Spojité a diskrétní systémy-souhrn

teristiku vykreslit- provést derivaci by v ideálním (nereálném) případě totiž znamenalo vzít budoucí hodnotu, odečíst od aktuální, vydělit časem a tím určit směrnici. Proto Matlab umí vykreslit derivační článek jen v kombinaci s minimálně jedním setrvačným článkem.
Realizovatelný tvar v kombinaci se setrvačným článkem
Diskretizace:
Dosazení:
- přenos s jedním derivačním a jedním setrvačným článkem
V grafu je modře přenos včetně derivačního článku, zeleně je přenos bez derivačního článku (v čitateli je jednička)
Takže i tento diskretizovaný derivační článek urychluje děj úplně stejným způsobem jako u spojitého systému- na rozdíl od diskrétního derivačního článku o pár stránek vepředu tento diskretizovaný článek se chová přesně jako spojitý originál.Přechodová a impulzní charakteristika
Přechodová charakteristika = reakce na jednotkový skok
Vykreslení přechodové charakteristiky pro přenos v Matlabu:
>>Fp=tf([1],[1 0.1])
>>step(Fp)
Obecně platí pro libovolnou přechodovou charakteristiku pro přenos ve tvaru takováto pravidla, která jsou užitečná pro ruční vykreslení charakteristiky:
Amplituda odpovídá K
Přechodová charakteristika se ustálí přibližně po čase odpovídajícím pětinásobku časové konstanty
Impulsní charakteristika = reakce systému na jednotkový impuls
Vykreslení impulsní charakteristiky pro přenos v Matlabu:
>>impulse(Fp)
Obecně platí pro libovolnou impulzní charakteristiku pro přenos ve tvaru takováto pravidla, která jsou užitečná pro ruční vykreslení charakteristiky:
Amplituda odpovídá zlomku K/T
Přechodová charakteristika se ustálí přibližně po čase odpovídajícím pětinásobku časové konstanty
Charakteristiky mívají většinou tvar alespoň přibližně podobný obrázkům na této stránce (ale ne úplně vždycky), skutečný tvar se zjistí analyticky pomocí Laplaceovy transformace.
Slovník Laplaceovy a Z transformace – nejčastěji používané výrazy
F(t)
F(p)
f(kT)
F(z)
1
1
Laplaceova transformace
Z transformace
Slovník Laplaceovy a Z transformace – další méně často používané výrazy (tyto obvykle není třeba u zkoušky znát)
t (rampová funkce)
kT
Přechodová charakteristika – analytický výpočet funkce h(t)
Spojité systémy
Diskrétní systémy
Impulzní charakteristika – analytický výpočet funkce g(t)
Spojité systémy
Diskrétní systémy
-výpočet impulzní charakteristiky bývá často jednodušší než u přechodové, protože často není vůbec třeba používat parciální zlomky
g(t)
x
F(x)
1
0
1
2
5
0,6065
3
10
0,3678
4
15
0,2231
5
20
0,1353
6
25
0,082
7
30
0,0497
8
35
0,0301
9
40
0,0183
10
45
0,0111
11
50
0,0067
Výpočet přechodové charakteristiky pro přenos
Výraz musím rozdělit na součet parciálních zlomků (součin je na nic) a poté na každou část použiju slovník Laplaceovy transformace
Z toho plyne výsledný parciální tvar:
h(t)
x
F(x)
1
0
0
2
5
3,9346
3
10
6,3212
4
15
7,7686
5
20
8,6466
6
25
9,1791
7
30
9,5021
8
35
9,698
9
40
9,8168
10
45
9,8889
11
50
9,9326
Frekvenční charakteristika = reakce systému na signály s různým kmitočtem (závislost zesílení a fázového posunu na frekvenci)

Výpočet frekvenční charakteristiky pro přenos :
-tvar přenosu není vhodný pro ruční vykreslování, je třeba úprava (za plusem musí být jednička)
Konstanty:
charaktistika začíná na úrovni 20dB
charakteristika se láme na frekvenci 0.1rad/s
Vykreslení frekvenční charakteristiky v Matlabu:
bode(Fp)- vrchní část = amplituda, spodní část = fázový posun
Výpočet frekveční charakteristiky ručně:
Jak si jednoduše spočítat hodnoty do grafu na kalkulačce Casio FX119/570/911ES
(hodí se k nacvičení nakreslení grafu)
Výpočet hodnot funkce na kalkulačce Casio 570ES
Co zmáčknout
Výsledek na displeji
MODE
Menu
7:Table
F(x)=
0
F(x)=0
-
F(x)=0-
Shift
F(x)=0-
tan
F(x)=0-tan-1
(
F(x)=0-tan-1(
10
F(x)=0-tan-1(10
(
F(x)=0-tan-1(10(
10
F(x)=0-tan-1(10(10
yx
F(x)=0-tan-1(10(10
Alpha
F(x)=0-tan-1(10(10
)
F(x)=0-tan-1(10(10X
Šipka vpravo
)
F(x)=0-tan-1(10(10X)
)
F(x)=0-tan-1(10(10X))
=
Start?
-3=
End?
1=
Step?
0.25=
X
F(X)
1
-3
-0.572
2
-2.75
-1.018
3
-2.5
-1.811
4
-2.25
-3.218
5
-2
-5.71
6
-1.75
-10.08
7
-1.5
-17.54
8
-1.25
-29.35
9
-1
-45
10
-0.75
-60.64
11
-0.5
-72.45
12
-0.25
-79.91
13
0
-84.28
14
0.25
-86.78
15
0.5
-88.18
16
0.75
-88.98
17
1
-89.42
18
Úplně stejně si můžu namačkat funkci F(x)=
Kalkulačka Casio ukáže toto:
X
F(X)
1
-3
19.999
2
-2.75
19.998
3
-2.5
19.995
4
-2.25
19.986
5
-2
19.956
6
-1.75
19.864
7
-1.5
19.586
8
-1.25
18.806
9
-1
16.989
10
-0.75
13.806
11
-0.5
9.586
12
-0.25
4.8647
13
0
-0.043
14
0.25
-5.013
15
0.5
-10
16
0.75
-15
17
1
-20
18
Bode diagram z Matlabu pro srovnání:
Výpočet frekvenční charakteristiky v komplexní rovině vychází v podstatě ze stejných rovnic, podle kterých se počítala frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích:
Stačí určit hodnoty limity k nule a limity k nekonečnu a podle toho načrtnout graf

Výpočet frekvenční charakteristiky pro přenos :
Pokud je ve jmenovateli samostatné p, dá se to chápat i takto:
Z toho vyplývá, že charakteristika se láme o -20dB při hodnotě (tzn. v grafu ten zlom vidět není, prostě graf rovnou začíná na sklonu -20dB), dále se láme o dalších -20dB při hodnotě a nakonec o +20dB při hodnotě
Výpočet amplitudy na kalkulačce Casio FX119/570/991ES:
1., Start: -3, End: 2, Step: 0.25
2. , Start: -3, End: 2, Step: 0.25
Výsledek na displeji pro vzorec 1
X
F(X)
1
-3
59.999
2
-2.75
54.998
3
-2.5
49.995
4
-2.25
44.986
5
-2
39.957
6
-1.75
34.866
7
-1.5
29.59
8
-1.25
23.82
9
-1
17.032
10
-0.75
8.942
11
-0.5
0
12
-0.25
-8.942
13
0
-17.03
14
0.25
-23.82
15
0.5
-29.59
16
0.75
-34.86
17
1
-39.95
18
1.25
-44.98
19
1.5
-49.99
20
1.75
-54.99
21
2
-59.99
Výsledek na displeji pro vzorec 2
X
F(X)
1
-3
-90.51
2
-2.75
-90.91
3
-2.5
-91.63
4
-2.25
-92.89
5
-2
-95.13
6
-1.75
-99.06
7
-1.5
-105.7
8
-1.25
-116.1
9
-1
-129.2
10
-0.75
-140.5
11
-0.5
-144.9
12
-0.25
-140.5
13
0
-129.2
14
0.25
-116.1
15
0.5
-105.7
16
0.75
-99.06
17
1
-95.13
18
1.25
-92.89
19
1.5
-91.63
20
1.75
-90.91
21
2
-90.51
Při srovnání číselných hodnot a grafu je vidět, že hodnoty v tabulce odpovídají grafu
Při frekvenci se charakteristika láme a v tomto místě je útlum přesně -3dB, ale proč zrovna -3dB? Zjístíme dosazením
Z toho je vidět, že při úhlové rychlostise imaginární část ve jmenovateli rovná reálné ()
útlum skoro přesně -3dB
Co vlastně dB je? dB je v tomto případě odborné vyjádření poměru napětí na vstupu a výstupu.
-toto schéma má útlum přesně 0 dB, tzn. je to obyčejná drátová propojka.
- toto schéma představuje obyčejný odporový dělič, útlum vstupního napětí na polovinu původní hodnoty znamená útlum -6dB ()
Zisk 6dB (dvojnásobné zesílení) se už vytvořit pomocí rezistorů nedá, dá se realizovat jedině pomocí aktivního zesilovače s tranzistory
Pár pravidel pro ruční vykreslování frekvenční charakteristiky:
Pokud je ve jmenovateli přenosu samostatné p bez časové konstanty, např.
má charakteristika už od začátku sklon -20dB (pokud by tam bylo p2, tak -40dB), výška umístění křivky se stanovuje v bodě 100=1 (20log(15)=23.52, viz graf)
Pokud je ve jmenovateli přenosu samostatné p bez časové konstanty není, např.
tak křivka začíná rovně také ve výšce 20log(K)
póly lámou charakteristiku vždy o 20dB dolů
nuly lámou charakteristiku vždy o 20db nahoru
vynásobením přenosu určitou konstantou (např. 4x) se charakteristika posouvá o několik decibelů nahoru nebo dolů:
Převod násobících konstant na decibely
x 10
+20dB
x 5
+14dB
x 4
+12dB
x 3
+9.5dB
x 2
+6.0dB
x 1.404
+3.0dB
x 1
0 dB
x 0.707
-3.0dB
x 0.5
-6.0dB
x 0.333
-9.5dB
x 0.25
-12dB
x 0.2
-14dB
x 0.1
-20dB