skripta

Matematika 2
Prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc.
RNDr. Zden k Svoboda, CSc.
RNDr. Michal NovÆk, Ph.D.
STAV MATEMATIKY

Matematika 2 1
Obsah
1 Funkce v ce prom nn ch 3
1.1 De nice a zÆkladn pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 BodovØ mno iny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Limita, spojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 ParciÆln derivace, derivace ve sm ru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 DiferenciÆl funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 N kterØ aplikace pro łe„en rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 CviŁen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 ObyŁejnØ diferenciÆln rovnice 19
2.1 ZÆkladn pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 LineÆrn diferenciÆln rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Nalezen obecnØho łe„en homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice s
konstantn mi koe cienty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Nalezen obecnØho łe„en nehomogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice 25
2.3 SystØmy diferenciÆln ch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 PoznÆmka o stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 DiferenŁn rovnice 33
3.1 ZÆkladn pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 LineÆrn diferenŁn rovnice s konstantn mi koe cienty . . . . . . . . . . . . 35
4 Funkce komplexn prom nnØ 37
4.1 ZÆkladn pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Limita, spojitost a derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 ElementÆrn funkce komplexn prom nnØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 IntegrÆl funkce komplexn prom nnØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.5 ady v komplexn m oboru a jejich vyu it płi integrovÆn . . . . . . . . . . 47
5 IntegrÆln transformace 51
5.1 Matematick aparÆt pro signÆly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.1 Diracova zobecn nÆ funkce (t), zobecn nÆ derivace . . . . . . . . . 51
5.1.2 PeriodickØ a harmonickØ funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.3 Fourierovy trigonometrickØ łady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.4 Fourierøv integrÆl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Fourierova transfomace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.1 U it Fourierovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.2 Slovn k Fourierovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3 Laplaceova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.1 Zp tnÆ Laplaceova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.2 U it Laplaceovy transformace k łe„en rovnic . . . . . . . . . . . . 80
5.3.3 Slovn k Laplaceovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
5.4 CviŁen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 Z transformace 89
6.1 Souvislost Z a Laplaceovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2 Zp tnÆ Z transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.1 Płedm t k racionÆln funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3 e„en diferenŁn ch a rekurentn ch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3.1 CviŁen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7 SignÆly 99
7.1 Pojem signÆlu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.1.1 Zaveden pojmu a klasi kace signÆlu . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2 SignÆly se spojit m Łasem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.3 PeriodickØ signÆly, harmonickØ signÆly a jejich spektra . . . . . . . . . . . . 103
7.4 AperiodickØ signÆly, spektrum signÆlu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.5 Diskretn signÆly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8 SystØmy 119
8.1 Zaveden pojmu a klasi kace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.2 Matematick model systØmu se spojit m Łasem . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.3 e„en vstupn -v stupn rovnice Laplaceovou transformac . . . . . . . . . 126
8.4 Impulsn a frekvenŁn charakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.5 Vazby mezi systØmy | sØriovØ, paraleln spojen systØmø, zp tnÆ vazba . . 131
8.5.1 SØriovØ spojen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.5.2 Paraleln spojen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.5.3 Zp tnovazebn (antiparaleln ) spojen . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.6 Matematick model systØmu se spojit m Łasem . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.7 Stabilita spojit ch systØmø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.7.1 Hodnocen stability systØmu podle vn j„ ho projevu . . . . . . . . . 145
8.7.2 Stabilita ve smyslu Ljapunova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Kapitola 1
Funkce v ce prom nn ch
V tØto kapitole se struŁn seznÆm me se zÆkladn mi pojmy, kterØ se t kaj funkc v ce
prom nn ch a jsou nezbytnØ pro v klad dal„ ch tematick ch celkø prob ran ch v rÆmci
płedm tu AMA 2. To znamenÆ, e i nÆpl kapitoly je tak poznamenÆna a neobsahuje
proto i n kterØ standardn prob ranØ pasÆ e a łe„en n kter ch typick ch pł kladø. Dal„ m
omezen m je zam łen se zejmØna płi geometrick ch interpretac ch na funkce pouze dvou
prom nn ch. Toto je motivovÆno zachovÆn m nÆzornosti, nebo» płi tomto omezen budou
na„e œvahy prob hat v trojrozm rnØm EuklidovskØm prostoru.
1.1 De nice a zÆkladn pojmy
De nice 1 ReÆlnou funkc n reÆln ch prom nn ch rozum me zobrazen f mno iny D(f)
na mno inu H(f), tj. f : D(f) ! H(f), kde D(f) Rn naz vÆme de niŁn m obo-
rem a H(f) R oborem hodnot funkce f. Funkci obvykle zapisujeme ve tvaru y =
f(x1;x2;:::;xn) nebo zkrÆcen f(x1;:::;xn). V pł pad funkce dvou prom nn ch resp. tł
prom nn ch obvykle preferujeme zÆpis z = f(x;y) resp. u = f(x;y;z).
Pł klady takov chto funkc mohou b t znÆmØ jednoduchØ vzorce. Objem V rotaŁn ho
vÆlce je funkc polom ru R podstavy a v „ky v, co zap „eme
V = V(R;v) = R2 v:
Analogicky objem V komolØho rotaŁn ho ku ele je funkc tł prom nn ch v „ky v a polo-
m rø R;r jeho spodn a horn podstavy, co zap „eme
V = V(R;v;r) = v3 R2 +Rr +r2 :
Funkci dvou prom nn ch z = f(x;y) obvykle znÆzor ujeme pomoc grafu jako mno inu
bodø [x;y;f(x;y)] v EuklidovskØm prostoru dimenze 3 (E3). Pro gra ckØ znÆzorn n vyu-
vÆme Łasto tzv. metodu rovinn ch łezø. SpeciÆln m pł padem t chto kłivek jsou vrstev-
nice, co jsou prøseŁnice grafu funkce s rovinami typu z = z0. Interpretujeme-li zemsk
povrch lokÆln jako funkci dvou prom nn ch, kdy dvojici Ł sel, chÆpan ch jako zem pisnÆ
3
4 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
„ łka a dØlka bodu zemskØho povrchu, płiład me jeho nadmołskou v „ku, je takto zave-
denÆ kłivka vrstevnic na map . Pro funkce n prom nn ch de nujeme hladinu funkce y =
f(x1;x2;:::;xn) na œrovni c2R jako mno inu bodøf[x1;:::;xn]2D(f)jf(x1;:::;xn) = cg.
V nÆsleduj c ch obrazc ch je pro v „e uvedenou funkci objemu rotaŁn ho vÆlce v zÆvislosti
na polom ru podstavy R2[0;2] a v „ky t lesa v2[0;2] znÆzorn n graf a vrstevnice:
Obr. 1.1.1: :Graf a vrstevnice funkce objemu rotaŁn ho vÆlce v zÆvislosti na polom ru a
v „ce.
Poznamenejme, e volba intervalø R 2 [0;2], v 2 [0;2] nezÆvisle prom nn ch byla
dÆna rozhodnut m autorø. Pokud nen souŁÆst zadÆn funkce stanoven de niŁn ho oboru
D(f), napł. u zm n nØho pł kladu je vhodnØ po adovat D(f) = [0;1) [0;1) ve shod
s geometrick m v znamem prom nn ch R;v, mÆ se za to, e j m je maximÆln pł pustnÆ
mno ina. Nalezen D(f) a vymezen oboru hodnot je H(f) a vrstevnic je typick m pł -
kladem.
Dal„ m døle it m pojmem je zobrazen z Rn do Rm
De nice 2 Nech» je de nnovÆna m-tice fi funkc n reÆln ch prom nn ch
yi = fi(x1;:::;xn) pro i = 1;:::;m s de niŁn m oborem D(F) Rn. Tuto m-
tici nazveme zobrazen m z Rn do Rm a funkce fi(X) nazveme jeho slo kami a zapisujeme
je
Y = (y1;:::;ym) = F(X) = (f1(X);:::;fm(X)) (1.1.1)
Mno inu v„ech bodø Y 2Rm takov ch, e existuje bod X 2D(F), pro kter plat Y =
F(X) nazveme oborem hodnot zobrazen F a zapisujeme jej H(F) = fY 2 Rmj9X 2
D(F) takovØ, e Y = F(X)g
Je-li k = m, mø eme si takovØ zobrazen płedstavit jako płem s»ovÆn bodø v k-
rozm rnØm prostoru neboli jeho transformaci.
Matematika 2 5
Pł klad 1 V matematice se Łasto pou vÆ transformace do polÆrn ch souładnic, kterÆ je
de novÆna vztahy:
x = cos’
y = sin’:
Pro bod (x;y)2R2 roviny, veliŁina = px2 +y2 znaŁ vzdÆlenost bodu (x;y) od poŁÆtku
- p lu a ’ znaŁ œhel - azimut, kter sv rÆ vektor s poŁÆteŁn m bodem v p lu a koncov m
bodem (x;y) (polohov vektor), kter mø eme urŁit ze vztahu tg’ = y=x.
Pł klad 2 V tł dimenzionÆln m prostoru se pou vaj souładnice
cylindrickØ - vÆlcovØ
x = cos’
y = sin’
z = z;
kterØ se takto naz vaj , nebo» kvÆdru v prom nn ch , ’, z odpov dÆ vÆlec nebo jeho
ŁÆst v prom nn ch x, y , z.
sfØrickØ - kulovØ
x = cos’sin
y = sin’sin
z = cos ;
kterØ se takto naz vaj , nebo» kvÆdru v prom nn ch , ’, odpov dÆ koule nebo jej
v seŁ v prom nn ch x, y , z. Geometrick v znam veliŁin je:
{ je vzdÆlenost bodu (x;y;z) od poŁÆtku
{ ’ je œhel, kter sv rÆ prøm t polohovØho vektoru do pødorysny (rovina obsa-
huj c osy x, y) s kladn m sm rem osy x.
{ je œhel, kter sv rÆ polohov vektor s kladn m sm rem osy z
Pro funkce resp. zobrazen , kterØ maj neprÆzdn prønik de niŁn ch oborø, zavÆd me
analogicky jako u funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ algebraickØ operace, co jsou funkce de-
novanØ na tomto prøniku vztahy:
(f g)(X) = f(X) g(X)); f(X) = f(X); 2R
(fg(X)) = f(X) g(X); fg(X) = f(X)g(X); je-li g(X)6= 0;
Płi operaci sklÆdÆn funkc v ce prom nn ch resp. zobrazen je situace slo it j„ . Situaci
pop „eme pro zobrazen nebo» funkce v ce prom nn ch je speciÆln pł pad.
Uva ujme dv zobrazen Y = F(Z), Z = G(x) takovØ, e plat H(G) D(f) potom
zobrazen płiłazuj c ka dØmu X 2 D(G) bod Y 2 H(F) płedpisem Y = F(G(X))
nazveme slo en m zobrazen m. Poznamenejme, e bod Z mus le et souŁasn v oboru
hodnot zobrazen G, kterØ naz vÆme vnitłn m, a v de niŁn m oboru zobrazen F, kterØ
naz vÆme vn j„ m, to znamenÆ, e poŁet slo ek vnitłn ho zobrazen mus b t stejn jako
dimenze de niŁn ho oboru vn j„ ho zobrazen .
6 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
1.2 BodovØ mno iny
Płi studiu lokÆln ch\ vlastnost funkc v ce prom nn ch je vhodnØ zavØst n kterØ pojmy
popisuj c vlastnosti podmno in v Rn. ZÆkladn m pojmem jevzdÆlenost dvou bodø :
v(X;Y) = v([x1;:::;xn];[y1;:::;yn]) =
p
(x1 y1)2 +::+ (xn yn)2:
okol m bodu X0 naz vÆme mno inu U(X0; ) = fX 2 Rnjv(X;X0) < g, pł padn
redukovan m -okol m bodu X0 naz vÆme mno inu U (X0; ) =fX2Rnj0 1; e x e;jxj e y e jxjg
Matematika 2 17
2Vrstevnice je dÆna rovnic z(2;5) = 5 = px2 +y2 + 2x 2y + 2 nebo{li (x + 1)2 +
(y 1)2 = 5 co je rovnice kru nice se stłedem S = [ 1;1] o polom ru 5. Gradient
gradf(2;5) = (3=5;4=5) je kolm na vrstevnici.
3 Dosazen m parciÆln ch derivac z0x = 2x’0(x2 +y2), z0y = 2y’0(x2 +y2) ov ł me platnost
rovnice.
4 Pro funkci F(x;y) = 4x4 4x2 + y2 plat vztahy F(2;5) = 0, F0y(2;5) = 10 6= 0,
kterØ zaruŁ existenci funkce danØ implicitn . FormÆln m derivovÆn m rovnice podle x, za
płedpokladu, e y je funkce prom nnØ x dostaneme rovnici 16x3 8x+ 2yy0 = 0, ze kterØ
vypoŁteme derivaci
y0 = 8x 16x
3
2y ; tj. y
0(2;5) = 0:
Opakovan m derivovÆn m analogicky dostÆvÆme rovnici 48x2 8 + 2(y0)2 + 2yy00 = 0 a
tedy
y00 = 8 48x
2 2(y0)2
2y ; tj. y
00(2;5) = 8
5:
18 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
Kapitola 2
ObyŁejnØ diferenciÆln rovnice
2.1 ZÆkladn pojmy
Ze stłedn „koly znÆte pojem rovnice. Rovnic jste rozum li algebraickou rovnici, tj. rov-
nici, jej mi koe cienty i łe„en m byla Ł sla, a o jin ch typech rovnic jste nehovołili. Na
komplexn popis fyzikÆln ch jevø v„ak pojem algebraickØ rovnice nestaŁ .
De nice 2.1.1 ObyŁejnou diferenciÆln rovnic naz vÆme rovnici, v n se vyskytuje ne-
znÆmÆ funkce jednØ prom nnØ, a to vŁetn sv ch derivac . NejŁast ji ji zapisujeme ve
tvaru
y(n) = f(x;y;y0;:::;y(n 1)); (2.1.1)
kde f(x;z0;z1;:::;zn 1) je funkce n + 1 prom nn ch de novanÆ na otevłenØ mno in
Rn+1 a n2N.1 Ædem obyŁejnØ diferenciÆln rovnice naz vÆme nejvy„„ łÆd derivace
neznÆmØ funkce, kterÆ se v danØ rovnici vyskytuje.
Pł klad 2.1.1 Pł klady obyŁejn ch diferenciÆln ch rovnic røzn ch łÆdø:
1. y0 + 2y = cosx je obyŁejnou diferenciÆln rovnic prvn ho łÆdu,
2. y00 +y4y0 + 3y = x je obyŁejnou diferenciÆln rovnic druhØho łÆdu,
3. 3y(8) + sinxy000+ 5 lnxy00 y10y0 = 0 je obyŁejnou diferenciÆln rovnic osmØho łÆdu.
Pojem łe„en diferenciÆln rovnice mÆ na rozd l od algebraick ch rovnic n kolik v znamø.
Pł klad 2.1.2 RøznØ typy łe„en diferenciÆln rovnice:
M jme dÆnu rovnici y0 = y. Je złejmØ, e funkc , kterÆ se rovnÆ svØ prvn derivaci, je
funkce y = ex. Nen v„ak jedinÆ, tutØ vlastnost mÆ funkce y = 2ex, y = 3ex, resp.
libovolnÆ funkce y = cex, kde c2R.
1Tento tvar zÆpisu naz vÆme explicitn . Je-li rovnice ve tvaru F(x;y;y0;:::y(n)) = 0, kde
F(x;z0;z1;:::;zn) je funkce n + 2 prom nn ch de novanÆ na otevłenØ mno in Rn+2 a n 2 N,
hovoł me o rovnici v implicitn m tvaru.
19
20 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
De nice 2.1.2 e„en m obyŁejnØ diferenciÆln rovnice łÆdu n na intervalu I naz vÆme
ka dou n krÆt diferencovatelnou funkci na intervalu I, kterÆ vyhovuje danØ rovnici. Par-
tikulÆrn m łe„en m obyŁejnØ diferenciÆln rovnice nazveme libovolnØ łe„en danØ rovnice.
Obecn m łe„en m obyŁejnØ diferenciÆln rovnice nazveme pomoc røzn ch konstant obecn
zadan płedpis, z n ho lze vhodnou volbou konstant z skat v„echna partikulÆrn łe„en
danØ rovnice.2
Pł klad 2.1.3 UkÆzka praktickØho problØmu vedouc ho na łe„en diferenciÆln rovnice:
Je dÆn elektrick RL obvod s c vkou o samoindukŁnosti L, ohmick m odporem R a nap t m
E. Popi„te prøb h proudu i v zÆvislosti na Łase t.
e„en : Podle prvn ho Kirho ova zÆkona je algebraick souŁet v„ech elektromotorick ch
sil v uzavłenØm obvodu roven nule, tj. hledanÆ zÆvislost je łe„en m obyŁejnØ diferen-
ciÆln rovnice prvn ho łÆdu:
i0 + RLi = EL
V slednÆ zÆvislost (z skanÆ postupem, kter uvedeme v dal„ kapitole) je i = ceRLt+ER,
kde i je funkc Łasu t. Tato zÆvislost płedstavuje obecnØ łe„en zadanØ diferenciÆln
rovnice.
V pł klad 2.1.3 jsme z skali obecnØ łe„en zadanØ diferenciÆln rovnice, tedy popis
obecnØ situace. PoŁÆteŁn velikost proudu mø e b t znÆmÆ { v Łase t = 0 mø e b t proud
nulov nebo naopak m t n jakou nenulovou hodnotu.
Pł klad 2.1.4 PokraŁovÆn pł kladu 2.1.3:
Popi„te prøb h proudu v situaci pł kladu 2.1.3, v te-li, e v Łase t = 0 byl proud nulov .
e„en : ZÆvislost z skanÆ v pł kladu 2.1.3 je i = ceRLt+ER, kde i je funkc Łasu t, podm nka
ze zadÆn ł kÆ, e mÆme naj t funkci proudu i v situaci, kdy t = 0. Dosazen m
zjist me, e v tom pł pad c = ER, tj. hledanÆ zÆvislost je:
i = ER(1 e RLt)
Tato zÆvislost płedstavuje partikulÆrn łe„en zadanØ diferenciÆln rovnice.
V pł pad , e na funkci z skanou jako obecnØ łe„en n jakØ obyŁejnØ diferenciÆln rov-
nice klademe dal„ dodateŁnØ podm nky, pak se (za spln n urŁit ch płedpokladø, kterØ
uvedeme v nÆsleduj c kapitole) kombinace zadanØ diferenciÆln rovnice a t chto podm nek
naz vÆ podle situace poŁÆteŁn œloha, Cauchyho œloha nebo okrajovÆ œloha. 3
loha Najd te łe„en diferenciÆln rovnice (resp. poŁÆteŁn œlohy, Cauchyho œlohy
nebo okrajovØ œlohy) nen obecn łe„itelnÆ. V teorii obyŁejn ch diferenciÆln ch rovnic
se proto zavÆd pom rn podrobnÆ klasi kace typø diferenciÆln ch rovnic. Postup hledÆn
2Krom pojmø obecnØ łe„en a partikulÆrn łe„en diferenciÆln rovnice existuje je„t pojem singulÆrn
łe„en diferenciÆln rovnice.
3M sto slova œloha se Łasto pou vÆ term n problØm.
Matematika 2 21
łe„en danØ rovnice pak zÆvis na tom, jakØho konkrØtn ho typu danÆ rovnice je. e„it
płitom um me jen rovnice n kter ch typø, napł. diferenciÆln rovnice se separovan mi
prom nn mi (napł. y0 + xy = 0), lineÆrn diferenciÆln rovnice (napł. 2y0 + cosxy =
e4x), diferenciÆln rovnice typu y0 = f

a1x+b1y+c1
a2+b2+c2

, Riccatiovu diferenciÆln rovnici (napł.
y0 y2 = x2 +1), exaktn diferenciÆln rovnice (napł. (x3 +3xy2)dx+(y3 +3x2y)dy = 0)
a dal„ .
V pł pad , e je nalezen łe„en n jakØ poŁÆteŁn (resp. Cauchyho nebo okrajovØ) œlohy
obt nØ nebo nemo nØ, mø eme płibli nØ łe„en nalØzt pomoc numerick ch metod.4 T mto
postupem v„ak nenalezneme funkci, kterÆ spl uje danou rovnici, ale jej płibli nØ funkŁn
hodnoty v urŁit ch płedem zadan ch bodech.
2.2 LineÆrn diferenciÆln rovnice
Velmi døle it m typem obyŁejn ch diferenciÆln ch rovnic jsou lineÆrn diferenciÆln rov-
nice.5
De nice 2.2.1 LineÆrn diferenciÆln rovnic n tØho łÆdu naz vÆme rovnici tvaru6
y(n) +An 1(x)y(n 1) +:::+A1(x)y0 +A0(x)y = f(x); (2.2.1)
kde Ai(x), i = 0;1;:::n 1 a f(x) jsou funkce. Pokud je f(x) 0, naz vÆme tuto rovnici
homogenn , pokud je f(x)6 0, naz vÆme tuto rovnici nehomogenn .
De nice 2.2.2 Nech» je dÆna diferenciÆln rovnice ve tvaru (2.1.1) a dÆle (n + 1)-tice
(x0;y0;y1;:::;yn 1)2 R(n+1). Pak œloha najd te łe„en rovnice (2.1.1) de novanØ
na n jakØm intervalu I takovØm, e x0 2I a
y(x0) = y0; y0(x0) = y1; :::; y(n 1)(x0) = yn 1; (2.2.2)
se naz vÆ Cauchyho poŁÆteŁn œloha.7
Pł klad 2.2.1 Pł klad zadÆn Cauchyho poŁÆteŁn œlohy:
Najd te łe„en rovnice y000 + 2y00 +y0 = 2xe 2x; y(0) = 2; y0(0) = 1; y00(0) = 0.
Poznamenejme, e łe„en m Cauchyho poŁÆteŁn œlohy je partikulÆrn łe„en zadanØ
diferenciÆln rovnice. Je ov„em otÆzkou, zda vøbec existuje, resp. pokud ano, zda je jed-
noznaŁnØ.
4Budou nÆpln płedm tu Matematika 3; budete vyu vat program Matlab.
5Z pł kladø 2.1.1 a ?? vypl vÆ, e se jednÆ o velmi œzkou skupinu obyŁejn ch diferenciÆln ch rovnic.
6Samozłejm nen nutnØ, aby funkce u Łlenu y(n) byla identicky rovna 1. Pokud nen , z skÆme
tvar (2.2.1) vyd len m rovnice touto funkc .
7V De nici 2.2.2 se odkazujeme obecn na obyŁejnou diferenciÆln rovnici, z Łeho je patrnØ, e pojem
Cauchyho poŁÆteŁn œloha se neomezuje jen na lineÆrn diferenciÆln rovnice.
22 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
V ta 2.2.1 Nech» je dÆna lineÆrn diferenciÆln rovnice (2.2.1), interval I a libovolnÆ
Ł sla x0 2 I, y0;y1;:::;yn 1 2 R. Jestli e jsou funkce Ai(x), i = 0;1;:::;n 1, na
intervalu I spojitØ, pak rovnice (2.2.1) mÆ prÆv jedno łe„en y(x) spl uj c podm nky
y(x0) = y0, y0(x0) = y1, . . . , y(n 1)(x0) = yn 1. Toto łe„en existuje na celØm intervalu I.
O obecnØm łe„en lineÆrn diferenciÆln rovnice plat nÆsleduj c tvrzen .
V ta 2.2.2 Nech» je dÆna nehomogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice (zkrÆcen
NLDR ), tj. nech» ve vyjÆdłen (2.2.1) je f(x)6 0. DÆle nech» je k zadanØ nehomogenn
rovnici dÆna homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice (zkrÆcen HLDR ), tj. nech» ve
vyjÆdłen (2.2.1) je f(x) 0. OznaŁme yohldr(x) jej obecnØ łe„en a ypnldr(x) jedno jej
partikulÆrn łe„en . Pak obecnØ łe„en NLDR yohldr(x) mÆ tvar
yonldr(x) = yohldr(x) +ypnldr(x): (2.2.3)
Nalezen obecnØho łe„en homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice mø e b t problema-
tickØ. Plat sice nÆsleduj c v ta:
V ta 2.2.3 Nech» je dÆna homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice, tj. nech» ve vyjÆ-
dłen (2.2.1) je f(x) 0. Mno ina v„ech łe„en tØto rovnice tvoł vektorov prostor
nad t lesem reÆln ch Ł sel (vzhledem k operac m sŁ tÆn funkc a nÆsoben funkc Ł slem).
Proto, jsou-li y1(x) a y2(x) dv łe„en danØ homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice, pak
takØ y1(x) +y2(x) a c1y1(x), kde c1 2R, jsou łe„en zadanØ rovnice. Je-li dÆno n lineÆrn
nezÆvisl ch łe„en n jakØ homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice łÆdu n { oznaŁme je
y1(x), y2(x), . . .yn(x) { pak ka dØ łe„en tØto rovnice mÆ tvar
y(x) = c1y1(x) +c2y2(x) +:::+cnyn(x); (2.2.4)
kde c1;c2;:::cn2R.
Ov„em po adavek lineÆrn nezÆvislosti jednotliv ch łe„en płedstavuje problØm.
Proto se v nÆsleduj c m omez me pouze na jednodu„„ situaci, kdy koe cienty
ai(x);i = 0;1;:::;n 1 ve vyjÆdłen (2.2.1) jsou konstantn funkce, tj. ve skuteŁnosti se
na jejich m st vyskytuj reÆlnÆ Ł sla ai2R, i = 0;1;:::;n 1.
De nice 2.2.3 LineÆrn diferenciÆln rovnici tvaru
y(n) +an 1y(n 1) +:::+a1y0 +a0y = f(x); (2.2.5)
kde ai 2 R, i = 0;1;:::;n 1, naz vÆme lineÆrn diferenciÆln rovnici s konstatn mi
koe cienty.
Pł kladem lineÆrn diferenciÆln rovnice s konstantn mi koe cienty je napł. rovnice z
pł kladu 2.2.1.
Matematika 2 23
2.2