Skripta Matematika 1 Počítačová cvičení Maple

Matematika 1
Poˇc´ıtaˇcov´a cviˇcen´ı Maple
Mgr. Michal Nov´ak, Ph.D.
´USTAV MATEMATIKY
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 1
Obsah
1 ´Uvod 4
1.1 Charakteristika souboru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Co se nauˇc´ıte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Z´aklady pr´ace s programem Maple 5
2.1 Rozhran´ı programu Maple, text, matematika a grafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Jak zad´avat pˇr´ıkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Jak zad´avat desetinn´a ˇc´ısla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Jak zad´avat algebraick´e v´yrazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Zad´av´an´ı element´arn´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Co v Maplu nem˚uˇzeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.7 Co si Maple pamatuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.8 Kde hledat pomoc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Line´arn´ı algebra 9
3.1 Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.1 Z´aklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.2 Operace s maticemi – souˇcet, rozd´ıl a souˇcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.3 Transponovan´a a inverzn´ı matice, hodnost matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.4 Omezen´ı operac´ı s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Soustavy line´arn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.1 Co je potˇreba zn´at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.2 Prost´e hled´an´ı ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.3 Gaussova eliminaˇcn´ı metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Chybov´a hl´aˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Diferenci´aln´ı poˇcet I 15
4.1 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1.1 Co je potˇreba zn´at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1.2 Z´aklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1.3 Limita parci´aln´ı funkce (limity zleva a zprava) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1.4 Limity v nevlastn´ıch bodech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1.5 Chybov´a hl´aˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2.1 Co je potˇreba zn´at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2.2 Z´aklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2.3 Derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2.4 Chybov´a hl´aˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Pr˚ubˇeh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3.1 Co je potˇreba zn´at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3.2 Definiˇcn´ı obor, obor hodnot, nulov´e body funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3.3 Funkce rostouc´ı, klesaj´ıc´ı, stacion´arn´ı body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3.4 Konk´avnost, konvexnost funkce, inflexn´ı body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3.5 Lok´aln´ı extr´emy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3.6 Asymptoty grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3.7 Vykreslen´ı grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3.8 Chybov´a hl´aˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Matematika 1 2
5 Integr´aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e promˇenn´e 23
5.1 Neurˇcit´y integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1.1 Co je potˇreba zn´at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1.2 Z´aklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1.3 Substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1.4 Rozklad na parci´aln´ı zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.1.5 Chybov´a hl´aˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2 Urˇcit´y integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2.1 Co je potˇreba zn´at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2.2 Z´aklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2.3 Substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 Diferenci´aln´ı poˇcet II 26
6.1 Parci´aln´ı derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.1.1 Co je potˇreba zn´at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.1.2 Parci´aln´ı derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.2 Lok´aln´ı extr´emy funkc´ı dvou promˇenn´ych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2.1 Co je potˇreba zn´at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2.2 Stacion´arn´ı body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2.3 Typ extr´emu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.3 Chybov´a hl´aˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7 Z´avˇer 31
8 V´ysledky cviˇcen´ı 32
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 3
Seznam obr´azk˚u
1.1 Pˇr´ıklad nedokonalosti programu Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.1 Zobrazen´ı grafu funkce bez specifikovan´ych parametr˚u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Graf, kde jsme zadali parametry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 V´ıce funkc´ı v jednom grafu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.1 Zobrazen´ı trojrozmˇern´eho grafu bez specifikovan´ych parametr˚u. . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.2 Trojrozmˇern´y graf se zobrazen´ymi souˇradn´ymi osami. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Matematika 1 4
1 ´Uvod
Tato studijn´ı opora je urˇcena pro poˇc´ıtaˇcov´acviˇcen´ı z pˇredmˇetu Matematika 1. Ukazuje, jak´ym zp˚usobem
lze vyuˇz´ıt program Maple k ˇreˇsen´ı ´uloh, s nimiˇz se v tomto pˇredmˇetu setk´av´ame: poˇc´ıt´an´ı s maticemi,
ˇreˇsen´ı soustav line´arn´ıch rovnic,ˇreˇsen´ı ´uloh z diferenci´aln´ıho poˇctu jedn´e a v´ıce promˇenn´ych a z´akladn´ıch
´uloh z integr´aln´ıho poˇctu. Je k dispozici ve dvou form´ach: jako tento soubor PDF a tak´e jako interaktivn´ı
soubor, s n´ımˇz m˚uˇzete pracovat pˇr´ımo v programu Maple. Obˇe formy jsou obsahovˇe identick´e a liˇs´ı se
pouze ve form´atov´an´ı – tento text vznikl pˇreloˇzen´ım interaktivn´ıho souboru do form´atu PDF.
1.1 Charakteristika souboru
Urˇcen´ı: pro pˇredmˇet BMA1, resp. KMA1
Poˇzadovan´e vstupn´ı znalosti: z´aklady pr´ace s poˇc´ıtaˇcem a operaˇcn´ım syst´emem Windows, znalosti
z pˇredn´aˇsky
Verze programu Maple: soubor byl vytvoˇren v Maple 6, a je tedy moˇzn´e jej otevˇr´ıt v libovoln´e vyˇsˇs´ı
verzi. Texty nˇekter´ych chybov´ych hl´aˇsen´ı se mohou ve vyˇsˇs´ıch verz´ıch liˇsit. Testov´ano ve verzi 9.5.
1.2 Co se nauˇc´ıte
Tento soubor doplˇnuje skriptum Fuchs, P, Krupkov´a, V.: Matematika 1, zachov´av´a jeho ˇclenˇen´ı
i n´aplˇn (s v´yjimkou ˇc´asti o ˇrad´ach a Taylorovˇe polynomu). Je urˇcen student˚um prvn´ıho roˇcn´ıku, kteˇr´ı se
s programem Maple dosud nesetkali. V´yklad je veden se zˇretelem na uˇzivatele, kter´y poˇzaduje n´astroj
na ˇreˇsen´ı konkr´etn´ıch ´uloh – naj´ıt limitu funkce, urˇcit derivaci, spoˇc´ıtat integr´al a podobnˇe – a nezaj´ım´a
se o obecnˇejˇs´ı souvislosti ani o to, jak´ym zp˚usobem program pracuje. Pokroˇcilejˇs´ı uˇzivatel jistˇe postˇrehne
mnoh´e ”zbyteˇcnosti“ (napˇr. v popisn´em oznaˇcov´an´ı promˇenn´ych, rozf´azovan´ych pˇr´ıkazech apod.) Nauˇc´ıte
se:
• jak vypad´a rozhran´ı programu Maple, jak´e jsou moˇznosti vstup˚u a v´ystup˚u,
• jak pracovat s maticemi a determinanty,
• jak rozkl´adat racion´aln´ı lomen´e funkce na parci´aln´ı zlomky,
• jak naj´ıt limity funkc´ı (vˇcetnˇe jednostrann´ych limit a limit v nevlastn´ıch bodech),
• jak urˇcit derivace funkc´ı (vˇcetnˇe derivac´ı v bodˇe, derivac´ı vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u, u funkce v´ıce promˇenn´ych
tak´e parci´aln´ı derivace),
• jak vypoˇc´ıtat neurˇcit´e a urˇcit´e integr´aly (vˇcetnˇe integr´al˚u ˇreˇsen´ych pomoc´ı substituc´ı) a jak m´ıt
kontrolu nad v´ypoˇctem,
• jak urˇcit pr˚ubˇeh funkce jedn´e promˇenn´e (vˇcetnˇe vykreslen´ı grafu),
• jak naj´ıt lok´aln´ı extr´emy funkce dvou promˇenn´ych (vˇcetnˇe vykreslen´ı grafu).
Upozornˇen´ı
Pˇri pr´aci s jak´ymkoliv matematick´ym programem nikdy nezapom´ınejte, ˇze program pouze vykon´av´a vaˇse
instrukce. Rozhodnut´ı, zda tyto instrukce maj´ı smysl a zda jsou v˚ubec pˇr´ıpustn´e, je na V´as. Stejnˇe tak
jste to Vy, kdo mus´ı z´ıskan´e v´ysledky spr´avnˇe interpretovat.
ˇZ´adn´y poˇc´ıtaˇcov´y program nen´ı dokonal´y. Je napˇr. toto graf funkce y = 1x+1?
> restart: plot(1/(x+1),x=-4..4,-4..4);
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x
Obr´azek 1.1: Pˇr´ıklad nedokonalosti programu Maple
2 Z´aklady pr´ace s programem Maple
C´ıl kapitoly
V t´eto kapitole se sezn´am´ıme s programem Maple a uk´aˇzeme si, jak´ym zp˚usobem mu zad´avat vstupn´ı
´udaje a jak´e formy v´ystupu m˚uˇzeme oˇcek´avat. Sezn´am´ıme se tak´e s nˇekter´ymi omezen´ımi programu.
2.1 Rozhran´ı programu Maple, text, matematika a grafy
ProgramMaple pracuje se soubory typu *.mws, resp. *.mw, kter´e v sobˇe kombinuj´ı prost´y text, vykonatel-
n´e pˇr´ıkazy a r˚uzn´e formy v´ystupu. Jednotliv´e ˇc´asti souboru je moˇzn´e sdruˇzovat do kapitol.
Moˇznosti programu Maple (a t´ım i vzhled panelu n´astroj˚u) se liˇs´ı podle toho, zda pracujeme s textem,
pˇr´ıkazem nebo v´ystupem. Nyn´ı m´ate kurzor v textov´em, ˇr´adku a vid´ıte proto moˇznosti form´atov´an´ı
podobn´e jako napˇr. v programu MS Word. To, ˇze se jedn´a o textov´y ˇr´adek, pozn´ate podle toho, ˇze vlevo
je text uzavˇren jakoby do hranat´e z´avorky.
Na dalˇs´ım ˇr´adku je pˇr´ıklad vykonateln´eho pˇr´ıkazu: ˇr´adek zaˇc´ın´a znaky [> a p´ısmo je ˇcerven´e a pouˇz´ıv´a
jin´y font. Po stisknut´ı kl´avesy Enter se pˇr´ıkaz vykon´a a z´ısk´ame modr´y text - maplovsk´y v´ystup. Protoˇze
posledn´ı pˇr´ıkaz poˇzaduje dˇelen´ı nulou, z´ısk´ame i chybov´e hl´aˇsen´ı, kter´e Maple zapisuje fialovˇe. Z´aroveˇn
je vidˇet, ˇze na jeden ˇr´adek m˚uˇzeme ps´at v´ıce pˇr´ıkaz˚u.
> restart: a:=3; b:=4; a*b; a/0;
a := 3
b := 4
12
Error, division by zero
Dalˇs´ı moˇznost´ı v´ystupu je graf. Pokud na graf klikneme prav´ym tlaˇc´ıtkem myˇsi, vyvol´a se kontextov´e
menu, ve kter´em je moˇzn´e r˚uznˇe mˇenit parametry grafu, zp˚usoby zobrazen´ı a podobnˇe. Trojrozmˇen´e
grafy m˚uˇzeme dokonce lev´ym tlaˇc´ıtkem myˇsi chytit a libovolnˇe ot´aˇcet. Na dalˇs´ımˇr´adku stisknˇete kl´avesu
Enter, aby se pˇr´ıkaz mohl vykonat. Z´aroveˇn si vˇsimnˇete, jak se zmˇen´ı panel n´astroj˚u.
> restart: plot(x^2,x=-3..3,-0.5..3.5, scaling=constrained);
> with(plots): plot3d(x^2/4+y^2/9,x=-3..3,y=-3..3);
Matematika 1 6
Nov´y ˇr´adek z´ısk´ame bud’ automaticky (na konci souboru se po vykon´an´ı posledn´ıho pˇr´ıkazu vygeneruje
dalˇs´ı pˇr´ıkazov´y ˇr´adek), nebo jej m˚uˇzeme vloˇzit pomoc´ı tlaˇc´ıka [> na panelu n´astroj˚u. Po vykon´an´ı
posledn´ıho pˇr´ıkazuv kapitole se automaticky otevˇre dalˇs´ıkapitola a kurzor pˇreskoˇc´ına jej´ı prvn´ı pˇr´ıkazov´y
ˇr´adek. Tlaˇc´ıtkem s p´ısmenem T m˚uˇzeme pˇr´ıkazov´y ˇr´adek zmˇenit na textov´y.
Kapitoly lze otev´ırat a uzav´ırat kliknut´ım na tlaˇc´ıtko +, resp. - vedle jej´ıho n´azvu.
2.2 Jak zad´avat pˇr´ıkazy
Pro zad´av´an´ı pˇr´ıkaz˚u existuje nˇekolik moˇznost´ı. M˚uˇzeme Maple pˇr´ımo nechat spoˇc´ıtat nˇejak´y pˇr´ıklad,
napˇr.
> 3*(4+5);
27
nebo – coˇz je mnohem praktiˇctˇejˇs´ı – postupnˇe zad´avat promˇenn´e a pracovat s nimi. Pro pˇriˇrazov´an´ı
hodnot promˇenn´ym slouˇz´ı pˇr´ıkaz := (nikoliv prost´e rovn´ıtko =).
> restart: a:=3; b:=4: c:=5; a*(b+c);
a := 3
c := 5
27
I kdyˇz jsme v pˇredch´azej´ıc´ım pˇr´ıkladˇe definovali promˇenn´e a, b i c, hodnota promˇenn´e b se nezobrazila.
V Maplu totiˇz plat´ı, ˇze
v´ysledek pˇr´ıkazu ukonˇcen´eho stˇredn´ıkem se zobraz´ı, ale v´ysledek pˇr´ıkazu ukonˇcen´eho dvojteˇckou nikoliv.
Cviˇcen´ı
Zadejte n´asleduj´ıc´ı v´yrazy a pot´e u kaˇzd´eho za nˇekter´e promˇenn´e dosad’te:
a+b
c−a, a +
b−c
a + bc, (b
2 + a3)4 −c+ 1
a2
2.3 Jak zad´avat desetinn´a ˇc´ısla
Maple je anglick´y program, proto desetinn´a ˇc´ısla p´ıˇseme s teˇckou, nikoliv s ˇc´arkou. ˇC´arka m´a jin´y
v´yznam.
> restart: x:=2.5; y:=1,5; x*y;
x := 2.5
y := 1, 5
Error, invalid terms in product
2.4 Jak zad´avat algebraick´e v´yrazy
Veˇsker´y matematick´y text zad´av´ame za sebe do jednoho ˇr´adku s pouˇzit´ım znak˚u na bˇeˇzn´e kl´avesnici.
Mus´ıme proto zejm´ena db´at na vhodn´e uz´avorkov´an´ı.
> restart: f*(g+h/(f+k)-(g*(l+m)/h));
f (g + hf + k − g(l + m)h )
Maple si s´am v´ystup zobraz´ı ve vhodn´e podobˇe. ˇCasto se st´av´a, ˇze si v´ystup i zjednoduˇs´ı:
> restart: k/l/m;
k
lm
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 7
K c´ılen´emu zjednoduˇsen´ı v´yraz˚u slouˇz´ı pˇr´ıkaz simplify(co); ˇcasto se vyuˇzije tak´e pˇr´ıkaz expand(co)
pro rozn´asoben´ı.
> restart:
> zlomek:=(x+1)^2*(x-3)/(x^2-1): zlomek=simplify(zlomek);
> vyraz:=(x+1)^2*(x-3): vyraz=expand(vyraz);
(x + 1)2 (x−3)
x2 −1 =
(x−3)(x+ 1)
x−1
(x + 1)2 (x−3) = x3 −x2 −5x−3
Cviˇcen´ı
Ukaˇzte, ˇze plat´ı: (x+3)(x−1)2 (x2+1)x2+2x−3 = x3 −x2 + x−1.
2.5 Zad´av´an´ı element´arn´ıch funkc´ı
Element´arn´ı funkce vˇetˇsinou zad´av´ame ve tvaru funkce(argument).Jak zad´avatnejbˇeˇznˇejˇs´ıfunkce, plyne
z n´asleduj´ıc´ıho ˇr´adku (tan(x) znaˇc´ı tg x, cot(x) oznaˇcuje cotg x):
> restart:
> x^2+sqrt(x)+root[3](x)+sin(y)+cos(2*x+Pi/3)+tan(x^2)+cot(sqrt(y))+ln(x)+
> exp(y)-arcsin(y);
x2 +√x + x(1/3) + sin(y) + cos(2x + pi3) + tan(x2) + cot(√y)+ ln(x) + ey −arcsin(y)
Pozn.: Konstantu pi je tˇreba zad´avat s velk´ym p´ısmenem jako Pi. Maple nezn´a konstantu e, jej´ı hodnotu
z´ısk´ame pomoc´ı pˇr´ıkazu exp(1).
Cviˇcen´ı
Zadejte n´asleduj´ıc´ı v´yrazy: x2−
√x
sin(x) , cos(3x
2 + pi
4)−
ln(x)
x3 , a + b(a−b), a−c(a +
bc
a+b), 2a
3 −3b4 + 4ab
3 ,
abc, e bc2 .
2.6 Co v Maplu nem˚uˇzeme
Promˇenn´e lze znaˇcit podle vlastn´ıho uv´aˇzen´ı - nˇekdo d´a pˇrednost popisn´emu oznaˇcen´ı lok´aln´ı extr´em,
jin´emu bude staˇcit oznaˇcen´ı le. Pro oznaˇcov´an´ı promˇenn´ych vˇsak plat´ı urˇcit´a omezen´ı:
• v oznaˇcen´ı promˇenn´e se nemohou vyskytovat mezery
> nova promenna:=1;
Error, missing operator or ‘;‘
• jako jm´eno promˇenn´e nen´ı moˇzn´e pouˇz´ıt slovo, kter´e oznaˇcuje pˇr´ıkaz. Tak napˇr. pomoc´ı pˇr´ıkazu
int poˇc´ıt´ame integr´aly, proto:
> int:=x;
Error, attempting to assign to ‘int‘ which is protected
• promˇenn´e nen´ı moˇzn´e oznaˇcovat nˇekolika dalˇs´ımi ”rezervovan´ymi“ v´yrazy (posledn´ı pˇr´ıkaz vytvoˇr´ı
promˇennou pi, kter´a vˇsak nen´ı konstantou Pi!)
> D:=3; Int:=2; pi:=3.14;
Error, attempting to assign to ‘D‘ which is protected
Error, illegal use of an object as a name
Matematika 1 8
pi := 3.14
2.7 Co si Maple pamatuje
Ve chv´ıli, kdy nˇekter´e promˇenn´e pˇriˇrad´ıte hodnotu, Maple tuto hodnotu uloˇz´ı a d´ale s n´ı pracuje. Na
zaˇc´atku jsme promˇenn´ym a, b a c pˇriˇradili nˇejak´e hodnoty. Pˇr´ısluˇsn´y ˇr´adek vypadal takto:
> restart: a:=3; b:=4: c:=5; a*(b+c);
a := 3
c := 5
27
Proto kdyˇz budeme cht´ıt nyn´ı zapsat v´yraz abc , dostaneme:
> a*b/c;
12
5
Promˇenou lze ”zresetovat“ pˇr´ıkazem unassign(’promenna’).
Vˇsechny promˇenn´e lze najednou zresetovat pˇr´ıkazem restart.
> unassign(’a’); a*b/c; restart: a*b/c;
4
5 a
ab
c
Probl´em pamatov´an´ı si hodnot promˇenn´ych je snad nejvˇetˇs´ım zdrojem nedorozumnˇen´ı a zv´yˇsen´e hladiny
adrenalinu pˇri pr´aci s Maplem. Proto je ˇcasto nejlepˇs´ı vykonat pˇr´ıkaz restart a pak nechat Maple znovu
vykonat vˇsechny pˇr´ıkazy.
2.8 Kde hledat pomoc
N´apovˇeda programu Maple je v angliˇctinˇe. N´apovˇedu je moˇzn´e vyvolat bud’ z menu Help poloˇzkou Topic
Search (hled´a se v t´ematech) nebo Full Text Search (hled´a se v cel´em textu). Velmi dobrou pom˚uckou je
tak´e moˇznost vyvol´an´ı n´apovˇedy pˇr´ımo z pˇr´ıkazov´eho ˇr´adku: pˇresuˇnte textov´y kurzor nˇekam na pˇr´ıkaz
a stisknˇete CTRL+F1. Zobraz´ı se n´apovˇeda pˇr´ımo pro dan´y pˇr´ıkaz. Toho vyuˇzijete zejm´ena ve chv´ıli,
kdy si nejste jist´ı syntax´ı (tedy z´apisem) dan´eho pˇr´ıkazu.
> sin(x,2);
Error, (in sin) expecting 1 argument, got 2
Shrnut´ı
Vstupn´ıˇr´adky programu Maple jsou dvoj´ıho typu: prost´y text, kter´y lze form´atovat, a – barevnˇe odliˇsen´e
– pˇr´ıkazy. V´ystupem je v´ysledek pˇr´ıkazu (coˇz m˚uˇze b´yt i graf) nebo chyba. Vˇsechny pˇr´ıkazy a matema-
tick´y text zad´av´ame prostˇrednictv´ım bˇeˇzn´ych znak˚u na kl´avesnici, napˇr. (x+1)^2/(sqrt(x)+sin(x)).
Promˇenn´e je vhodn´e nˇejak oznaˇcovat, pˇriˇcemˇz mus´ıme poˇc´ıtat s t´ım, ˇze si Maple oznaˇcen´ı pamatuje
(napˇr. a:=3). Tuto pamˇet’ lze kdykoliv vymazat.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 9
3 Line´arn´ı algebra
C´ıl kapitoly
V t´eto kapitole si uk´aˇzeme, jak v Maplu zad´avat matice a jak s nimi poˇc´ıtat. Nauˇc´ıme se tak´e nˇekolik
postup˚u pro ˇreˇsen´ı soustav line´arn´ıch rovnic. U soustav line´arn´ıch rovnic n´as m˚uˇze zaj´ımat bud’ pouze
fakt, zda ˇreˇsen´ı existuje nebo samotn´e ˇreˇsen´ı, nebo m˚uˇzeme cht´ıt do jist´e m´ıry imitovat postup ˇreˇsen´ı
dan´e soustavy. O vˇsech tˇechto moˇznostech se proto zm´ın´ıme.
3.1 Matice
3.1.1 Z´aklady
Vˇetˇs´ı ˇc´ast pr´ace s maticemi obstar´av´a Maple pomoc´ı knihovny linalg. Proto je tˇreba ji nejprve nahr´at.
> restart: with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and
unprotected
Nyn´ı m´ame nadefinov´any potˇrebn´e promˇenn´e a funkce a m˚uˇzeme zaˇc´ıt pracovat.
Vlastn´ı matici zad´av´ame pˇr´ıkazem matrix, jehoˇz argumenty jsou ´udaje potˇrebn´e pro vytvoˇren´ı matice
a jej´ı naplnˇen´ı spr´avn´ymi hodnotami – tj. poˇcet ˇr´adk˚u a sloupc˚u a prvky matice. Pˇr´ıkaz m˚uˇze m´ıt v´ıce
podob uz´avorkov´an´ı, napˇr.:
> matrix(2,3,[[1,2,3],[4,5,6]]); bracketleftbigg
1 2 3
4 5 6
bracketrightbigg
Tato matice m´a dva ˇr´adky a tˇri sloupce. V hranat´ych z´avork´ach n´asleduje v´yˇcet prvk˚u matice. Vnitˇrn´ı
hranat´e z´avorky (po jednotliv´ych ˇr´adc´ıch) nejsou nutn´e, avˇsak usnadˇnuj´ı orientaci.
Cviˇcen´ı
Zadejte libovolnou matici o 4 ˇr´adc´ıch a 5 sloupc´ıch. Ovˇeˇrte r˚uzn´e zp˚