1-3 vlevo).
Diferenciální rovnice je pouze jeden ze způsobů vnějšího popisu. S dalšími způsoby se čtenář
seznámí v této kapitole.
5. Jsou-li pro pozorovatele přístupny i vnitřní proměnné systému (např. stavy jednotlivých
akumulátorů energie) lze systém popsat soustavou diferenciálních rovnic 1. řádu (viz
předchozí příklady). Tento způsob se potom nazývá vnitřní popis nebo také stavový popis
(viz Obr. 1-3 vpravo).

12 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
y(t)y(t) u(t)
u(t)
vstup
vstup
výstupvýstup
x (t)
1
x (t)
2
x (t)
n
.........
stav
Systém
Systém

Obr. 1-3: Vnější popis SISO systému (vlevo) a vnitřní popis SISO systému (vpravo)
Ve výše zmíněných příkladech jak jednoduchých tak i složitějších systémů měl systém vždy
jeden vstup a jeden výstup. Takový systém se nazývá spojitý SISO systém (z angličtiny
Single Input Single Output- viz Obr. 1-3). Obecně ale může mít systém více vstupů i více
výstupů. Takový systém se nazývá spojitý MIMO systém (z angličtiny Multiple Input
Multiple Output- viz Obr. 1-4).


vstupy
vstupy
výstupy
výstupy
x (t)
1
x (t)
2
x (t)
n
.........
stav
Systém
Systém
u (t)
1
u (t)
1
u (t)
2
u (t)
2
u (t)
m
u (t)
m
y (t)
1
y (t)
1
y (t)
2
y (t)
2
y (t)
r
y (t)
r

Obr. 1-4: Vnější popis MIMO systému (vlevo) a vnitřní popis MIMO systému (vpravo)
1.2 Lineární časově invariantní spojité systémy
V úvodu jsme se seznámili s některými příklady systémů. V dalším se budeme zabývat jen
nejjednoduššími systémy, a to lineárními časově invariantními systémy se soustředěnými
parametry. Vysvětlíme nyní tyto pojmy.
1.2.1 Systémy se soustředěnými a rozloženými parametry
Představme si dlouhé metalické telekomunikační vedení. Odpor, kapacita nebo indukčnost
takového vedení jsou spojitě rozloženy podél tohoto vedení. Toto vedení lze také považovat
za systém, ale systém s rozloženými parametry. Takový systém je z matematického hlediska
popsán parciální diferenciální rovnicí. Tyto systémy nebudou předmětem našeho zájmu.
Všechny systémy, které jsou uvedeny v příkladech předchozí kapitoly, jsou systémy se
soustředěnými parametry. Takové systémy jsou matematicky popsány obyčejnou diferenciální
rovnicí tvaru
() ( ) ()
( ) 0,,,,...,
11
=
−
tuyyyyF
nn

( 1.32 )
a nazývají se systémy se soustředěnými parametry (lumped systems). Systémy
s rozprostřenými parametry jsou popsány parciálními diferenciálními rovnicemi.V dalším se
budeme zabývat jen těmito systémy.
Signály a systémy 13
1.2.2 Linearita a její důsledky
V úvodních příkladech jsme viděli, že systém je matematicky popsán obyčejnou diferenciální
rovnicí
() ( ) ()
( ) 0,,,,...,
11
=
−
tuyyyyF
nn

( 1.33 )
kde je v obecném případě nějaká nelineární funkce. Je-li ale lineární funkce tj. lineární
kombinace patřičných derivací, jedná se o lineární diferenciální rovnici a takový systém se
potom nazývá
F F
lineární systém (linear system).
Důsledky linearity ukážeme na příkladu. Předpokládejme, že máme dán nějaký spojitý systém
2. řádu, popsaný lineární diferenciální rovnicí
( ) ( )
() ()tubtya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
001
2
2
2
=++
Nechť na vstup tohoto systému působí signál ( )tu
1
. Označme odezvu systému na tento signál
(jeho výstup) jako . Platí: ()ty
1
( ) ( )
() ()tubtya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
1010
1
1
2
1
2
2
=++
Nechť
21
,αα jsou nějaká reálná čísla. Je zřejmé, že bude-li na vstup systému působit signál
()tu
11
α bude odezva systému na tento signál rovna ( )ty
11
α neboť (vynásobíme-li předchozí
rovnici číslem
1
α ) bude
()[] ()[ ]
() ()tubtya
dt
tyd
a
dt
tyd
a
110110
11
1
2
11
2
2
αα
αα
=++ .
Nechť na vstup tohoto systému působí jiný signál ( )tu
22
α . Označme odezvu systému na tento
signál (jeho výstup) jako ()ty
22
α . Platí:
()[] ( )[ ]
()[] ()tubtya
dt
tyd
a
dt
tyd
a
220220
22
1
2
22
2
2
αα
αα
=++
Vytvořme nový signál () ( ) ( )tututu
2211
αα += a nechť tento nový signál působí na vstup
systému. Jaká bude nyní odezva tj. výstup systému ( )ty ? Sečtěme levé i pravé strany
posledních dvou rovnic a po malé úpravě obdržíme rovnici
() ()[]( ) ( )[]
() ()[]() ()[]tutubtytya
dt
tytyd
a
dt
tytyd
a
2211022110
2211
1
2
2211
2
2
αααα
αααα
+=++
+
+
+

Na pravé straně této rovnice (tj. na vstupu systému) se nachází signál , který je lineární
kombinací signálů tj.
()tu
() ( ) ( )tututu
2211
αα += . Na levé straně této rovnice musí součet
() () ( )tytyty =+
2211
αα představovat právě hledanou odezvu systému na vstupní signál ( )tu .
Odezvu na signál ( )tu lze získat jako součet (superpozici) jednotlivých odezev. Platí tedy pro
námi uvažované lineární systémy princip superpozice (principle of superposition). V dalším
se budeme zabývat jen lineárními systémy. Linearita je důležitá vlastnost a budeme ji často
využívat.

14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
1.2.3 Časová invariance a její důsledky
Z předchozího vidíme, že příklady uvedené v motivační kapitole jsou příklady lineárních
systémů se soustředěnými parametry. Pojem časové invariance vysvětlíme na příkladu RLC
obvodu z Obr. 1-2. Tento obvod byl popsán diferenciální rovnicí
() ()
() ()tutu
dt
tdu
RC
dt
tud
LC
12
2
2
2
2
=++ .
Mlčky zde předpokládáme, že všechny prvky obvodu (rezistor, induktor i kapacitor) jsou na
čase nezávislé tj. jsou to konstanty. Diferenciální rovnice je potom rovnicí s konstantními
koeficienty. Připojme k tomuto obvodu v čase 0=t nějaké napětí ( )tu
1
. Na výstupu obvodu
obdržíme časový průběh napětí . Připojíme-li toto napětí až v čase tj. vstupní
napětí bude obdržíme na výstupu časový průběh napětí
()tu
2
Tt =
(Ttu −
1
) ( )Ttu −
2
tj. stejný průběh
jako v prvním případě jen posunutý v čase. Tento obvod je časově invariantní (neproměnný).
Příklad odezvy takového obvodu ukazuje Obr. 1-5.
u (t)
1
u (t)
1
u (t)
2
u (t)
2
t t
t t
00
00
T

Obr. 1-5: Odezva časově invariantního systému
Systémy mající tuto vlastnost se nazývají časově invariantní systémy (time-invariant
systems). U těchto systémů nezáleží na časovém počátku od kterého začneme systém budit.
Jestliže ale bude např. hodnota kapacity kapacitoru záviset na čase tj. bude mít
popisující diferenciální rovnice tvar
()tCC =
()
()
()
( )
() ()tutu
dt
tdu
tRC
dt
tud
tLC
12
2
2
2
2
=++
a bude rovnicí s časově proměnnými parametry. U takového systému již bude záležet na tom,
v kterém časovém okamžiku připojíme na jeho vstup nějaký signál. Takový systém již není
časově invariantní. V dalším se budeme zabývat jen časově invariantními systémy.
1.2.4 Systémy s pamětí a bez paměti
Systém se nazývá systém bez paměti, jestliže jeho výstup ( )
0
ty v čase závisí pouze na
vstupu v tomtéž čase tj. výstup nezávisí na hodnotách vstupu před časovým
okamžikem . Jinak řečeno okamžitý výstup systému bez paměti závisí jen na okamžitém
vstupu a nikoliv na jeho historii. Zapsáno matematicky
0
t
()
0
tu
0
t
0
t
() ()tkuty =
kde k je nějaká konstanta. Příkladem takového systému by mohl být nezatížený dělič napětí,
sestavený ze dvou rezistorů. Všechny příklady uvedené v motivační kapitole jsou příklady
systémů s pamětí. Většina systémů vyskytujících se kolem nás jsou systémy s pamětí.
Signály a systémy 15
1.2.5 Shrnutí
1. Systémy se soustředěnými parametry jsou takové systémy, jejichž jednotlivé komponenty
jsou soustředěny do jednoho místa prostoru. Jsou popsány obyčejnými diferenciálními
rovnicemi.
2. Lineární systém je systém je systém, který je popsán lineární diferenciální rovnicí. Pro
tento systém platí princip superpozice, který říká: je-li na vstupu lineárního systému
superpozice vstupních signálů potom výstup systému je superpozicí odezev na jednotlivé
vstupní signály.
3. Časově invariantní systémy jsou systémy, jejichž parametry nezávisí na čase. Jsou
popsány diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty. Odezva na daný vstupní signál není
závislá na časovém počátku.
4. Systém bez paměti je takový systém u kterého okamžitý výstup závisí jen na okamžitém
vstupu a nikoliv na jeho historii.
1.3 Vnější popis spojitých SISO systémů
V dalším se budeme se zabývat jen takovými spojitými systémy se soustředěnými
parametry, které jsou popsány lineární diferenciální rovnicí (lineární systémy) s konstantními
koeficienty (časově invariantní systémy). Dále budeme předpokládat, že systém má jen jeden
vstup a jeden výstup (SISO systém). Pod pojmem systém budeme v následujícím rozumět
právě takový systém.
V následujících podkapitolách se seznámíme s několika různými způsoby vnějšího
popisu těchto spojitých systémů. Vnější popis systému je takový popis, při kterém má
pozorovatel k dispozici jen vstup a výstup systému. Všechny tyto způsoby vnějšího popisu
jsou ekvivalentní (s jednou výjimkou této ekvivalence u jednoho způsobu popisu). Tyto
způsoby vnějšího popisu jsou:
1. diferenciální rovnice systému
2. operátorový přenos systému
3. rozložení pólů a nul systému (výjimka z ekvivalence)
4. frekvenční přenos systému
5. frekvenční charakteristiky systému
6. impulsní charakteristika systému
7. přechodová charakteristika systému
V dalším se budeme podrobněji zabývat těmito způsoby vnějšího popisu. Jeden a tentýž
systém lze popsat kterýmkoli z těchto způsobů a lze také přecházet od jednoho způsobu
popisu ke jinému.
1.3.1 Diferenciální rovnice systému, její řešení a fyzikální význam
Z předchozího je patrné, že pokud má lineární systém nezávislých akumulátorů energie je
popsán diferenciální rovnicí -tého řádu s konstantními koeficienty
n
n
() () ( )
()
() () ()
()tub
dt
tdu
b
dt
tyd
b
dt
tud
b
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
01
1
1
1
01
1
1
1
....
....
+++=
=+++
−
−
−
−
−
−

( 1.34 )
s počátečními podmínkami n
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )0,0,...0,0
121
yyyy
nn −−
. Rovnici budeme zkráceně
zapisovat jako
16 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
() ()
∑∑
==
=
m
i
i
i
i
n
i
i
i
i
dt
tud
b
dt
tyd
a
00
.
( 1.35 )
Je to diferenciální rovnice s pravou stranou. Z matematiky je známo, že řeše