Skripta kmity

u je známo, že energie magnetického pole induktoru o
indukčnosti L, kterým prochází elektrický proud (např. harmonicky proměnný i = i
m
sin( ωt + ϕ )),
je

(1,14)
kde i je okamžitá hodnota elektrického proudu a i
m
je jeho hodnota maximální (amplituda proudu).

W
k
=
2
1
mω
2
u
2
m
cos
2
(ωt + ϕ
0
) .

W
p
= A =
∫
′ udF
r
r
= k
∫
u
udu
0
=
2
1
ku
2
.
W = W
k
+ W
p
=
2
1
mω
2

2
m
u .

W
mag
=
2
1
Li
2
=
2
1
L
2
m
isin
2
(ωt + ϕ)
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 6

• Energie elektrického pole kondenzátoru o kapacitě C, který se střídavě nabíjí a vybíjí, je


W
el
=
2
1
Cu
2
=
C
q
2
2
1
,

kde u (resp. q) jsou okamžité hodnoty napětí (resp. náboje) na kondenzátoru.

• Z definice elektrického proudu plyne
q =
∫
t
idt
0
= i
m

∫
+
t
dtt
0
)sin( ϕω = -
ω
m
i
cos(ωt + ϕ).
Proto
W
el
=
2
2
.
2
1
ω
m
i
C
cos
2
(ωt + ϕ).

Z kapitoly o elektřině a magnetismu víme, že pro kmity v LC obvodu platí
ω
2
=
LC
1
.

Takže

(1,15)


• Tedy celková energie elektrických kmitů v LC obvodu je



(1,16)



Tato hodnota celkové energie se teoreticky zachovává, pokud její ztráty na induktoru i na
kapacitoru jsou nulové a pokud její rozptyl do okolí je také nulový. Avšak prakticky energetickým
ztrátám nelze zcela zabránit.
…………………………………………………………………………………………………………
Poznámka: Rovnice (1,13) a (1,16) mají jednu pozoruhodnou společnou vlastnost: celková energie
harmonických kmitů mechanických i kmitů elektromagnetických je přímo úměrná druhé mocnině
jejich amplitudy (tj. jejich maximální výchylky z rovnovážného stavu). Tento závěr platí obecně pro
jakékoli kmity, pokud takové kmity přenášejí energii.
…………………………………………………………………………………………………………
Úkol 7: Zdůvodněte, proč je kinetická energie mechanických oscilátorů v krajních stavech nulová.
Úkol 8: Ze vztahu (1,12) určete maximální hodnotu W
P
.
Úkol 9: Dokažte, že platí (1,13).
Úkol 10: Zjistěte, kdy potenciální energie harmonického oscilátoru dosahuje za daných podmínek
maximální hodnoty, a kdy hodnoty nulové. Porovnejte tyto stavy harmonického oscilátoru
se stavy, v nichž kinetická energie oscilátoru dosahuje maximální nebo nulové hodnoty.
Úkol 11: Zjistěte, zda existují takové stavy harmonického oscilátoru, v nichž platí W
k
= W
P
.

W
el
=
2
1
Li
m
2
cos
2
(ωt + ϕ).

W = W
mag
+ W
el
=
2
1
Li
m
2
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 7
Literatura:
H – R – W: Fyzika
1. vydání, VUTIUM Brno, r. 2000
Část 2.
Odst. 16.4 Energie harmonického oscilátoru
str. 416 – 417.

1.6 Kyvadlo
• Kyvadla jsou příkladem mechanických harmonických oscilátorů, jejichž kmity nejsou vyvolány
silami pružnosti, nýbrž působením silových polí, v tomto případě působením tíhového pole Země.
Tíhová síla není silou elastickou, je silou kvazielastickou.

A) Kyvadlo fyzické
• Těleso upevněné tak, aby se mohlo volně otáčet kolem vodorovné osy 0 neprocházející jeho
hmotným středem (těžištěm) S, se nazývá kyvadlo fyzické (viz obr.):
















Obr.1: Fyzické kyvadlo.

Výchylkou tohoto tělesa z rovnovážného stavu je úhlová výchylka ϕ . Vzdálenost těžiště tělesa od
jeho osy otáčení je ℓ . Takto upevněné těleso se může pouze otáčet kolem své osy. Pohybová
rovnice pro otáčivý pohyb tělesa má jednoduchý tvar


(1,17)

kde: M
r
je výsledný moment vnějších sil působících na kyvadlo vzhledem k libovolnému bodu osy
otáčení,
J je moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k dané ose otáčení,
ε
r
je vektor úhlového zrychlení kyvadla.

• Z obrázku je zřejmé, že pouze složka
1
G
F
r
tíhové síly
G
F
r
má moment síly vzhledem k ose 0
nenulový (neboť druhá složka,
2
G
F
r
, má moment k téže ose nulový). Je to tedy složka
1
G
F
r
tíhové síly
G
F
r
, která nutí těleso (fyzické kyvadlo) k návratu do rovnovážné polohy. Velikost momentu této
složky síly je
M = - mgl sinϕ,
ℓ

M
r
= J.ε
r
,
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 8

kde ϕ je výchylka kyvadla z rovnovážné polohy.

• Podle (1,17) zapíšeme
- mgl sinϕ = Jε . (1,18)

Znaménko mínus v (1,18) proto, že při dané výchylce ϕ (měří se od svislice procházející bodem 0
na obr.), má otáčivý účinek složky
1
G
F
r
právě opačný směr.
• Úpravou (1,18), tj. s přihlédnutím k definici úhlového zrychlení ( ε =
2
2
dt
d ϕ
) a pro malé
výchylky ( pro ϕ < 5
0
platí sin ϕ ≅ ϕ ), dostaneme




(1,19)



Rovnice (1,19) je pohybovou rovnicí pro netlumené harmonické kmity fyzického kyvadla.

• Moment setrvačnosti J fyzického kyvadla určíme podle Steinerovy věty
J = J
0
+ mℓ
2
,

kde J
0
je moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k (myšlené) ose otáčení procházející těžištěm (S)
kyvadla rovnoběžně se skutečnou osou otáčení 0 ( pro některá tělesa pravidelného geometrického
tvaru jsou jeho hodnoty uvedeny v technických tabulkách).

B) Kyvadlo matematické
• Je definováno jako hmotný bod zavěšený na nehmotném a neprotažitelném vláknu.


0

ϕ
ℓ


• S


G
F
r

Obr.2: Matematické kyvadlo.

Platí pro něho stejná pohybová rovnice (1,19) jako pro kyvadlo fyzické, pouze s tím rozdílem, že
jeho moment setrvačnosti J = mℓ
2
( J
0
= 0 ). Proto diferenciální pohybová rovnice pro kyvadlo
matematické má tvar


(1,20)
…………………………………………………………………………………………………………


2
2
dt
d ϕ
+
J
mgl
.ϕ = 0.


2
2
dt
d ϕ
+
l
g
ϕ = 0 .
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 9
Poznámka: Idealizovaného pojmu „matematické kyvadlo“se používá k zavedení pojmu redukovaná
délka fyzického kyvadla. Redukovaná délka fyzického kyvadla je délkou takového matematického
kyvadla, které má stejnou dobu kmitu jako dané kyvadlo fyzické.
• Matematické kyvadlo však nelze přesně realizovat. Proto se místo něho používá kyvadlo reverzní.
Kyvadlo reverzní je kyvadlo fyzické, zpravidla tyč opatřená dvěmi pevnými, vzájemně rovnoběžnými
osami. Osy jsou realizovány dvěma břity, ostřím obráceným proti sobě. Vzájemná vzdálenost os
(břitů) bývá zpravidla ℓ = 1m. Dále je reverzní kyvadlo opatřeno na jednom konci posunovatelným
závažím (vně břitů). Toto závaží se nastaví (posune) tak, aby doby kmitu podél obou os byly stejné.
Pak vzájemná vzdálenost ℓ obou břitů je redukovanou délkou tohoto (reverzního) kyvadla a tudíž
pro měřenou dobu kmitu reverzního kyvadla platí stejný vztah jako pro kyvadlo matematické. Doba
kmitu T a vzájemnou vzdálenost břitů ℓ lze snadno změřit, je možné ze vztahu pro dobu kmitu
matematického kyvadla vypočítat hodnotu tíhového zrychlení g v libovolném místě na Zemi. Tato
metoda určení g je velmi přesná.
…………………………………………………………………………………………………………

Úkol 12: Porovnáním rovnice (1,19) s rovnicí (1,5) určete:
a) úhlovou frekvenci ω netlumených harmonických kmitů fyzického kyvadla,
b) frekvenci f kmitů a
c) periodu T netlumených harmonických kmitů téhož kyvadla.
Úkol 13: Porovnejte rovnici (1,20) s rovnicí (1,5) a určete:
a) úhlovou frekvenci ω ,
b) frekvenci f a
c) periodu T matematického kyvadla.
Úkol 14: Předpokládejte, že znáte hodnotu periody T kmitů raverzního kyvadla a vzdálenost ℓ
mezi jeho břity. Určete tíhové zrychlení.
Literatura:
H – R – W: Fyzika
1. vydání, VUTIUM Brno, r.2000
Část 2.
Odst. 16.6 Kyvadla
str. 418 – 422.

1.7 Princip superpozice
• V mechanice je s výhodou využíván princip superpozice pohybů. Podle tohoto principu každý
systém, který může konat dva nebo více samostatných pohybů, může konat také jediný pohyb, který
vznikne složením těchto samostatných pohybů.

• Vyjádřeno matematicky: je-li např. funkce u
1
= u
1
(t) řešením pohybové rovnice např. (1,5), a jiná
funkce u
2
= u
2
(t) je řešením téže pohybové rovnice, pak funkce u = c
1
u
1
+ c
2
u
2
, kde c
1
, c
2
jsou
celkem libovolné konstanty, je také řešením téže pohybové rovnice (1,5).
• Princip superpozice však neplatí obecně pro všechny druhy pohybů, nýbrž jen pro takové
pohyby, k jejichž matematickému popisu stačí (jednoduchá) lineární (diferenciální) pohybová
rovnice (např. rovnice (1,5)). Pro skládání kmitů lineárních harmonických oscilátorů princip
superpozice platí.
Literatura:
H – R – W : Fyzika
1. vydání, VUTIUM Brno, r. 2000
Část 2.
Odst. 17.8 Princip superpozice
str. 448 – 450.

1.8 Tlumené kmity. Tlumený lineární harmonický oscilátor
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 10
• Až dosud jsme mlčky předpokládali, že energie kmitů kmitajících oscilátorů neklesá. To je
ovšem ideální představa. Reálné oscilátory během kmitání průběžně ztrácejí svou energii kmitů. To
se projevuje postupným snižováním amplitudy kmitů až do jejich úplného zániku. Proto takovým
kmitům říkáme kmity tlumené. Příčinou tlumení kmitů jsou různé odporové (tlumící) síly, např.
odpor prostředí, tření, apod. u mechanických oscilátorů, nebo vyzařování elektromagnetické energie
do okolí LC obvodu s elektrickými kmity, atd.

• Tlumení kmitavých procesů nemusí být vždy nežádoucí (jako jsou např.nežádoucí energetické
ztráty u reálného LC obvodu). Např. velké tlumení mechanických kmitů je žádoucí u staveb v těch
částech světa, kde se často vyskytují zemětřesení.

• Velikost mnohých mechanických tlumících sil je různě závislá na rychlosti kmitů. V reálných
LC obvodech dochází k energetickému poklesu vlivem energetických ztrát v dielektriku
kondenzátoru, případně v jádru cívky. Tyto ztráty jsou však závislé na elektrickém proudu
protékajícím LC obvodem, a to dosti složitým způsobem.

• Tyto skutečnosti vedou k nelineárnosti (diferenciálních) pohybových rovnic, a tudíž
k nemožnosti uplatnit princip superpozice i na tlumené kmitavé pohyby. Proto vedeni snahou
zachovat platnost principu superpozice i na tlumené kmitavé pohyby, omezujeme se jen na takové
tlumící síly, které vedou k (diferenciální) pohybové rovnici tvaru (1,5). To je relativně velmi
výrazné omezení výběru tlumících sil. Přesto existuje mnoho reálných systémů, které tuto
podmínku (toto omezení) splňují. Jsou to např. systémy, jejichž chování po vychýlení
z rovnovážného stavu lze vyjádřit jako tlumené kmitání s tlumící silou úměrnou velikosti rychlosti
kmitů, zejména je-li rychlost v kmitů relativně nízká. Tlumící síla (brzdná síla) míří vždy proti
směru rychlosti kmitů .

• Podle 2. pohybového zákona pro tlumené kmity tedy platí
tlumpruž
FF
rr
+ = ma
r
.
Tatáž pohybová rovnice ve skalárním tvaru vypadá následovně:

- ku - R
dt
du
= m
2
2
dt
ud
,
kde u je okamžitá výchylka z rovnovážného stavu,

dt
du
je okamžitá rychlost kmitání,

2
2
dt
ud
je okamžité zrychlení kmitání,
R je koeficient odporu (jeho jednotkou je 1 kg.s
-1
).

• Po malé úpravě pohybová rovnice tlumených kmitů dostává tvar:


m R
dt
ud
+
2
2
dt
du
+ ku = 0 ,

nebo u
dt
du
dt
ud
2
2
2
2 ωδ ++ = 0 (1,21)
kde δ =
m
R
2
je součinitel tlumení (konstanta útlumu), (1,21a)
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 11

ω =
m
k
je úhlová frekvence vlastních netlumených kmitů oscilátoru. (1,21b)

• Z matematického hlediska je pohybová rovnice (1,21) lineární diferenciální rovnicí 2. řádu
s konstantními koeficienty, s nulovou pravou stranou. Každé takové rovnici vyhovuje řešení ve
tvaru
u = C e
λ t
, (1,22)
kde C je konstanta a λ je kořenem tzv. charakteristické rovnice
λ
2
+ 2δ λ + ω
2
= 0. (1,23)
................................................................................................................................................................
Poznámka: (1,23) dostaneme, když (1,22) dosadíme do (1,21).
.....................................................................................................................