Skripta kmity

...........................................

• Kořeny rovnice (1,23) jsou
λ
1,2
= -δ ±
22
ωδ + . (1,24)
Protože δ a ω jsou vzájemně nezávislé veličiny, mohou nastat celkem tři různé situace:
1. Pro δ < ω (tzv. slabý útlum) dostaneme dva komplexně sdružené kořeny.
2. Pro δ = ω (tzv. kritické tlumení) dostaneme jeden dvojnásobný kořen.
3. Pro δ > ω (tzv. silný útlum nebo nadkritické tlumení či přetlumení) dostaneme dva různé
reálné kořeny.

Ad 1. Slabý útlum. Řešení rovnice (1,21) má tvar

u (1,25)

Z (1,25) vyplývá, že kmity při slabém útlumu jsou periodické, s amplitudou, která s časem
exponenciálně klesá:

(1,26)

............................................................................................................................................................
Poznámka: Přísně vzato je periodičnost těchto kmitů slabě narušena, protože oscilátor projde
úsek z rovnovážného stavu do krajního stavu za kratší časový interval než v obráceném směru.
Přesto periodičnost těchto kmitů existuje, protože průchody rovnovážným stavem se opakují
v pravidelných časových intervalech.
............................................................................................................................................................
• Úhlová frekvence tlumených kmitů ω
tl
je vždy menší než úhlová frekvence ω netlumených
kmitů téhož oscilátoru. Platí totiž

(1,27)


Protože T =
ω
π2
, je (1,28)


............................................................................................................................................................

u = u
m
e
-δt
sin(ω
tl
+ ϕ
0
).
u
´
m
= u
m
e
-δ t
.
ω
tl
=
22
δω − .

T
tl
=
22
2
δω
π
−
.
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 12
• Na následujících obrázcích je znázorněn časový průběh okamžité výchylky u tlumených kmitů
se slabým útlumem. V situaci znázorněné ad a) je počáteční výchylka nulová, ale počáteční
rychlost nenulová. V situaci ad b) je tomu naopak :



Obr.3: Časový průběh slabě tlumených kmitů: a) pro u
t=0
= 0, v
t=0
≠ 0; b) pro u
t=0
≠ 0, v
t=0
= 0.

• Poměr velikostí dvou výchylek oscilátoru na tutéž stranu od rovnovážné polohy, následujících po
sobě v časovém odstupu jedné periody T
tl
, je
λ =
)(
)(
tl
Ttu
tu
+
=
tl
T
e
δ

a nazývá se útlum.

Přirozený logaritmus útlumu je logaritmický dekrement λ:
λ = ln
tl
T
e
δ
= δ T
tl
.
................................................................................................................................................................

Ad 2. Kritické tlumení. Rovnice (1,24) dává dvojnásobný, záporný, reálný kořen:
λ
1
= λ
2
= - δ .

• Obecné řešení pohybové rovnice (1,21) je neperiodické


(1,29)

Řešení (1,29) s přibývajícím časem se asymptoticky blíží k hodnotě u = 0, (obr. na následující str.).
................................................................................................................................................................

Ad 3. Silné tlumení (nadkritické tlumení). „Pohyb“ oscilátoru je také aperiodický, okamžitá
výchylka je vyjádřena rovnicí

(1,30)


• Silné tlumení se liší od kritického tlumení hlavně v tom, že silně tlumený oscilátor může, ale
nemusí, jednou projít rovnovážným stavem, a teprve potom se z „druhé strany“ asymptoticky blížit
rovnovážnému stavu.

• Oba způsoby tlumení se liší významně i v tom, že okamžitá výchylka kmitu s kritickým
tlumením exponenciálně klesá k nule rychleji než okamžitá výchylka kmitu s tlumením
nadkritickým. Proto se v praxi využívá kritického tlumení u různých tlumičů častěji než tlumení

u = ( )
21
mm
uu + e
-δ t
.
u =
t
m
t
m
eueu
2
2
1
1
λλ
+ .
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 13
nadkritického (např. u tlumičů vzduchových, kapalinových, elektromagnetických, používaných u
vozidel, ruček ukazatelů měřících přístrojů, dvouramenných analytických vah, atp.).


Obr.4: Časový průběh kmitu oscilátoru s kritickým tlumením (plná čára) a s nadkritickým
tlumením (přerušovaná čára): a) pro u
t=0
= 0, v
t=0
≠ 0; b) pro u
t=0
≠ 0, v
t=0
=0 .
................................................................................................................................................................
Poznámka: Také energie tlumeného lineárního harmonického oscilátoru klesá s přibývajícím
časem exponenciálně, ale rychleji než amplituda kmitů. Tento pokles je navíc nerovnoměrný, neboť
ztráta energie tlumeného oscilátoru je největší v okamžiku, kdy oscilátor prochází rovnovážným
stavem – zde má rychlost změny stavu nejvyšší hodnotu a protože odporová síla je přímo úměrná
rychlosti změny stavu, je odpor kladený kmitům v takovém okamžiku největší, a tudíž energetická
ztráta oscilátoru je nejvýraznější.
................................................................................................................................................................
Poznámka: Všeobecně byl přijat názor, že oscilátor je tím lepší, čím nižší jsou jeho energetické
ztráty. K posouzení kvality oscilátorů byla zavedena veličina činitel jakosti (Q, z angl. Quality
Factor), definovaná vztahem
Q = 2π
W
W
∆
, (1,31)

kde W je okamžitá celková energie oscilátoru a ∆W úbytek energie v následující periodě T
tl
.
V případě velmi malého tlumení (δ 0, pak je doba kmitu (1,34) reálná. V obvodu mohou probíhat tlumené
elektrické kmity.
................................................................................................................................................................

Poznámka: Při pohybu vodiče v magnetickém poli vznikají síly, které ve vodiči indukují elektrické
proudy (tzv. Foucaultovy proudy, nebo vířivé proudy), které svými účinky působí proti příčině, která
je vyvolala, tedy proti pohybu. Foucaultovy proudy pohyb vodiče v magnetickém poli brzdí.
q
LCdt
dq
L
R
dt
qd 1
2
2
++ = 0 .
i
LCdt
di
L
R
dt
id 1
2
2
++ = 0 .
T
tl
=
2
2
4
1
2
L
R
LC
−
π
.
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 15
Foucaultových proudů se v praxi široce využívá. Např. se jimi tlumí kmity ruček ukazatelů
elektrických měřících přístrojů.
................................................................................................................................................................
Literatura:
H – R – W : Fyzika
1. vydání, VUTIUM Brno, r. 2000
Část 2.
Odst. 16.8 Tlumený oscilátor
str. 423 – 425.

1.10 (Vy)nucené kmity
• Kmity, které oscilátory konají po účinku jednorázového vnějšího popudu, bez dalšího působení
vnějších sil, nazýváme vlastní kmity (nebo volné kmity) oscilátoru. Během volného kmitání se
uplatňují pouze tzv. „pružnost“ a „setrvačnost“ oscilátoru.

• V převážné většině reálných volných kmitů se však uplatňují i vnější síly odporové. Kromě
odporových sil působí na oscilátory v některých případech další vnější síly odlišného typu, tzv. síly
budící, které se vyznačují hlavně tím, že jsou časově proměnné. Budící síly nutí oscilátory, aby
konaly jiné kmity než kmity vlastní, aby konaly kmity nucené (vynucené).

• Podle 2. pohybového zákona platí
amFFF
budícíodporpruž
r
rrr
=++ .
Tatáž rovnice ve skalárním tvaru


(1,35)


• Jelikož každou periodickou funkci lze rozvinout v řadu harmonických funkcí (Fourierův rozvoj),
budeme místo budící periodické síly F(t) vyšetřovat vliv budící harmonické síly
F(t) = F
m
sin(Ωt + α),
kde F
m
je amplituda budící síly,
Ω je její úhlová frekvence,
α je počáteční fáze budící síly.
Rovnici (1,35) tedy upravíme a dostaneme rovnici


, (1,36)

kde a
m
=
m
F
m
, a parametry δ a ω jsou určeny vztahy (1,21a) a (1,21b).

• Rovnice (1,36) je pohybovou rovnicí nucených harmonických kmitů (budící síla je
harmonickou funkcí času). Z matematického hlediska je to lineární, nehomogenní diferenciální
rovnice 2. řádu, s konstantními koeficienty. Jejím řešením je součet obecného řešení rovnice bez
pravé strany a partikulárního řešení rovnice s pravou stranou. Jelikož během kratšího nebo delšího
časového intervalu se volné tlumené kmity oscilátoru zcela utlumí, oscilátor po uplynutí této doby
koná pouze nucené kmity. Stav oscilátoru se ustálil. Energetické ztráty nucených kmitů nahrazuje
budící síla.

- ku - R
dt
du
+ F(t) = m
2
2
dt
ud
.
)sin(2
2
2
2
αωδ +Ω=++ tau
dt
du
dt
ud
m
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 16
• Tedy řešením pohybové rovnice (1,36) nucených kmitů ve stacionárním stavu je vlnová funkce
vyjadřující okamžitou výchylku nucených kmitů



(1,37)


Podle (1,37) je úhlová frekvence Ω nucených kmitů ve stacionárním stavu stejná jako u budící síly.
Pouze amplituda a
m
a fáze nucených kmitů (argument funkce sinus v (1,37)) se liší od amplitudy a
fáze budící síly. Symbol Ψ vyjadřuje fázové zpoždění nucených kmitů za budící silou.
................................................................................................................................................................
Poznámka: Zařízení, které budící (nutící) sílu produkuje, nazýváme budící oscilátor. Oscilátor,
který je nucen konat nucené kmity, nazýváme rezonátor.
Kromě rezonátorů s vnějším buzením existují i rezonátory s vnitřním buzením. Kmity rezonátorů
s vnitřním buzením nazýváme samobuzené kmity. Běžným příkladem rezonátoru s vnitřním buzením
je obyčejný elektrický zvonek.
................................................................................................................................................................
1.11 Amplituda nucených kmitů. Rezonance
• Nucené kmity se v přírodě i v technice často vyskytují. Nucené kmity mohou být žádoucí i
nežádoucí, zejména v tzv. rezonančních stavech. Znalost podmínek vzniku rezonančních stavů je
důležitá zejména pro technickou praxi. Vlivem rezonance může dojít např. k narušení stavebních
konstrukcí nebo strojních zařízení, v horším případě k jejich úplné destrukci. Ze zkušenosti známe,
že rezonance může být příčinou nežádoucích zvukových efektů. Pomocí rezonance lze rozkmitat i
těžké předměty relativně malou silou.

• V každém konkrétním případě nucených kmitů může nastat jeden z následujících tří výrazných
stavů nebo některý stav nacházející se mezi stavy s Ωω:
1. Frekvence Ω budící síly je velmi nízká vzhledem k frekvenci ω vlastních netlumených
kmitů oscilátoru (Ω > ω). Fázové zpoždění Ψ se blíží k π
radiánům. Nucené kmity a budící síla jsou téměř v protifázi.
3. Frekvence Ω budící síly se rovná frekvenci ω vlastních netlumených kmitů oscilátoru
(Ω = ω). Fázové zpoždění Ψ je
2
π
radiánů. Tento případ nazýváme rezonancí (úhlových)
rychlostí.

• Kromě rezonance rychlostí může za určitých jiných podmínek vzniknout rezonance amplitudová.
Amplituda nucených kmitů je tím větší, čím menší je rozdíl (ω
2
- Ω
2
) a čím menší je δ. Při dané
hodnotě δ (připomeňme si, že δ závisí na koeficientu R a na hmotnosti oscilátoru) je amplituda
nucených kmitů maximální za podmínky, že úhlová frekvence Ω budící síly splňuje vztah

(1,38)


• Vztah (1,38) určuje rezonanční úhlovou frekvenci nucených kmitů. Jev, který při splnění vztahu
(1,38) nastane, nazýváme amplitudovou rezonancí. Rezonanční amplituda má obecně hodnotu


(1,39)
u
stac
=
22222
4)( Ω+Ω− δω
m
a
sin (Ω t + α - Ψ).
Ω
rez
=
22
2δω − .
u
m,rez
=
22
2 δωδ −
m
a
.
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 1 - Kmity str. 17























Obr.5: Amplituda výchylky nucených kmitů. (Parametr b v obr. odpovídá parametru R v textu.
Podobně parametr ω
b
v obr. odpovídá parametru Ω v textu.)

• Podle (1,39) rezonanční amplituda nucených kmitů roste nade všechny meze pro δ → 0 (tj.
netlumený nebo jen velmi málo tlumený rezonátor). Prakticky k takové situaci nedochází. Častěji
může nastat δ