Skripta Dskrétní signály a diskrétní systémy

12
12
12
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
m=3
m=4
m=5
m=6
m=7
m=8
m=9
m=10
m=11
m=12
m=0
m=2
m=1


Obr. 1-23: Periodické komplexní exponenciální posloupnosti
24 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Ještě jiný pohled na komplexní periodickou posloupnost lze ukázat na Obr. 1-24.
V komplexní rovině rotuje jednotkový vektor s kruhovou frekvencí

0,6,12,..
Im
Re
2,8,14,..
3,9,15,..
11,23,..
m=02
1,7,13,..
4,10,16,...
5,11,17,...
0,4,8,12,..
Im
Re
1,5,9,13,..
3,7,11,15,..
m=03
2,6,10,14,..
0,2,4,6,..
Im
Re
m=06
1,3,5,7,...
0,4,8,12,..
Im
Re
3,7,11,15,...
1,5,9,13,...
m=09
2,6,10,14,...
0,12,..
Im
Re
2,14,...
3,15,..
9,21,..
10,22,..
11,23,..
m=01
1,13,..
4,16,...
5,17,...
6,18,..
7,19,..
8,20,..
0,12,..
Im
Re
2,14,...
3,15,..
9,21,..
10,22,..
11,23,..
m=011
1,13,..
4,16,...
5,17,...
6,18,..
7,19,..
8,20,..
0,3,6,9,12,...
Im
Re
3,15,..m=04
1,4,7,
10,13,...
2,5,8,
11,14,...
0,6,12,..
Im
Re
5,11,17,...
1,7,13,...
m=010
4,10,16,...
3,9,15,...
2,8,14,...
0,12,
Im
Re
3,15,...
2,14,...
m=05
1,13,...
4,16,...
5,17,...
6,18,,...
7,19,...
8,20,...
9,21,...
10,22,...
11,23,...
0,12,..
Im
Re
m=07
1,13,...
2,14,...
3,15,...
4,16,...
5,17,...
6,18,...
7,19,...
8,20,...
9,21,...
10,22,...
11,23,...
0,3,6,9,
12,15,..
Im
Re
m=08
1,4,7,
10,13,...
2,5,8,
11,14,...
Im
m=12
0,1,2,...
Re
m=0 Im
Re
0,1,2,...


Obr. 1-24: Komplexní exponenciální posloupnost jako poloha vektoru

Signály a systémy 25
,...2,1,0
2
== m
N
m
π
ω ( 1.40 )
a poloha vektoru je snímána v pravidelných okamžicích ,...2,1,0=k . V případě ukázaném na
obrázku je . Ze vztahu ( 1.39 ) a i z obou obrázků je zřejmé, že existuje právě
různých funkcí
12=N N
() 1,...2,1,0
2
sin
2
cos
2
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
== Nmk
N
mjk
N
mek
k
N
jm
m
ππ
φ
π
( 1.41 )
neboť () () () (),...,
110
kkkk
NN +
== φφφφ . Proto můžeme periodickou posloupnost ( )kf
s periodou vyjádřit jako součet konečné řady N
() () 1,...2,1,0
1
0
2
1
0
−===
∑∑
−
=
−
=
Nkeckckf
N
m
k
N
jm
m
N
m
mm
π
φ ( 1.42 )
která se nazývá diskrétní Fourierova řada.( discrete- time Fourier series) Tato řada
vyjadřuje periodickou posloupnost ( )kf jako lineární kombinaci komplexních
exponenciálních signálů
() 1,...2,1,0
2
sin
2
cos
2
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
== Nmk
N
mjk
N
mek
k
N
jm
m
ππ
φ
π
( 1.43 )
a každý tento signál je periodický s periodou a má frekvenci mN / Nm /2πω= . Koeficienty
představují amplitudy (mohou to být i komplexní čísla) jednotlivých komplexních
exponenciálních signálů
m
c
()k
m
φ .
Úlohou analýzy je právě nalézt amplitudy jednotlivých frekvenčních složek. Jelikož máme
najít konečný počet (a to ) těchto koeficientů, nabízí se sestavit rovnic (každá rovnice
platí pro jeden časový okamžik ) pro neznámých koeficientů
m
c
N N
k N
()
()0
2
1
1
0
2
2
2
0
2
1
1
0
2
0
0
...00
N
Nj
N
N
j
N
j
N
j
ececececfk
ππππ
−
−
++++==
( 1.44 )
()
()1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
0
0
...11
N
Nj
N
N
j
N
j
N
j
ececececfk
ππππ
−
−
++++==
()
()0
2
1
1
0
2
2
2
0
2
1
1
0
2
0
0
...00
N
Nj
N
N
j
N
j
N
j
ececececfk
ππππ
−
−
++++==
……………………………………………………………………………………
()
() () () ()()1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
0
0
...11
−−
−
−−−
++++=−−=
N
N
Nj
N
N
N
jN
N
jN
N
j
ececececNfNk
ππππ
.

Řešením této soustavy rovnic lze sice získat hledané koeficienty, ale existuje postup
jednodušší, založený na ortogonalitě diskrétních komplexních exponenciálních posloupností.

Ortogonalita diskrétních komplexních exponenciálních posloupností
Jedná se o podobnou vlastnost, kterou jsme prokázali u spojitých komplexních
exponenciálních funkcí. V tomto spojitém případě byla ortogonalita spojitých komplexních
exponenciálních funkcí vyjádřena vztahem (symbol * označuje komplexně sdruženou
hodnotu)
() ()
()
⎩
⎨
⎧
≠
=
===
∫∫∫
+
−
+
−
+
nm
nmP
dtedteedttt
Pt
t
tnmj
Pt
t
tjntjm
Pt
t
nm
OO
0
0
0
0
0
0
0
0
* ωωω
φφ
( 1.45 )
který říká, že vzájemná energie dvou různých komplexních exponenciálních funkcí ( ) je
nulová. Tento vztah nám umožnil elegantní nalezení koeficientů spojité Fourierovy řady.
nm ≠
26 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Postupujme obdobně i v tomto diskrétním případě. Počítejme analogický výraz pro komplexní
exponenciální posloupnosti
() ()
() ()
∑∑∑∑
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
===
1
0
2
1
0
2
1
0
22
1
0
*
N
k
k
N
nmj
N
k
k
N
nmj
N
k
k
N
jnk
N
jm
N
k
nm
eeeekk
ππππ
φφ ( 1.46 )
kde 1,0, −∈ Nnm a kde jsme poslední výraz upravili na tvar částečného součtu
geometrické řady, pro který platí
r
r
rrrr
N
N
N
k
k
−
−
=+++=
−
−
=
∑
1
1
...1
12
1
0
( 1.47 )
kde
()
N
nmj
er
π2
−
= . Použijeme-li nyní tento výsledek v rovnici ( 1.46 ) bude
() ()
()
()
()
()
1,0,
1
1
1
1
2
2
2
2
1
0
*
−∈
−
−
=
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−
−
−
−
−
=
∑
Nnm
e
e
e
e
kk
N
nmj
nmj
N
nmj
N
N
nmj
N
k
nm π
π
π
π
φφ
( 1.48 )
Bude-li bude nm ≠
()
1
2
≠
−
N
nmj
e
π
a
( )
1
2
=
− πnmj
e a hodnota posledního zlomku bude nulová.
Naopak, bude-li nm = bude
()
1
2
0
2
==
−
N
j
N
nmj
ee
ππ
a
( )
1
022
==
− ππ jnmj
ee a hodnota posledního
zlomku bude neurčitý výraz. Jeho hodnotu určíme l‘Hospitalovým pravidlem jako
N
e
N
j
ej
e
e
N
jx
jx
x
N
jx
jx
x
==
−
−
→→
π
π
π
π
π
π
2
2
0
2
2
0
2
2
lim
1
1
lim
( 1.49 )
Máme tedy konečný výsledek
() () 1,0,
0
1
0
*
−∈
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
∑
−
=
Nnm
nm
nmN
kk
N
k
nm
φφ
( 1.50 )
který vyjadřuje ortogonalitu periodické komplexní exponenciální posloupnosti s periodou .
Tento vztah je analogický vztahu, platnému pro periodické komplexní exponenciální funkce
s periodou .
N
P
Příklad 1.8 Ortogonalita
Prověřte ortogonalitu komplexní exponenciální posloupnosti s periodou . Máme tedy
posloupnost
3=N
() 2,1,0,
3
2
== mkek
kjm
m
π
φ
a pro jednotlivé frekvenční složky bude platit
() [][aaaeeeek
jjjkj
,,1,1,1,,
2
3
2
01
3
2
00
3
2
0
3
2
0
0
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
ππππ
φ ]
() []cbaeeeeeek
jjjjjkj
,,,,1,,
3
4
3
2
2
3
2
11
3
2
10
3
2
1
3
2
1
1
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
ππππππ
φ
() []bcaeeeeeek
jjjjjkj
,,,,1,,
3
8
3
4
2
3
2
21
3
2
20
3
2
2
3
2
2
2
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
ππππππ
φ
kde jsme označili . Tato komplexní čísla jsou ukázána na Obr. 1-25.
Je zřejmé, že platí , , , , , ,
3/43/2
,,1
ππ jj
eceba ===
1
*
=aa 1
*
=bb 1
*
=cc bc =
*
cb =
*
1
**
−=+=+ cbcb cbb = ,
. Máme tedy bcc =
Signály a systémy 27
()() 3111
****
0
2
0
0
=++=++=
∑
=
aaaaaakk
k
φφ
()() 3111
****
1
2
0
1
=++=++=
∑
=
ccbbaakk
k
φφ
()() 3111
****
2
2
0
2
=++=++=
∑
=
bbccaakk
k
φφ
()() 0111
******
1
2
0
0
=−=++=++=
∑
=
cbacabaakk
k
φφ
()() 0111
******
2
2
0
0
=−=++=++=
∑
=
bcabacaakk
k
φφ
()() 01111
****
2
2
0
1
=−=++=++=++=
∑
=
bcccbbcbbcaakk
k
φφ

0 0
Im
Re
m=01
1
12
2
Im
Re
m=02
m=0 Im
Re
0,1,2,
a
a a
b
b
c
c

Obr. 1-25: Ortogonalita N=3
Určení koeficientů diskrétní Fourierovy řady
Vlastnosti ortogonality lze s výhodou využít pro jednoduché určení koeficientů diskrétní
Fourierovy řady. Vyjděme ze vztahu ( 1.38 )
() 1,...2,1,0
1
0
2
−==
∑
−
=
Nkeckf
N
m
k
N
jm
m
π
( 1.51 )
a vynásobme obě strany této rovnice exponenciálou
k
N
jn
e
π2
−
a sečtěme přes všechna
1,0 −∈ Nk . Bude
()
()
∑∑∑∑∑
−
=
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
==
1
0
1
0
1
0
2
1
0
22
1
0
2
N
k
N
m
N
k
k
N
nmj
m
N
m
k
N
jm
m
k
N
jn
N
k
k
N
jn
ececeekf
ππππ
( 1.52 )
kde jsme v posledním výrazu zaměnili pořadí sumace. Na základě ortogonality bude poslední
suma na pravé straně této rovnice nenulová jen pro nm = a zůstane z ní pouze jeden člen.
Tedy
() Ncekf
n
N
k
k
N
jn
∑
−
=
−
=
1
0
2π
( 1.53 )
Vrátíme-li se k původnímu označení indexu koeficientu (označení ) potom pro koeficient
diskrétní Fourierovy řady platí
m
() 1,...2,1,0
1
1
0
2
−==
∑
−
=
−
Nmekf
N
c
N
k
k
N
jm
m
π
( 1.54 )
Máme tedy nyní dvojici vztahů
28 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
() 1,...2,1,0
1
0
2
−==
∑
−
=
Nkeckf
N
m
k
N
jm
m
π
( 1.55 )
() 1,...2,1,0
1
1
0
2
−==
∑
−
=
−
Nmekf
N
c
N
k
k
N
jm
m
π
( 1.56 )
První vztah nazývaný diskrétní Fourierova řada (disrete –time Fourier series) vyjadřuje
periodickou posloupnost jako lineární kombinaci komplexních exponenciálních
posloupností s kmitočty
()kf
() 1,...1,0,/2 −= NmNm π a váhovými koeficienty . Množina
koeficientů 1 se nazývá diskrétní frekvenční spektrum nebo také čárové
frekvenční spektrum (discrete frequency spectrum, line frequency spectrum) signálu
m
c
,...1,0, −= Nmc
m
( )kf .
Podobně jako v případě spojitých periodických signálů jsou koeficienty obecně komplexní
čísla. Jejich amplitudy
m
c
m
c se nazývají diskrétní amplitudové spektrum (discrete amplitude
spectrum) a jejich fáze se nazývají diskrétní fázové spektrum (discrete phase
spectrum).
()
m
carg
Snadno se dá ukázat, že posloupnost koeficientů ,..2,1,0, ±±=mc
m
je také periodická
s periodou . Platí totiž N
()
()
() ()
m
N
k
k
N
jm
kj
N
k
k
N
jm
N
k
k
N
Nmj
Nm
cekf
N
eekf
N
ekf
N
c ====
∑∑∑
−
=
−
−
−
=
−
−
=
+−
+
1
0
2
2
1
0
2
1
0
2
111
π
π
ππ
( 1.57 )
Protože jak posloupnost tak i posloupnost koeficientů jsou periodické posloupnosti,
lze ve vztazích ( 1.55 ) a ( 1.56 ) sčítat libovolným indexem počínaje ale přes celou periodu tj.
platí obecně
()kf
m
c
() 1,...2,1,0
1 2
1
1
−==
∑
−+
=
Nkeckf
Nm
mm
k
N
jm
m
π

( 1.58 )
() 1,...2,1,0
1
1 2
1
1
−==
∑
−+
=
−
Nmekf
N
c
Nk
kk
k
N
jm
m
π

( 1.59 )
Z důvodů přehlednějších výpočtů budeme ale dávat přednost vztahům ( 1.55 ) a ( 1.56 ) před
vztahy ( 1.58 ) a ( 1.59 ).
Příklad 1.9 Diskrétní Fourierova řada
Určete diskrétní Fourierovu řadu a načrtněte amplitudové a fázové spektrum periodické
posloupnosti s periodou jestliže ()kf 4=N
() () () () 032110 ==== ffff .
Tato posloupnost je ukázána Obr. 1-26 vlevo. Čárkovaně je naznačeno periodické opakování
vzorků.
Signály a systémy 29
k
m
m
f(k)
1 0,5
45°
-45°
00
0
0
11
1
22
2
π
33
3
4
4
2π
5
5
6
6
3π
7
7
8
8
4π
-1 -1
-1
-2 -2
-2
-π
.... ....
....
.... ....
....
arg( )

Obr. 1-26: Diskrétní signál a jeho amplitudové a fázové spektrum
Užitím vztahu ( 1.56 ) bude
() ()
°
=
=+++==
∑
0
3
0
4
2
0
0
5,01.01.01.11.1
4
1
4
1
j
k
kj
eekfc
π

()
°−
−−−
=
=
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++==
∑
45
3
2
2
2
1
2
3
0
4
2
1
1
35,0
4
1
.0.0.11.1
4
1
4
1
j
jjj
k
kj
e
j
eeeekfc
ππππ

() 0
4
11
.0.0.11.1
4
1
4
1
3
2
22
2
21
2
2
3
0
4
2
2
2
=
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++==
−−−
=
∑
ππππ
jjj
k
kj
eeeekfc
()
°+
−−−
=
=
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++==
∑
45
3
2
32
2
31
2
3
3
0
4
2
3
3
35,0
4
1
.0.0.11.1
4
1
4
1
j
jjj
k
kj
e
j
eeeekfc
ππππ

Diskrétní Fourierova řada posloupnosti je potom
() () ()
kj
kj
kj
m
kjm
m
ejeejeckf
2
3
2
3
0
4
2
125,0.0125,05,0
π
π
ππ
+++−+==
∑
=
.
Amplitudové a fázové spektrum je ukázáno na Obr. 1-26 vpravo.

Výkon diskrétního periodického signálu
V případě spojitého periodického signálu ( )tf s periodou P jsme vysvětlili, že veličina
() () ()
∫∫
=
PP
dttf
P
dttftf
P
0
2
0
*
11

( 1.60 )
má fyzikální význam výkonu za dobu jedné periody. Stejně tak definujeme výkon diskrétního
signálu s periodou jako ()kf N
() () ()
∑∑
−
=
−
=
=
1
0
2
1
0
*
11
N
k
N
k
kf
N
kfkf
N

( 1.61 )
kde symbol „*“ značí komplexně sdruženou hodnotu. U spojitých periodických signálů jsme
se seznámili s tzv. Parcevalovou rovností (výkon signálu za dobu jedné periody je roven
součtu výkonů jednotlivých frekvenčních složek). Analogická rovnost platí i pro signály
diskrétní. Dosaďme do ( 1.61 ) za posloupnost ( )kf její vyjádření diskrétní Fourierovou
řadou. Bude
() () () () =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
∑∑∑∑∑
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
1
0
1
0
2
*
1
0
*
1
0
2
1
0
*
111
N
m
N
k
k
N
jm
m
N
k
N
m
k
N
jm
m
N
k
ekf
N
ckfec
N
kfkf
N
ππ

30 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
() ()
∑∑∑∑∑
−
=
−
=
−
=
−
−
=
−
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1
0
*
*
1
0
1
0
2
1
0
1
0
2
*
11
N
m
mm
N
m
N
k
k
N
jm
m
N
m
N
k
k
N
jm
m
ccekf
N
cekf
N
c
ππ

kde jsme použili výrazu ( 1.56 ). Dospěli jsme tedy ke vztahu
() ()
∑∑∑
−
=
−
=
−
=
==
1
0
2
1
0
*
1
0
*
1
N
m
m
N
m
mm
N
k
ccckfkf
N

( 1.62 )
který vyjadřuje rovnost výkonu v časové a spektrální rovině.
1.3.3 Některé vlastnosti diskrétní Fourierovy řady
Vlastnosti které zde uvedeme jsou velmi podobné vlastnostem Fourierovy řady pro spojité
periodické signály. V dalším budeme diskrétní signály značit malým písmenem např. ( )ks a
jeho spektrum (tedy koeficienty ) odpovídajícím velkým písmenem tj. .Skutečnost, že
danému signálu (tzv. vzor) odpovídá spektrum
m
c ()mS
()ks ( )mS (tzv. obraz) budeme zapisovat jako
() ()mSks =ˆ ( 1.63 )
Linearita. Nechť jsou dány dva periodické diskrétní signály ( )()()( )mSksmSks
2211
ˆ,ˆ == se
stejnou periodou a dále nechť jsou dána dvě čísla (obecně komplexní) N
21
,αα . Vytvořme
nový signál () ()ksks
2211
αα + . Pro jeho spektrum pak bude platit
() () () ( )mSmSksks
22112211
ˆ αααα +=+ ( 1.64 )
Tento vztah snadno dokážeme z definičního vztahu pro diskrétní Fourierovu řadu.
Posun diskrétního signálu. Nechť je dán diskrétní periodický signál . Posuňme
tento signál o
() ()mSks =ˆ
r vzorků doprava tj. vytvořme signál ( )rks − a najděme spektrum posunutého
signálu. Bude
() ()
()
() ()mSeenseenserks
r
N
jm
rN
rn
n
N
jm
rN
rn
r
N
jmrn
N
jm
N
k
k
N
jm
πππππ 2
1
2
1
22
1
0
2
−
−−
−=
−
−−
−=
−+−
−
=
−
===−
∑∑∑

kde jsme provedli substituci nrk =− a využili vztahu ( 1.59 ). Stejným postupem lze určit
spektrum signálu posunutého do leva tj. signálu ( )rks + . Obdrželi jsme tedy výsledek
() ()mSerks
r
N
jm
π2
ˆ
±
=±
( 1.65 )
Posun spektra signálu. Je dán signál ( ) ( )mSks =ˆ . Posuňme spektrum signálu o r
koeficientů doprava tj. vytvořme nové spektrum ( )rmS − a najděme diskrétní signál, který
odpovídá tomuto posunutému spektru. Bude
() ()
()
() ()kseenS
N
eenS
N
ermS
N
k
N
jr
rN
rn
k
N
jn
rN
rn
k
N
jrk
N
rnj
N
m
k
N
jm
πππππ 2
1
2
1
22
1
0
2
111
+
−−
−=
+
−−
−=
+++
−
=
+
===−
∑∑∑

kde jsme provedli substituci nrm =− a využili vztahu ( 1.58 ). Stejným postupem lze určit
signál jehož spektrum je posunuto do leva tj. ( )rmS + . Obdrželi jsme tedy výsledek
() ()ksermS
r
N
jm
π2
ˆ
∓
=±
( 1.66 )
Spektrum reálného signálu. Nabývá-li posloupnost ( )ks jen reálných hodnot, potom
a pro její komplexně sdružené spektrum platí () ()ksks
*
=
() () () ()
()
()mSeksekseksmS
N
k
k
N
mj
N
k
k
N
jm
N
k
k
N
jm
−===
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
∑∑∑
−
=
−−
−
=
+
−
=
−
1
0
2
1
0
2
*
*
1
0
2
*
πππ

a tedy
() ()mSmS −= ( ){ } ( ){ }mSmS −−= argarg
( 1.67 )
Signály a systémy 31
což značí, že amplitudové spektrum je sudé a fázové spektrum je liché.
1.3.4 Shrnutí kapitoly
1. Diskrétní signál se nazývá periodický, jestliže existuje kladné přirozené číslo
takové, že platí
()kf N
() ( )Nkfkf += pro všechna celá čísla ( )+∞∞−∈ ,k . Nejmenší taková
hodnota se nazývá základní perioda. N
2. Komplexní exponenciální posloupnost (+∞∞−∈ ,,
2
ke
k
N
j
π
) je periodická se základní
periodou . Posloupnost takových exponenciál N
() ,...2,1,0
2
sin
2
cos
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
== mk
N
mjk
N
mek
k
N
jm
m
ππ
φ
π

kde je pořadové číslo vzorku a je pořadové číslo posloupnosti, je periodická jak
vzhledem k proměnné tak i vzhled k proměnné
k m
k m

()(kNk
mm
)φφ =+ ( ) ( )kk
mNm
φφ =
+
.
3. Posloupnost () 1,...1,0,, −= Nkmk
m
φ je ortogonální tj. platí
() () 1,0,
0
1
0
*
−∈
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
∑
−
=
Nnm
nm
nmN
kk
N
k
nm
φφ .
4. Každý diskrétní periodický signál ( )kf s periodou lze vyjádřit ve tvaru diskrétní
Fourierovy řady. Pro tuto řadu a pro koeficienty této řady platí
N
() 1,...2,1,0
1
0
2
−==
∑
−
=
Nkeckf
N
m
k
N
jm
m
π

() 1,...2,1,0
1
1
0
2
−==
∑
−
=
−
Nmekf
N
c
N
k
k
N
jm
m
π
.
Množina koeficientů 1 se nazývá diskrétní frekvenční spektrum nebo také
čárové frekvenční spektrum (discrete frequency spectrum, line frequency spectrum) signálu
. Koeficienty jsou obecně komplexní čísla. Jejich amplitudy
,...1,0, −= Nmc
m
()kf
m
c
m
c se nazývají
diskrétní amplitudové spektrum (discrete amplitude spectrum) a jejich fáze se
nazývají diskrétní fázové spektrum (discrete phase spectrum). Posloupnost koeficientů
je také periodická s periodou tj.
()
m
carg
,..2,1,0, ±±=mc
m
N
mNm
cc =
+
.
5. Výkon signálu v časové rovině je roven součtu výkonů jednotlivých frekvenčních složek
()
∑∑
−
=
−
=
=
1
0
2
1
0
21
N
m
m
N
k
ckf
N
.
1.3.5 Cvičení ke kapitole
1. Uvažte množinu komplexních exponenciálních posloupností ()
kjm
m
ek
8
2π
φ = . Kolik různých
exponenciál obsahuje tato množina?. Načrtněte jejich průběhy.
2. Určete diskrétní Fourierovu řadu následujících periodických posloupností s periodou
a načrtněte jejich amplitudové a fázové spektrum. 4=N
a) () () () () 03,02,11,10 ==== ffff
b) () () () () 03,12,01,10 ==== ffff
c) () () () () 13,02,01,10 ==== ffff
32 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
d) () () () () 13,12,01,00 ==== ffff
3. Vyjádřete následující periodické posloupnosti jejich diskrétní Fourierovou řadou a
načrtněte jejich amplitudové a fázové spektrum.
a) ()kπ1,0sin
b) ()kπ5,0sin
c) () (kk )ππ 2cos5sin +
d) ()()3/2cos3/2sin kk ππ

1.3.6 Úlohy v MATLABu ke kapitole
1.4 Analýza aperiodických signálů
1.4.1 Motivace
Stejně jako signály se spojitým časem (spojité signály) tak i signály s diskrétním časem
(diskrétní signály) jsou ve skutečnosti neperiodické (aperiodické). Periodicita
v matematickém smyslu je abstrakce- byť velmi užitečná. Viděli jsme, že spektrální představa
spojitých aperiodických signálů (tj. Fourierova transformace) je velmi užitečným nástrojem
analýzy těchto signálů. Proto bude naší snahou zachovat tento matematický aparát i pro
diskrétní signály. V následující kapitole se pokusíme o totéž jako v kapitole o spojitých
periodických signálech tj. vyjdeme z diskrétní Fourierovy řady a prodlužováním periody nade
všechny meze zavedeme tzv. Fourierovu transformaci diskrétních signálů (discrete- time
Fourier transform DTFT) Shledáme, že takto získané spektrum posloupnosti není
posloupnost jednotlivých spektrálních složek, ale je to funkce kmitočtu (kmitočet se mění
spojitě). Je žádoucí provádět výpočty spektra signálu (analýzu signálu) na počítači, ale
v počítači nelze pracovat se spojitě se měnící veličinou, ale