skripta

.1 Nalezen obecnØho łe„en homogenn lineÆrn diferenciÆln
rovnice s konstantn mi koe cienty
Nalezen obecnØho łe„en homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice s konstantn mi koe -
cienty je na prvn pohled relativn jednoduchØ.
De nice 2.2.4 Nech» je dÆna homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice s konstantn mi
koe cienty, tj. rovnice tvaru
y(n) +an 1y(n 1) +:::+a1y0 +a0y = 0 (2.2.6)
kde ai2R, i = 0;1;:::;n 1. Algebraickou rovnici
n +an 1 n 1 +:::+a1 +a0 = 0 (2.2.7)
naz vÆme charakteristickou rovnic diferenciÆln rovnice (2.2.6).
Pł klad 2.2.2 Pł klady charakteristick ch rovnic diferenciÆln ch rovnic:
DiferenciÆln rovnice CharakteristickÆ rovnice
y(5) + 3y000 6y0 + 7y = 0 5 + 3 3 6 + 7 = 0
y00 + 5y0 = 0 2 + 5 = 0
y000 10y00 + 12y = 0 3 10 2 + 12 = 0
V ta 2.2.4 M jme homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnici s konstantn mi koe cienty
tvaru (2.2.6) a jej charakteristickou rovnici (2.2.7). Pak plat :
1. Je-li 2R k nÆsobn kołen charakteristickØ rovnice, k 1, pak funkce
y1(x) = e x; y2(x) = xe x;::: yk(x) = xk 1e x
jsou łe„en m zadanØ diferenciÆln rovnice.
2. Je-li j 2C dvojice komplexn sdru en ch k nÆsobn ch komplexn ch kołenø
charakteristickØ rovnice, k 1, ; 2R, 6= 0, pak funkce
y1(x) = e x cos x; y3 = xe x cos x;::: y2k 1 = xk 1e x cos x
y2(x) = e x sin x; y4 = xe x sin x;::: y2k = xk 1e x sin x
jsou łe„en m zadanØ diferenciÆln rovnice.
Pł klad 2.2.3 e„en homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice s konstantn mi koe ci-
enty:
Pomoc v ty 2.2.4 najd te łe„en rovnice y(7) 4y(6) + 14y(5) 20y(4) + 25y000 = 0.
24 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
e„en : CharakteristickÆ rovnice zadanØ diferenciÆln rovnice je 7 4 6 +14 5 20 4 +
25 3 = 0. Je złejmØ, e jej m trojnÆsobn m kołenem je 1;2;3 = 0. Zb vaj c kołeny
urŁ me jako łe„en rovnice 4 4 3+14 2 20 +25 = 0. JednÆ se o rovnici 4. stupn ,
jej m łe„en mi (lze je nalØzt algebraicky, viz stłedn „kola) je 4;5;6;7 = 1 2j. Proto
podle v ty 2.2.4 z skÆvÆme nÆsleduj c łe„en zadanØ diferenciÆln rovnice:
y1(x) = 1, y2(x) = x, y3(x) = x2, y4(x) = ex cos 2x, y5(x) = xex cos 2x,
y6(x) = ex sin 2x, y7(x) = xex sin 2x.
Z takto z skan ch łe„en lze velice jednoduch m postupem z skat obecnØ łe„en zadanØ
homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnici s konstantn mi koe cienty.
V ta 2.2.5 LineÆrn kombinace v„ech łe„en homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice
s konstantn mi koe cienty tvaru (2.2.6), z skan ch postupem uveden m ve v t (2.2.4),
płedstavuje obecnØ łe„en tØto rovnice.
Lze ukÆzat, e mno ina v„ech łe„en homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice n-tØho
łÆdu s konstantn mi koe cienty tvoł vektorov prostor, jeho dimenze je n. Jako ka d
vektorov prostor mÆ tedy i mno ina v„ech łe„en homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice
n-tØho łÆdu s konstantn mi koe cienty bÆzi. Lze ukÆzat, e touto bÆz jsou prÆv v„echna
łe„en z skanÆ podle nÆvodu v ty (2.2.4).
De nice 2.2.5 BÆzi vektorovØho prostoru v„ech łe„en homogenn lineÆrn diferenciÆln
rovnice n-tØho łÆdu s konstantn mi koe cienty naz vÆme fundamentÆln systØm homo-
genn lineÆrn diferenciÆln rovnice n-tØho łÆdu s konstantn mi koe cienty.
PoznÆmka 2.2.1 Mno ina v„ech łe„en homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice n-tØho
łÆdu (tedy nikoliv pouze s konstantn mi koe cienty) takØ tvoł vektorov prostor. MÆ tedy
takØ bÆzi. V de nici 2.2.5 nen nutnØ se omezovat pouze na rovnice s konstantn mi ko-
e cienty; pojem fundamentÆln systØm je v literatułe b n de novÆn pro jakoukoliv ho-
mogenn lineÆrn diferenciÆln rovnici. ProblØmem je jeho nalezen { jednoduchØ je pouze
pro rovnice s konstantn mi koe cienty.
Pł klad 2.2.4 ObecnØ łe„en homogenn diferenciÆln rovnice s konstantn mi koe cienty:
ObecnØ łe„en diferenciÆln rovnice z pł kladu 2.2.3 je
y(x) = c1 +c2x+c3x2 +c4ex cos 2x+c5xex cos 2x+c6ex sin 2x+c7xex sin 2x;
kde ci2R, i = 1;2;:::;7.
Płi hledÆn łe„en charakteristickØ rovnice v pł kladu 2.2.3 je mo nØ pou t postup,
kter je vyuŁovÆn i na mnoha stłedn ch „kolÆch. V ÆdnØm pł pad se v„ak nejednÆ o
postup jednoduch . PrÆv v tom tkv problØm płi hledÆn obecnØho łe„en homogenn li-
neÆrn diferenciÆln rovnice s konstantn mi koe cienty: zat mco łe„en diferenciÆln rovnice
druhØho łÆdu je jednoduchØ { łe„ me kvadratickou rovnici, je łe„en rovnic vy„„ ch łÆdø
komplikovan j„ . Mezi diferenciÆln mi rovnicemi pÆtØho a vy„„ ch łÆdø ji nutn existuj
rovnice, kterØ łe„itelnØ nejsou, proto e algebracikØ rovnice jsou obecn łe„itelnØ pouze do
ŁtvrtØho stupn .
Matematika 2 25
2.2.2 Nalezen obecnØho łe„en nehomogenn lineÆrn diferenci-
Æln rovnice
K nalezen obecnØho łe„en nehomogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice je mo no pou t
v tu 2.2.2. Je v„ak otÆzka, jak naj t partikulÆrn łe„en zadanØ nehomogenn lineÆrn dife-
renciÆln rovnice. Tomuto problØmu se mø eme vyhnout, pokud pou ijeme tzv. metodou
variace konstant.
Pł klad 2.2.5 Metoda variace konstant
Najd te obecnØ łe„en rovnice y00 +y0 2y = ex.
e„en : Podle v t 2.2.4 a 2.2.5 je obecnØ łe„en pł slu„nØ homogenn rovnice, tj. rovnice
y00 +y0 2y = 0, rovno yh = c1e 2x +c2ex.
Lze ukÆzat, e t mto obecn m łe„en m je dÆn i tvar obecnØho łe„en nehomogenn
lineÆrn diferenciÆln rovnice. M sto konstant c1;c2 budeme uva ovat neznÆmØ funkce
c1(x);c2(x) { hledanØ obecnØ łe„en tedy bude tvaru
yo = c1(x)e 2x +c2(x)ex:
Po zderivovÆn dostaneme
y0o = c01(x)e 2x 2c1(x)e 2x +c02(x)ex +c2(x)ex:
Lze ukÆzat, e souŁet Łlenø s prvn mi derivacemi neznÆm ch funkc c1(x);c2(x) (jsou
podtr eny) bude roven nule. Proto jej roven nule polo me a zderivujeme y0o. Dosta-
neme
y00o = 2c01(x)e 2x + 4c1(x)e 2x +c02(x)ex +c2(x)ex:
Proto e vychÆz me z toho, e yo je łe„en zadanØ rovnice, mus tØto rovnici vyhovo-
vat. Proto dosad me yo;y0o a y00o do zadanØ rovnice 2y00 + y0 y = 2ex. Po œprav
dostÆvÆme
2c01(x)e x +c02(x)ex = ex;
co je rovnice, v n se vyskytuj derivace hledan ch (dvou) neznÆm ch funkc . Pro-
to e jsme v„ak płedpoklÆdali, e c01(x)e 2x + c02(x)ex = 0, z skÆvÆme soustavu dvou
rovnic, v n se vyskytuj prvn derivace dvou neznÆm ch funkc
c01(x)e 2x +c02(x)ex = 0
2c01(x)e 2x +c02(x)ex = ex
Jednoduch mi œpravami zjist me, e c01(x) = 13e3x a po integraci c1(x) = 19e3x +
k1. Podobn c02(x) = 13 a po integraci c2(x) = 13x+k2. Po dosazen a œprav je vid t,
e hledanØ obecnØ łe„en rovnice y00+y0 2y = ex je yo = k1e 2x+(k2+19)ex+13xex, co
po oznaŁen k3 = k2 + 19 (kterØ nen na œjmu obecnosti) dÆ yo = k1e 2x+k3ex+ 13xex.
Snadno se lze płesv dŁit, e toto łe„en koresponduje s v tou 2.2.2.
V prøb hu łe„en pł kladu jsme vyu ili n kolik my„lenek, kterØ je tłeba podrobn
dokÆzat. V sledek lze shrnout do nÆsleduj c v ty (v„imn te si płedpokladu t kaj c ho se
koe cientu u Łlenu y(n)).
26 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
V ta 2.2.6 Nech» je dÆna takovÆ nehomogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice s konstant-
n mi koe cienty tvaru
y(n) +an 1y(n 1) +:::+a1y0 +a0y = f(x);
pro ni plat , e obecnØ łe„en pł slu„nØ homogenn rovnice je tvaru yh = c1y1 + :::cnyn,
kde c1;:::;cn jsou konstanty a y1;:::;yn jsou łe„en z skanÆ pomoc v ty 2.2.4. Pak
obecnØ łe„en zadanØ nehomogenn lineÆrn rovnice je tvaru yo = c1(x)y1 + :::cn(x)yn,
kde c1(x);:::;cn(x) jsou funkce, kterØ jsou łe„en m soustavy rovnic
c1(x)y1 +:::c1(x)yn = 0 (2.2.8)
c01(x)y(i)1 +:::c01(x)y(i)n = 0 i = 1;:::;n 2 (2.2.9)
c01(x)y(n 1)1 +:::c01(x)y(n 1)n = f(x): (2.2.10)
Metoda variace konstant nen jedin zpøsob, jak nalØzt obecnØ łe„en nehomogenn
lineÆrn rovnice. Lze pou t napł. metodou neurŁit ch koe cientø. Tato metoda je sice
u ivatelsky pł v tiv j„ , av„ak je pou itelnÆ pouze pro rovnice, jejich pravÆ strana, tj.
f(x) ve vyjÆdłen (2.2.1), je urŁitØho speciÆln ho tvaru.8 Płi łe„en vyu vÆme v tu 2.2.2,
proto e jsme schopni (ve speciÆln ch pł padech f(x)) odhadnout tvar hledanØho partiku-
lÆrn ho łe„en .
Pł klad 2.2.6 e„en poŁÆteŁn œlohy
ZnÆme obecnØ łe„en y = c1e 2x+c2ex+13xex lineÆrn diferenciÆln rovnice y00+y0 2y = ex.
UrŁete konstanty c1 a c2, aby byly spln ny poŁÆteŁn podm nky y(0) = 1, y0(0) = 2.
e„en : MÆ-li platit y(0) = 1, mus b t
c1e 2:0 +c2e0 + 13:0:e0 = 1:
MÆ-li platit y0(0) = 2, je tłeba obecnØ łe„en y nejprve zderivovat a potØ dosadit
pł slu„nØ hodnoty. DostÆvÆme
2c1e 2:0 c2e0 + 13e0 + 130:e0 = 2:
HledanØ konstanty c1, c2 jsou łe„en m soustavy rovnic
c1 +c2 = 1
2c1 c2 = 2
e„en zadanØ poŁÆteŁn œlohy je tedy y = 3e 2x + 4ex + 13xex.
Pokud hledÆme łe„en Cauchyho œlohy (tj. spolu s rovnicemi jsou zadÆny takØ poŁÆ-
teŁn podm nky), nemus me obecn postupovat ve dvou kroc ch naznaŁen ch v pł kla-
dech 2.2.5 a 2.2.6, ale mø eme postupovat i pł mo. K v poŁtu bychom napł. mohli pou t
tzv. vÆhovou funkci, s n se setkÆte pozd ji.
8Pro rovnici v pł kladu 2.2.5 by metodu neurŁit ch koe cientø bylo mo nØ pou t.
Matematika 2 27
2.3 SystØmy diferenciÆln ch rovnic
Ze stłedn „koly znÆte celou ładu œloh, kterØ vedou na łe„en soustavy lineÆrn ch (al-
gebraick ch) rovnic. Podobn mnohØ pł klady z elektrotechnickØ praxe vedou na łe„en
nikoliv jednØ ale v ce diferenciÆln ch rovnic. Płitom mohou nebo nemusej b t znÆmy po-
ŁÆteŁn podm nky. V tØto ŁÆsti se podobn jako v kapitole o jednØ diferenciÆln rovnici
omez me pouze na n kterØ jednoduchØ pł pady. Poznamenejme, e œvahy v tØto ŁÆsti se
t kaj soustav n diferenciÆln ch rovnic o n neznÆm ch, kde n 1 { lze je tedy vztÆhnout
i na pł pad jednØ rovnice.
De nice 2.3.1 Nech» je dÆno n funkc f1(x;y1;:::yn);f2(x;y1;:::yn);:::fn(x;y1;:::yn),
kterØ jsou de novanØ na otevłenØ mno in Rn+1. SystØmem n diferenciÆln ch rovnic
prvn ho łÆdu o n neznÆm ch funkc ch y1(x);y2(x);:::yn(x) naz vÆme soustavu tvaru
y01 = f1(x;y1;:::yn)
y02 = f2(x;y1;:::yn) (2.3.1)
...
y0n = fn(x;y1;:::yn):
e„en m systØmu (2.3.1) naz vÆme takovou n-tici funkc (h1(x);h2(x);:::;hn(x)) de no-
van ch na otevłenØm intervalu J, e ka dÆ funkce hi(x);i = 1;:::;n mÆ na J derivaci,
pro ka dØ x2J je spln no (x;h1(x);:::;hn(x))2 a plat
h01(x) = f1[x;h1(x);:::hn(x)]
h02(x) = f1[x;h1(x);:::hn(x)]
...
h0n(x) = fn[x;h1(x);:::hn(x)]:
Nech» je dÆna (n + 1)-tice (x0;c1;:::;cn) 2 . Cauchyho poŁÆteŁn œlohou pro sys-
tØm (2.3.1) naz vÆme œlohu naj t łe„en (y1(x);:::;yn(x)) systØmu (2.3.1), kterØ je de -
novanØ na n jakØm intervalu J obsahuj c m x0, takovØ, e
y1(x0) = c1;y2(x0) = c2;:::yn(x0) = cn: (2.3.2)
V „e uvedenÆ oznaŁen jsou sice nÆzornÆ av„ak pon kud komplikovanÆ. Zavedeme
proto jejich zkrÆcenØ verze. OznaŁ me-li y0 = (y1;:::;yn)T, y = (x;y1:::;yn) a f =
(f1;:::;fn)T, mø eme m sto zÆpisu (2.3.1) pou vat zkrÆcenØ oznaŁen
y0 = f(x;y): (2.3.3)
Podobn , jestli e c = (c1;c2;:::;cn), lze m sto vyjÆdłen podm nek (2.3.2) psÆt
y(x0) = c; (2.3.4)
28 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
De nice 2.3.2 SystØm tvaru
y01 = a11(x)y1 +a12(x)y2 +:::+a1n(x)yn +b1(x)
y02 = a21(x)y1 +a22(x)y2 +:::+a2n(x)yn +b2(x) (2.3.5)
...
y0n = an1(x)y1 +an2(x)y2 +:::+ann(x)yn +bn(x)
se naz vÆ lineÆrn systØm obyŁejn ch diferenciÆln ch rovnic prvn ho łÆdu. Jsou-li v„echny
funkce bi(x) 0, naz vÆme systØm homogenn m; v opaŁnØm pł pad hovoł me o ne-
homogenn m systØmu. Jsou-li v„echny koe cienty aij, i;j = 1;:::;n konstantn funkce,
hovoł me o lineÆrn m systØmu s konstantn mi koe cienty.
LineÆrn systØm obyŁejn ch diferenciÆln ch rovnic prvn ho łÆdu mø eme maticov za-
psat jako
y0 = A(x)y + B(x); (2.3.6)
kde prvky matice A jsou tvołeny koe cienty aij, i;j = 1;:::;n a matice B(x) je sloupcovÆ
matice obsahuj c koe cienty bi, i = 1;:::;n. V pł pad lineÆrn ho systØmu s konstantn mi
koe cienty mø eme psÆt
y0 = Ay + B(x): (2.3.7)
Podobn jako v pł pad jednØ diferenciÆln rovnice mus me nejprve ukÆzat, kdy mÆ sys-
tØm diferenciÆln ch rovnic (prÆv jedno)9 łe„en . V dal„ m textu a zadÆvan ch pł kladech
budeme płedpoklÆdat, e płedpoklady nÆsleduj c v ty jsou spln ny.
V ta 2.3.1 Nech» je dÆn lineÆrn systØm (2.3.6). Jestli e jsou maticovØ funkce A(x) a
B(x) spojitØ na otevłenØm intervalu I, pak pro ka dØ x0 2I a c2Rn mÆ poŁÆteŁn œloha
y0 = A(x)y + B(x); y(x0) = c;
prÆv jedno łe„en , kterØ je de novÆno na celØm intervalu I.
Płi hledÆn obecnØho łe„en jednØ nehomogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice jsme po-
stupovali ve dvou kroc ch: nejprve jsme na„li obecnØ łe„en pł slu„nØ homogenn rovnice a
potØ jsme ho seŁetli s jedn m partikulÆrn m łe„en m zadanØ rovnice. Proto e v„ak nalezen
obecnØho łe„en homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice obecnØho łÆdu je problematickØ,
omezili jsme se pouze na hledÆn łe„en lineÆrn diferenciÆln rovnice s konstantn mi ko-
e cienty.
Situace pro systØmy diferenciÆln ch rovnic je analogickÆ. Pro lineÆrn systØmy lze
analogicky de novat pojem fundamentÆln systØm homogenn ho systØmu (analogie de-
nice 2.2.5) a lze dokÆzat obdobnØ v ty jako 2.2.2 a 2.2.3. ProblØmem je ov„em nalezen
obecnØho łe„en lineÆrn ho systØmu. V dal„ m textu se proto omez me pouze na lineÆrn
systØmy obyŁejn ch diferenciÆln ch rovnic prvn ho łÆdu s konstantn mi koe cienty, kterØ
maj velk v znam v technickØ praxi.
9Pojem prÆv jedno łe„en bychom ve skuteŁnosti m li de novat. Podobn bychom m li rozli„ovat po-
jmy łe„en a œplnØ łe„en a zavØst pojem prodlou en łe„en . NeŁin me tak z døvodu omezenØho prostoru
v tomto textu.
Matematika 2 29
Pł klad 2.3.1 LineÆrn systØm obyŁejn ch diferenciÆln ch rovnic prvn ho łÆdu s kon-
stantn mi koe cienty
y01 = 7y1 + 9y2 + 2y3
y02 = 2y1 3y2 + 4y3
y03 = 5y1 + 6y2 8y3
e„en zmi ovan ch typø systØmø diferenciÆln ch rovnic lze hledat n kolika zpøsoby,
z nich ka d mÆ svÆ œskal a omezen . Pro ilustraci ukÆ eme, jak lze płi łe„en systØmø
diferenciÆln ch rovnic vyu t pojmø vlastn Ł sla a vlastn vektory matice, s nimi se b n
pracuje v røzn ch oblastech matematiky.10 Budeme se płitom odvolÆvat na zkrÆcenØ ozna-
ŁovÆn y0 = Ay, jeho v znam je vysv tlen za de nic 2.3.2.
De nice 2.3.3 Nech» A je ŁtvercovÆ matice łÆdu n a nech» En znaŁ jednotkovou ma-
tici łÆdu n. Determinant matice jA Enj naz vÆme charakteristick polynom matice
A. Kołeny charakteristickØho polynomu matice A naz vÆme vlastn Ł sla matice A. Vek-
tory tvoł c fundamentÆln systØm łe„en soustavy homogenn ch lineÆrn ch (algebraick ch)
rovnic11 y = (A iEn)x naz vÆme vlastn vektory pł slu„nØ vlastn mu Ł slu i.12
V ta 2.3.2 Vlastn vektory pł slu„nØ navzÆjem røzn m vlastn m Ł sløm matice A jsou
lineÆrn nezÆvislØ.
V ta 2.3.3 Nech» je dÆn systØm diferenciÆln ch rovnic tvaru y0 = Ay, kde A je ŁtvercovÆ
matice łÆdu n. DÆle nech» 1; 2;:::; n jsou vlastn Ł sla matice A a z1;z2:::;zn jsou
k nim pł slu„nØ vlastn vektory. Za płedpokladu, e tyto vektory jsou lineÆrn nezÆvislØ,
tvoł sloupce
y1 = z1e 1x;y2 = z2e 2x;:::;yn = zne nx
fundamentÆln systØm łe„en systØmu y0 = Ay, tj. jejich lineÆrn kombinace je obecn m
łe„en m tohoto systØmu.
Pł klad 2.3.2 HledÆn obecnØho łe„en systØmu diferenciÆln ch rovnic y0 = Ay pomoc
vlastn ch Ł sel a vlastn ch vektorø matice A
Nalezn te obecnØ łe„en systØmu
y01 = y2 + y3
y02 = y1 + y3
y03 = y1 + y2
10Tyto pojmy vyu ijete napł. u n kter ch numerick ch metod.
11Tento pojem byl de novÆn v płedm tu Matematika 1; jednÆ se o bÆzi podprostoru łe„en homogenn
soustavy lineÆrn ch rovnic.
12M sto oznaŁen vlastn Ł sla, resp. vektory, se mø ete setkat takØ s term nem charakteristickÆ Ł sla,
resp. vektory.
30 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
e„en : Maticov lze systØm zapsat jako y0 = Ay, resp.
y0 =
0
@
0 1 1
1 0 1
1 1 0
1
Ay:
Charakteristick polynom matice A je determinant
jA E3j=



1 1
1 1
1 1


= 3 + 3 2 + 2 = 0:
Kołeny charakteristickØho polynomu, a tedy vlastn mi Ł sly matice A, jsou Ł sla
1;2 = 1 a 3 = 2. Ve v t 2.3.3 nevy adujeme, aby vlastn Ł sla byla navzÆ-
jem røznÆ; mø eme proto urŁit pł slu„nØ vlastn vektory. Vlastn vektory pł slu„nØ
vlastn mu Ł slu 1;2 = 1 najdeme jako fundamentÆln systØm łe„en lineÆrn ch al-
gebraick ch rovnic, kter lze maticov zapsat jako (A+E)z = o, kde z = (z1;z2;z3)T
a o = (0;0;0)T, tj.
z1 +z2 +z3 = 0
z1 +z2 +z3 = 0
z1 +z2 +z3 = 0
Obecn m łe„en m tØto soustavy rovnic je z1 = t s;z2 = s;z3 = t. BÆz podpro-
storu łe„en tØto soustavy homogenn ch rovnic, a tedy vlastn mi vektory pł slu„n mi
Ł slu 1;2 = 1 jsou vektory z1 = (1; 1;0)T a z2 = (1;0; 1)T.13 Vlastn vek-
tory pł slu„nØ vlastn mu Ł slu 3 = 2 z skÆme analogicky, nyn jako łe„en soustavy
rovnic
2z1 +z2 +z3 = 0
z1 2z2 +z3 = 0
z1 +z2 2z3 = 0
V poŁtem zjist me, e obecnØ łe„en tØto soustavy je tvaru z1 = t;z2 = t;z3 = t.
Hledan vlastn vektor je tedy z3 = (1;1;1)T. Vektory z1;z2;z3 jsou podle v ty 2.3.2
lineÆrn nezÆvislØ (ov łte si sami!) a podle v ty 2.3.3 je tedy obecnØ łe„en zadanØho
systØmu diferenciÆln ch rovnic
y = c1z1e x +c2z1e x +c3z1e2x;
tj.
y1 = c1e x + c2e x + c3e2x
y2 = c1e x + c3e2x
y3 = + c2e x + c3e2x:
13OznaŁen (a;b;c)T znaŁ transponovanou matici { zde sloupcov vektor.
Matematika 2 31
Płi podrobn j„ m studiu postupu łe„en tohoto pł kladu a v ty 2.3.3 jsou patrnØ pro-
blØmy, kterØ mohou nastat płi tomto postupu łe„en . Vlastn Ł sla płedn mohou b t
komplexn , co bude komplikovat nalezen pł slu„n ch vlastn ch vektorø. Dal„ m omeze-
n m je fakt, e v ta 2.3.3 płedpoklÆdÆ, e poŁet lineÆrn nezÆvisl ch vlastn ch vektorø
je stejn jako hodnost matice A. To ov„em obecn nemus nastat. Pokud napł. uvÆ me
systØm
y01 = 17y1 + 9y2
y02 = 25y1 13y2;
bude m t matice A jedno vlastn Ł slo 1;2 = 2, kterØmu bude pł slu„n jedin vlastn
vektor z = ( 35;1)T. V tu 2.3.3 tedy nemø eme pou t.
Pokud budou v„echna vlastn Ł sla matice A reÆlnÆ røznÆ, pak z v ty 2.3.2 naopak
vypl vÆ, e ÆdnØ problØmy płi hledÆn obecnØho łe„en systØmu y0 = Ay nenastanou.
PodrobnÆ diskuse t chto pł padø stejn jako uvÆd n dal„ ch mo nost łe„en systØmø
diferenciÆln ch rovnic v„ak płesahuje rÆmec tohoto textu. V ce se o łe„en systØmø di-
ferenciÆln ch rovnic dozv te v płedm tu VybranØ partie z matematiky a v odborn ch
płedm tech.
2.4 PoznÆmka o stabilit
32 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
Kapitola 3
DiferenŁn rovnice
3.1 ZÆkladn pojmy
Płi hledÆn numerickØho łe„en diferenciÆln ch rovnic, płi prÆci s funkcemi komplexn pro-
m nnØ nebo v mnoha røzn ch aplikac ch, kterØ nepracuj s funkcemi ale s posloupnostmi,
tj. płi popisu diskrØtn ch jevø, hraje døle itou roli tzv. diferenŁn poŁet. V tØto kapitole
uvedeme zÆkladn pojmy z teorie diferenŁn ch rovnic, kterØ lze chÆpat jako jistou analo-
gii rovnic diferenciÆln ch, o nich jsme mluvili v kapitole 2. Postup łe„en t chto rovnic
uvedeme v kapitole ?? potØ, co se seznÆm me s integrÆln mi transformacemi.
De nice 3.1.1 Nech» je funkce y = f(x) de novÆna v bodech x0;x1;:::;xn.
Diferenc prvn ho łÆdu nebo takØ prvn diferenc funkce f(x) v bod xk naz vÆme pł rustek
f(xk) = f(xk+1) f(xk):
Diferenc druhØho łÆdu nebo takØ druhou diferenc funkce f(x) v bod xk naz vÆme v raz
2f(xk) = f(xk+1) f(xk):
Diferenc łÆdu n nebo takØ n{tou diferenc funkce f(x) v bod xk naz vÆme v raz
nf(xk) = n 1f(xk+1) n 1f(xk):
Body x0;x1;:::;xn płitom mohou b t libovolnØ. Ve speciÆln m pł pad , kdy jsou
v„echny rozd ly xk = xk+1 xk stejn velkØ a rovnaj se Ł slu h, plat , e xi+1 = xi+h =
x0 + (i+ 1)h, i = 0;1;:::;k. Je-li speciÆln h = 1, dostÆvÆme, e xi+1 = x0 +i+ 1, tedy
f(xk) = f(x0 +k + 1) f(x0 +k).1
V dal„ m textu budeme m sto oznaŁovÆn f(x+k) = y(x+k) pou vat struŁn j„ zÆpis
yx+k.
1Volba h = 1 płitom nen na œjmu obecnosti, proto e je-li h 6= 1, polo me x = ht a dostÆvÆme
xk = x0 + hk = t0h + hk = h(t0 + k), tedy je f(xk) = f(h(t0 + k)) = ’(t0 + k).
33
34 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
De nice 3.1.2 DiferenŁn rovnic naz vÆme rovnici, v n se krom neznÆmØ funkce vy-
skytuje takØ jej diference. NejŁast ji ji zapisujeme ve tvaru
yx+n = F(x;yx;yx+1;:::;yx+n 1) = 0: (3.1.1)
Ædem diferenŁn rovnice (3.1.1), kterÆ obsahuje Łleny yx a yx+n, naz vÆme Ł slo
r = n. Obsahuje-li v„ak rovnice (3.1.1) Łleny yx+n a yx+k, ale neobsahuje Łleny
yx;yx+1;:::;yx+k 1, naz vÆme jej m łÆdem Ł slo r = n k.
Ve vyjÆdłen 3.1.1 se vyskytuj Łleny yx+k, kde k = 0;1;:::;n, av„ak diference funkce
y = f(x) byla de novÆna pomoc v razø if(xk), kde i = 0;1;:::n.
V ta 3.1.1 Nech» funkce yx = f(x) je de novÆna v bodech x;x+ 1;:::;x+k;:::;x+n.
Pro jej diferenci łÆdu n plat
nyx =
n
0

yx+n
n
1

yx+n 1 +:::+ ( 1n)
n
n

yx =
nX
k=0
( 1)k
n
k

yx+n k:
Płi porovnÆn pojmø łÆd obyŁejnØ diferenciÆln rovnice a łÆd diferenŁn rovnice je
vid t podstatn rozd l. Ædem obyŁejnØ diferenciÆln rovnice se rozum nejvy„„ łÆd de-
rivace neznÆmØ funkce, kterÆ se v rovnici vyskytuje, av„ak łÆd diferenŁn rovnice nen
de novÆn jako nejvy„„ łÆd diference neznÆmØ funkce.2
Pł klad 3.1.1 UrŁen łÆdu diferenŁn rovnice
UrŁete łÆd diferenŁn rovnice 3yx + 2yx = 0.
e„en : Pou it m v ty 3.1