Skripta Dskrétní signály a diskrétní systémy

max
s
max
−ω
max
−ω
max
−ω /2
s
−ω
max
−ω
s
−ω
s
−ω
s
+ω
+ω
+ω
+2ω
s
s
s
s
0
0
0
0
F ( )ω
s
F ( )ω
DP
F( )ω
a
b
c
d
e
f(t)
f (t)
f(t)
F(ω) F (ω)
F(ω)
s
s
Ideální
dolní propust
T
s
T
s
T
s
A(0)
A(0)
A(0)
/
=A(ω)


Obr. 1-5: Rekonstrukce spojitého signálu z jeho vzorků-frekvenční pohled
V horní části obrázku (viz a) je naznačen postup při rekonstrukci. Spojitý signál ( )tf
s omezeným spektrem ( )ωF (viz b) je vzorkován s periodou tak, že je splněn vzorkovací
s
T
10 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
teorém. Navzorkovaný signál ( )tf
s
má periodické spektrum ( )ω
s
F (viz c). Navzorkovaný
signál je přiveden na vstup ideální dolní propusti. Ideální dolní propust je spojitý systém
s frekvenční charakteristikou (viz d)
()
⎩
⎨
⎧
>
≤
=
2/0
2/
s
ss
DP
T
F
ωω
ωω
ω
( 1.10 )
Ideální dolní propust tedy propouští jen kmitočty menší než jistá hodnota a všechny ostatní
kmitočty potlačuje. Na výstupu ideální dolní propusti bude tedy signál, jehož kmitočtové
spektrum je rovno součinu () ( )ωω
DPs
FF a je ukázáno na obr.e. Ale toto spektrum je totožné
se spektrem signálu , a tedy na výstupu ideální dolní propusti musí být původní spojitý
signál neboť mezi signálem a jeho spektrem je jednoznačná souvislost, daná
Fourierovou transformací. Proč tuto rekonstrukci nelze uskutečnit prakticky ukazuje následují
příklad.
()tf
()tf
Příklad 1.2 Impulsní charakteristika ideální dolní propusti
Vypočtěme impulsní charakteristiku ideální dolní propusti. Pro ( )+∞∞−∈ ,t platí
() ( ){} ()
()
2/
2/sin
22
1
2
1
2/
2/
1
t
tT
deTdeFFtg
s
sss
tj
s
tj
DPDP
s
s
ω
ω
π
ω
ω
π
ωω
π
ω
ω
ω
ωω
====
∫∫
+
−
+−
+∞
∞−
−
F .
Jelikož pro frekvenci vzorkování platí
ss
T/2πω = bude pro impulsní charakteristiku platit
()
()
() (+∞∞−∈== ,/
/
/sin
tTtSinc
Tt
Tt
tg
s
s
s
π
)
π

( 1.11 )
Impulsní charakteristika je ukázána na Obr. 1-6 vpravo. Je zde také tučně nakreslen vstupní
signál této propusti tj. Diracův impuls. Z obrázku je patrné, že na výstupu ideální dolní
propusti je odezva na Diracův impuls ještě předtím, než začal působit na vstupu. Ideální dolní
propust není kauzálním systémem (předpovídá budoucnost) a je tedy prakticky
nerealizovatelná. Lze ale konstruovat dolní propusti, které se blíží ideální dolní propusti.
t
1
0
g(t)
0
ω
F ( )ω
-ω /2
s
+ω /2
s
T
s
-T T 2T 3T-2T-3T
ssssss
DP

Obr. 1-6: Frekvenční (vlevo) a impulsní charakteristika (vpravo) ideální DP
S pomocí impulsní charakteristiky ideální DP lze vysvětli rekonstrukci spojitého signálu
z jeho vzorků i v časové oblasti. Všimněme si nejprve, že impulsní charakteristika ideální DP
má hodnotu 1 pro čas a ve všech dalších okamžicích vzorkování prochází nulou (viz
Obr. 1-6).Je-li průběh spojitého signálu
0=t
( )tf (viz. Obr. 1-7b) vzorkován pomocí vzorkovací
funkce
() ( )
∑
+∞
−∞=
−=
k
s
kTtti δ
( 1.12 )
(viz Obr. 1-7c) bude na vstupu filtru posloupnost Diracových impulsů. Každý impuls má
plochu, která odpovídá hodnotě patřičného vzorku tedy na vstupu je posloupnost impulsů
() ( )( )
∑
+∞
−∞=
−=
k
sss
kTtkTftf δ
( 1.13 )
Signály a systémy 11

a
b
c
d
e
f(t)
f (t)
f(t)
F(ω) F (ω)
F(ω)
s
s
Ideální
dolní propust
T
s
t
t
t
t
f(t)
i(t)
f(t)
0
0
0
0
-T
-T
-T
-T
T
T
T
T
2T
2T
2T
2T
3T
3T
3T
3T
4T
4T
4T
4T
5T
5T
5T
5T
6T
6T
6T
6T
7T
7T
7T
7T
-2T
-2T
-2T
-2T
-3T
-3T
-3T
-3T
-4T
-4T
-4T
-4T
-5T
-5T
-5T
-5T
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
f (t)
s

Obr. 1-7: Rekonstrukce spojitého signálu z jeho vzorků-časový pohled
(viz Obr. 1-7d) o plochách () ( )+∞∞−∈ ,kkTf
s
. Informaci o velikosti vzorku nese plocha
Diracova impulsu (v obrázku naznačeno různou „výškou“ impulsů). Na každý posunutý
Diracův impuls zareaguje filtr svou posunutou impulsní charakteristikou a reakce od všech
impulsů se sčítají tedy
() ( )
()[]
()
()+∞∞−∈
−
−
=
∑
∞+
−∞=
,
/
/sin
t
TkTt
TkTt
kTftf
k ss
ss
s
π
π

( 1.14 )
(viz Obr. 1-7e). Superpozicí všech posunutých impulsních charakteristik obdržíme na
výstupu filtru DP původní průběh spojitého signálu ( )tf . Znovu zdůrazněme, že ideální DP
filtr nelze realizovat. V praxi se ale potřeba rekonstrukce spojitého signálu z jeho vzorků
vyskytuje velmi často. Například výsledkem nějakého počítačového algoritmu je posloupnost
čísel= diskrétní signál, kterým chceme řídit nějaký spojitý systém. Musíme proto
z diskrétního signálu rekonstruovat jeho spojitou podobu. Praktická a jednoduchá
rekonstrukce je uvedena v následujícím odstavci.


12 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Rekonstrukce signálu z jeho vzorků pomocí tvarovače
Nejjednodušší způsob rekonstrukce signálu z jeho vzorků je naznačen na Obr. 1-8. Mezi
okamžiky vzorkování je spojitý signál nahrazen konstantní hodnotou minulého vzorku.

tt -2T-2T -T-T 00 TT22T 3T3T 4T4T
f(kT)
f(kT)
Tvarovač
0. řádu
f (t)
r
f (t)
r

Obr. 1-8: Nejjednodušší rekonstrukce spojitého signálu
Takový rekonstruktor se nazývá přidržovač nebo též tvarovač 0. řádu (existují i tvarovače
vyšších řádů např. prvního, který nahrazuje hodnoty mezi okamžiky vzorkování přímkovým
úsekem, jehož sklon je určen dvěma sousedními vzorky). Nejjednodušší rekonstruktor lze
snadno realizovat pomocí číslicově- analogového převodníku (Č/A převodník, digital-
analog convertor, D/A convertor), který je běžnou součástkou, doplňující vybavení
mikroprocesorů (nebo je někdy i přímo jeho součástí).
Podívejme se nyní do jaké míry napodobuje tento tvarovač funkci ideální doplní propusti. Za
tím účelem určeme frekvenční charakteristiku tohoto tvarovače. Nejprve určíme jeho
operátorový přenos a to na základě jeho impulsové charakteristiky viz. Obr. 1-9. vlevo.

1
0
g(t)
0
t-T-2T
ss
+T +2T
T
s
3ω ω
s
2ω
s
ω −ω
s
−2ω
s
−3ω
s
ss
F ( )ω
Tv

Obr. 1-9: Impulsová a frekvenční charakteristika tvarovače
Na vstup tvarovače připojíme jednotkový impuls a tvarovač jej přidrží po dobu jedné
vzorkovací periody. Pro impulsní charakteristiku potom platí
() () ( )
s
Ttttg −−= σσ
( 1.15 )
Pro účely výpočtu budeme vstupní impuls považovat za Diracův impuls (jednotková
informace je nesena jeho plochou). Pro operátorový přenos pak platí
() (){}
p
e
e
pp
tgpF
pT
pT
s
s
−
−
−
=−==
111
F ( 1.16 )
Pro amplitudovou frekvenční charakteristiku tak obdržíme
()
()
()
s
s
s
ss
jT
Tv
T
TT
j
e
jF
s
ωπω
ωπω
ω
ωω
ω
ω
ω
/
/sinsincos11
2
2
=
+−
=
−
=
−
( 1.17 )
Frekvenční charakteristika je ukázána na Obr. 1-9 vpravo. Ve stejném obrázku je pro
srovnání čárkovaně nakreslena i frekvenční charakteristika ideální dolní propusti. Z obrázku
je patrné, že tvarovač jen velmi hrubě nahrazuje ideální dolní propust. Přesto je z důvodu své
jednoduchosti v praxi nejčastěji používán.



Signály a systémy 13
1.2 Základní diskrétní signály a jejich vlastnosti
V úvodní kapitole jsme se seznámili s pojmem signál s diskrétním časem nebo zkráceně
diskrétní signál. Pro další zpracování takového signálu jej musíme popsat nějakým
matematickým prostředkem. Tímto matematickým prostředkem je pojem posloupnosti. Je-li
vzorkovací perioda potom pro každý časový okamžik T ,...2,1,0,1,2..., −−=kkT je dána
hodnota funkce a diskrétní signál je tedy určen posloupností
. V našich úvahách budeme předpokládat, že vzorkovací perioda
(kTf )
() ,...2,1,0,1,2..., −−=kkTf
T je konstantní, a proto ji můžeme při zápisu posloupnosti vynechat. Je tedy matematickým
modelem diskrétního signálu posloupnost (sequence)
() ,...2,1,0,1,2..., −−=kkTf nebo ( ){ }
+∞=
−∞=
k
k
kf
kde jsme naznačili i jiný možný způsob zápisu posloupnosti. Ve skutečnosti žádný reálný
signál (a tedy ani posloupnost reprezentující diskrétní signál) nemůže začínat v mínus
nekonečnu a trvat do plus nekonečna. Protože budeme signály dále zpracovávat matematicky
je z hlediska matematiky vhodné uvažovat s tímto definičním oborem.

1.2.1 Základní diskrétní signály
Jedním ze základních diskrétních signálů je tzv. diskrétní jednotkový skok (unit step
sequence) ()kσ . Je definován následujícím vztahem
()
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
00
01
k
k
kσ
( 1.18 )
a jeho průběh je ukázán v levé části Obr. 1-10.
kk
σ(k) δ(k)
11
0022334455667788-1 -1-2 -2.... ....
.... ....

Obr. 1-10: Diskrétní jednotkový skok (vlevo) a jednotkový impuls (vpravo)
Dalším základním diskrétním signálem je tzv. diskrétní jednotkový impuls (unit
sequence) ()kδ . Je definován následujícím vztahem
()
⎩
⎨
⎧
=+
≠
=
01
00
k
k
kδ
( 1.19 )
Jeho průběh je ukázán v pravé části Obr. 1-10. Diskrétní jednotkový skok a diskrétní
jednotkový impuls hrají v diskrétních signálech stejnou roli jako jednotkový skok a Diracův
impuls v signálech spojitých.
Lineárně rostoucí signál (unit ramp sequence) je dalším základním signálem. Jeho průběh je
ukázán na Obr. 1-11 vlevo. Tento signál je definován jako
()
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
00
0
k
kk
kr
( 1.20 )
14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Rychlost nárůstu tohoto signálu (diference ( ) ( ) 0,11 ≥=−+ kkrkr ) je jednotková. Signál
bude mít rychlost nárůstu rovnu . ()kar a
kk
rk)( sk)(
00
1
1
2
3
11223344
.....
.....
-2 -2-1 -1
an (nkf −− ) ( )kf − doleva o vzorků, neboť
viz Obr. 1-15 uprostřed. A naopak
n
()([nkfnkf +−=−− )] ( )Ttf +− posouvá signál
doprava o vzorků, neboť (tf − ) n ()( )[ ]nkfnkf −−=+− viz Obr. 1-15 vpravo.
Násobení signálů (multiplication). Uvažme dva signály ( )kf a ( )kh definované pro všechna
. Potom součin těchto signálů vytváří nový signál ,...2,1,0 ±±=k ( ) ( )()khkfkg = . Jestliže ( )th
je konstantní signál () Akh = pro všechna ,...2,1,0 ±±=k kde A je reálné kladné číslo větší
než 1, potom signál je zesíleným signálem ()kg ( )kf . Příklad je uveden na Obr. 1-16 vlevo
pro 2=A . Původní signál je signál z Obr. 1-14 vlevo, výsledný signál je dvakrát
zesílen. Bude-li
()kf ()kg
A kladné číslo ale menší jak 1 bude signál zeslaben. Bude-li A záporné číslo
dojde k inverzi hodnot signálu (viz. Obr. 1-16 vpravo).

18 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
kk
g(k)=2f(k)
f(k)
f(k)
g(k)=-0,5f(k)
-4 -4-2 -20
0
2
2
4
4
22
6688
44
-1

Obr. 1-16: Zesílení signálu (vlevo) a inverze signálu (vpravo)
Bude-li signál roven diskrétnímu jednotkovému skoku tj. ()kh ( )(kkh )σ= bude výsledkem
násobení signál () ()()kkfkf σ=
+
. Bude-li signál ( )kh roven otočenému jednotkovému
skoku tj. () ( )kkh −=σ bude výsledkem násobení signál ( ) ( )( )kkfkf −=
−
σ tedy
()
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
+
00
0
k
kkf
kf ()
( )
⎩
⎨
⎧
≥
<
=
−
00
0
k
kkf
kf
( 1.30 )
Situace je ukázána na Obr. 1-17. Operace násobení „vyřezává“ (truncation) v tomto případě
z původního signálu jeho kladnou nebo zápornou část. ()kf
kk
f(k)
-4 -4 -4- k6 -6 -6-2 -2 -200 0224466
4
f (k)
+
f (k)
-
6

Obr. 1-17: Vyříznutí kladné a záporné části signálu
Bude-li mít signál ( )kh tvar pravoúhlého impulsu o jednotkové amplitudě tj.
()
⎩
⎨
⎧
+−∉
+−∈
=
NNk
NNk
kh
,0
,1

( 1.31 )
dojde k vyříznutí jen té části signálu ( )kf , která se nachází v intervalu NN +− , . Situace je
ukázána na Obr. 1-18. Takový tvar signálu ( )kh se nazývá okno (window) a označuje se
obvykle . V tomto případě se jedná o tzv. pravoúhlé okno. Okna jsou při zpracování
signálu často používána a bude o nich ještě pojednáno v dalším textu.
()kw
k k k
f(k) w(k) f(k)w(k)
-N -N -N00 0NN
22 2
44 4
N

Obr. 1-18: Vyříznutí části signálu pravoúhlým oknem
Součet (rozdíl) signálů. Uvažme dva signály ( )kf a ( )kh definované pro všechna
. Potom součet (rozdíl) těchto signálů vytváří nový signál (+∞∞−∈ ,k ) () ( ) ( )khkfkg +=
resp. . () () ()khkfkg −=
V následujících příkladech vytvořte požadované signály užitím předchozích operací se
signály.
Signály a systémy 19
Příklad 1.5 Pravoúhlé okno jako součet dvou signálů
Časovým posunem jednotkového skoku ( )kσ vytvořte pravoúhlé okno ( )kw
()
⎩
⎨
⎧
+−∉
+−∈
=
NNk
NNk
kw
,0
,1

o jednotkové amplitudě a šířce 512 =+N vzorků, které je zobrazeno v levé části Obr. 1-19.
Z obrázku je zřejmé, že platí
() ( ) ( )32 −−+= kkkw σσ .
k k k
w(k) σ(+)k2
σ(k-3)
-4 -4 -4-2 -2 -200 022 244
1
1 1
6688
22 2
468
....
....

Obr. 1-19: Pravoúhlé okno a jeho konstrukce pomocí součtu signálů
Příklad 1.6 Pravoúhlé okno jako součin dvou signálů
S pomocí jednotkového skoku ( )kσ , otočení časové osy a operace násobení vytvořte
tentýž signál jako v předchozím příkladu. Z Obr. 1-20 je zřejmé, že platí
() ( )( )22 +−+= kkkw σσ .
k k k
w(k) σ(+)k2
σ(-k+2)
-4 -4 -4-2 -2 -200 022 244
1
1 1
6688
22
468
.... ....

Obr. 1-20: Pravoúhlé okno a jeho konstrukce pomocí součinu signálů
Příklad 1.7 Pravoúhlé okno jako součet posunutých jednotkových impulsů
Vytvořte pravoúhlé okno o délce ()kw 12 +N vzorků a amplitudě A pomocí součtu
posunutých jednotkových impulsů ()kδ . Je zřejmé, že bude platit
() ( )
∑
+=
−=
−=
Nn
Nn
nkAkw δ .
1.2.4 Shrnutí kapitoly
1. Signály s diskrétním časem (diskrétní signály) ( )kf jsou definovány pro všechna
. Z matematického hlediska je diskrétní signál číselná posloupnost. (+∞∞−∈ ,k )
2. Mezi všemi diskrétními signály můžeme vytipovat základní signály, ke kterým počítáme
jednotkový skok, jednotkový impuls, lineárně rostoucí signál, sinusový signál, reálný a
komplexní exponenciální signál. Signály mohou být neperiodické (např. jednotkový skok,
jednotkový impuls, lineárně rostoucí signál, reálný exponenciální signál) nebo periodické .
20 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
3. Se signály lze provádět různé matematické operace- posunutí v čase, otočení časové osy,
násobení, sčítání a odčítání. Pomocí těchto operací lze ze základních signálů vytvořit další
složitější signály.
1.2.5 Cvičení ke kapitole
1. Nechť jsou dány dva signály ( ) ( )kfkf
21
, viz Obr. 1-21. Jaký je vztah mezi těmito dvěma
signály? Nakreslete signály ( ) ( ) ( )2,2,1
111
+−−+ kfkfkf .
k k
f (k) f (k)
-4 -4-2 -20 02 24 46 68 8
11
12

Obr. 1-21: Dva signály k příkladu 1
2. Vyjádřete signály z předchozího příkladu pomocí součtu posunutých jednotkových
impulsů ()kδ s lineárně narůstající velikostí.
3. Vyjádřete signály z Obr. 1-22 pomocí základních diskrétních signálů.
k k
k
f (k) f (k) f (k)
-4 -4
-4
-2 -2
-2
0022
2
44
4
66
6
8
2
2
1
123
1
1
-1
-6
-6
...
... ...
... ...
...

Obr. 1-22: Tři signály k příkladu 3
4. Posloupnost ( )kf se nazývá sudá (even), jestliže ( ) ( )kfkf −= . Posloupnost ( )kf se
nazývá lichá (odd), jestliže ( ) ( )kfkf −−= . Nechť je dána posloupnost a vytvořme
dvě nové posloupnosti
()kf
()
() ( )
2
kfkf
kf
e
−+
= ()
( )()
2
kfkf
kf
o
−−
= .
Dokažte, že ( )kf
e
je sudou posloupností a ( )kf
o
je lichou posloupností. Dále dokažte, že
každou posloupnost je možno vyjádřit jako součet její sudé a liché části tj.
. Jinými slovy každý diskrétní signál můžeme vyjádřit jako součet
jeho sudé a liché části.
()kf
() () ()kfkfkf
oe
+=
5. Prověřte, zda platí následující rovnost. Jestliže neplatí upravte ji tak aby platila.
() ()() ()( )kkfkkfkf −+= σσ
6. Prověřte, že platí vztahy
()()()()nknfnkkf −=− δδ
()( ) ()
∑
+∞=
−∞=
=−
k
k
nfnkkf δ .
Signály a systémy 21
Existuje u spojitých signálů vztah podobný poslednímu vztahu?
7. Spojitý signál t
0
cosω s periodou sP 20= je vzorkován se vzorkovací periodou .
Je takto vzniklý diskrétní signál (posloupnost) sudý nebo lichý? Je tato posloupnost
periodická? Bude tato posloupnost periodická bude-li vzorkovací perioda
sT 1=
sT π1,0= ?
Jaká je její základní perioda?
8. Načrtněte diskrétní signály
()
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
−
00
0
2,0
1
k
ke
kf
k
() ( )+∞∞−∈= ,1,0cos
2
kkkf π , ( )()(kfkfkf
213
= ).
Je posloupnost hraničená v nějakém intervalu vzorků? Diskutujte proč. Které pořadové
číslo vzorku lze u této posloupnosti považovat za reálné „nekonečno“ (kdy funkční hodnota
klesne na 1% své počáteční hodnoty).
()kf
3

1.2.6 Cvičení v MATLABu
1.3 Analýza diskrétních signálů
1.3.1 Motivace
V kapitole o signálech se spojitým časem (spojitých signálů) jsme viděli, jak užitečná je
spektrální představa signálu. V případě periodických spojitých signálů je možno tuto
spektrální reprezentaci takového signálu získat pomocí Fourierovy řady
()
∑
+∞=
−∞=
=
m
m
tjm
m
ectf
0
ω

P
π
ω
2
0
=
( 1.32 )
kde P je perioda a
0
ω je základní frekvence. Koeficienty této řady (amplitudy a fáze
jednotlivých frekvenčních složek) lze určit jako
()
∫
+
−
−
±±==
2/
2/
,...2,1,0
1
0
P
P
tjm
m
mdtetf
P
c
ω

( 1.33 )
Naší snahou tedy bude tuto spektrální představu zachovat i pro signály s diskrétním časem-
tedy pro diskrétní signály, které jsou (jak jsme viděli v předchozí kapitole) matematicky
vyjádřeny posloupností čísel (obecně komplexních). V této kapitole se budeme věnovat
periodickým diskrétním signálům a tedy periodickým posloupnostem.
1.3.2 Diskrétní Fourierova řada
Diskrétní signál se nazývá periodický, jestliže existuje kladné přirozené číslo
takové, že platí
()kf N
() ( )Nkfkf += ( 1.34 )
pro všechna celá čísla . Nejmenší taková hodnota se nazývá základní
perioda (fundamental period). Budeme nyní hledat vyjádření periodického diskrétního
signálu jako superpozici (složení) jednotlivých frekvenčních složek. V minulé kapitole
jsme se seznámili s diskrétním komplexním exponenciálním signálem. Snadno se
přesvědčíme, že komplexní exponenciální posloupnost
(+∞∞−∈ ,k ) N
()kf
22 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
()+∞∞−∈ ,
2
ke
k
N
j
π

( 1.35 )
je periodická se základní periodou . Platí totiž N
()
()+∞∞−∈===
+
,
2
2
2222
keeeeee
k
N
j
j
k
N
jN
N
jk
N
jNk
N
j
π
π
ππππ

( 1.36 )
Vytvořme nyní posloupnost takových exponenciál
() ,...2,1,0
2
sin
2
cos
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
== mk
N
mjk
N
mek
k
N
jm
m
ππ
φ
π
( 1.37 )
kde je pořadové číslo vzorku a je pořadové číslo posloupnosti. Prvních několik členů
této posloupnosti je ukázáno na Obr. 1-23. Tyto posloupnosti jsou periodické s periodou
jak vzhledem k proměnné
k m
N
k
()
()
()keeeeeeNk
m
k
N
jm
jm
k
N
jmN
N
jmk
N
jmNk
N
jm
m
φφ
π
π
ππππ
=====+
+
2
2
2222

( 1.38 )
tak i vzhled k proměnné m
()
()
()keeeeeek
m
k
N
jm
kj
k
N
jmk
N
jNk
N
jmk
N
Nmj
Nm
φφ
π
π
ππππ
=====
+
+
2
2
2222

( 1.39 )
Obě tyto periodičnosti jsou patrné z Obr. 1-23 (všimněte si např., že () ()kk
120
φφ = ) a z Obr.
1-24.
Signály a systémy 23
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
cos[ k]m(2π/Ν)
cos[ k]m(2π/Ν)
cos[ k]m(2π/Ν)
cos[ k]m(2π/Ν)
cos[ k]m(2π/Ν)
cos[ k]m(2π/Ν)
cos[ k]m(2π/Ν)
cos[ k]m(2π/Ν)
cos[ k]m(2π/Ν)
cos[ k]m(2π/Ν)
cos[ k]m(2π/Ν)
cos[ k]m(2π/Ν)
cos[ k]m(2π/Ν)
sin m([k]2π/Ν)
sin m([k]2π/Ν)
sin m([k]2π/Ν)
sin m([k]2π/Ν)
sin m([k]2π/Ν)
sin m([k]2π/Ν)
sin m([k]2π/Ν)
sin m([k]2π/Ν)
sin m([k]2π/Ν)
sin m([k]2π/Ν)
sin m([k]2π/Ν)
sin m([k]2π/Ν)
sin m([k]2π/Ν)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12