Skripta Matematika I

o) Je-li
lim
x→x0 (∞)
f(x) = lim
x→x0 (∞)
ϕ(x) = 0(∞),
a existuje-li limita
lim
x→x0 (∞)
fprime(x)
ϕprime(x),
pak
lim
x→x0 (∞)
f(x)
ϕ(x) = limx→x0 (∞)
fprime(x)
ϕprime(x)
Pˇr´ıklad 59
limx→0 sinxx = limx→0 cosx1 = 1;
limx→∞ lnxx = limx→∞
1
x
1 = 0.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 119
6.12 Testov´an´ı monot´onnosti funkce
Vˇeta 6.11 (Nutn´e podm´ınky monot´onnosti funkce) Jestliˇze ∃fprime(x) na (a,b) a
1) f(x) roste na (a,b) =⇒ fprime(x) ≥ 0 na (a,b),
2) f(x) kles´a na (a,b) =⇒ fprime(x) ≤ 0 na (a,b),
3) f(x) je rovno konstantˇe na (a,b) =⇒ fprime(x) = 0 na (a,b).
Vˇeta 6.12 (Dostateˇcn´e podm´ınky pro monot´onnost) Jestliˇze f(x) ∈ C na [a,b],
fprime(x) ∈C1 na (a,b) a
1) fprime(x) > 0 na (a,b) =⇒ f(x) roste na [a,b],
2) fprime(x) < 0 na (a,b) =⇒ f(x) kles´a na [a,b],
3) fprime(x) = 0 na (a,b) =⇒ f(x) ≡ k na [a,b].
6.13 Extr´emy funkc´ı
Definice 6.13 Bod x0 se naz´yv´a lok´aln´ı maximum (lok´aln´ı minimum) funkce f(x) jestliˇze
f(x0) ≥f(x), x∈ O(§prime) (f(x0) ≤f(x), x∈ O(§prime)).
Definice 6.14 Body, v nichˇz funkce nab´yv´a sv´eho maxima nebo minima se souhrnnˇe
oznaˇcuj´ı jako body extr´emu. Hodnota funkce v tˇechto bodech se naz´yv´a extr´em.
Vˇeta 6.15 (Nutn´a podm´ınka pro existenci extr´emu) Jestliˇze funkce f(x) m´a ex-
tr´em v bodˇe x0, jeho derivace v tomto bodˇe (pokud ∃fprime(x0)) je rovna nule nebo neexistuje.
6.14 Nutn´e podm´ınky pro extr´emy
Vˇeta 6.16
A) Je-li fprime(x) kladn´a pro x < x0 a z´aporn´a pro x > x0, bod x0 je bodem lok´aln´ıho
maxima. Je-li fprime(x) z´aporn´a pro x < x0 a kladn´a pro x > x0, bod x0 je bodem
lok´aln´ıho minima.
B) Je-li fprime(x0) = 0 a
• fprimeprime(x0) > 0, bod x0 je bodem lok´aln´ıho minima,
• fprimeprime(x0) < 0, bod x0 je bodem lok´aln´ıho maxima.
C) Je-li fprime(x0) = fprimeprime(x0) = ...f(n−1)(x0) = 0, n je sud´e a f(n)(x0) > 0 (< 0), bod x0 je
bodem lok´aln´ıho minima (maxima).
MATEMATIKA 1 120
6.15 Konvexnost a konk´avnost kˇrivky. Inflexn´ı body.
Definice 6.17 ˇR´ık´ame, ˇze oblouk kˇrivky je konvexn´ı, jestliˇze leˇz´ı cel´y na jedn´e stranˇe
teˇcny veden´e kter´ymkoli bodem oblouku.
Rozliˇsujeme dva druhy konvexn´ıch oblouk˚u: konvexn´ı nahoru (konk´avn´ı dol˚u), konvexn´ı
dol˚u (konk´avn´ı nahoru, konvexn´ı).
Definice 6.18 Bod kˇrivky, kter´y oddˇeluje jej´ı konvexn´ı oblouk od konk´avn´ıho se naz´yv´a
inflexn´ı bod.
Vˇeta 6.19 Je-li fprimeprime(x) < 0, pak oblouk y = f(x) je konk´avn´ı; je-li fprimeprime(x) > 0, pak oblouk
y = f(x) je konvexn´ı.
Vˇeta 6.20 (Nutn´a podm´ınka pro inflexn´ı bod) Je-li x0 inflexn´ım bodem, pak
fprimeprime(x0) = 0.
Vˇeta 6.21 (Dostateˇcn´e podm´ınky pro inflexn´ı bod)
A) Jestliˇze fprimeprime(x) mˇen´ı znam´enko, kdyˇz x proch´az´ı x0, pak x0 je inflexn´ım bodem.
B) Jesltiˇze fprimeprime(x0) = 0 a fprimeprimeprime(x0) negationslash= 0, pak x0 je inflexn´ım bodem.
C) Jestliˇze fprimeprime(x0) = fprimeprimeprime(x0) = ··· = f(n−1)(x0) = 0, f(n)(x0) negationslash= 0 aa n je lich´e, pak x0 je
inflexn´ı bod.
6.16 Asymptoty kˇrivky
A) Jestliˇze lim
x→x0 (x+0 ,x−0 )
f(x) = ∞, kˇrivka y = f(x) m´a vertik´aln´ı asymptotu x = x0.
B) Jestliˇze limx→∞ f(x)x = k ∈ R a limx→∞[f(x)−Kx] = q ∈ R, kˇrivka y = f(x) m´a asymptotu
danou rovnic´ı y = kx+q.
6.17 Obecn´e sch´ema pro vyˇsetˇrov´an´ı pr˚ubˇehu funkce
Je nutno vyˇsetˇrit:
I. (a) Definiˇcn´ı obor Df funkce f(x).
(b) Body nespojitosti; intervaly spojitosti.
(c) Chov´an´ı funkce v okol´ı bod˚u nespojitosti a vertik´aln´ı asymptoty.
(d) Pr˚useˇc´ıky se souˇradn´ymi osami.
(e) Symetrie grafu funkce (sud´a, lich´a).
(f) Periodiˇcnost funkce.
II. Intervaly monot´onnosti; body extr´emu a extr´emy.
III. Intervaly konvexnosti a konk´avnosti; inflexn´ı body.
IV. Chov´an´ı v nekoneˇcnu, asymptoty se smˇernic´ı.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 121
6.18 Nˇekter´e numerick´e metody ˇreˇsen´ı neline´arn´ıch
rovnic a soustav rovnic
6.18.1 Metoda p˚ulen´ı (Metoda rozdˇelov´an´ı ´useˇcky na dva stejn´e
d´ıly)
Uvaˇzujme rovnici
f(x) = 0,
kde funkce f(x) je spojit´a na [a,b] a
f(a)·f(b) < 0.
Abychom naˇsli koˇren leˇz´ıc´ı v intervalu [a,b], rozdˇel´ıme interval na polovinu. Jestliˇzef((a+
b)/2) = 0, pak ξ = (a+b)/2 je koˇrenem rovnice. Jestliˇze
f
parenleftbigga+b
2
parenrightbigg
negationslash= 0,
vybereme ten z interval˚u [a,(a+b)/2], [(a+b)/2,b], v jehoˇz koncov´ych bodech m´a funkce
f(x) opaˇcn´a znam´enka. Tento novˇe vznikl´y interval [a1,b1] znovu rozp˚ul´ıme a zopaku-
jeme postup, aˇz nakonec bˇehem procesu bud’to z´ısk´ame pˇresn´y koˇren nebo nekoneˇcnou
posloupnost vnoˇren´ych interval˚u
[a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn],...
takovou, ˇze
f(an)·f(bn) < 0, n = 1,2,... (6.18.1)
a
bn −an = 12n(b−a).
Pokud lev´e koncov´e body
a1,a2,a3,...,an,...
tvoˇr´ı monot´onn´ı neklesaj´ıc´ı omezenou posloupnost a prav´e koncov´e body
b1,b2,b3,...,bn,...
monot´onn´ı nerostouc´ı posloupnost, pak existuje spoleˇcn´a limita
ξ = limn→∞an = limn→∞bn.
Pˇribliˇzujeme-li se limitˇe v (6.18.1) pro n→ ∞, dost´av´ame [f(ξ)]2 ≤ 0, tedy f(ξ) = 0, coˇz
znamen´a, ˇze ξ je koˇrenem rovnice. Je zˇrejm´e, ˇze
0 ≤ξ−an ≤ 12n(b−a).
MATEMATIKA 1 122
6.18.2 Metoda proporci´aln´ıch ˇc´ast´ı
Pˇredpokl´adejme, ˇze f(a) < 0, f(b) > 0. Potom je m´ısto p˚ulen´ı intervalu [a,b] pˇrirozenˇejˇs´ı
rozdˇelit interval v pomˇeru
f(a) : f(b) .
T´ım dost´av´ame odpov´ıdaj´ıc´ı hodnotu koˇrene
x1 = a+h1,
kde
h1 = −f(a)−f(a) +f(b) ·(b−a) = −f(a)f(b)−f(a) ·(b−a).
Aplikujeme-li tento postup na interval [a,x1] nebo [x1,b] v jejichˇz koncov´ych bodech m´a
funkce f(x) opaˇcn´a znam´enka, dost´av´ame druhou aproximacei koˇrene x2, atd. Geomet-
ricky je metoda proporcion´aln´ıch ˇc´ast´ı ekvivalentn´ı nahrazen´ı kˇrivky
y = f(x)
tˇetivou proch´azej´ıc´ı body A[a,f(a)], B[b,f(b)]. Skuteˇcnˇe, rovnice tˇetivy AB je
x−a
b−a =
y−f(a)
f(b)−f(a).
Poloˇz´ıme-li x = x1 a y = 0, dost´av´ame
x1 = a− f(a)f(b)−f(a) ·(b−a).
Pˇredpokl´adejme, ˇzefprimeprime(x) > 0 proa≤x≤b(pˇr´ıpadfprimeprime(x) < 0 se redukuje na n´aˇs pˇr´ıpad,
pokud nap´ıˇseme rovnici jako: −f(x) = 0). Pak bude kˇrivka y = f(x) konk´avn´ı a tedy
bude leˇzet pod teˇcnou AB. Mohou nastat dva pˇr´ıpady: f(a) > 0 a f(a) < 0.
V prvn´ım pˇr´ıpadˇe je koncov´y bod a pevn´y a postupn´e aproximace
x0 = b,
xn+1 = xn − f(xn)f(xn)−f(a) ·(xn −a), n = 0,1,2,...
tvoˇr´ı omezenou posloupnost a
a 0, uˇz´ıv´ame substituci
t = √ax2 +bx+c±x√a.
• Je-li c> 0, uˇz´ıv´ame substituci
t·x = √ax2 +bx+c±√c.
• Je-li a< 0, b2 −4ac> 0, pak
√ax2 +bx+c =radicalbiga(x−α)(x−β) = |x−α|radicalbiggax−β
x−α
a uˇzijeme substituci
t2 = a· x−βx−α .
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 159
E) Pro integr´al typu integraldisplay
1√
ax2 +bx+cdx
lze pouˇz´ıt n´asleduj´ıc´ı postup:
integraldisplay 1
√ax2 +bx+cdx =
integraldisplay 1
radicalBig
aparenleftbigx+ b2aparenrightbig2 +c− b24a
dx .
Tento integr´al lze pˇrev´est na nˇekter´y z tabelovan´ych integr´al˚u:
integraldisplay 1
√x2 ±1dx,
integraldisplay 1
√1−x2 dx.
F) Pro integr´aly typu integraldisplay
R
parenleftBig
x,√a2 −x2
parenrightBig
dx
je vhodn´e uˇz´ıt n´asleduj´ıc´ı substituce:
x = asint, x = acost.
G) Pro integr´aly typu integraldisplay
R
parenleftBig
x,√a2 +x2
parenrightBig
dx
je vhodn´e uˇz´ıt n´asleduj´ıc´ı substituce:
x = atgt, x = asinht, x = cotgt.
H) Pro integr´aly typu integraldisplay
R
parenleftBig
x,√x2 −a2
parenrightBig
dx
je vhodn´e uˇz´ıt n´asleduj´ıc´ı substituce:
x = acost , x = asint, x = cosht.
9.4 Integrace trigonometrick´ych funkc´ı
Budeme se zab´yvat integrov´an´ım funkc´ı typu
integraldisplay
R(sinx,cosx)dx ,
kde R je racion´aln´ı funkc´ı uveden´ych argument˚u. Uved’me nˇekolik doporuˇcen´ı, jak pˇri
integraci postupovat.
MATEMATIKA 1 160
A) Lze uˇz´ıt tzv. univerz´aln´ı substituci:
t = tg x2 .
Pak
x = 2arctgt, dx = 2dt1 +t2
a
t = tgx2 = sin
x
2
cos x2 =
radicalBig
1−cosx
2radicalBig
1+cosx
2
=
radicalbigg1−cosx
1 + cosx .
Odtud plyne
cosx = 1−t
2
1 +t2 .
Analogicky vypoˇcteme
sinx = √1−cos2x = 2t1 +t2 .
Tˇemito substitucemi (dosazen´ymi za dx, sinx a cosx) pˇrevedeme v´ychoz´ı integr´al
na integraci pod´ılu dvou mnohoˇclen˚u.
B) Je-li funkce R(sinx,cosx) lich´a vzhledem ke cosx, tj. je-li
R(sinx,−cosx) = −R(sinx,cosx),
je vhodn´e uˇz´ıt substituci
t = sinx.
C) Je-li funkce R(sinx,cosx) lich´a vzhledem k sinx, tj. je-li
R(−sinx,cosx) = −R(sinx,cosx),
je vhodn´e uˇz´ıt substituci
t = cosx.
D) Je-li funkce R(sinx,cosx) sud´a vzhledem k funkc´ım sinx i cosx, tj. je-li
R(−sinx,−cosx) = R(sinx,cosx),
je vhodn´e uˇz´ıt substituci
t = tgx.
Pak
x = arctgt, dx = dt1 +t2 ,
t = sinxcosx =
√1−cos2x
cosx =⇒ cosx =
1√
1 +t2 , sinx =
t√
1 +t2 .
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 161
9.5 Shrnut´ı
Sezn´amili jsme se s nejˇcastˇeji pouˇz´ıvan´ymi metodami integrace funkc´ı, kter´e nepatˇr´ı mezi
tabulkov´e. Jejich vhodn´e pouˇzit´ı bude z´aviset vˇzdy na tvaru podintegr´aln´ı funkce a na
zkuˇsenostech, kter´e z´ısk´ame. Podle tvaru podintegr´aln´ı funkce m˚uˇzeme odhadnout, kter´a
metoda bude nejvhodnˇejˇs´ı. Spr´avn´e rozhodnut´ı pˇredpokl´ad´a, ˇze m´ame dostateˇcnou praxi
a jsme schopni odhadnout smˇer dalˇs´ıch ´uprav a postup pr´ace.
Nˇekdy nam tvar podintegr´aln´ı funkce pˇr´ımo napov´ı,kterou metodu je vhodn´e pouˇz´ıt,
napˇr. pˇri integraci racion´aln´ıch v´yraz˚u, ale ˇcastˇeji se budeme setk´avat s pˇr´ıpady, kdy
rozhodnut´ı bude z´aviset na n´as a na naˇsich zkuˇsenostech. Potˇrebn´e zkuˇsenosti je moˇzno
z´ıskat pouze pˇri praktick´em vyuˇz´ıv´an´ı teoretick´ych poznatk˚u uveden´ych v t´eto kapitole.
Jin´ymi slovy, je tˇreba zpoˇc´ıtat dostateˇcn´y poˇcey pˇr´ıklad˚u.
9.6 Kontroln´ı pˇr´ıklady ke kapitole 9
1. Integrujte.
(a) integraltext 2−xdx
(b) integraltext 105xdx
(c) integraltext 2cosx sinxdx
(d) integraltext sin2xdx
(e) integraltext cos3xdx
(f) integraltext cos24xsin24xdx
(g) integraltext tg2xdx
(h) integraltext cos2x1−sinxdx
2. Pomoc´ı nˇekter´e goniometrick´e substituce integrujte .
(a) integraltext √1−x2dx
(b) integraltext (a2 −x2)−5/2dx
(c) integraltext dx√x2+9
(d) integraltext x3dx(x2−a2)3
(e) integraltext √a2x2 + 1dx
3. Integrujte n´asleduj´ıc´ı racion´aln´ı lomen´e funkce
(a) integraltext 2x−1x2−1dx
(b) integraltext 3x2+2x+1x3+x2+x+1dx
(c) integraltext x4+x3+2x2+x+2(x2+1)3 dx
(d) integraltext dxx4+1
V´ysledky v 14.10
Kapitola 10
Integr´aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e
promˇenn´e 3
10.1 C´ıl kapitoly
Vyjdeme z praktick´eho pˇr´ıkladu v´ypoˇctu plochy pod kˇrivkou. Uk´aˇzeme si jak se dostaneme
pomoc´ı limity ke koneˇcn´emu v´ypoˇctu. Zavedeme si pojem urˇcit´eho integr´alu a uk´aˇzeme
si jak´e jsou jeho z´akladn´ı vlastnosti. Sezn´am´ıme se s zp˚usobem odhadu urˇcit´eho integr´alu
a jak je moˇzn´e derivovat integr´al podle horn´ı meze. Uvedeme si nejd˚uleˇzitejˇs´ı vzorec
integr´aln´ıho poˇctu, kter´y budeme pouˇz´ıvat pro v´ypoˇcet urˇcit´eho integr´alu.
Uk´aˇzeme si jak´y tvar bude m´ıt substituˇcn´ı metoda pro urˇcit´e integr´aly a jak se pouˇz´ıv´a
metoda ”per partes”pro v´ypoˇcet urˇcit´e ho integr´alu.
V praxi, zvl´aˇstˇe technick´e, se ˇcasto vyskytuj´ı pˇr´ıpklady funkc´ı, kter´e lze jen obt´ıˇznˇe
integrovat ale pˇresto potˇrebujeme zn´at hodnotu urˇcit´eho integr´alu. Proto si uk´aˇzeme
nˇekter´e metody numerick´e integrace funkc´ı.
10.2 V´ypoˇcet plochy obrazce omezen´eho kˇrivkou
Zab´yvejme se ´ulohou, jak vypoˇc´ıtat plochu PS obrazce S na obr´azku 10.2.1 ohraniˇcen´eho
´useˇckami spojuj´ıc´ımi body AB, BC, AD a ˇc´ast´ı spojit´e kˇrivky y = f(x) spojuj´ıc´ı body
C a D.
Rozdˇelme libovolnˇe z´akladnu obrazce S (tj. interval [a,b] uˇzit´ım libovoln´eho koneˇcn´eho
poˇctu dˇel´ıc´ıch bod˚u) na n subinterval˚u
[x0,x1],[x1,x2],...,[xn−1,xn],
kde a = x0 < x1 < x2 < ··· < xn−1 < xn = b. Ved’me pˇr´ımky rovnobˇeˇzn´e s osou y
dˇelic´ımi body intervalu [a,b]. T´ım se dan´y obrazec S rozdˇelil na n obrazc˚u S1, S2, ...Sn,
tj. S =uniontextni=1Si (viz. obr´azek 10.2.2).
V kaˇzd´em subintervalu vybereme libovoln´ym zp˚usobem bod. Oznaˇc´ıme-li tyto body
ξ0,ξ1,...,ξn−1, m˚uˇzeme ps´at
x0 ≤ξ0 ≤x1, x1 ≤ξ1 ≤x2, ..., xn−1 ≤ξn−1 ≤xn.
162
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 163
Obr´azek 10.2.1: Urˇcit´y integr´al - plocha obrazce 1
Obr´azek 10.2.2: Urˇcit´y integr´al - plocha obrazce 2
Pak plat´ı, ˇze plochaPS je rovna souˇctu plochPSi jednotliv´ych oblast´ıSi , i = 1,...,n.
Plochu PSi m˚uˇzeme pˇribliˇznˇe vyj´adˇrit vztahem
PSi ≈f(ξi−1)·(xi −xi−1) = f(ξi−1)·∆xi−1,
kde ∆xi−1 = xi −xi−1. Proto
PS =
n−1summationdisplay
i=0
PSi ≈f(ξ0)∆x0 +f(ξ1)∆x1 +···+f(ξn−1)∆xn−1 =
n−1summationdisplay
i=0
f(ξi)∆xi.
Situace je naˇcrtnuta na obr´azku 10.2.3.
Pokud zvˇetˇsujeme do nekoneˇcna poˇcet dˇel´ıc´ıch bod˚u a tzv. norma dˇelˇen´ı
∆ = max{∆x0,∆x1,...,∆xn−1}
MATEMATIKA 1 164
Obr´azek 10.2.3: Urˇcit´y integr´al - plocha obrazce 3
pˇritom konverguje k nule, pak je plocha obrazce S urˇcena vztahem
PS = lim
n→∞,∆→0
n−1summationdisplay
i=0
f(ξi)∆xi,
(ve kter´em pˇredpokl´ad´ame, ˇze limita existuje).
10.3 Urˇcit´y integr´al
Definujeme pro danou funkci y = f(x) na intervalu [a,b] tzv. n-t´y tintegr´aln´ı souˇcet:
In =
n−1summationdisplay
i=0
f(ξi)∆xi,
kde veliˇciny ξi, xi, a∆xi maj´ı stejn´y v´yznam jako v pˇredchoz´ım odstavci a x0 = a, xn = b.
Definice 10.1 Urˇcit´y integr´al (tzv. Riemann˚uv) na [a,b] je limita integr´aln´ıch souˇct˚u,
kdyˇzn→ ∞ a norma dˇelen´ı ∆ se pˇritom bl´ıˇz´ı nule (za pˇredpokladu,ˇze tato limita existuje).
Urˇcit´y integr´al oznaˇcujeme:
integraldisplay b
a
f(x)dx = lim
n→∞,∆→0
In.
Geometrick´y v´yznam urˇcit´eho integr´alu je zˇrejm´y z pˇredch´azej´ıc´ı podkapitoly 10.2
Vˇeta 10.2 (O existenci urˇcit´eho integr´alu) : Je-li funkce f(x) spojit´a na uzavˇren´em
intervalu [a,b], pak integraltextba f(x)dx existuje.
Definice 10.3 Existuje-li integraltextba f(x)dx, pak funkci f(x) naz´yv´ame integrovatelnou funkc´ı.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 165
10.4 Vlastnosti urˇcit´eho integr´alu
Z definice urˇcit´eho integr´alu lze odvodit ˇradu jeho vlastnost´ı. Plat´ı napˇr´ıklad (vˇsechny
pouˇzit´e funkce budeme povaˇzovat za integrovateln´e):
integraldisplay a
a
f(x)dx = 0, (10.4.1)
integraldisplay b
a
dx = b−a, (10.4.2)
integraldisplay b
a
0dx = 0, (10.4.3)
integraldisplay b
a
f(x)dx = −
integraldisplay a
b
f(x)dx, (10.4.4)
je-li c∈ [a,b], pak
integraldisplay b
a
f(x)dx =
integraldisplay c
a
f(x)dx+
integraldisplay b
c
f(x)dx (10.4.5)
(interval integrace [a,b] lze rozdˇelit na dvˇe ˇc´asti),
∀k ∈ R :
integraldisplay b
a
kf(x)dx = k
integraldisplay b
a
f(x)dx (10.4.6)
(konstantu lze vytknout pˇred integr´al),
je-li f(x) ≤g(x) na [a,b], pak
integraldisplay b
a
f(x)dx≤
integraldisplay b
a
g(x)dx, (10.4.7)
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
integraldisplay b
a
f(x)dx
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle≤
integraldisplay b
a
|f(x)|dx, a 0 je (lnx)prime = 1x, plat´ı: integraltext21 dxx = ln|x||21 = ln2.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 167
10.8 Integrace per partes pro uˇcit´e integr´aly
Ze vztahu pro integraci per partes pro neurˇcit´e integr´aly okamˇzitˇe vypl´yv´a vztah
integraldisplay b
a
u(x)dv(x) = u(x)v(x)|ba −
integraldisplay b
a
v(x)du(x).
10.9 Metoda substituce pro urˇcit´e integr´aly
Vˇeta 10.9 Je-li x = ϕ(t) ∈C1 na (α,β),a = ϕ(α),b = ϕ(β) a ϕ(t) je monot´onn´ı, pak
integraldisplay b
a
f(x)dx =
integraldisplay β
α
f[ϕ(t)]ϕprime(t)dt.
Pˇr´ıklad 83
integraldisplay e
1
lnx
x dx =
bracketleftbigx = et, t∈ [0,1]bracketrightbig=integraldisplay 1
0
t
ete
tdt = t
2
2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
1
0
= 12.
10.10 Numerick´e integrov´an´ı
10.10.1 ´Uvod
V praxi zˇr´ıdkakdy dok´aˇzeme naj´ıt pˇresnou hodnotu urˇcit´eho integr´alu. Napˇr´ıklad integr´al
integraldisplay 2
1
dx
lnx
nelze vyj´adˇrit pomoc´ı element´arn´ıch funkc´ı. V n´asleduj´ıc´ım odstavci pop´ıˇseme nˇekter´e me-
tody pro pˇribliˇzn´y numerick´y v´ypoˇcet urˇcit´ych integr´al˚u. Zavedeme pojem kvadratick´eho
vzorce. Necht’ je d´an urˇcit´y integr´al
I =
integraldisplay b
a
f(x)dx
funkce f, kter´a je spojit´a na intervalu [a,b]. Pˇribliˇzn´a rovnost
integraldisplay b
a
f(x)dx≈
nsummationdisplay
j=1
qj ·f(xj),
kde qj jsou jist´a ˇc´ısla a xj jsou urˇcit´e body intervalu [a,b] (kter´e jsou voleny tak, aby bylo
pˇribliˇzn´e rovnosti doc´ıleno), se naz´yv´a kvadratick´a formule definovan´a v´ahami qj a uzly
xj.
MATEMATIKA 1 168
10.10.2 Obd´eln´ıkov´e pravidlo
Pˇredpokl´adejme, ˇze f ∈C2[−h/2,h/2], h> 0. Poloˇz´ıme pˇribliˇznˇe
integraldisplay h/2
−h/2
f(x)dx≈h·f0, (10.10.1)
kde f0 = f(0). Pˇribliˇzn´y vztah 10.10.1 ˇr´ık´a, ˇze plochu kˇrivostrann´eho lichobˇeˇzn´ıka ohrani-
ˇcen´eho shora grafem funkce f lze aproximovat plochou vepsan´eho obd´eln´ıka, jehoˇz v´yˇska
je rovna hodnotˇe funkce f v polovinˇe z´akladny lichobˇeˇzn´ıka (viz. obr´azek 11.9.1). D´ale
hled´ame zbytek, tedy chybu formule (10.10.1). Lze dok´azat tzv. obd´eln´ıkov´e pravidlo se
zbytkem: integraldisplay
h/2
−h/2
f(x)dx = h·f0 + h
3
24 ·f
primeprime(ξ) ,
kde o poloze bodu ξ lze ˇr´ıci pouze, ˇze to je nˇejak´y bod z intervalu [−h2, h2], tj. ξ ∈ [−h2, h2].
Obr´azek 10.10.1: Obd´eln´ıkov´e pravidlo
10.10.3 Lichobˇeˇzn´ıkov´e pravidlo
Necht’ f ∈C2[0,h]. Poloˇz´ıme
integraldisplay h
0
f(x)dx≈h· f0 +f12 ,
kde f0 = f(0) a f1 = f(h), tj. integr´al je pˇribliˇznˇe nahrazen plochou vepsan´eho lichobˇeˇz-
n´ıka (viz. obr´azek 11.9.2). Tzv. lichobˇeˇzn´ıkov´e pravidlo se zbytkem m´a tvar
integraldisplay h
0
f(x)dx = h· f0 +f12 − h
3
12 ·f
primeprime(ξ), ξ ∈ [0,h].
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 169
Obr´azek 10.10.2: Lichobˇeˇzn´ıkov´e pravidlo
10.10.4 Simpsonovo pravidlo (parabolick´e pravidlo)
Pˇredpokl´adejme, ˇze f ∈C4[−h,h]. Aproximujeme integr´al
integraldisplay h
−h
f(x)dx
plochou vepsan´eho kˇrivostrann´eho lichobˇeˇzn´ıka ohraniˇcen´eho shora parabolou proch´azej´ıc´ı
body (−h,f−1), (0,f0), (h,f1), kde fi = f(ih) (viz obr´azek 11.9.3). Tato parabola m´a
rovnici
y = f0 + f1 −f−12h ·x+ f−1 −2f0 +f12h2 ·x2,
coˇz lze lehce ovˇeˇrit, poloˇz´ıme-li x rovno −h, 0 a h. Tak snadno spoˇcteme, ˇze
integraldisplay h
−h
y(x)dx = h3 ·(f−1 + 4f0 +f1).
Tedy tzv. Simpsonovo pravidlo, kter´e se tak´e naz´yv´a parabolick´e pravidlo, m´a tvar
integraldisplay h
−h
f(x)dx≈ h3 ·(f−1 + 4f0 +f1).
Lze dok´azat tzv. Simpsonovo pravidlo se zbytkem:
integraldisplay h
−h
f(x)dx = h3 ·(f−1 + 4f0 +f1)− h
5
90 ·f
(4)(ξ),
kde ξ ∈ [−h,h]. V´yˇse uveden´e kvadratick´e vzorce se naz´yvaj´ı kanonick´e.
10.10.5 Sloˇzen´e kvadratick´e formule
Je-li v praxi tˇreba urˇcit pˇribliˇznou hodnotu integr´alu, je dan´y interval [a,b] rozdˇelen na
N shodn´ych subinterval˚u. Na kaˇzd´y z nich aplikujeme kanonickou kvadratickou formuli a
v´ysledky seˇcteme. Kvadratick´e formule zkonstruovan´e takto na intervalu [a,b] se naz´yvaj´ı
MATEMATIKA 1 170
Obr´azek 10.10.3: Simpsonovo pravidlo
sloˇzen´e. Aplikujeme-li obd´eln´ıkov´e a lichobˇeˇzn´ıkov´e pravidlo, je pohodln´e br´at intervaly
d´elky h, v pˇr´ıpadˇe Simpsonova pravidla d´elky 2h.
Pod´ıvejme se podrobnˇeji na pouˇzit´ı obd´eln´ıkov´eho pravidla. Necht’ f ∈ C2. Oznaˇc´ıme
intervaly [xi,xi+1], kde xi = a+ih, i = 0,1,...,N −1, xN = b, h = (b−a)/N. Ve shodˇe
s obd´eln´ıkov´ym pravidlem integraldisplay x
i+1
xi
f(x)dx≈hfi+1/2, (10.10.2)
kde fi+1/2 = f(a+ (i+ 1/2)h) je hodnota f ve stˇredu subintervalu [xi,xi+1]. Nav´ıc
integraldisplay xi+1
xi
f(x)dx = hfi+1/2 + h
3
24 ·f
primeprime(ξi),
kde ξi ∈ [xi,xi+1] je nˇejak´y bod. Seˇcteme-li vˇsechny aproximace (10.10.2) dost´av´ame
sloˇzen´e obd´eln´ıkov´e pravidlo:
integraldisplay b
a
f(x)dx≈hparenleftbigf1/2 +f3/2 +···+fN−1/2parenrightbig.
Lze lehce dok´azat tzv. sloˇzen´e obd´eln´ıkov´e pravidlo se zbytkem:
integraldisplay b
a
f(x)dx = hparenleftbigf1/2 +f3/2 +···+fN−1/2parenrightbig+h2 · b−a24 ·fprimeprime(ξ),
kde ξ ∈ [a,b].
Za podm´ınky, ˇze f ∈C2[a,b], m˚uˇzeme zapsat sloˇzen´e lichobˇeˇzn´ıkov´e pravidlo:
integraldisplay b
a
f(x)dx≈h
p