Skripta Dskrétní signály a diskrétní systémy

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ



Signály a systémy

Část 3: Diskrétní signály a diskrétní systémy

Garant předmětu:
Doc. Ing. Pavel Jura, CSc.


Autor textu:
Doc. Ing. Pavel Jura, CSc.
Ing. Michal Polanský


Signály a systémy 1
Obsah
1 DISKRÉTNÍ SIGNÁLY A JEJICH ANALÝZA .......................................................... 6
1.1 VZORKOVACÍ TEORÉM ................................................................................................ 6
1.2 ZÁKLADNÍ DISKRÉTNÍ SIGNÁLY A JEJICH VLASTNOSTI............................................... 13
1.2.1 Základní diskrétní signály................................................................................ 13
1.2.2 Ohraničenost diskrétních signálů .................................................................... 16
1.2.3 Manipulace s diskrétními signály .................................................................... 17
1.2.4 Shrnutí kapitoly................................................................................................ 19
1.2.5 Cvičení ke kapitole........................................................................................... 20
1.2.6 Cvičení v MATLABu......................................................................................... 21
1.3 ANALÝZA DISKRÉTNÍCH SIGNÁLŮ ............................................................................. 21
1.3.1 Motivace........................................................................................................... 21
1.3.2 Diskrétní Fourierova řada............................................................................... 21
1.3.3 Některé vlastnosti diskrétní Fourierovy řady................................................... 30
1.3.4 Shrnutí kapitoly................................................................................................ 31
1.3.5 Cvičení ke kapitole........................................................................................... 31
1.3.6 Úlohy v MATLABu ke kapitole......................................................................... 32
1.4 ANALÝZA APERIODICKÝCH SIGNÁLŮ ........................................................................ 32
1.4.1 Motivace........................................................................................................... 32
1.4.2 Fourierova transformace diskrétního signálu DTFT....................................... 32
1.4.3 Diskrétní Fourierova transformace DFT......................................................... 37
1.4.4 Rychlá Fourierova transformace FFT............................................................. 39
1.4.5 Shrnutí kapitoly................................................................................................ 39
1.4.6 Cvičení ke kapitole........................................................................................... 40
1.4.7 Úlohy v Matlabu .............................................................................................. 40
2 DISKRÉTNÍ SYSTÉMY A JEJICH ANALÝZA....................................................... 40
2.1 ÚVOD A MOTIVACE ................................................................................................... 40
2.2 LINEÁRNÍ ČASOVĚ INVARIANTNÍ DISKRÉTNÍ SYSTÉMY.............................................. 43
2.2.1 Linearita a její důsledky................................................................................... 43
2.2.2 Časová invariance a její důsledky ................................................................... 44
2.2.3 Systémy s pamětí a bez paměti ......................................................................... 45
2.2.4 Shrnutí.............................................................................................................. 46
2.3 VNĚJŠÍ POPIS DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ........................................................................ 46
2.3.1 Diferenční rovnice systému a její fyzikální význam ......................................... 46
2.3.2 Operátorový přenos systému............................................................................ 48
2.3.3 Rozložení pólů a nul......................................................................................... 57
2.3.4 Frekvenční přenos diskrétního systému, frekvenční charakteristiky ............... 60
2.3.5 Impulsní charakteristika diskrétního systému.................................................. 65
2.3.6 Přechodová charakteristika diskrétního systému ............................................ 66
2.3.7 Cvičení ............................................................................................................. 69
2.4 VAZBY MEZI SYSTÉMY .............................................................................................. 71
2.4.1 Motivace........................................................................................................... 71
2.4.2 Sériové (kaskádní) spojení ............................................................................... 71
2.4.3 Paralelní spojení systémů ................................................................................ 72
2.4.4 Zpětnovazební (antiparalelní) spojení ............................................................. 72
2.5 STABILITA DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ ........................................................................... 75
2.5.1 Motivace........................................................................................................... 75
2.5.2 Matematická formulace stability...................................................................... 75
2 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
2.5.3 Cvičení..............................................................................................................80
3 DISKRETIZACE SPOJITÝCH SYSTÉMŮ ...............................................................80
3.1 MOTIVACE.................................................................................................................80
3.2 EKVIVALENTNÍ Z PŘENOS..........................................................................................81

Signály a systémy 3
Seznam obrázků
OBR. 1-1: VZORKOVÁNÍ SIGNÁLU ........................................................................................... 6
OBR. 1-2: IDEÁLNÍ VZORKOVÁNÍ............................................................................................. 6
OBR. 1-3: SPEKTRÁLNÍ POMĚRY PŘI VZORKOVÁNÍ SPOJITÉHO SIGNÁLU .................................. 8
OBR. 1-4: ALIASING EFEKT ..................................................................................................... 8
OBR. 1-5: REKONSTRUKCE SPOJITÉHO SIGNÁLU Z JEHO VZORKŮ-FREKVENČNÍ POHLED.......... 9
OBR. 1-6: FREKVENČNÍ (VLEVO) A IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA (VPRAVO) IDEÁLNÍ DP...... 10
OBR. 1-7: REKONSTRUKCE SPOJITÉHO SIGNÁLU Z JEHO VZORKŮ-ČASOVÝ POHLED............... 11
OBR. 1-8: NEJJEDNODUŠŠÍ REKONSTRUKCE SPOJITÉHO SIGNÁLU .......................................... 12
OBR. 1-9: IMPULSOVÁ A FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA TVAROVAČE ................................ 12
OBR. 1-10: DISKRÉTNÍ JEDNOTKOVÝ SKOK (VLEVO) A JEDNOTKOVÝ IMPULS (VPRAVO)..... 13
OBR. 1-11: DISKRÉTNÍ LINEÁRNÍ SIGNÁL (VLEVO) A EXPONENCIÁLNÍ SIGNÁL (VPRAVO).... 14
OBR. 1-12: PERIODICKÁ A NEPERIODICKÁ POSLOUPNOST.................................................... 15
OBR. 1-13: DISKRÉTNÍ KOMPLEXNÍ EXPONENCIÁLNÍ SIGNÁL .............................................. 16
OBR. 1-14: POSUN SIGNÁLU V ČASE.................................................................................... 17
OBR. 1-15: OTOČENÍ ČASOVÉ OSY A POSUN O 2 VZORKY .................................................... 17
OBR. 1-16: ZESÍLENÍ SIGNÁLU (VLEVO) A INVERZE SIGNÁLU (VPRAVO).............................. 18
OBR. 1-17: VYŘÍZNUTÍ KLADNÉ A ZÁPORNÉ ČÁSTI SIGNÁLU............................................... 18
OBR. 1-18: VYŘÍZNUTÍ ČÁSTI SIGNÁLU PRAVOÚHLÝM OKNEM........................................... 18
OBR. 1-19: PRAVOÚHLÉ OKNO A JEHO KONSTRUKCE POMOCÍ SOUČTU SIGNÁLŮ................. 19
OBR. 1-20: PRAVOÚHLÉ OKNO A JEHO KONSTRUKCE POMOCÍ SOUČINU SIGNÁLŮ................ 19
OBR. 1-21: DVA SIGNÁLY K PŘÍKLADU 1............................................................................. 20
OBR. 1-22: TŘI SIGNÁLY K PŘÍKLADU 3 .............................................................................. 20
OBR. 1-23: PERIODICKÉ KOMPLEXNÍ EXPONENCIÁLNÍ POSLOUPNOSTI ................................ 23
OBR. 1-24: KOMPLEXNÍ EXPONENCIÁLNÍ POSLOUPNOST JAKO POLOHA VEKTORU .............. 24
OBR. 1-25: ORTOGONALITA N=3 ........................................................................................ 27
OBR. 1-26: DISKRÉTNÍ SIGNÁL A JEHO AMPLITUDOVÉ A FÁZOVÉ SPEKTRUM....................... 29
OBR. 1-27: JEDNOTKOVÝ IMPULS A JEHO AMPLITUDOVÉ A FÁZOVÉ SPEKTRUM .................. 34
OBR. 1-28: JEDNOTKOVÝ SKOK A JEHO AMPLITUDOVÉ A FÁZOVÉ SPEKTRUM ..................... 35
OBR. 1-29: DISKRÉTNÍ REÁLNÝ EXPONENCIÁLNÍ SIGNÁL A JEHO SPEKTRUM....................... 36
OBR. 1-30: FOURIEROVA TRANSFORMACE DISKRÉTNÍHO SIGNÁLU...................................... 36
OBR. 2-1: DISKRÉTNÍ SYSTÉM ............................................................................................... 41
OBR. 2-2: MĚŘENÍ TEPLOTY V MÍSTNOSTI ............................................................................. 42
OBR. 2-3: VNĚJŠÍ POPIS SISO SYSTÉMU (VLEVO) A VNITŘNÍ POPIS (VPRAVO) ....................... 43
OBR. 2-4: ODEZVA ČASOVĚ INVARIANTNÍHO SYSTÉMU......................................................... 45
OBR. 2-5: GRAFICKÉ ZNÁZORNĚNÍ ALGORITMU .................................................................... 47
OBR. 2-6: K ODVOZENÍ Z TRANSFORMACE ........................................................................... 49
OBR. 2-7: VZTAH MEZI ROVINOU „P“ A „Z“........................................................................... 49
OBR. 2-8: REAKCE SUMÁTORU NA JEDNOTKOVÝ IMPULS ...................................................... 54
OBR. 2-9: REAKCE SUMÁTORU NA JEDNOTKOVÝ SKOK ......................................................... 54
OBR. 2-10: REAKCE REÁLNÉHO SUMÁTORU ........................................................................ 55
OBR. 2-11: FYZIKÁLNÍ VÝZNAM PÓLŮ-REÁLNÝ PÓL............................................................ 59
OBR. 2-12: FYZIKÁLNÍ VÝZNAM PÓLŮ-KOMPLEXNÍ PÓLY ................................................... 60
OBR. 2-13: K DEFINICI FREKVENČNÍHO PŘENOSU DISKRÉTNÍHO SYSTÉMU.......................... 61
OBR. 2-14: AMPLITUDOVÁ CHARAKTERISTIKA JEDNODUCHÉHO FILTRU ............................. 64
OBR. 2-15: VÝSTUPNÍ SIGNÁL JEDNODUCHÉHO FILTRU PRO TŘI PARAMETRY FILTRU.......... 64
OBR. 2-16: K DEFINICI IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKY.......................................................... 65
OBR. 2-17: IMPULSNÍ CHARAKTERISTIKY K PŘÍKLADŮM ..................................................... 66
OBR. 2-18: K DEFINICI PŘECHODOVÉ CHARAKTERISTIKY.................................................... 66
OBR. 2-19: PŘECHODOVÉ CHARAKTERISTIKY K PŘÍKLADŮM .............................................. 68
4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
OBR. 2-20: SÉRIOVÉ SPOJENÍ SYSTÉMŮ................................................................................71
OBR. 2-21: PARALELNÍ SPOJENÍ SYSTÉMŮ ...........................................................................72
OBR. 2-22: ZPĚTNOVAZEBNÍ SPOJENÍ SYSTÉMŮ...................................................................72
OBR. 2-23: VYJÁDŘENÍ PÓLŮ A NUL JAKO SÉRIOVÉ SPOJENÍ SYSTÉMŮ.................................73
OBR. 2-24: PRINCIP SUPERPOZICE........................................................................................74
OBR. 2-25: JEDNODUCHÝ ČÍSLICOVÝ FILTR .........................................................................74
OBR. 2-26: STABILNÍ, NESTABILNÍ A NEUTRÁLNÍ DISKRÉTNÍ SYSTÉMY................................75
OBR. 2-27: K POJMU STABILITA DISKRÉTNÍHO LINEÁRNÍHO SYSTÉMU.................................76
OBR. 2-28: STABILNÍ A NESTABILNÍ OBLASTI SYSTÉMU .......................................................77
OBR. 3-1: DISKRETIZACE SPOJITÉHO SYSTÉMU ......................................................................81
OBR. 3-2: K POJMU EKVIVALENTNÍ Z PŘENOS .......................................................................82
OBR. 3-3: EKVIVALENTNÍ Z PŘENOS A PRINCIP SUPERPOZICE ................................................82
OBR. 3-4: PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA DISKRETIZOVANÉHO IDEÁLNÍHO ZESILOVAČE ..83
OBR. 3-5: IMPULSOVÁ CHARAKTERISTIKA DISKRETIZOVANÉHO SUMÁTORU..........................84
OBR. 3-6: PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA DISKRETIZOVANÉHO DERIVAČNÍHO ČLÁNKU ....85
Signály a systémy 5
Seznam tabulek
TAB. 2-1: MALÝ SLOVNÍK Z-TRANSFORMACE....................................................................... 51
TAB. 2-2: JURYHO TEST ........................................................................................................ 78

6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
1 Diskrétní signály a jejich analýza
1.1 Vzorkovací teorém
Většina signálů, nacházející se všude kolem nás jsou signály se spojitým časem tj. signály
spojité. Naší snahou je ale zpracovávat signály pomocí číslicových počítačů. V číslicovém
počítači musí být signál reprezentován jako posloupnost čísel- v určitém časovém okamžiku
je hodnota signálu dána číslem uloženým v paměti počítače. Pro toto počítačové zpracování
signálu musíme proto převést spojitý signál na posloupnost čísel tj. na signál s diskrétním
časem- zkráceně na diskrétní signál (discrete signal). Tento převod se děje tzv. vzorkováním.
(sampling). V pravidelných časových okamžicích jsou ze spojitého signálu odebírány
vzorky tak, jak ukazuje
s
T
Obr. 1-1.
tt
f(t)
f(t)
-2T -T 0 T
T
2T 3T 4T
ss s
s
sss0
f(kT )
s
f(kT )
s

Obr. 1-1: Vzorkování signálu
V pravidelných časových okamžicích kde
s
kT ...2,1,0,1,2... −−=k spíná spínač na velmi
krátký okamžik a na jeho výstupu obdržíme pro každý časový okamžik hodnotu signálu
. Tuto hodnotu už můžeme uložit do paměti počítače a dále zpracovávat. Vzniká
samozřejmě otázka jak často vzorkovat, jaká má být perioda vzorkování (sampling
period). Na tuto otázku odpovídá vzorkovací teorém. Pro jeho vysvětlení předpokládejme
ideální spínač. Jeho funkce je potom matematicky popsána periodickou posloupností
Diracových impulsů
(
s
kTf )
s
T
() ( )
∑
+∞
−∞=
−=
k
s
kTtti δ
( 1.1 )
Touto funkcí budeme násobit (činnost spínače) původní spojitý signál a obdržíme na
výstupu spínače navzorkovaný signál
()tf
( )tf
s
jako
() ()() () ( )
∑
+∞
−∞=
−==
k
ss
kTttftitftf δ
( 1.2 )
Situace je ukázána na Obr. 1-2. Informaci o velikosti spojitého signálu v okamžiku
vzorkování je obsažena v ploše Diracova impulsu což je na obrázku naznačeno různou
„výškou“ Diracových impulsů.
tt
f(t)
-2T-2T -T-T 00TT
T
2T2T 3T3T 4T4T
ssss
s
ssss
f (t)
s
f (t)
si(t)


Obr. 1-2: Ideální vzorkování
Signály a systémy 7
Nyní najděme spektrum takto vzorkovaného signálu. Nejprve ale rozviňme funkci do
Fourierovy řady (to můžeme udělat, neboť tato funkce je periodická s periodou ). Pro
koeficienty Fourierovy řady bude platit
()ti
s
T
()
s
T
T
t
T
jm
s
m
T
dtet
T
c
s
s
s
11
2/
2/
2
==
∫
+
−
−
π
δ
( 1.3 )
neboť výše uvedený integrál je roven jedné na základě filtrační vlastnosti Diracovy funkce .
Pro Fourierovu řadu funkce tedy platí ()ti
() ( )
∑∑
+∞=
−∞=
+∞=
−∞=
=−=
m
m
t
T
jm
s
k
k
s
s
e
T
kTtti
π
δ
2
1
( 1.4 )
a pro navzorkovanou funkci potom platí ()tf
s
() ()() ()
∑
+∞=
−∞=
==
m
m
t
T
jm
s
s
s
e
T
tftitftf
π2
1
( 1.5 )
Určeme nyní spektrum této funkce. Bude
() (){} () ()
∑∑
+∞=
−∞=
+∞=
−∞= ⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
m
m
t
T
jm
s
m
m
t
T
jm
s
ss
ss
etf
T
etf
T
tfF
ππ
ω
22
11
FFF
( 1.6 )
Nyní můžeme využít věty o posunutí obrazu. Pro libovolné a totiž platí
(){ } (aFetf
jat
−= ωF ) kde ( ) ( ){ }tfF F=ω ( 1.7 )
což znamená, že násobení v časové oblasti komplexním exponenciálním signálem a kmitočtu
znamená ve frekvenční oblasti posunutí spektra o . Použijeme-li vztah ( 1.7 ) v rovnici (
1.6) bude
a a
() (){} ()
∑∑
+∞=
−∞=
+∞=
−∞=
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−==
m
m
s
s
m
m ss
ss
mF
TT
mF
T
tfF ωω
π
ωω
121
F
( 1.8 )
kde () (){tfF F= }ω je spektrum původního spojitého signálu a
ss
T/2πω = je vzorkovací
frekvence (sampling frequency). Význam tohoto vztahu je tento: spektrum navzorkovaného
signálu je dáno superpozicí (součtem) rovnoměrně posunutých spekter původního spojitého
signálu. Situace je ukázána na Obr. 1-3. V horní části obrázku je spektrum původního
spojitého signálu u kterého předpokládáme, že je omezené na kmitočtu
max
ω tj. že ve spektru
tohoto signálu se nevyskytují vyšší kmitočty než je tento maximální kmitočet. Jedná se o tzv.
signál s omezeným spektrem (bandlimited signal). Na prostředním obrázku je ukázáno
spektrum navzorkovaného signálu ( 1.8 ) za předpokladu, že
max
max
2
ω
π
ωω ≤⇔≥
ss
T
( 1.9 )
Tento vztah se nazývá vzorkovací teorém (sampling theorem) nebo také Shannonův teorém
(Claude Elwood Shannon, americký matematik a kybernetik, *1916), nebo také Shannon-
Kotelnikův teorém (Vladimir Alexandrovič Kotelnikov, ruský matematik, *1908). Tato
podmínka říká, že pokud vzorkujeme alespoň dvakrát rychleji než je nejvyšší kmitočet ve
spektru vzorkovaného signálu potom nedojde ke vzájemnému překrytí spekter při jejich
součtu podle vztahu ( 1.8 ). Jedině za tohoto předpokladu lze z navzorkovaného signálu
zpětně rekonstruovat signál spojitý. Jedině za tohoto předpokladu totiž nedochází při
vzorkování ke ztrátě informace. V dolní části Obr. 1-3 je naopak ukázána situace, kdy tato
podmínka není splněna a dojde při součtu spekter k jejich vzájemnému překrytí. Dojde
k efektu, který se nazývá aliasing efekt.
8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
F( )ω
ω
ω
ω
+ω
max
+ω
max
+ω
max
−ω
max
−ω
max
−ω
s
−ω
s
−2ω
s
−3ω
s
+ω
s
+2ω
s
+3ω
s
+4ω
s
+ω
+2ω
s
s
−ω
max
0
0
0
F ( )ω
s
F ( )ω
s
a
b
c
=A()ω
A(0)
A(0)/T
S

Obr. 1-3: Spektrální poměry při vzorkování spojitého signálu
Příklad 1.1 Aliasing efekt
V případě nesplnění vzorkovacího teorému dochází ke ztrátě informace. Čtenář se patrně
s tzv. aliasing efektem již setkal např. ve filmu. Filmový pás není ničím jiným než
navzorkovaným signálem byť v tomto případě se jedná o signál dvourozměrný (snímaná
scéna má dva rozměry- šířku a výšku). Jedno okénko filmového pásu je jeden sejmutý vzorek
spojitého dvourozměrného signálu. Perioda vzorkování je 25 snímků za sekundu.
Předpokládejme, že v záběru kamery westernového filmu je kolo dostavníku. Pro
jednoduchost uvažme, že toto kolo má jen jednu loukoť. Situace je na Obr. 1-4.
snímaný pohyb kola pozorovaný
pohyb kola
čas[s]0 1/25 2/25 3/25
ω >2ω
ω >2ω
ω =2ω
ω

Rekonstrukce signálu se spojitým časem z jeho vzorků
V jednom z předchozích odstavců jsme se zmínili o tom, že v případě kdy je splněn
vzorkovací teorém, je možno ze vzorků signálu zpětně rekonstruovat jeho spojitou podobu tj.
doplnit hodnoty funkce ( )tf i mezi okamžiky vzorkování. Jinými slovy vzorky funkce
jednoznačně určují funkční hodnoty i mezi okamžiky vzorkování. Přesto, že se toto tvrzení
může zdát absurdní je (alespoň ve světě matematiky) pravdivé. Situace, osvětlující toto
tvrzení, je ukázána na
()tf
Obr. 1-5.

F( )ω
ω
ω
ω
ω
+ω
max
+ω
+ω /2
+ω