Skripta Matematika I

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAˇCN´ICH TECHNOLOGI´I
VYSOK´E UˇCEN´I TECHNICK´E V BRNˇE
MATEMATIKA 1
Garant pˇredmˇetu:
Prof. RNDr. Jan CHVALINA, DrSc
Autoˇri textu:
Prof. RNDr. Josef DIBL´IK, DrSc. (vedouc´ı autorsk´eho kolektivu)
Doc. RNDr. Jarom´ır BAˇSTINEC, CSc.
Helena DURNOV´A, Ph.D.
Mgr. Martin ˇREZ´AˇC
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 1
Obsah
0.1 ´Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.2 Vstupn´ı test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.3 Oznaˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1 Z´akladn´ı pojmy matematick´e logiky. Mnoˇziny. Funkce 13
1.1 C´ıl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Z´akladn´ı matematick´e pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Mnoˇzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Elementy matematick´e logiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Kvantifik´atory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Tvrzen´ı, vˇety, logick´e symboly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Definice, vˇety, druhy d˚ukaz˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 ˇC´ıseln´e mnoˇziny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Intervaly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Z´akladn´ı vlastnosti komplexn´ıch ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1 Algebraick´y tvar komplexn´ıho ˇc´ısla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.2 Trigonometrick´y tvar komplexn´ıho ˇc´ısla . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.3 Exponenci´aln´ı tvar komplexn´ıho ˇc´ısla . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.4 Moivreova vˇeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.5 Odmocˇnov´an´ı komplexn´ıho ˇc´ısla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Zaveden´ı pojmu funkce, inverzn´ı funkce, funkce dvou a v´ıce promˇenn´ych . 22
1.8.1 Speci´aln´ı typy funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Inverzn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.10 Trigonometrick´e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.11 Inverzn´ı trigonometrick´e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.12 Exponenci´aln´ı a logaritmick´e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.13 Hyperbolick´e a inverzn´ı hyperbolick´e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.14 Komplexn´ı funkce re´aln´e promˇenn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.15 Polynomy a racion´aln´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.15.1 Euklid˚uv algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.15.2 Vˇety o koˇrenech polynom˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.15.3 Rozklad na parci´aln´ı zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.16 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.17 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Matice a determinanty. Soustavy line´arn´ıch rovnic a jejich ˇreˇsen´ı. 39
2.1 C´ıl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Speci´aln´ı typy matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2 Operace s maticemi. Line´arn´ı z´avislost a nez´avislost matic. . . . . . 41
2.3 Determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Hodnost matice a element´arn´ı ´upravy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
MATEMATIKA 1 2
2.5 Operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.1 Inverzn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.2 V´ypoˇcet inverzn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6 Soustavy line´arn´ıch rovnic: Z´akladn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7 ˇReˇsen´ı soustav line´arn´ıch algebraick´ych rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7.1 Homogenn´ı soustavy line´arn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.8 Gaussova a Jordanova eliminaˇcn´ı metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.9 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.10 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Vektorov´e prostory 61
3.1 C´ıl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Vektorov´y prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 B´aze, dimenze, souˇradnice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Transformace souˇradnic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Skal´arn´ı, vektorov´y a sm´ıˇsen´y souˇcin. Analytick´a geometrie line´arn´ıch a
kvadratick´ych ´utvar˚u 70
4.1 C´ıl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 Skal´arn´ı souˇcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Ortogon´aln´ı pr˚umˇet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Vektorov´y poˇcet v E3. Vektorov´y a sm´ıˇsen´y souˇcin. . . . . . . . . . . . . . 75
4.5 Line´arn´ı ´utvary v E3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5.1 Pˇr´ımka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5.2 Rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5.3 ´Useˇcka, polopˇr´ımka, polorovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5.4 Vz´ajemn´a poloha dvou pˇr´ımek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5.5 Vz´ajemn´a poloha pˇr´ımky a roviny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5.6 Vz´ajemn´a poloha dvou rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.6 Analytick´a geometrie line´arn´ıch ´utvar˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7 Kanonick´e tvary kuˇzeloseˇcek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.8 Kanonick´e tvary kvadrik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.9 Z´akladn´ı vlastnosti kuˇzeloseˇcek a kvadrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.10 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.11 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Diferenci´aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e promˇenn´e 1 94
5.1 C´ıl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2 ε - okol´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4 Pravostrann´a a levostrann´a limita funkce. Limita zprava a zleva . . . . . . 96
5.5 Nevlastn´ı limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 3
5.6 Dalˇs´ı pˇr´ıpady limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.7 Nˇekter´e vˇety o limit´ach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.8 Limita sloˇzen´e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.9 Nˇekter´e zn´am´e limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.10 Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.11 Nˇekter´e vlastnosti spojit´ych funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.12 Odstraniteln´a nespojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.13 Klasifikace nespojitost´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.14 Funkce spojit´e na uzavˇren´em intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.15 Teˇcna ke kˇrivce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.16 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.17 Fyzik´aln´ı v´yznam derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.17.1 Okamˇzit´a rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.18 Derivace z´akladn´ıch element´arn´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.19 Diferenci´al funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.20 Derivace inverzn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.21 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.22 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 Diferenci´aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e promˇenn´e 2 111
6.1 C´ıl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2 Derivace a diferenci´aly vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3 Numerick´e derivov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.4 Derivov´an´ı s programem MAPLE V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.5 Taylorovy polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.6 Taylor˚uv vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.7 Inverzn´ı trigonometrick´e funkce a jejich derivace . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.8 Derivace hyperbolick´ych funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.9 Derivace inverzn´ıch hyperbolick´ych funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.10 Klasifikace funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.11 Nˇekter´e vˇety o diferencovateln´ych funkc´ıch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.12 Testov´an´ı monot´onnosti funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.13 Extr´emy funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.14 Nutn´e podm´ınky pro extr´emy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.15 Konvexnost a konk´avnost kˇrivky. Inflexn´ı body. . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.16 Asymptoty kˇrivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.17 Obecn´e sch´ema pro vyˇsetˇrov´an´ı pr˚ubˇehu funkce . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.18 Nˇekter´e numerick´e metody ˇreˇsen´ı neline´arn´ıch rovnic a soustav rovnic . . . 121
6.18.1 Metoda p˚ulen´ı (Metoda rozdˇelov´an´ı ´useˇcky na dva stejn´e d´ıly) . . . 121
6.18.2 Metoda proporci´aln´ıch ˇc´ast´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.18.3 Newtonova metoda (Metoda teˇcen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.18.4 Iteraˇcn´ı metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.18.5 Iteraˇcn´ı metoda pro soustavu dvou rovnic . . . . . . . . . . . . . . 125
6.18.6 Pˇribliˇzn´y v´ypoˇcet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
MATEMATIKA 1 4
6.18.7 ˇReˇsen´ı rovnic pomoc´ı programu MAPLE V . . . . . . . . . . . . . . 126
6.19 Vektorov´a funkce skal´arn´ıho argumentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.19.1 Vektorov´a funkce. Hodograf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.19.2 Limita a spojitost vektorov´e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.19.3 Derivace vektorov´e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.19.4 Z´akladn´ı pravidla pro derivov´an´ı vektorov´e funkce . . . . . . . . . . 130
6.19.5 Aplikace v mechanice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.20 Komplexn´ı funkce re´aln´e promˇenn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.20.1 Definice komplexn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.20.2 Derivace komplexn´ı funkce re´aln´e promˇenn´e . . . . . . . . . . . . . 132
6.21 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.22 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7 Nekoneˇcn´e ˇc´ıseln´e ˇrady 135
7.1 C´ıl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2 ˇC´ıseln´e ˇrady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3 Nutn´a podm´ınka konvergence ˇc´ıseln´e ˇrady . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.4 Vlastnosti konvergentn´ıch ˇrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.5 ˇRady s kladn´ymi ˇcleny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.6 ˇRady s libovoln´ymi ˇcleny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.6.1 Alternuj´ıc´ı ˇrady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.6.2 Absolutn´ı konvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.7 Mocninn´e ˇrady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.8 Nˇekter´e vlastnosti mocninn´ych ˇrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.9 Taylorova ˇrada (Taylor˚uv rozvoj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.10 Taylor˚uv vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.11 Rozklad funkc´ı do Taylorov´ych a Maclaurinov´ych ˇrad . . . . . . . . . . . . 144
7.12 Nˇekter´e Maclaurinovy ˇrady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.12.1 Maclaurinova ˇrada exponenci´aln´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.12.2 Maclaurinova ˇrada trigonometrick´ych funkc´ı . . . . . . . . . . . . . 145
7.12.3 Nˇekter´e uˇziteˇcn´e Maclaurinovy ˇrady konkr´etn´ıch funkc´ı . . . . . . . 146
7.13 ˇRady a program MAPLE V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.14 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.15 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8 Integr´aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e promˇenn´e 1 149
8.1 C´ıl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2 Primitivn´ı funkce (antiderivace) a neurˇcit´y integr´al . . . . . . . . . . . . . 149
8.3 Z´akladn´ı tabulka integr´al˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.4 Nˇekter´e vlastnosti integr´al˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.5 Substituˇcn´ı integraˇcn´ı metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.6 Integrace po ˇc´astech (per partes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.7 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.8 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 5
9 Integr´aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e promˇenn´e 2 155
9.1 C´ıl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.2 Integrace pod´ılu dvou mnohoˇclen˚u (racion´aln´ıch lomen´ych funkc´ı) . . . . . 155
9.3 Integrace nˇekter´ych iracion´aln´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.4 Integrace trigonometrick´ych funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.5 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.6 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10 Integr´aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e promˇenn´e 3 162
10.1 C´ıl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.2 V´ypoˇcet plochy obrazce omezen´eho kˇrivkou . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.3 Urˇcit´y integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.4 Vlastnosti urˇcit´eho integr´alu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.5 Odhad urˇcit´eho integr´alu. Vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe. . . . . . . . . . . . . . . 166
10.6 Derivace integr´alu vzhledem k horn´ı mezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.7 Newton-Leibnizova vˇeta (Z´akladn´ı vzorec integr´aln´ıho poˇctu) . . . . . . . . 166
10.8 Integrace per partes pro uˇcit´e integr´aly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.9 Metoda substituce pro urˇcit´e integr´aly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.10Numerick´e integrov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.10.1 ´Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.10.2Obd´eln´ıkov´e pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.10.3Lichobˇeˇzn´ıkov´e pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.10.4Simpsonovo pravidlo (parabolick´e pravidlo) . . . . . . . . . . . . . . 169
10.10.5Sloˇzen´e kvadratick´e formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.10.6Odhad chyb kvadratick´ych formul´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.11Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.12Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11 Integr´aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e promˇenn´e 4 175
11.1 C´ıl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.2 Nevlastn´ı integr´aly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.2.1 Nevlastn´ı integr´aly vlivem intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.2.2 Nevlastn´ı integr´aly vlivem funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.3 Aplikace urˇcit´eho integr´alu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.3.1 Obsah rovinn´eho obrazce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
11.3.2 D´elka oblouku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
11.3.3 Objem tˇelesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.3.4 Objem rotaˇcn´ıho tˇelesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
11.3.5 Obsah rotaˇcn´ı plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
11.4 Integrace s programem MAPLE V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.4.1 Analytick´a integrace s programem MAPLE . . . . . . . . . . . . . . 181
11.4.2 Urˇcit´e integr´aly s programem MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.5 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.6 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
MATEMATIKA 1 6
12 Diferenci´aln´ı poˇcet funkc´ı v´ıce promˇenn´ych 1 183
12.1 C´ıl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12.2 Diferenci´aln´ı poˇcet funkc´ı v´ıce promˇenn´ych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12.2.1 Funkce v Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12.2.2 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
12.2.3 Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
12.2.4 Parci´aln´ı derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
12.2.5 Geometrick´y v´yznam parci´aln´ı derivace . . . . . . . . . . . . . . . . 187
12.2.6 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
12.3 Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
12.4 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
13 Diferenci´aln´ı poˇcet funkc´ı v´ıce promˇenn´ych 2 190
13.1 C´ıl kapitoly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
13.2 Parci´aln´ı derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
13.3 Nez´avislost sm´ıˇsen´ych derivac´ı na poˇrad´ı derivov´an´ı . . . . . . . . . . . . . 191
13.4 Diferencovateln´a funkce. Tot´aln´ı diferenci´al. . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
13.5 Diferenc