Skripta kmity

Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 1

1. KMITAVÝ POHYB
(RNDr. Vladimír Z d r a ž i l, Ph.D.)

1.1 Úvod
• Obecnou vlastností všech hmotných objektů je jejich pohyb, a to nejen ve smyslu
mechanickém, tj. prosté přemísťování v prostoru, nýbrž v nejširším slova smyslu, neboli pohyb jako
změna stavu hmotných objektů. Nejčastější formou obecného pohybu takových hmotných objektů,
které se nacházejí ve stavech blízkých stavům rovnovážným, je pohyb kmitavý. Protože stavy
hmotných objektů vyjadřujeme fyzikálními veličinami, vyznačují se kmitavé pohyby opakujícími se
časovými změnami hodnot alespoň jedné, častěji však více fyzikálních veličin. Hmotné objekty, ve
kterých kmitavé procesy (změny) vznikají, se nazývají oscilátory.

• Fyzikální podstata kmitavých procesů může být v jednotlivých případech různá, ale bez
ohledu na fyzikální podstatu jsou základní zákony kmitů ve všech případech stejné.

• Je-li časový průběh změny stavu hmotného objektu pravidelný, tzn., že se změna stavu
opakuje po stále stejně dlouhém časovém intervalu, který se značí symbolem T a nazývá se
perioda, pak je taková změna periodická a lze mluvit o periodickém kmitavém pohybu.

• Kromě kmitů (změn) periodických se vyskytují i kmity (změny) neperiodické. Mezi těmito
dvěmi skupinami kmitů (změn) se nacházejí a mají zvláštní význam kmity (změny) téměř
periodické (zde se nabízí srovnání s dělením látek na elektrické vodiče, nevodiče a polovodiče).
Periodicky kmitají např. kyvadla, neperiodicky kmitají větve stromů ve větru nebo traktor jedoucí
po polní cestě, srdeční sval se stahuje a opět uvolňuje téměř periodicky.

1.2 Lineární harmonický oscilátor
• V různých oblastech fyziky i techniky se setkáváme se systémy, které mají řadu společných
rysů. Tak např. u jedné skupiny podobných systémů zjišťujeme, že u nich existuje velmi výrazný a
významný rys – rovnovážný stav. Jsou-li tyto systémy ze svého rovnovážného stavu, ze stavu
klidu, mírně vychýleny (změněn stav), vznikají v nich síly, které směřují vždy do rovnovážného
stavu, jejichž velikost F je přímo úměrná velikosti výchylky u. Směr každé takové síly má tedy
opačnou orientaci než výchylka u z rovnovážného stavu, a proto platí:


(1,1)


kde koeficient k se nazývá tuhost (pružnost) systému.

• Síly F typu (1,1) se nazývají direktivní (direkční) síly, tj. vratné síly. Direktivní síly mohou
být velmi rozmanitého původu. Mohou to být např. tíhová síla u kývajícího kyvadla, síla pružnosti
u kmitající pružiny, vztlaková síla u kmitající korkové zátky na hladině kapaliny, indukované
elektromotorické napětí v LC obvodu, aj.

• Direktivní síly nutí systémy k návratu do rovnovážného stavu zrychleným pohybem.
V okamžiku, kdy se systém vrátí do rovnovážného stavu, direktivní síla sice zanikne, ale systém
vlivem setrvačnosti rovnovážným stavem projde, čímž začne narůstat nová výchylka, tentokrát
opačným směrem. Současně s novou výchylkou opět vznikne direktivní síla, opět směřující do
rovnovážného stavu, čímž se pohyb začne zpomalovat až se v maximu výchylky u
m
na okamžik
zastaví. V následujícím okamžiku začne zrychlující se pohyb zpátky k rovnovážnému stavu. Vlivem
setrvačnosti systém opět projde rovnovážným stavem, atd. Říkáme, že se systém rozkmital. Pokud

F = - ku,
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 2
jiné síly, např. odporové, toto kmitání neovlivňují, systém kmitá pravidelně, se stále stejnou
amplitudou kmitů u
m
a stále stejnou frekvencí (kmitočtem) f. Protože řešením pohybové rovnice
(1,5), tato rovnice bude následovat, takových kmitů jsou harmonické funkce sinus a kosinus,
říkáme, že systém koná netlumené harmonické kmity.

• Spojíme-li (1,1) se 2. pohybovým zákonem Newtonovým a označíme-li hmotnost kmitajícího
objektu m, dostaneme
m
2
2
dt
ud
= - ku

2
2
dt
ud
+
m
k
u = 0


tj. (1,2)


Rovnice (1,2) je (diferenciální) pohybovou rovnicí pro netlumené harmonické děje (kmity), např.
pro mechanické harmonické kmity pružiny, kyvadla, atd., pro elektrické kmity v LC obvodu, atp.

• Řešení rovnice (1,2) se nazývá vlnová funkce. Vlnová funkce je harmonickou funkcí času. Je to
sinusová nebo kosinusová závislost okamžité výchylky u na čase t, např:
u = u
m
sin ωt.

• Maximální výchylka systému z rovnovážného stavu se nazývá amplituda u
m
. Minimální časový
interval, po jehož uplynutí se výchylka stejné velikosti a stejného směru opakuje, se nazývá
perioda T (doba kmitu). Hodnota periody je rovna převrácené hodnotě frekvence (kmitočtu).
Frekvence f, (příp. ν ) udává, kolik kmitů se uskuteční během jedné sekundy.
T =
f
1


T =
f
1
.
π
π
2
2


tj.

(1,3)



kde ω je úhlová frekvence harmonických kmitů systému, která souvisí s tuhostí k a hmotností m
kmitajícího systému vztahem


(1,4)


• Rovnici (1,2) lze pak vyjádřit ve tvaru
(1,5)


ü +
m
k
u = 0.

T =
ω
π2


.
2
m
k
=ω

ü + ω
2
u = 0.
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 3

Systémy, jejichž chování lze popsat pohybovou rovnicí (1,5), nazýváme lineární harmonické
oscilátory.
……………………………………………………………………………………………………………………..
• Z dosavadního výkladu plyne tento závěr:
V přírodě i v technické praxi nacházíme systémy, u kterých existuje rovnovážný stav.
V rovnovážném stavu může systém zůstat libovolně dlouho, tak dlouho, dokud vnější popud tento
stav systému nenaruší. Je-li rovnovážný stav narušen, vzniká v systému tzv. vratná síla, jejíž velikost
je úměrná velikosti výchylky. Vratná síla nutí systém k návratu do rovnovážného stavu. Vlivem
setrvačnosti však systém projde rovnovážným stavem a výchylka opět narůstá, tentokrát na
opačnou stranu od stavu rovnovážného. Opět vzniká a narůstá vratná síla, atd. Systém začal kmitat.
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-


• Pojem harmonického oscilátoru je idealizací reálných podmínek reálných systémů, ve kterých
mohou probíhat kmitavé procesy. Zanedbáním nepodstatných vlivů na kmitavé procesy lze
celkovou situaci zjednodušit a tak v reálných systémech rozpoznat ty znaky, které mohou vést ke
vzniku kmitů. Kmity mohou být buď nežádoucí (např. u jedoucích vozidel), ty se pak snažíme
účinně potlačit, nebo žádoucí, které využíváme (např. kmity krystalů k přesnému měření času).

…………………………………………………………………………………………………………

Úkol 1: Vyjádřete periodu T harmonických kmitů pomocí pružnosti a hmotnosti kmitajícího
systému.
Úkol 2: V mezinárodním systému jednotek SI je jednotkou frekvence hertz (značka: Hz ). Určete
rozměr této jednotky pomocí vhodného vztahu platného mezi frekvencí a některou další
veličinou charakterizující harmonické kmity.
Úkol 3: Zjistěte a matematicky vyjádřete závislost frekvence f harmonických kmitů na hmotnosti
kmitajícího systému.

Čtenář nalezne doplňující výklad v knize:
D. Halliday – R. Resnick – J. Walker : Fyzika (dále jen: H-R-W:Fyzika) 1.vydání, VUTIUM Brno,
Část 2 rok 2000
Odst. 16.1 Kmitání
16.2 Harmonický pohyb
str. 410 – 411.


1.3 Rovnice pro okamžitou výchylku harmonických kmitavých procesů
• Z matematického hlediska je (1,5) lineární diferenciální rovnicí 2. řádu s konstantními
koeficienty, s nulovou pravou stranou. Rovnici vyhovují partikulární integrály
u
1
= cos ωt, a u
2
= sin ωt.

Obecný integrál je lineární kombinací obou partikulárních integrálů, tedy
u = C
1
cos ωt + C
2
sin ωt. (1,6)

Koeficienty C
1
, C
2
jsou libovolné konstanty, které můžeme zvolit (vyjádřit) např. takto:
C
1
= u
m
sin φ
0
, C
2
= u
m
cos φ
0
(1,7)


kde φ
0
je nová, zatím blíže neurčená konstanta.

• Dosadíme-li (1,7) do (1,6) a použijeme-li známého vztahu z trigonometrie, dostaneme:
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 4


(1,8)


Rovnice (1,8) je rovnicí, která určuje okamžitou výchylku u harmonických kmitů.

• Argument funkce sinus v (1,8), tj. (ωt + φ
0
), se nazývá fázový úhel, krátce fáze. Z vlastností
goniometrických funkcí plyne, že vzroste-li fáze o 2π radiánů, výchylka u se opakuje. To nastane
vždy po uplynutí časového intervalu T, nazvaného perioda kmitů, a určeného vztahem
sin (ωt + φ
0
) = sin {ω(t + T) + φ
0
} = sin {ωt + φ
0
+ 2π},

z toho plyne ωT = 2π

neboli T =
ω
π2
, viz (1,3).

• Ze vztahu (1,8) vyplývá, že ϕ
0
je počáteční fáze, tj. fáze v okamžiku t = 0. Z téhož vztahu plyne:
- jestliže v okamžiku t = 0, tj. v okamžiku, kdy začínáme pohyb sledovat, je ϕ
0
= 0, pak to
znamená, že začínáme kmity sledovat od nulové výchylky ( od rovnovážného stavu ).
- jestliže v okamžiku t = 0 je ϕ
0
=
2
π
, pak u = u
m
, tj. kmitání začínáme sledovat od maximální

výchylky u
m.
- má-li ϕ
0
libovolnou hodnotu z intervalu ( 0,
2
π
), začínáme kmity sledovat od odpovídající
hodnoty okamžité výchylky z otevřeného intervalu ( 0, u
m
).

1.4 Rychlost a zrychlení lineárních harmonických kmitů
• Podle definice rychlosti v platí


(1,9) (1,9)


a zrychlení a = ü = v& = - ω
2
u
m
sin (ωt + φ
0
)

tj.
(1,10)


• Ze vztahů (1,8), (1,9) a (1,10) plyne, že okamžitá výchylka z rovnovážného stavu a okamžité
zrychlení jsou v protifázi. Okamžitá výchylka a okamžitá rychlost jsou ve fázi vzájemně posunuté o
2
π
radiánů, stejně jako okamžitá rychlost a okamžité zrychlení.
………………………………………………………………………………………………………..
Úkol 4: Zjistěte, při jaké okamžité výchylce dosahují rychlost a zrychlení lineárních
harmonických kmitů své minimální a své maximální hodnoty.
Úkol 5: Určete zrychlení harmonických pohybů řešením pohybové rovnice (1,5).
Úkol 6: Určete hodnotu maximální rychlosti a maximálního zrychlení harmonických kmitů.

Literatura:

u = u
m
sin ( ωt + φ
0
).

v = u&=ω u
m
cos (ωt + φ
0
)

a = - ω
2
u .
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 5
H –R – W : Fyzika
1. vydání, VUTIUM Brno, r. 2000
Část 2.
Odst. 16.2 Harmonický pohyb
str. 411 – 412.

1.5 Energie lineárního harmonického oscilátoru
• Mechanické oscilátory (kyvadla, pružiny a pod.) mají určitou hmotnost m a pohybují se (kmitají)
určitou rychlostí v. Mají proto i určitou kinetickou energii W
k
=
2
1
mv
2
. Pro lineární harmonické
oscilátory, jejichž rychlost je určena rovnicí (1,9), dostaneme



(1,11)


• Protože oscilátory dosahují největší hodnoty rychlosti v okamžiku průchodu rovnovážnou
polohou ( v
max
= ω u
m
), je jejich kinetická energie největší právě při průchodu oscilátoru
rovnovážným stavem. V krajních polohách je kinetická energie oscilátorů nulová .

• Kromě kinetické (pohybové) energie mají lineární harmonické oscilátory také energii potenciální.
Potenciální energie mechanických oscilátorů je rovna práci vnější síly F′
r
, vynaložené na překonání
direktivní síly (1,1), vynaložené na počáteční vychýlení oscilátoru z jeho rovnovážné polohy
(rovnovážného stavu). Protože F
r
′= -F
r
(zákon akce a reakce), je



(1,12)


• Celková energie lineárního harmonického oscilátoru, který koná netlumené harmonické kmity
s úhlovou frekvencí ω a s amplitudou u
m
, je



(1,13)

Celková energie (1,13) lineárního harmonického oscilátoru se zachovává (pokud můžeme zanedbat
energetické ztráty oscilátoru alespoň po dobu sledování jeho kmitů).

• Celková energie lineárního harmonického oscilátoru vytvořeného LC obvodem se skládá
z energie magnetického pole induktoru o indukčnosti L a z energie elektrického pole kapacitoru o
kapacitě C. (Je-li LC obvod v činnosti, znamená to, že se kondenzátor – kapacitor střídavě nabíjí a
vybíjí přes cívku – induktor.)
• Z nauky o elektřině a magnetism