Spojité a diskrétní systémy-souhrn

3
0.512
4
0.4096
5
0.3276
6
0.2621
Výpočet hodnot funkce na kalkulačce Casio 570ES
Co zmáčknout
Výsledek na displeji
1 =
1
0.8Ans =
0.8
=
0.64
=
0.512
=
0.4096
=
0.32768
=
0.262144
Diskrétní systémy s pevně daným počtem kroků přechodového děje
Na přechodové charakteristice na předchozí stránce je vidět, že výstup ustaluje na hodnotě nula relativně pomalu s velkým počtem drobných krůčků. U některých technologických procesů toto nemusí být žádoucí a je třeba přechodový děj urychlit.
Slabým místem přenosu na předchozí stránce jsou tyto členy:
tzn. každá další hodnota je 0.8 násobek předchozí hodnoty a proto ke konci přechodového děje vznikají ony velmi malé krůčky. Řešením je na pravé straně člen y(k-1) úplně zrušit a udělat výstup závislým pouze na vstupu.
Například budeme chtít čtyři lineární kroky vždy po 0.2 násobku požadované nové hodnoty
Zápis v Matlabu:
>>Fz = tf([0.2 0.2 0.2 0.2 0.2],[1 0 0 0 0],1)
>>step(Fz,6)
Jako další příklad budeme chtít čtyři exponencíální kroky:
Krok
Hodnoty exponenciály
Konstanty v přenosu
1
0.6321
0.6321
2
0.8646
0.8646-0.6321=0.2325
3
0.9502
0.9502-0.8646=0.0856
4
0.9816
0.9816-0.9502=0.0314
5
1
1 -0.9816=0.0184
Zápis v Matlabu:
>>Fz = tf([0.6321 0.2325 0.0856 0.0314 0.0184],[1 0 0 0 0],1)
>>step(Fz,6)
Význam pólů v diskrétních systémech
V diskrétních systémech jsou póly většinou kladné, ale není to povinné (na rozdíl od spojitých systémů, kde všechny póly musí být záporné).
Poloha pólů v diskrétních systémech a její význam
Pokud je pól jen jeden a je záporný, způsobuje to kmitání
Kladný pól menší než jedna zaručuje, že systém nebude kmitat a bude stabilní
-1 Fp = 1 / (p + 3)
>> Fz = c2d(Fp,0.5,'imp')
Transfer function:
z
----------
z - 0.2231


Výsledný vzorec:
 EMBED Equation.3


Závislost mezi pk a zk pro T=1 Závislost mezi pk a zk pro T=0.1



Závislost mezi pk a zk pro T=1 Závislost mezi pk a zk pro T=0.1



Diskrétní Integrátor = sumátor - princip funkce sumátoru:
 EMBED Equation.3 - nová hodnota výstupu = stará hodnota výstupu + vstup
 EMBED Equation.3
Většinou je lepší se záporné mocniny z zbavit:
Při pomalém vzorkování (např. dvakrát za sekundu) dochází při diskretizaci integrátoru k takovéto nepřesnosti:
Výstup je proti ideální žádané hodnotě integrátoru trochu napřed
Výstup je proti ideální žádané hodnotě integrátoru trochu pozadu. Smazáním z z čitatele došlo k tomu, že se uvažuje ne aktuální hodnota vstupu, ale předešlá hodnota vstupu
Při diskretizaci musíme do přenosu zahrnout i periodu vzorkování. Např. chceme, aby integrátor při vstupu rovném hodnotě 1 po dobu 1 sec naintegroval hodnotu 5, stejně jako tento spojitý regulátor, pak se musí do přenosu zahrnout zeslabení
Diskretizace integrátoru (v grafu zeleně) s různou periodou vzorkování
T=0.5
T=0.1
T=0.01
Hloupá chyba, která jde udělat při diskretizaci integrátoru- TAKHLE NEDĚLAT!
- ŠPATNÉ ZNAMÉNKO ve jmenovateli, důsledkem je, že takový sumátor samozřejmě nefunguje, protože vznikla takováto diferenční rovnice:
To znamená, že při každém kroku bere předešlou hodnotu výstupu, neguje znaménko a přičítá novou hodnotu vstupu, takže výstup neustále osciluje
Diskretizace spojitých systémů
Spojité systémy a diskrétní systémy jsou založeny na výrazně jiných principech- diferenciální rovnice vs. diferenční rovnice. Oba mají velmi různé vlastnosti, proto převod ze spojitého na diskrétní je spíš aproximace než převod. Při každém převodu vzniká přinejmenším malá chyba (přinejmenším časový posun vzniklý vzorkováním) a stejně tak může vzniknout i změna vlastností přenosu.
Názorný příklad - diskretizace přenosu
Budeme vycházet z toho, že Laplaceovou transformací by měl vzniknout výraz y(t)=f(t) a Z transformací by měl vzniknout ekvivalentní diskrétní přenos:
Teď jsme došli až k Z transformaci- ta vždy vyžaduje zvolit rychlost vzorkování T- v praxi to může být např. 1 ms, v tuto chvíli si zvolíme T=0.05, tj. 20 vzorkování za sekundu.
Zápis v matlabu:
>> Fp = tf([1],[1 1])
>> Fz = tf([1 0],[1 -0.95123],0.05)
>> impulse(Fp)
>> hold on
>> impulse(Fz)
U tohoto nového grafu vidím, že impulzní charakteristiky u obou přenosů krásně sedí. Takže teď zbývá zkontrolovat ještě přenosové charakteristiky, takže v Matlabu napíšu
>> hold off
>> step(Fp)
>> hold on
>> step(Fz)
Přechodová charakteristika je totálně jiná než u původního spojitého systému i když výpočet byl správný a impulzní charakteristika sedí– proč?
Tím jednoduchým vzorcem, který jsme použili, jsme defakto vypočítali impulzní charakteristiku a tu jsme pak Z transformací převedli na diskrétní přenos. Takže výsledný přenos je pouze aproximací impulzní charakteristiky nikoli však přechodové.
Takže při diskretizaci spojitého přenosu máme dvě možnosti:
Správně aproximovat přechodovou charakteristiku, zatímco impulzní může a nemusí být totálně jiná (jak kdy, někdy je správná)
Správně aproximovat impulzní charakteristiku, zatímco přechodová může být totálně jiná (jak kdy, většinou je špatná, hlavně bývá špatné zesílení K)
Proto i Matlab nabízí možnost volby, co je pro nás důležitější (pokud poslední parametr chybí, tak defaultně předpokládá, že je pro nás důležitější přechodová charakteristika, což většinou opravdu je)
>> Fz2 = c2d(Fp,0.05,'imp')

Transfer function:
z + 1.532e-016
--------------
z - 0.9512

Sampling time: 0.05
>> Fz3 = c2d(Fp,0.05,'zoh')

Transfer function:
0.04877
----------
z - 0.9512

Sampling time: 0.05
>>
Závěr- ať snažíme sebevíc, převodem spojitého přenosu na diskrétní se některé z dynamických vlastností přenosu změní, ať chceme nebo ne. Proto se tento převod dá nazvat pouze přibližnou aproximací. V dalším textu budou všechny diskretizace udělány tak, aby seděla především přechodová charakteristika.Příklady diskretizace spojitých přenosů (uvažujeme T=0.05 sec)
(v grafu je vždy modře diskretizovaný systém a zeleně původní spojitý systém)
1. - integrační článek se zesílením 5x

diskretizovaný přenos má stejnou přechodovou charakteristiku, ale impulzová se výrazně liší
2. - TAKHLE NE, v diskrétních systémech toto nedává smysl, sumátor se v tomto případě chová totálně jinak než původní integrátor
3. setrvačný článek
- výsledný zjednodušený vzorec
Dosazení:

4. - setrvačný článek s časovou konstantou 10 sec a zesílením 12
-výsledný zjednodušený vzorec
Dosazení:
Přechodová charakteristika spočteného přenosu - systém je pomalý a krok T pouze 0.05, proto je charakteristika na pohled plynulá stejně jako u původního spojitého přenosu
Impulzní charakteristika spočteného přenosu je výrazně jiná
5. - setrvačný článek s dvojnásobnou časovou konstantou 10 sec a zesílením 12
Přechodová charakteristika
Přechodová charakteristika, detail (step(Dz),3)
Cvičný přepočet přenosu zpět na diferenční rovnici:
Tento výsledný vzorec by se už dal jednoduše naprogramovat i v jazyce C:
//float y[3];
//float u[5];
u[4] = u[3]; //posune stare hodnoty vstupu o jednu pozici
u[3] = u[2];
u[2] = u[1];
u[1] = u[0];
//a nacte novou hodnotu vstupu
u[0] = ReadInput();
y[3] = y[2]; //posune stare hodnoty vystupu o jednu pozici
y[2] = y[1];
y[1] = y[0];
//a spocita novou hodnotu vystupu
y[0] = 7.4254e-9*u[4]+3.98*y[1]-5.94*y[2]+3.94*y[3]-0.9802*y[4];
6.- setrvačný článek s časovou konstantou 40 sec a zesílením 12
Jako obvykle přechodová charakteristika sedí, zatímco impulzová je výrazně jiná (původní spojitá je vyznačena zeleně)
7. - diskretizace derivačního článku- tento tvar je nesprávný
Správný tvar:
Jenže ani v tomto správném tvaru neumí Matlab charak