Skripta Matematika I

i´aly vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
13.6 Rovnice teˇcn´e roviny k ploˇse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
13.7 Geometrick´a interpretace tot´aln´ıho diferenci´alu funkce dvou promˇenn´ych . 195
13.8 Aplikace tot´aln´ıho diferenci´alu na pˇribliˇzn´e v´ypoˇcty . . . . . . . . . . . . . 196
13.9 Derivace sloˇzen´e funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
13.10Smˇerov´a derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
13.11Taylor˚uv vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
13.12Implicitn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
13.13V´ypoˇcet derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u pro implicitn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . 202
13.14Dalˇs´ı pˇr´ıpady pro v´ypoˇcet derivac´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
13.15Extr´emy funkc´ı v´ıce promˇenn´ych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
13.16Dostateˇcn´e podm´ınky pro extr´emy funkc´ı v´ıce promˇenn´ych . . . . . . . . . 204
13.17Dostateˇcn´e podm´ınky pro obecn´y pˇr´ıpad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
13.18Urˇcen´ı maxim´aln´ı a minim´aln´ı hodnoty funkce na uzavˇren´e oblasti . . . . . 206
13.19V´azan´e extr´emy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
13.20Shrnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
13.21Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
14 V´ysledky test˚u 210
14.1 Vstupn´ı test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
14.2 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
14.3 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
14.4 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
14.5 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
14.6 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 5.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
14.7 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 6.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
14.8 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 7.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 7
14.9 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 8.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
14.10Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 9.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
14.11Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 10.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
14.12Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 11.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
14.13Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 12.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
14.14Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 13.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Seznam obr´azk˚u
1.2.1 AuniontextB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 AintersectiontextB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 A\B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7.1 Komplexn´ı ˇc´ıslo z = x+jy v komplexn´ı rovinˇe . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.2 z,¯z - ˇc´ısla komplexnˇe sdruˇzen´a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.3 Trigonometrick´y tvar komplexn´ıho ˇc´ısla . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.4 |z1 +z2|,|z1 −z2| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.5 ˇReˇsen´ı rovnice z5 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.1 Funkce rostouc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.2 Funkce klesaj´ıc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.3 Funkce nerostouc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.4 Funkce neklesaj´ıc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.5 Funkce lich´a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8.6 Funkce sud´a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8.7 Funkce periodick´a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9.1 Funkce inverzn´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.10.1 Funkce sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.2 Funkce kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.3 Funkce tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.10.4 Funkce kotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11.1 Funkce Arcsin, Arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.11.2 Funkce Arctg, Arccotg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.12.1 Funkce exponenci´aln´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.12.2 Funkce logaritmick´a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.13.1 Funkce hyperbolick´y sinus (sinh) a cosinus(cosh) . . . . . . . . . . . . 28
1.13.2 Funkce hyperbolick´y tangens (tgh) a cotangens (cotgh) . . . . . . . . 28
4.4.1 Geometrick´y v´yznam vektorov´eho souˇcinu . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.2 Geometrick´y v´yznam sm´ıˇsen´eho souˇcinu . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.7.1 Kruˇznice: (x−m)2 + (y−n)2 = r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.7.2 Elipsa: (x−m)2a2 + (y−n)2b2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.7.3 Hyperbola: (x−m)2a2 − (y−n)2b2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.7.4 Parabola: (y−n)2 = 2p(x−m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.8.1 Koule: x2 +y2 +z2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 9
4.8.2 Elipsoid: x24 +y2 +z2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.8.3 Jednod´ıln´y hyperboloid: x2 +y2 −z2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.8.4 Dvojd´ıln´y hyperboloid: x2 +y2 −z2 = −1 . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.8.5 Eliptick´y paraboloid: x2 +y2 −2z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.8.6 Hyperbolick´y paraboloid: x2 −y2 −2z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.8.7 Kuˇzelov´a plocha: x2 +y2 −z2 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.8.8 Eliptick´a v´alcov´a plocha: x2 +y2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.8.9 Hyperbolick´a v´alcov´a plocha: x2 −y2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.8.10 Parabolick´a v´alcov´a plocha: y2 = 2px . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.1 Graf funkce sin 1x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.14.1 Weierstrassova vˇeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.11.1 V´yznam Rolleovy vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.11.2 V´yznam Lagrangeovy vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.18.1 Konverguj´ıc´ı iteraˇcn´ı proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.18.2 Diverguj´ıc´ı iteraˇcn´ı proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.2.1 Urˇcit´y integr´al - plocha obrazce 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.2.2 Urˇcit´y integr´al - plocha obrazce 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.2.3 Urˇcit´y integr´al - plocha obrazce 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.10.1 Obd´eln´ıkov´e pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.10.2 Lichobˇeˇzn´ıkov´e pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.10.3 Simpsonovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.3.1 Plocha obrazce mezi dvˇema kˇrivkami . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
11.3.2 D´elka oblouku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.3.3 Objem tˇelesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.3.4 Objem rotaˇcn´ıho tˇelesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
12.2.1 Horn´ı polokoule a rotaˇcn´ı paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Seznam tabulek
1.3.1 Tabulka pravdivostn´ıch hodnot sloˇzen´ych v´yrok˚u . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.7.1 Kanonick´e tvary koˇzeloseˇcek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.8.1 Kanonick´e tvary kvadrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 11
0.1 ´Uvod
Tentouˇcebn´ıtextbylpˇripravenpropotˇrebyposluchaˇc˚uFEKTVUT.Jesestavenvsouladu
s aktu´aln´ımi osnovami. Snahou autor˚u bylo podat problematiku srozumitelnˇe a pokud
moˇzno element´arn´ım zp˚usobem. Nˇekdy jsme dali pˇrednost lepˇs´ı srozumitelnosti pod´avan´e
l´atky, neˇz absolutn´ı matematick´e pˇresnosti. Vˇeˇr´ıme, ˇze to nebude na z´avadu ve spr´avn´em
ch´ap´an´ı l´atky.
Pros´ıme studenty a dalˇs´ı ˇcten´aˇre, aby zjiˇstˇen´e nedostatky v textu zaslali hlavn´ımu
autoru na e-mailovou adresu (diblik@feec.vutbr.cz). Materi´al pr˚ubˇeˇznˇe upravujeme a
Vaˇse pˇripom´ınky v pˇr´ıpadˇe jejich vˇecn´e spr´avnosti zahrneme do uˇcebn´ıho textu.
0.2 Vstupn´ı test
Pˇr´ıklad 0.1 Upravte
parenleftBigg
3radicalBig a√
b3
·
radicalbigg
b
3√a
parenrightBigg18
−
parenleftBigg√
b 3√b
3√b√b
parenrightBigg18
a−b .
Pˇr´ıklad 0.2 ˇReˇste nerovnici √x2 +x−12 5) ∧ (x ≤ 6) je ekvivalentn´ı s v´yrokem
5 5)∨(x≤ 6) =⇒x∈ R
• Implikace: =⇒ (jestliˇze ...pak); napˇr x2 = 1 =⇒x = ±1
• Ekvivalence: ⇐⇒ (tehdy a jen tehy); napˇr. x2 > 0 ⇐⇒xnegationslash= 0
V n´asleduj´ıc´ı tabulce oznaˇcuj´ı symboly 1 (0) poˇradˇe skuteˇcnost,ˇze sloˇzen´y v´yrok v z´ahlav´ı
je (nen´ı) pravdiv´y.
Z tabulky je patrn´e, ˇze konjunkce dvou v´yrok˚u (A∧B) je pravdiv´a pouze tehdy, kdyˇz
jsou oba v´yroky A, B pravdiv´e.
Disjunkce dvou v´yrok˚u (A∨B) je naopak nepravdiv´a pouze tehdy, kdyˇz nen´ı pravdiv´y
ani jeden z v´yrok˚u A, B.
Implikace (A =⇒ B) je nepravdiv´a pouze tehdy, je-li prvn´ı v´yrok pravdiv´y a druh´y
nikoliv.
Ekvivalence (A ⇐⇒ B) je nepravdiv´a tehdy, je-li jeden z v´yrok˚u A, B pravdiv´y a
druh´y nikoliv.
1.4 Definice, vˇety, druhy d˚ukaz˚u
D˚ukaz pˇr´ım´y: Pro d˚ukaz tvrzen´ı P =⇒ Q sestav´ıme ˇretˇezec pravdiv´ych implikac´ı
P =⇒ P1 =⇒ P2 =⇒ ... =⇒ Pn =⇒ Q.
MATEMATIKA 1 16
D˚ukaz nepˇr´ım´y: Dok´aˇzeme (pˇr´ımo) obmˇenu implikace P =⇒ Q, tedy ¬Q =⇒ ¬P.
D˚ukaz sporem: Vyjdeme z negace ¬P dokazovan´eho tvrzen´ı P a pomoc´ı pravdiv´ych
implikac´ı odvod´ıme tvrzen´ı nepravdiv´e. Tedy p˚uvodn´ı tvrzen´ı P je pravdiv´e.
D˚ukaz matematickou indukc´ı: Tento d˚ukaz pouˇz´ıv´ame pro dokazov´an´ı tvrzen´ı typu
pro vˇsechna n ∈ N, resp. pro vˇsechna n ≥ n0 plat´ı P. D˚ukaz sest´av´a ze dvou ˇc´ast´ı:
v prvn´ım kroku dok´aˇzeme tvrzen´ı pron0 a ve druh´em (indukˇcn´ım) kroku dok´aˇzeme,
ˇze plat´ı-li v´yrok P pro n, pak plat´ı i pro n+ 1.
1.5 ˇC´ıseln´e mnoˇziny
Definujeme n´asleduj´ıc´ı ˇc´ıseln´e mnoˇziny:
• N− mnoˇzina pˇrirozen´ych ˇc´ısel; N = {1,2,3,...}
• Z− mnoˇzina vˇsech cel´ych ˇc´ısel;
Z = N∪{0,−1,−2,−3,...}
• Q− mnoˇzina racion´aln´ıch ˇc´ısel; braceleftbigmnbracerightbig,m,n∈ Z,nnegationslash= 0
• Q+− mnoˇzina iracion´aln´ıch ˇc´ısel (napˇr. √2,e (z´aklad pˇrirozen´eho logaritmu), pi
(Ludolphovo ˇc´ıslo), log5,...)
• R− mnoˇzina re´aln´ych ˇc´ısel; R = (−∞;∞)
• C−mnoˇzina komplexn´ıchˇc´ısel{(a,b) : a∈ R,b∈ R}Symboli, popˇr.j oznaˇcuje tzv.
komplexn´ı jednotku, pro niˇz plat´ı: j2 = −1. Komplexn´ı ˇc´ıslo lze zapsat v r˚uzn´ych
tvarech, napˇr. algebraick´em: z = a+jb ˇci goniometrick´em z =.1
• Plat´ı: R = Q∪Q+, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
1.6 Intervaly
Budeme interpretovat ˇc´ısla jako body (celoˇc´ıseln´e nebo re´aln´e osy) a naopak body pˇr´ımky
jako ˇc´ısla. Mnoˇzina ˇc´ısel x splˇnuj´ıc´ıch nerovnosti a ≤ x ≤ b (resp. a < x < b) se naz´yv´a
uzavˇren´y (resp. otevˇren´y) interval s koncov´ymi bodyaab. Analogicky definujeme intervaly
polootevˇren´e, polouzavˇren´e a nekoneˇcn´e:
• uzavˇren´y interval: [a,b] nebo , a≤x≤b
• otevˇren´y interval: (a,b) nebo ]a,b[, a.
4. Urˇcete vektorvectorc =vectora×vectorba najdˇete obsah rovnobˇeˇzn´ıka sestrojen´eho z vektor˚uvectora =vectorj+vectork
avectorb =vectori−vectorj +vectork.
5. Urˇcete sin(vectora,vectorb), kdevectora = (3;1;2) avectorb = (2;−2;4).
6. Zjednoduˇste: (vectora+ 2vectorb−vectorc)·[(vectora−vectorb)×(vectora−vectorb−vectorc)].
7. Dan´e rovnice pˇr´ımky pˇreved’te na parametrick´e.
(a) 2x+y+ 4 = 0
(b) x−y = 1
8. Napiˇste rovnici pˇr´ımky, kter´a
(a) proch´az´ı body A = [2;−1] a B = [3;−2].
(b) proch´az´ı bodem B = [4;3] a je kolm´a na pˇr´ımku q : x = 3−3t,y = 2 + 5t.
V´ysledky v 14.5
Kapitola 5
Diferenci´aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e
promˇenn´e 1
5.1 C´ıl kapitoly
Jedn´ım ze z´akladn´ıch matematick´ych pojm˚u je pojem funkce. V t´eto kapitole zaˇcneme
podrobnˇeji studovat vlastnosti funkc´ı jedn´e promˇenn´e.
Zaˇcneme zaveden´ım limity a odvozen´ım jejich vlastnost´ı. Uk´aˇzeme si, jak se poˇc´ıtaj´ı
limity funkce ve vlastn´ıch i nevlastn´ıch (v nekoneˇcnu) bodech. Pomoc´ı pojmu limity si
budeme definovat spojitost funkce v bodˇe a na intervalu. Uvedeme si vlastnosti spojit´ych
funkc´ı a klasifikaci nespojitost´ı.
Limita se stane tak´e v´ychoz´ım apar´atem pro urˇcen´ı derivace funkce. Od pˇr´ıkladu,
kde si uk´aˇzeme, ˇze smˇernice teˇcny ke kˇrivce je limitou pod´ılu diferenc´ı, pˇrejdeme k de-
finici derivace a odvozen´ı nejd˚uleˇzitˇejˇs´ıch vlastnost´ı derivace. Uk´aˇzeme si jak se derivuj´ı
element´arn´ı funkce a jak´e jsou z´akladn´ı vlastnosti derivace.
Zavedeme si pojem diferenci´al funkce a uk´aˇzeme si, jako jedno z jeho moˇzn´ych pouˇzit´ı,
pˇribliˇzn´y v´ypoˇcet hodnoty funkce pomoc´ı diferenci´alu.
Uk´aˇzeme si moˇznosti programu MAPLE pro v´ypoˇcet derivac´ı.
5.2 ε - okol´ı
Definice 5.1 ε - okol´ım bodu a∈ R naz´yv´ame otevˇren´y interval (a−ε,a+ε), kde ε> 0.
Oznaˇcen´ı: O(a),O(a,ε),U(a),U(a,ε).
Prav´e okol´ı: [a,a+ε).
Lev´e okol´ı: (a−ε,a].
5.3 Limita funkce
Definice 5.2 ˇC´ıslo b se naz´yv´a (vlastn´ı) limita funkce f v bodˇe a, jestliˇze funkce je
definov´ana v okol´ı tohoto bodu a jestliˇze pro ∀ε∃δ > 0 (v z´avislosti na ε) takov´a, ˇze
94
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 95
∀x : |x−a| 0, (5.18.3)
(ex)prime = ex, (5.18.4)
(logax)prime = 1xlna ,x> 0,a> 0, (5.18.5)
(lnx)prime = 1x ,x> 0, (5.18.6)
(ln|x|)prime = 1x ,xnegationslash= 0, (5.18.7)
(|x|)prime = signx =
braceleftbigg 1, x> 0,
−1, x< 0, (5.18.8)
(sinx)prime = cosx, (cosx)prime = −sinx, (5.18.9)
(tgx)prime = 1cos2x, (5.18.10)
(cotgx)prime = −1sin2x, (5.18.11)
(arcsinx)prime = 1√1−x2, |x|< 1, (5.18.12)
(arccosx)prime = −1√1−x2, |x|< 1, (5.18.13)
(arctgx)prime = 11 +x2, (5.18.14)
(arccotgx)prime = −11 +x2, (5.18.15)
(sinhx)prime = coshx, (5.18.16)
(coshx)prime = sinhx, (5.18.17)
(tghx)prime = 1(coshx)2, (5.18.18)
(cotghx)prime = −1(sinhx)2. (5.18.19)
Derivace zprava a zleva:
fprime+(x) = lim
∆x→0,∆x>0
∆y
∆x , f
prime
−(x) = lim∆x→0,∆x 0
4. Vypoˇctˇete hodnotu derivace v bodˇe x0, pokud existuje.
(a) y = 3x, x0 = 2
(b) y = −2x, x0 = 3
(c) y = 1x+1, x0 = 2
(d) y = sinx, x0 = 0
5. Najdˇete rovnici teˇcny v bodˇe T, pokud existuje.
(a) y = x2, T = [2;4]
(b) y = √x+ 1, T = [3;2]
(c) y = 1√x, T = [1;1]
6. Najdˇete rovnici norm´aly ke kˇrivce v bodˇe T.
MATEMATIKA 1 110
(a) y = sinx, T = [0;0]
(b) y = 1 + (x−2)1/3, T = [3;2]
7. Pro kaˇzdou funkci f(x) najdˇete jej´ı derivaci a urˇcete, pro jak´e hodnoty x je funkce
diferencovateln´a.
(a) f(x) = 4x+ 3
(b) f(x) = 1√x+2
8. Pomoc´ı diferenci´alu odhadnˇete n´asleduj´ıc´ı v´yrazy. Srovnejte s v´ysledky z´ıskan´ymi
pomoc´ı kalkulaˇcky.
(a) (1,01)5
(b) (1,001)10
V´ysledky v 14.6
Kapitola 6
Diferenci´aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e
promˇenn´e 2
6.1 C´ıl kapitoly
Prvn´ı derivace funkce je limita pod´ılu pˇr´ır˚ustku funkvce ku pˇr´ır˚ustku argumentu. Druh´a
drivace bude derivac´ı prvn´ı derivace, tˇret´ı derivace bude derivac´ı druh´e derivace, atd. Tak
si vybudujeme derivace vˇsech ˇr´ad˚u.
Zcela analogicky si zavedeme i diferenci´aly vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u.
Derivace m˚uˇzeme vyuˇz´ıt i pro v´ypoˇcet limit. V pˇr´ıpadˇe ˇze po dosazen´ı dostaneme
neurˇcit´y v´yraz typu ”nula dˇeleno nulou”a nebo ”nekoneˇcno dˇeleno nekoneˇcnem”, m˚uˇzeme
pro urˇcen´ı limity pouˇz´ıt ”l’Hospitalovo pravidlo”
Limitu i derivace, vˇcetbˇe derivac´ı vyˇsˇs´ıcch ˇr´ad˚u, vyuˇzijeme pˇri studiu pr˚ubˇehu funkce
a pˇri sestrojen´ı grafu funkce. Pokud jsme schopni popsat pr˚ubˇeh funkce s dostateˇcnou
pˇresnost´ı, m˚uˇzeme takovou funkce pouˇz´ıt v aplikac´ıch s t´ım, ˇze v´ıme co n´am pˇrinese, co
od n´ı m˚uˇzeme oˇcek´avat. Proto si uvedeme, jak urˇcit intervaly, kde je funkce rostouc´ı, kde
je klesaj´ıc´ı, kde m´a lok´aln´ı minimum a kde m´a lok´aln´ı maximum, jak se urˇc´ı asymptoty. V
souhrnu spolu n´am tyto informace urˇcuj´ı pr˚ubeh funkce a pomohou n´am sestrojit kvalitn´ı
graf funkce.
6.2 Derivace a diferenci´aly vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u
Derivaci 2. ˇr´adu z´ısk´ame derivov´an´ım fprime(x):
fprimeprime(x) = [fprime(x)]prime;
analogicky pro derivaci vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u:
f(n)(x) =bracketleftbigf(n−1)(x)bracketrightbigprime.
111
MATEMATIKA 1 112
Pˇr´ıklad 56 • y = xα,α ∈ R,yprime = αxα−1, yprimeprime = α(α − 1)xα−2,...,y(n) = α(α −
1)...(α−n+1)xα−n. Pro α∈ N je y(α) = α(α−1)...1x0 = α! a y(α+1) = y(α+2) =
··· = 0,
• y = 2x,yprime = 2x ln2,yprimeprime = 2x(ln2)2,...,y(n) = 2x(ln2)n.
Leibnizova formule: Je-li f(x) = u(x)v(x), pak
f(n) = uv(n) +
parenleftbiggn
1
parenrightbigg
uprimev(n−1) +
parenleftbiggn
2
parenrightbigg
uprimeprimev(n−2) +···+u(n)v =
nsummationdisplay
l=0
parenleftbiggn
l
parenrightbigg
u(l)v(n−l).
Diferenci´aly vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u:
dy = fprime(x)dx, d2y = d(dy),...,dny = d(dn−1y).
Necht’ y = f(x). Vypoˇctˇete d2y : d2y = d(dy) = d(fprime(x)dx) = (fprime(x)dx)prime = fprimeprime(x)(dx)2 +
fprime(x)(dx)primedx = fprimeprime(x)(dx)2, protoˇze (dx)prime = (∆x)prime = 0 (∆x je povaˇzov´ano za konstantn´ı
veliˇcinu nez´avislou na x). V obecn´em pˇr´ıpadˇe
dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.
6.3 Numerick´e derivov´an´ı
Nejjednoduˇsˇs´ı vzorce pro numerick´e derivov´an´ı
Pˇredpokl´adejme, ˇze v nˇejak´em bodˇe x m´a funkce f derivaci
fprime(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)−f(x)
∆x .
Potom je pˇrirozen´e poloˇzit
fprime(x) ≈ f(x+ ∆x)−f(x)∆x .
Vyvst´av´a ot´azka: jak´a je chyba (tj. jak´y je rozd´ıl mezi ˇcleny na prav´e a na lev´e stranˇe) t´eto
pˇribliˇzn´e rovnosti? Abychom z´ıskali kvantitativn´ı odhady t´eto chyby, s´am fakt, ˇze exis-
tuje fprime(x), je nedostateˇcn´y. Proto obvykle pˇri anal´yze chyb pˇribliˇzn´ych metod numerick´e
derivace poˇzadujeme, aby mˇela dan´a funkce derivaci ˇr´adu vyˇsˇs´ıho neˇz poˇc´ıtan´a derivace.
Necht’xi = x0+i·h,i = 0,±1,±2,..., kdeh> 0 je krok. Poloˇzmefi = f(xi),fprimei = fprime(xi),
atd. Pˇredpokl´adejme, ˇze f ∈C2([x0,x1],R). Potom existuje bod ξ takov´y, ˇze
fprime0 = f1 −f0h − h2 ·fprimeprime(ξ), x0 1) nebo
y = −P0(x)P
1(x)
(pro Pj(x) ≡ 0,j > 1).
4. Transcendentn´ı funkce
Definice 6.5 Kaˇzd´a funkce, kter´a nepatˇr´ı do tˇr´ıdy algebraick´ych funkc´ı, se naz´yv´a
transcendentn´ı.
6.11 Nˇekter´e vˇety o diferencovateln´ych funkc´ıch
Vˇeta 6.6 (Fermatova vˇeta) Jestliˇze
a) f(x) ∈C na [a,b],
b) v bodˇe ξ nab´yv´a f(x) sv´e nejvyˇsˇs´ı (nebo nejniˇzˇs´ı) hodnoty
c) ∃fprime(ξ)
pak fprime(ξ) = 0.
Vˇeta 6.7 (Rolleova vˇeta) Jestliˇze
a) f(x) ∈C na [a,b],
b) f(x) ∈C1 na (a,b),
c) f(a) = f(b)
pak ∃ξ ∈ (a,b) takov´e, ˇze fprime(ξ) = 0.
Vˇeta 6.8 (Lagrangeova vˇeta) Jestliˇze
a) f(x) ∈C na [a,b],
b) f(x) ∈C1 na (a,b)
pak ∃ξ ∈ (a,b) takov´e, ˇze
fprime(ξ) = f(b)−f(a)b−a .
MATEMATIKA 1 118
Obr´azek 6.11.1: V´yznam Rolleovy vˇety Obr´azek 6.11.2: V´yznam Lagrangeovy vˇety
Geometrick´y v´yznam.
Jin´y tvar Lagrangeovy vˇety:
f(b)−f(a) = fprime(ξ)(b−a) .
Pˇr´ır˚ustek funkce f(x) na intervalu [a,b] z´avis´ı na hodnotˇe derivace a pˇr´ır˚ustku nez´avisle
promˇenn´e.
Vˇeta 6.9 (Cauchyova vˇeta) Jestliˇze
a) f(x),ϕ(x) ∈C na [a,b],
b) f(x),ϕ(x) ∈C1 na (a,b),
c) ϕprime(x) negationslash= 0 na (a,b),
pak existuje ˇc´ıslo ξ ∈ (a,b) takov´e, ˇze
f(b)−f(a)
ϕ(b)−ϕ(a) =
fprime(ξ)
ϕprime(ξ) .
Vˇeta 6.10 (L’Hospitalovo pravidl