Spojité a diskrétní systémy-souhrn

Spojité a diskrétní systémy
polopaticky
Motivace
Signály a systémy i Řízení a regulace jsou docela zajímavé předměty, ale podle aktuálních skript se při kombinovaném studiu spousta věcí nedá úplně pochopit, částečně díky vynechávání drobností v postupu, částečně díky příliš jednoduchým vzorovým příkladům (a ze kterých tedy neplyne, jak to dělat ve složitějším případě) a částečně díky velmi omezeným možnostem, jak si ověřit, že jsem něco pochopil dobře (na to by byla dobrá sbírka příkladů, která ale momentálně taky neexistuje).
Předmět Řízení a regulace navazuje na Signály a systémy, proto mezery ve znalostech předchozího předmětu působí dost velké problémy, proto tento výplod shrnuje všechny potřebné základy spojitých a diskrétních systémů, které jsou třeba pro úspěšné zvládnutí navazujícího předmětu Řízení a regulace.Spojité systémy
Obecná diferenciální rovnice systému
Počáteční podmínky jsou
Obecný operátorový přenos
n.3 ;
Derivace jsou zde nahrazeny symbolem p
- žádná derivace je jakoby nultá derivace, která se nahrazuje členem
Příklad převodu diferenciální rovnice na operátorový přenos:

Zápis přenosu v matlabu
a) zápis pomocí funkce tf
>>Fp = tf([1],[1 0.1])
b) zápis pomocí vytvoření pomocné proměnné p
>>p = tf('p') (pro nápovědu napsat „help tf“)
>>Fp = 1 / (p +0.1)
b) zápis pomocí funkce zpk (zero/poles/k)
>>Fp = zpk([ ],[-0.1],[10]) (pro nápovědu napsat „help zpk“ atd.)
Vykreslení základních grafů v Matlabu
předpokládám, že existuje proměnná Fp s přenosem
step(Fp) – vykreslí přechodovou charakteristiku
hold on - nesmaže předchozí graf ani nezmění měřítko před vykreslením dalšího grafu.
impulse(Fp) – vykreslí impulzní charakteristiku. Sem tam se stane, že Matlab zvolí špatně měřítko (např. zvolí jako maximum X=2000). To můžeme změnit připsáním svého maxima, které nás zajímá, např. impulse(Fp,120). To stejné platí i pro step
bode(Fp) – vykreslí frekvenční charakteristiku v logaritmických souřadnicích
V regulaci se používá trochu jiný tvar zápisu přenosu
- výhodou tohoto tvaru je, že na první pohled vidím časovou konstantu T=10 a zesílení K=10
>>pzmap(Fp) - vykreslí póly a nuly (pole-zero map)
Příklady zápisu spojitých přenosů a převod na diferenciální rovnici
- integrační článek se zesílením 5
zesílení 5 se projevuje v tomto případě v obou grafech stejně
- tři integrační články za sebou
(třetí derivace výstupu rovná se vstupu)
odezva na jednotkový skok je pomalejší, odezva na jednotkový impulz je totálně jiná, protože na vstupu dalších článků už jednotkový impuls není
quation.3 - setrvačný článek

- TAKHLE NE, navíc se z tohoto tvaru nedá jednoduše napsat
diferenciální rovnice, navíc se do přenosu propašoval zesílení K=10 !!!!
(viz graf)
Proto daleko vhodnější forma zápisu je, aby napravo vždy byla jednička:
V tomto tvaru není v přenosu žádné skryté zesílení, všechno je vidět na první pohled
- setrvačný článek s časovou konstantou 10 sec a zesílením 12

- setrvačný článek s dvojnásobnou časovou konstantou
10 sec a zesílením 12
on.3 - setrvačný článek s časovou konstantou 40 sec a zesílením 12
V odezvě je jednotkový skok je vidět zesílení 12, v odezvě na jednotkový skok je vidět poměr 12/40=0.3
-derivační článek zapsaný v nevhodném tvaru:
není vidět zesílení
není vidět časová konstanta
Správný tvar:
Jenže ani v tomto správném tvaru neumí Matlab charakteristiku vykreslit- provést derivaci by v ideálním (nereálném) případě totiž znamenalo vzít budoucí hodnotu, odečíst od aktuální, vydělit časem a tím určit směrnici. Proto Matlab umí vykreslit derivační článek jen v kombinaci s minimálně jedním integračním článkem.
- přenos se setrvačnými články (pouze pro srovnání s následujícími grafy)
- přenos se setrvačnými články a jedním derivačním
článkem- v graf s derivační složkou je vyznačen modře, původní bez derivační složky zeleně- obecně řečeno tedy derivační složka urychluje děj
Příklad špatného zápisu derivační složky:
- TAKHLE NE
Kvůli nevhodnému zápisu derivační složky se do přenosu propašovalo zeslabení K=0.1 !!!!Diskrétní signály
Základní diskrétní signály:
Dirackův jednotkový impuls:
Jednotkový skok:
- musím použít vzorec na součet nekonečné řady
Jednotkový skok- výsledný zjednodušený vzorec:
Je možná i úprava na tento další tvar

Exponenciální funkce – na zjednodušení opět musít použít vzorec na součet nekonečné řady:
Diskrétní signál může být popsán:
a) přímo funkcí signálu
-hodnoty y(0), y(1), y(2), y(3) se spočítají prostým dosazením k
b) Laplaceovým obrazem funkce signálu
-hodnoty y(0), y(1), y(2), y(3) se spočítají dělením polynomu polynomem

=ion.3


Diskrétní systémy
Obecná diferenční rovnice systému
Obecný operátorový přenos:
; Equation.3

Derivace jsou zde nahrazeny symbolem z
- představuje aktuální hodnotu výstupu
- představuje minulou hodnotu výstupu
- představuje předminulou hodnotu výstupu
Někdy se v literatuře používá i opačný způsob zápisu
- představuje aktuální hodnotu výstupu
- představuje minulou hodnotu výstupu
- představuje předminulou hodnotu výstupu
Příklad převodu diferenční rovnice na operátorový přenos:
Další příklad převodu diferenční rovnice na operátorový přenos (jednoduchý sumátor):
Zápis přenosu v Matlabu:
a) zápis pomocí funkce tf
>>Dz = tf([1 0],[1 -1],0.1) (poslední parametr je sampling time, např. 0.1 sec)
b) zápis pomocí vytvoření pomocné proměnné z
>>z = tf('z',0.1)
>>Dz = z / (z - 1)
c) zápis pomocí funkce zpk (zero/poles/k)
>>Dz = zpk([0],[1],1,0.1)
Základní stavební prvky diskrétních přenosů
V čitateli platí: Ve jmenovateli platí:

1. - zesilovací článek
on.3
2. - sumátor
3. - derivační článek – reaguje na náběžnou a sestupnou hranu
4. - zpožďovací článek- zpožďuje signál o N period
Tyto základní diskrétní přenosy mají trochu jiné vlastnosti než spojité protějšky, proto se v případě potřeby místo nich můžou používat diskretizované spojité přenosy (viz pár stránek dále)Vykreslení základních grafů diskrétních přenosů v Matlabu
předpokládám, že existuje proměnná Fz s přenosem
step(Dz) – vykreslí přechodovou charakteristiku
step(Fz,1.2)- vykreslí přechodovou charakteristiku pouze do času t=1.2 sec
impulse(Fz) – vykreslí impulzní charakteristiku
hold on / hold off – nesmaže předchozí graf ani nezmění měřítko
pzmap(Fz) - vykreslí póly a nuly
Příklady zápisů diskrétních systémů a přepočty mezi různými formami:
1. -podle tabulky Z transformací určíme přenos

-hodnoty na běžné kalkulačce spočítat nejde, protože musíme znát dva minulé výsledky
2. je dána přechodová charakteristika
-hodnoty lze spočítat na běžné kalkulačce, místo y(k-1) musíme použít funkci Ans
Výpočet hodnot funkce na kalkulačce Casio 570ES
Co zmáčknout
Výsledek na displeji
0 =
0
0.7788Ans + 2.212=
2.212
=
3.934
=
5.27
=
6.32
=
7.13
3. Je dána přechodová charakteristika
quation.3
Výraz 230u(k)-230u(k-1) dodá počáteční impuls:
+230 na náběžné hraně
-230 na sestupné hraně
Výraz y(k)=0.8825y(k-1) pak už tento počáteční impuls pouze zeslabuje
Výpočet hodnot funkce na kalkulačce Casio 570ES
Co zmáčknout
Výsledek na displeji
230 =
230
0.8825Ans =
202.975
=
179.125
=
158.078
=
139.504
=
123.112
4. je dána impulzní charakteristika
k
g(k)
0
2
1
0.9
2
0.41
3
0.189
4
0.0881
D Equation.3
4. je dána přechodová charakteristika
k
y(k)
0
1
1
0.8
2
0.64