skripta

.1 płevedeme rovnici do tvaru
yx+3 3yx+ 2 + 3yx+1 yx +yx+2 2yx+1 +yx = 0
yx+3 2yx+2 +yx+1 = 0;
z n ho je ihned vid t, e łÆd zadanØ rovnice je r = 3 1 = 2.
Podobn jako u diferenciÆln ch rovnic, mÆ i u diferenŁn ch rovnic pojem łe„en n kolik
v znamø.
De nice 3.1.3 e„en m diferenŁn rovnice naz vÆme ka dou funkci, kterÆ vyhovuje danØ
rovnici. Obecn m łe„en m diferenŁn rovnice łÆdu n naz vÆme takovØ jej łe„en , kterØ ob-
sahuje n takov ch libovoln ch konstant, e ka dØ łe„en zadanØ rovnice se z n ho dostane
vhodnou volbou t chto konstant. PartikulÆrn m łe„en m diferenŁn rovnice naz vÆme ta-
kovØ jej łe„en , kterØ dostaneme z obecnØho łe„en dosazen m urŁit ch Ł sel za jednotlivØ
konstanty.
2Døvodem je fakt, e takto de novan łÆd by se vhodn mi substitucemi argumentu mohl m nit.
Matematika 2 35
PoznÆmka 3.1.1 V„imn me si jednoho podstatnØho faktu: łe„en m diferenciÆln rovnice
je funkce, kterÆ mus b t de novÆna pouze v urŁit ch bodech { viz de nice (3.1.1) a
(3.1.2). Nemus se tedy vøbec jednat o funkci, jej m de niŁn m oborem je mno ina (v„ech)
reÆln ch Ł sel, ale napł. o funkci jej m de niŁn m oborem je mno ina (v„ech) płirozen ch
Ł sel. V diferenŁn ch rovnic ch tedy mø eme mj. pracovat s posloupnostmi.
Płi studiu diferenciÆln ch rovnic jsme ukÆzali, e jsou-li vhodn m zpøsobem zadÆny
k rovnici n jakØ dal„ dodateŁnØ podm nky, z skÆme m sto obecnØho łe„en diferenciÆln
rovnice jedno konkrØtn partikulÆrn łe„en danØ rovnice. PodobnÆ situace nastÆvÆ i płi
łe„en diferenŁn ch rovnic.
De nice 3.1.4 M jme dÆnu diferenŁn rovnici łÆdu k. Podm nky tvaru
y(x0) = f0;y(x0 + 1) = f1;:::;y(x0 +n 1) = fn 1; (3.1.2)
kde fi2C, i = 0;1;:::;n 1, naz vÆme poŁÆteŁn mi podm nkami diferenŁn rovnice łÆdu
n.
Pł klad 3.1.2 Pł klad zadÆn poŁÆteŁn ch podm nek diferenŁn rovnice
Najd te łe„en diferenŁn rovnice 3yx+2 + 2yx+1 yx = x2 + 5 za poŁÆteŁn ch podm nek
y(0) = 0;y(1) = 2.
3.2 LineÆrn diferenŁn rovnice s konstantn mi koe -
cienty
Typø diferenŁn ch rovnic existuje celÆ łada { podobn jako u diferenciÆln ch rovnic se
bude zab vat pouze jedn m z jednodu„„ ch typø.
De nice 3.2.1 LineÆrn diferenŁn rovnic łÆdu n naz vÆme rovnici tvaru
yx+n +A1yx+n 1 +:::+Anyx = B(x); (3.2.1)
kde Ai, i = 0;1;:::;n jsou funkcemi argumentu x, płiŁem An 6 0. Jestli e B(x) 0,
naz vÆme tuto rovnici zkrÆcenou, je-li B(x)6 0 naz vÆme tuto rovnici nezkrÆcenou.
U diferenciÆln ch rovnic jsme de novali lineÆrn rovnici takØ. UkÆzalo se, e v pł pad ,
e funkce Ai, i = 0;1;:::;n 1, vyskytuj c se ve vyjÆdłen (2.2.1) jsou konstantn , je łe„en
takov ch rovnic mnohem jednodu„„ . AnalogickÆ situace nastÆvÆ i u diferenŁn ch rovnic;
v dal„ m textu se proto budeme zab vat jen speciÆln m typem lineÆrn ch diferenŁn ch
rovnic.
De nice 3.2.2 Jsou-li v„echny funkce Ai(x);i = 0;1;:::;n ve vyjÆdłen (3.2.1) kon-
stantn , płiŁem An6= 0, naz vÆme lineÆrn diferenŁn rovnici (3.2.1) lineÆrn diferenŁn
rovnic s konstantn mi koe cienty a p „eme ji ve tvaru
yx+n +a1yx+n 1 +:::+anyx = B(x); (3.2.2)
36 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
Vid me, e zkrÆcenÆ lineÆrn diferenŁn rovnice s konstantn mi koe cienty je jistou
analogi homogenn lineÆrn diferenciÆln rovnice s konstantn mi koe einty. To bude platit
i pro jej łe„en , kterØ budeme hledat podobn m zpøsobem.
De nice 3.2.3 Nech» je dÆna zkrÆcenÆ lineÆrn diferenŁn rovnice łÆdu n ve tvaru
a0yx+n +a1yx+n 1 +:::+anyx = 0; (3.2.3)
kde ai, i = 0;1;:::;n jsou konstanty takovØ, e a0 6= 0 a an6= 0.3 Algebraickou rovnici
a0rn +a1rn 1 +:::+an = 0 (3.2.4)
naz vÆme jej charakteristickou rovnic .
V ta 3.2.1 M jme dÆnu zkrÆcenou lineÆrn diferenŁn rovnici s konstantn mi koe cienty
tvaru (3.2.3) a jej charakteristickou rovnici (3.2.4). Pak plat :
1. Je-li r2R k nÆsobn kołen charakteristickØ rovnice, k 1, pak funkce
y1(x) = rx; y2(x) = xrx;::: yk(x) = xk 1rx
jsou łe„en m zadanØ diferenŁn rovnice.
2. Je-li r1;2 dvojice komplexn ch k nÆsobn ch, k 1, kołenø charakteristickØ rovnice
vyjÆdłen ch v goniometrickØm tvaru jako r1;2 = (cos’ sin’), pak
y1(x) = x cos (’x); y3(x) = x x cos (’x);::: y2k 1(x) = xk 1 x cos (’x)
y2(x) = x sin (’x); y4(x) = x x sin (’x);::: y2k(x) = xk 1 x sin (’x)
jsou łe„en m zadanØ diferenŁn rovnice.
PoznÆmka 3.2.1 Pokud pova ujeme x za spojit argument { viz poznÆmka 3.1.1, płevÆ-
d me na goniometrick tvar takØ zÆpornØ reÆlnØ kołeny charakteristickØ rovnice.
V ta 3.2.2 LineÆrn kombinace v„ech łe„en zkrÆcenØ lineÆrn diferenŁn rovnice s kon-
stantn mi koe cienty tvaru (3.2.3), z skan ch postupem uveden m ve v t (3.2.1), płed-
stavuje obecnØ łe„en tØto rovnice.
Pł klad 3.2.1 e„en zkrÆcenØ lineÆrn diferenŁn rovnice s konstantn mi koe cienty
Nalezn te obecnØ łe„en diferenŁn rovnice yx+2 + 6yx+1 + 9yx = 0.
e„en : Nejprve sestav me charakteristickou rovnici. Podle vyjÆdłen (3.2.4) dostÆvÆme
r2 + 6r + 9 = 0. Tato rovnice mÆ jeden dvojnÆsobn kołen r1;2 = 3. Proto podle
v ty 3.2.1 jsou łe„en m zadanØ rovnice funkce y1(x) = ( 3)x a y2(x) = x( 3)x.
Obecn m łe„en m zadanØ diferenŁn rovnice je podle v ty 3.2.2 funkce y(x) =
c1( 3)x + c2x( 3)x. Pokud uva ujeme spojit argument x, płevedeme podle po-
znÆmky 3.2.1 Ł slo 3 na goniometrick tvar. e„en m tedy bude funkce y(x) =
(c1 +c2x)3x[cos ( x) + sin ( x)].
Jin mi diferenŁn mi rovnicemi se nebudeme zab vat. V kapitole ?? si ukÆ eme je-
den zpøsob łe„en diferenŁn ch rovnic, jejich argument nen spojit ale diskrØtn . T mto
zpøsobem budeme łe„it lineÆrn diferenŁn rovnice s konstantn mi koe cienty, a to jak
zkrÆcenØ tak nezkrÆcenØ.
3V„imn te si rozd ln ch po adavkø na koe cienty ai v tomto vyjÆdłen a ve vyjÆdłen 3.2.2. Rozd l je
ve skuteŁnosti pouze formÆln , proto e ve vyjÆdłen 3.2.2 je koe cient u Łlenu yx+n roven jednØ.
Kapitola 4
Funkce komplexn prom nnØ
4.1 ZÆkladn pojmy
V tØto kapitole roz„ ł te svØ znalosti o funkc ch. Na stłedn „kole se automaticky płedpo-
klÆdaly reÆlnØ funkce reÆln ch prom nn ch, kterØ m ly z didaktickØho hlediska tu v hodu,
e bylo mo nØ jednodu„e sestrojit jejich grafy. V prvn m roŁn ku jste si roz„ łili znalosti o
vlastnostech funkc do tØ m ry, e nyn um te ze znalosti funkŁn ho płedpisu sami sestro-
jit graf danØ funkce. V aplikac ch a technickØ praxi v„ak reÆlnØ funkce reÆlnØ prom nnØ
nepostaŁuj . Mus me proto roz„ łit pojem funkce do komplexn ho oboru.
De nice 4.1.1 Prom nnÆ z, kterÆ mø e nab vat libovoln ch komplexn ch hodnot, se na-
z vÆ komplexn prom nnÆ. Komplexn Ł slo z płitom obvykle vyjadłujeme v algebraickØm
tvaru1
z = x+jy
pro libovolnÆ x;y 2R. Je-li dÆle ke ka dØmu komplexn mu Ł slu z 2G C płiłazeno
n jak m płedpisem f alespo jedno komplexn Ł slo w = u + jv, kde u;v2R, łekneme,
e na mno in G je de novÆna komplexn funkce komplexn prom nnØ z, a p „eme
w = f(z) = u(x;y) +jv(x;y):
Kvøli struŁnosti tuto funkci takØ naz vÆme komplexn funkce f(z) nebo jen funkce f(z).
Mno inu G naz vÆme de niŁn obor funkce f(z). Funkci u(x;y) naz vÆme reÆlnÆ ŁÆst
funkce f(z) a znaŁ me ji Re w nebo Re f(z), funkci v(x;y) naz vÆme imaginÆrn ŁÆst
funkce f(z) a znaŁ me ji Im w nebo Im f(z).2
V dal„ m textu si ukÆ eme, e na komplexn funkci f(z) se mø eme płi mnoha pł le-
itostech d vat jako na dvojici reÆln ch funkc dvou prom nn ch u(x;y) a v(x;y). Z toho
vypl vÆ nutnost um t naj t reÆlnou a imaginÆrn slo ku danØ funkce. Z døvodu struŁnosti
budeme v dal„ m m sto oznaŁovÆn u(x;y) a v(x;y) Łasto pou vat zkrÆcenØ oznaŁovÆn
u a v.
1V matematice b vÆ zvykem oznaŁovat komplexn jednotku p smenem i; v technickØ praxi se Łasto
pou vÆ oznaŁovÆn p smenem j.
2Jestli e je G R, łekneme, e na mno in G je de novÆna komplexn funkce reÆlnØ prom nnØ z.
Podobn mø eme de novat reÆlnou funkci komplexn prom nnØ.
37
38 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
Pł klad 4.1.1 UrŁen reÆlnØ a imaginÆrn ŁÆsti funkce f(z)
Je dÆna komplexn funkce w = z2 +jz. Najd te jej reÆlnou a imaginÆrn ŁÆst.
e„en : Komplexn Ł slo z v płedpisu w = z2 + jz uva ujeme podle de nice 4.1.1 v
algebraickØm tvaru. Je proto
w = z2 +jz = (x+jy)2 +j(x+jy) = x2 + 2jxy +j2y2 +jx+j2y =
= x2 + 2jxy y2 +jx y = x2 y2 y +j(2xy +x)
ReÆlnÆ ŁÆst hledanØ funkce je proto u = Re w = x2 y2 y a imaginÆrn ŁÆst
je v = Im w = 2xy + x. Zb vÆ otÆzka de niŁn ho oboru zadanØ funkce { v zadÆn
toti nen uveden. Proto e v„ak funkce u i v jsou złejm de novÆny pro libovolnÆ
x;y2R, mø e b t de niŁn m oborem zadanØ funkce celÆ mno ina C, resp. libovolnÆ
jej podmno ina.
Funkce f(z) v de nici 4.1.1 płiłazuje ka dØmu Ł slu z de niŁn ho oboru alespo jedno
komplexn Ł slo. To je rozd l oproti de nici reÆlnØ funkce reÆlnØ prom nnØ de novanØ v
płedm tu Matematika 1, kterÆ ka dØmu Ł slu z de niŁn ho oboru płiłazovala prÆv jednu
hodnotu. MÆ proto smysl nÆsleduj c rozli„en .
De nice 4.1.2 Jestli e funkce f : G!C, kde G C płiłazuje ka dØmu Ł slu z 2G
prÆv jedno Ł slo w2C, ł kÆme, e funkce f(z) je jednoznaŁnÆ. Jestli e funkce f(z) nen
jednoznaŁnÆ, ł kÆme, e je mnohoznaŁnÆ.
V dal„ m textu uvid me, e komplexn funkce maj n kterØ neoŁekÆvanØ vlastnosti {
napł. bude vid t, e płipust me-li za de niŁn obor funkce w = lnz n jakou podmno inu
mno iny komplexn ch Ł sel, z skÆme mnohoznaŁnou funkci.
4.2 Limita, spojitost a derivace
V tomto odstavci si ukÆ eme, jak lze na komplexn funkce płenØst n kterØ pojmy, s nimi
jste se seznÆmili v płedm tu Matematika 1 : limita, spojitost a derivace. V„imn te si,
e ve v„ech pł padech budou pł slu„nØ pojmy zobecn n m pojmø znÆm ch z płedm tu
Matematika 1.
De nice 4.2.1 Nech» z0 je hromadn m bodem mno iny G C a nech» f(z) je jed-
noznaŁnÆ funkce de novanÆ na de niŁn m oboru G. DÆle nech» U(z0) je okol bodu z0.
ekneme, e bod z = x+jy, patł c do okol U(z0), se se bl k bodu z0 a p „eme z!z0,
jestli e [x;y] ! [x0;y0]. Jestli e se pro z !z0 hodnoty funkce f(z) bl k hodnot w0,
łekneme, e funkce f(z) mÆ v bod z0 limitu w0, a p „eme limz!z
0
f(z) = w0.
De nice 4.2.2 Nech» w = f(z) je komplexn funkce, jej m de niŁn m oborem je mno-
ina G, a dÆle bu z0 2G. Jestli e existuje limita limz!z
0
f(z) a plat , e
limz!z
0
f(z) = f(z0);
łekneme, e funkce w = f(z) je spojitÆ v bod z0.
Matematika 2 39
O spojitosti funkce f(z) v bod lze rozhodnout podle chovÆn jej reÆlnØ a imaginÆrn
ŁÆsti.
V ta 4.2.1 Funkce w = f(z) = u(x;y) + jv(x;y) je spojitÆ v bod z0 = x0 + jy0 prÆv
tehdy, kdy jej slo ky u(x;y) a v(x;y) jsou spojitØ v bod [x0;y0].
Pojem derivace funkce komplexn prom nnØ se op t zavÆd podobn jako v reÆlnØm
oboru. Mus me ov„em m t na pam ti, e celÆ łada komplexn ch funkc { napł. funkce
w = Re z+ Im z { nemÆ v reÆlnØm oboru analogii, nebo mÆ jinØ vlastnosti { viz napł. ji
zmi ovanÆ mnohoznaŁnost funkce w = lnz. Jak potom vypadÆ derivace takov ch funkc ?
De nice 4.2.3 Nech» z0 je vnitłn bod mno iny G C, na n m je de novÆna jedno-
znaŁnÆ funkce f(z). Derivac funkce f(z) v bod z0 nazveme limitu
lim
z!z0
f(z) f(z0)
z z0 : (4.2.1)
Derivaci funkce f(z) v bod z0 znaŁ me f0(z0). Existuje-li derivace f0(z) v ka dØm okol
U(z0), pak se funkce naz vÆ holomorfn 3 v bod f(z0). Existuje-li derivace f0(z) v ka dØm
bod de niŁn ho oboru G, pak łekneme, e funkce f(z) je holomorfn na G.
Pro praktickØ ov łovÆn , zda funkce mÆ nebo nemÆ derivaci, slou nÆsleduj c v ta:
V ta 4.2.2 Nech» je dÆn bod z0 = x0 + jy0. OznaŁme P = [x0;y0]. DÆle nech» je dÆna
funkce w = f(z) = u(x;y) +jv(x;y), takovÆ, e parciÆln derivace u0x(P0), u0y(P0), v0x(P0)
a v0y(P0) existuj a jsou spojitØ. Pak derivace funkce f(z) v bod z0 existuje prÆv tehdy,
kdy souŁasn plat
u0x(P0) = v0y(P0) u0y(P0) = v0x(P0): (4.2.2)
Jestli e mÆ funkce f(z) derivaci v bod z0, pak pro tuto derivaci plat
f0(z0) = u0x(P0) +jv0x(P0) = v0y(P0) ju0y(P0): (4.2.3)
Pł klad 4.2.1 Nalezen derivace komplexn funkce f(z)
1. Najd te derivaci funkce w = z, kde z znaŁ Ł slo komplexn sdru enØ k Ł slu z =
x+jy.
e„en : Nejprve je tłeba nalØzt reÆlnou a imaginÆrn ŁÆst zadanØ funkce. Złejm
je w = z = x jy, tj. u = Re w = x a v = Im w = y. Jak reÆlnÆ tak
imaginÆrn ŁÆst jsou de novÆny pro libovolnØ reÆlnØ hodnoty, proto de niŁn m
oborem funkce w = z je mno ina v„ech komplexn ch Ł sel.
UrŁ me pł slu„nØ parciÆln derivace po adovanØ ve v t 4.2.2. DostÆvÆme: u0x =
1, u0y = 0, v0x = 0, v0y = 1. Vid me, e podm nky (4.2.2) nejsou spln ny pro
Ædn bod z0 = x0 + jy0, resp. P0 = [x0;y0]. Derivace funkce w = z tedy
neexistuje v ÆdnØm bod de niŁn ho oboru.
3¨asto se takØ pou vÆ oznaŁen analytickÆ nebo regulÆrn .
40 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
2. Najd te derivaci funkce w = z2 + 2z.
e„en : Proto e w = z2 + 2z = (x+jy2) + 2(x+jy) = x2 + 2jxy y2 + 2x+ 2jy,
mÆme u = Re w = x2 + 2x y2 a v = Im w = 2xy + 2y. Jak reÆlnÆ tak
imaginÆrn ŁÆst jsou de novÆny pro libovolnØ reÆlnØ hodnoty, proto de niŁn m
oborem funkce w = z2 + 2z je mno ina v„ech komplexn ch Ł sel.
UrŁ me pł slu„nØ parciÆln derivace po adovanØ ve v t 4.2.2. DostÆvÆme: u0x =
2x + 2, u0y = 2y, v0x = 2y, v0y = 2x + 2. Vid me, e podm nky (4.2.2) jsou
spln ny pro libovoln bod z0 = x0 +jy0, resp. P0 = [x0;y0]. Pro derivaci funkce
w = z2 + 2z tedy v celØm de niŁn m oboru plat w0 = 2x + 2 + j2y. Toto
vyjÆdłen lze upravit do tvaru w0 = 2(x+jy) + 2 = 2z + 2.
Vid me tedy, e derivace n kter ch nikterak komplikovan ch funkc neexistuj . Naopak
pro jinØ funkce plat , e jejich derivace v komplexn m oboru je stejnÆ, jako bychom se
pohybovali v reÆlnØm oboru. Rovnost v sledkø nen nÆhodnÆ, plat toti , e pro derivovÆn
komplexn ch funkc plat obdobnÆ pravidla jako u pł slu„n ch funkc reÆlnØ prom nnØ.4
4.3 ElementÆrn funkce komplexn prom nnØ
Nyn si ukÆ eme n kolik elementÆrn ch funkc komplexn prom nnØ a vzorce pro jejich
vyjadłovÆn .
De nice 4.3.1 Komplexn m polynomem P komplexn funkce z naz vÆme funkci tvaru
P(z) = 0 + 1z + 2z2 +:::+ nzn; (4.3.1)
kde i 2 C;i = 0;1;:::;n. ¨ slo n nazveme stupe komplexn ho polynomu P(z); p -
„eme st P(z). Komplexn racionÆln funkc R naz vÆme pod l dvou komplexn ch polynomø
P(z);Q(z), tak e
R(z) = P(z)Q(z): (4.3.2)
RozepsÆn m je vid t, e komplexn polynom P(z) je spojitou funkc pro v„echna kom-
plexn Ł sla z. Podobn je vid t, e komplexn racionÆln funkce R(z) je spojitÆ ve v„ech
bodech svØho de niŁn ho oboru, tj. ve v„ech bodech, kde je Q(z)6= 0.
De nice 4.3.2 NÆsleduj c vyjÆdłen uva ujeme pro libovolnØ z2C.
Komplexn exponenciÆln funkc ez naz vÆme funkci
ez = 1 + z1! + z
2
2! +::: =
1X
n=0
zn
n! (4.3.3)
4Hovoł me o tzv. zÆkonu permanence pravidel pro derivovÆn funkc komplexn prom nnØ. Proto e
derivovÆn funkc kompelxn prom nnØ je pouze na okraji na„eho zÆjmu, nebudeme jej uvÆd t ve form
matematickØ v ty.
Matematika 2 41
Komplexn funkc kosinus naz vÆme funkci
cosz = 1 z
2
2! +
z4
4!
z6
6! +::: =
1X
n=0
( 1)n z
2n
(2n)! (4.3.4)
Komplexn funkc sinus naz vÆme funkci
sinz = z1! z
3
3! +
z5
5! +::: =
1X
n=0
( 1)n z
2n+1
(2n+ 1)! (4.3.5)
Pro v „e uvedenØ funkce plat nÆsleduj c døle itØ vztahy:
cosz = 12(ejz + e jz) (4.3.6)
sinz = 12j(ejz e jz) (4.3.7)
Z t chto vztahø z skÆme mj. dal„ mo nost vyjÆdłen komplexn ch Ł sel. Pokud je toti
porovnÆme s goniometrick m tvarem komplexn ho Ł sla z =jzj(cos’+jsin’), dostÆvÆme
vyjÆdłen z =jzjej’. Toto vyjÆdłen naz vÆme exponenciÆln tvar komplexn ho Ł sla z.
Pro hodnoty funkc sinz a cosz samozłejm neplat , e nab vaj hodnot pouze z
intervalu h 1;1i (jako v reÆlnØm oboru) { zejmØna proto, e v oboru komplexn ch Ł sel
nemÆ vøbec smysl mluvit o intervalech.5
Pomoc funkc de novan ch v de nici 4.3.2 mø eme de novat dal„ funkce, kterØ jsou
znÆmØ ji z reÆlnØho oboru.
De nice 4.3.3 Komplexn funkc tangens naz vÆme funkci
tgz = sinzcosz, kde cosz6= 0: (4.3.8)
Komplexn funkc kotangens naz vÆme funkci
cotgz = coszsinz, kde sinz6= 0: (4.3.9)
Komplexn funkc hyperbolick sinus naz vÆme funkci
sinhz = 12(ez e z) (4.3.10)
Komplexn funkc hyperbolick kosinus naz vÆme funkci
coshz = 12(ez + e z) (4.3.11)
5Zkuste si napł. do vztahu pro cosz ve vzorci 4.3.6 dosadit libovolnØ ryze imaginÆrn Ł slo, tj. Ł slo
tvaru z = kj, kde k2R. PotØ dosa te libovolnØ komplexn Ł slo.
42 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
I kdy maj v „e uvedenØ funkce stejnØ nÆzvy jako tytØ funkce v reÆlnØm oboru, resp.
i kdy jsou roz„ łen m znÆm ch reÆln ch funkc , neznamenÆ to, e se do komplexn ho
oboru beze zbytku płenÆ„ej jejich vlastnosti znÆmØ z reÆlnØho oboru. ¨emu se napł.
rovnÆ hodnota ez+2k j, kde k2Z libovolnØ?
ez+2k j = ez:e2k j = ez[cos 2k +jsin 2k ] = ez
Vid me tedy, e komplexn exponenciÆln funkce ez je periodickÆ!
V ta 4.3.1 Komplexn exponenciÆln funkce ez, komplexn funkce hyperbolick sinus a
kompexn funkce hyperbolick kosinus jsou periodickØ a maj nejmen„ periodou 2 j.
Komplexn funkce sinus a komplexn funkce kosinus jsou periodickØ a maj nejmen„ pe-
riodu 2 .
Z periodiŁnosti funkce ez vypl vÆ dal„ døle it poznatek. V reÆlnØm oboru je inverzn
funkc k funkci y = ex funkce y = lnx. Inverzn funkce k periodickØ funkci v„ak nemø e
b t jednoznaŁnÆ funkce (ve smyslu de nice 4.1.2). De novÆn logaritmu v komplexn m
oboru je proto pon kud slo it j„ .6
De nice 4.3.4 Inverzn funkci k exponenciÆln funkci ez naz vÆme (płirozenÆ) logarit-
mickÆ funkce Ln z.
V ta 4.3.2 Jestli e z =jzj(cos’+jsin’), pak plat Lnz = lnjzj+j(’+2k ), kde k2Z.
De nice 4.3.5 Pokud ve v t 4.3.2 polo me k = 0, p „eme lnz m sto Lnz a tuto funkci
naz vÆme hlavn v tev logaritmickØ funkce, resp. hlavn v tev logaritmu.
Pokud nebude hrozit nedorozum n , budeme m sto o hlavn v tvi logaritmu mluvit
pł mo o logaritmu. Je v„ak tłeba m t na pam ti v „e uvedenØ rozli„ovÆn . PłirozenÆ lo-
garitmickÆ funkce de novanÆ v de nici 4.3.4 toti nemus b t na svØm de niŁn m oboru
holomorfn (proto e na C nen jednoznaŁnÆ). Hlavn v tev logaritmu naopak holomorfn
je.
PodobnÆ situace nastÆvÆ płi de novÆn tzv. obecnØ mocniny z s komplexn m zÆkla-
dem . Podobn jako u logaritmu bychom mohli obecnou mocninu de novat nejprve jako
funkci, o n by se ukÆzalo, e je mnohoznaŁnÆ, a pak se omezit pouze na jej hlavn v tev.
Pro na„e œŁely v„ak postaŁuje nÆsleduj c de nice.
De nice 4.3.6 Obecnou mocninou z s komplexn m zÆkladem , kde 6= 0, 6= 1
naz vÆme funkci de novanou vztahem
z = ezln ; (4.3.12)
kde ln je hlavn v tev logaritmu Ln .
6NÆsleduj c de nice nen zcela korektn ; pro œŁely tohoto textu v„ak postaŁuje. Płesnou de nici lze
nalØzt napł. v [?].
Matematika 2 43
Pł klad 4.3.1 UrŁete hodnoty nÆsleduj c ch v razø (uva ujte pouze hlavn v tve loga-
ritmu).
1. ln ( 1)
e„en : Proto e 1 = (cos +jsin ) = ej , mÆme ln ( 1) = ln 1 +j = j .
2. jj
e„en : Podle (4.3.12) je jj = ejlnj. Proto e j = cos 2 +jsin 2 , je lnj = ln 1+j 2 ,
tedy po dosazen jj = ej2 2 = e 2 .
4.4 IntegrÆl funkce komplexn prom nnØ
Situace płi integrovÆn funkc v komplexn m oboru bude pon kud slo it j„ ne v reÆlnØm
oboru. Prozat m jste rozli„ovali integrÆly dvoj ho druhu { neurŁit s jeho vztahem k pojmu
primitivn funkce a urŁit s jeho geometrick m v znamem jako obsah jistØ plochy. Nyn
zaŁneme pracovat s integrÆlem, kde bude døle itou roli hrÆt kłivka, po n bude integrace
prob hat.
De nice 4.4.1 Nech» jsou dÆny dv reÆlnØ funkce f :h ; i!R a g :h ; i!R danØ
płedpisy f = x(t) a g = y(t) pro ka dØ t2h ; i. Nech» jsou f;g spojitØ a jejich derivace
nech» jsou po ŁÆstech spojitØ. Nech» je dÆle dÆna funkce de novanÆ na intervalu h ; i,
tj. :h ; i!C, takovÆ, e
: z(t) = x(t) +jy(t) (4.4.1)
pro ka dØ t 2 h ; i. kÆme, e funkce je po ŁÆstech hladkÆ orientovanÆ kłivka v
komplexn rovin . Bod z( ) naz vÆme jej m poŁÆteŁn m bodem; bod z( ) naz vÆme jej m
koncov m bodem. VyjÆdłen (4.4.1) naz vÆme parametrick m vyjÆdłen m nebo paramet-
rickou rovnic kłivky .
V„imn te si, e v de nici 4.4.1 pracujeme s komplexn funkc reÆlnØ prom nnØ, tj. t
nab vÆ reÆln ch hodnot. Jinak bychom nemohli mluvit o intervalu h ; i. V de nici je
pou it v raz orientovanÆ kłivka. JAK MOC SE TOMU V NOVAT?
Pł klad 4.4.1 ParametrickÆ vyjÆdłen n kter ch Łasto u van ch kłivek
1. seŁka s krajn mi body z1;z2:
z(t) = z1 + (z2 z1)t; t2h0;1i: (4.4.2)
2. Kladn orientovanÆ kru nice se stłedem v bod z0 a polom rem r:
z(t) = z0 +r:ejt; t2h0;2 i: (4.4.3)
44 Fakulta elektrotechniky a komunikaŁn ch technologi VUT v Brn
De nice 4.4.2 Nech» f(z) = u(x;y) + jv(x;y) je spojitÆ a jednoznaŁnÆ funkce na po
ŁÆstech hladkØ orientovanØ kłivce : z(t) = x(t) + jy(t), t 2h ; i. Pak integrÆlem
funkce f po kłivce naz vÆme v raz
Z

f(z)dz =
Z

f(z(t))z0(t) dt: (4.4.4)
Kłivku naz vÆme integraŁn cesta.
Pro takto de novanØ integrÆly plat analogie v t znÆm ch z reÆlnØho oboru.
V ta 4.4.1 Bu te f(z);f1(z);f2(z) funkce komplexn prom nnØ, ; 1; 2 po ŁÆstech
hladkØ orientovanØ kłivky a k2C. Pak plat :
R

(f1(z) +f2(z))dz = R

f1(z