Skripta Matematika 1 Počítačová cvičení Maple

´ych kladn´ych hodnot, zleva velk´ych z´aporn´ych hodnot,
• osa x je asymptotou grafu funkce.
Graf vykresl´ıme pomoc´ı funkce plot(funkce,x=od..do).
> plot(y,x=-infinity..infinity);
Z´ıskan´y v´ysledek vˇsak nen´ı zcela optim´aln´ı: jednak neposkytuje pˇredstavu o mˇeˇr´ıtku a proporc´ıch, jednak
jsou v obr´azku zakresleny svisl´e ˇc´ary, kter´e podle naˇsich zjiˇstˇen´ı nemaj´ı ˇz´adn´e opodstatnˇen´ı. Proto je
potˇreba pˇr´ıkaz plot doplnit o dalˇs´ı parametry: scaling=constrained zajist´ı stejn´e mˇeˇr´ıtko na obou
os´ach a discont=true odstran´ı omezen´ı programu ohlednˇe bod˚u nespojitosti, kdy se spojuj´ı hodnoty +
∞ a −∞. Omez´ıme tak´e oblast, kterou budeme cht´ıt vykreslit, a pˇrid´ame specifikaci rozsahu y-ov´e osy.
> plot(y,x=-1..7,-3..3,scaling=constrained,discont=true);
Nˇekdy m˚uˇzeme cht´ıt vykreslit do jednoho obr´azku v´ıce funkc´ı. V tom pˇr´ıpadˇe bude sekvence pˇr´ıkaz˚u
n´asleduj´ıc´ı:
> restart:
> funkce1:=x^2: funkce2:=sqrt(x):
> plot({funkce1, funkce2}, x=0..1.2,0..1.2);
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 21
-infinity
infinity
-infinity infinityx
Obr´azek 4.1: Zobrazen´ı grafu funkce bez specifikovan´ych parametr˚u.
–3
–2
–1
0
1
2
3
–1 1 2 3 4 5 6 7x
Obr´azek 4.2: Graf, kde jsme zadali parametry.
4.3.8 Chybov´a hl´aˇsen´ı
V n´asleduj´ıc´ıch pˇr´ıkladech se pokuste urˇcit, co vyvolalo chybov´e hl´aˇsen´ı, resp. proˇc neobdrˇz´ıte oˇcek´avan´y
v´ysledek. Pot´e pˇr´ıkaz opravte.
> restart: y:=ln(x): solve({y0});
a nez´ısk´ame ˇz´adn´y v´ystup
> restart: stacionarni_body:=solve(x^2-4*x+3);
> druha_derivace:=2*x^3;
> s1:=stacionarni_body:
> druha_derivace_v_s1:=subs(x=s1,druha_derivace);
Matematika 1 22
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2x
Obr´azek 4.3: V´ıce funkc´ı v jednom grafu.
stacionarni body := 3, 1
druha derivace := x−4
Error, invalid terms in sum
> restart: y:=ln(x): plot(funkce,x=-1..10,y=-4..3);
Error, (in plot) invalid arguments
Cviˇcen´ı
Aplikujte uveden´y postup na funkce uveden´e v elektronick´em textu Fuchs, P, Krupkov´a, V.:
Matematika 1.
Shrnut´ı
Na v´ypoˇcetlimit slouˇz´ıpˇr´ıkazlimit(funkce,x=bod).Derivace najdeme pˇr´ıkazemdiff(funkce,promenna),
pˇriˇcemˇz parametrem promenna$rad ovlivn´ıme ˇr´ad derivace. Oba pˇr´ıkazy existuj´ı ve variantˇe s velk´ym
poˇc´ateˇcn´ım p´ısmenem, tj. Limit(funkce,x=bod)a Diff(funkce,promenna). Tyto pˇr´ıkazy zajiˇst’uj´ı pˇre-
ps´an´ı zad´an´ı do matematick´eho tvaru. Vˇsechny dosavadn´ı znalosti vyuˇzijeme pˇri ˇreˇsen´ı ´ulohy o pr˚ubˇehu
funkce. Graf funkce nakonec vykresl´ıme pomoc´ı pˇr´ıkazu plot, pˇriˇcemˇz m˚uˇzeme pomoc´ı r˚uzn´ych para-
metr˚u ovlivnit jeho v´yslednou podobu. Z´apis plot({funkce1, funkce2, funkce3 atd.},x=od..do)
n´am umoˇzn´ı nechat do jednoho grafu vykreslit v´ıce funkc´ı.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 23
5 Integr´aln´ı poˇcet funkc´ı jedn´e promˇenn´e
C´ıl kapitoly
Pomoc´ı programu Maple m˚uˇzeme velmi jednoduˇse hledat primitivn´ı funkce a poˇc´ıtat urˇcit´e integr´aly.
Uk´aˇzeme, jak´ym zp˚usobem lze ze zad´an´ı ihned z´ıskat v´ysledek i to, jak volit r˚uzn´e substituce a do jist´e
m´ıry tak napodobit ruˇcn´ı v´ypoˇcet. V t´eto kapitole se tak´e nauˇc´ıme, jak pomoc´ı Maplu prov´adˇet rozklad
na parci´aln´ı zlomky.
5.1 Neurˇcit´y integr´al
5.1.1 Co je potˇreba zn´at
Pro v´ypoˇcet neurˇcit´ych integr´al˚u pomoc´ı programu Maple je tˇreba nejprve ovl´adat z´aklady zad´av´an´ı
funkc´ı.
5.1.2 Z´aklady
Pro v´ypoˇcet integr´al˚u pouˇz´ıv´a Maple pˇr´ıkaz int(funkce,promenna). Podobnˇe jako u limit a derivac´ı
m´a i pˇr´ıkaz int dvˇe varianty: int pro vlastn´ı v´ypoˇcet a Int pro zobrazen´ı.
> restart: y:=sin(2*x): Int(y,x)=int(y,x);
integraldisplay
sin(2x)dx = −12 cos(2x)
5.1.3 Substituce
V´ıme, ˇze korektnˇe zapsan´y v´ysledek tohoto pˇr´ıkladu je −12 cos2x+c. Konstanta c vˇsak nab´yv´a r˚uzn´ych
hodnot a v´ysledn´e primitivn´ı funkce se pak mohou znaˇcn´ym zp˚usobem liˇsit. Uvˇedom´ıme-li si totiˇz, ˇze
sin(2x) = 2sin(x)cos(x), z´ısk´av´ame zcela odliˇsn´y v´ysledek:
> y:=2*sin(x)*cos(x): Int(y,x)=int(y,x);
integraldisplay
2sin(x)cos(x)dx = −cos(x)2
Proto je vhodn´e m´ıt ve sloˇzitˇejˇs´ıch pˇr´ıkladech nad v´ypoˇctem kontrolu a nespol´ehat se na pouh´y v´ystup
pˇr´ıkazu int.
Pˇri ˇreˇsen´ı integr´al˚u pomoc´ı substituc´ı je tˇreba pˇr´ıkazem with(student) nahr´at potˇrebnou knihovnu.
Pot´e nadefinujeme substituci a pˇr´ıkazem changevar zmˇen´ıme promˇenn´e. V´ysledek substituce pro jistotu
pˇr´ıkazem simplify zpˇrehledn´ıme.
> restart: with(student):
> y:= 1/(x*(sqrt(x^2-1))): integral:=Int(y,x): substituce:=
> sqrt(x^2-1)=t:
> novy_integral:=simplify(changevar(substituce,integral,t)):
> substituce; integral=novy_integral;
√x2 −1 = t
integraldisplay 1
x√x2 −1 dx =
integraldisplay 1
1+ t2 dt
Tento integr´al m˚uˇzeme urˇcit pomoc´ı pˇr´ıkazu value(integral). M˚uˇzeme tak´e integr´al pˇrepsat a vyˇreˇsit
pˇr´ıkazem int.
> novy_integral=value(novy_integral);
> Int(1/(1+t^2),t)=int(1/(1+t^2),t);integraldisplay
1
1 + t2 dt = arctan(t)integraldisplay
1
1 + t2 dt = arctan(t)
Matematika 1 24
5.1.4 Rozklad na parci´aln´ı zlomky
V mnoha situac´ıch pˇri v´ypoˇctu integr´al˚u potˇrebujeme prov´est rozklad na parci´aln´ı zlomky. V Maplu toho
lze dos´ahnout pomoc´ı pˇr´ıkazu convert(vyraz,parfrac,promenna).
> vyraz:=(5*x+5)/(x^2-x-6): vyraz=convert(vyraz,parfrac,x);
5x+ 5
x2 −x−6 =
1
x + 2 +
4
x−3
5.1.5 Chybov´a hl´aˇsen´ı
V n´asleduj´ıc´ıch pˇr´ıkladech se pokuste urˇcit, co vyvolalo chybov´e hl´aˇsen´ı, resp. proˇc neobdrˇz´ıte oˇcek´avan´y
v´ysledek. Pot´e pˇr´ıkaz opravte.
> restart: with(student): Int(x^3+x^2)=int(x^3+x^2);
Error, (in Int) usage: Int(f, x) or Int(f, x=a..b)
> restart: with(student):
> y(x):= 1/(3-sqrt(x+1)): i:=Int(y(x),x); substituce=sqrt(x+1):=t;
> novy_i:=simplify(changevar(substituce,i,t));
i :=
integraldisplay 1
3−√x + 1 dx
Error, invalid left hand side of assignment
Error, (in changevar) wrong number (or type) of parameters in function
lhs
Cviˇcen´ı
Urˇcete integraltext ex
√
arctan(ex)
1+e(2x) dx. Zkouˇsejte r˚uzn´e substituce. Pokud zvol´ıte jednu z nich, dostanete na prvn´ıpohled komplikovan´y nov´y integr´al. O jakou funkci se ve skuteˇcnosti jedn´a?
5.2 Urˇcit´y integr´al
5.2.1 Co je potˇreba zn´at
Pro v´ypoˇcet urˇcit´ych integr´al˚u pomoc´ı programu Maple je tˇreba nejprve ovl´adat z´aklady zad´av´an´ı
funkc´ı. D´ale je tˇreba umˇet poˇc´ıtat neurˇcit´e integr´aly.
5.2.2 Z´aklady
Pokud jako parametr pˇr´ıkazu int (resp. Int) zad´ame x=dolni mez..horni mez, m˚uˇzeme pomoc´ı Maplu
poˇc´ıtat urˇcit´e integr´aly.
> restart:
> y:=x^2: a:=1: b:=4: Int(y,x=a..b)=int(y,x=a..b);
integraldisplay 4
1
x2 dx = 21
5.2.3 Substituce
Tot´eˇz plat´ı pro substituce.
> with(student):
> y:=x^3*sqrt(x^2+1): a:=0: b:=2: integral:=Int(y,x=a..b):
> substituce:=x^2+1=t^2:
> novy_integral:=simplify(changevar(substituce,integral,t)):
> substituce; integral=novy_integral;
x2 + 1 = t2
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 25
integraldisplay 2
0
x3 √x2 + 1dx =
integraldisplay √5
1
(−1+ t2)t2 dt
Cviˇcen´ı
Vypoˇctˇete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = −x2 + 2, x = 0, y = 0.
Vypoˇctˇete d´elku kˇrivky y = arcsin(x) +√1−x2 mezi body x = −12 a x = 1.
Shrnut´ı
K v´ypoˇctuintegr´al˚uslouˇz´ıpˇr´ıkazint(funkce, promenna).Pokudzad´amejako parametrpromenna=od..do,
m˚uˇzeme poˇc´ıtat urˇcit´e integr´aly. Sekvenc´ı pˇr´ıkaz˚u
substituce:=vyraz=novapromenna: changevar(substituce,staryintegral,novapromenna)
m˚uˇzeme zkouˇset r˚uzn´e substituce. Pˇr´ıkaz int(funkce,promenna) m´a variantu Int(funkce,promenna),
kter´a pouze pˇrep´ıˇse zad´an´ı do matematick´eho tvaru. K rozkladu na parci´aln´ı zlomky slouˇz´ı pˇr´ıkaz
convert(vyraz, parfrac, promenna).
Matematika 1 26
6 Diferenci´aln´ı poˇcet II
C´ıl kapitoly
V t´eto kapitole se nejprve nauˇc´ıme hledat parci´aln´ı derivace funkc´ı v´ıce promˇenn´ych. Pot´e si uk´aˇzeme,
jak v Maplu hledat lok´aln´ı extr´emy funkc´ı dvou promˇenn´ych. Nakonec se sezn´am´ıme s postupem, kter´y
umoˇzn´ı vykreslit grafy funkc´ı dvou promˇenn´ych.
6.1 Parci´aln´ı derivace
6.1.1 Co je potˇreba zn´at
V´ypoˇcet parci´aln´ıch derivac´ı pomoc´ı Maplu vyuˇz´ıv´a stejn´e pˇr´ıkazy jako v´ypoˇcet derivac´ı funkc´ı jedn´e
promˇenn´e. Proto je tˇreba umˇet pracovat s pˇr´ıkazy diff a Diff. Pro v´ypoˇcet parci´aln´ıch derivac´ı vyˇsˇs´ıch
ˇr´ad˚u je tˇreba umˇet naj´ıt derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u funkc´ı jedn´e promˇenn´e.
6.1.2 Parci´aln´ı derivace
Nejprve nadefinujeme funkci v´ıcepromˇenn´ycha pot´epouˇzijeme pˇr´ıkaz diff, resp. Diff, ve kter´em urˇc´ıme,
podle kter´e promˇenn´e budeme derivovat.
> restart:
> z:=x*y+sqrt(x)-exp(y); Diff(z,x)=diff(z,x); Diff(z,y)=diff(z,y);
z := xy +√x−ey
∂
∂x (xy +
√x−ey) = y +
1
2√
x
∂
∂y (xy +
√x−ey) = x−ey
Podobnˇe jako u derivac´ı funkc´ı jedn´e promˇenn´e m˚uˇzeme zmˇenit charakter v´ystupu (vˇsimnˇete si, ˇze na
druh´em a tˇret´ım ˇr´adku je pouˇzito =, nikoliv :=, proto se opˇet jedn´a o ”kosmetickou“ ´upravu, nikoliv o
pˇriˇrazen´ı hodnot promˇenn´ym; funkˇcn´ı pˇredpis je st´ale uloˇzen v promˇenn´e funkce).
> restart: with(PDEtools): declare(z(x,y));
z(x, y), will now be displayed as, z
> funkce:=x*y+sqrt(x)-exp(y): z=funkce;
z = xy +√x−ey
> diff(z(x,y),x)=diff(funkce,x); diff(z(x,y),y)=diff(funkce,y);
zx = y +
1
2√
x
zy = x−ey
Parci´aln´ı derivace vyˇsˇs´ıchˇr´ad˚u najdeme podobnˇe jako u funkce jedn´e promˇenn´e, a sice tak, ˇze v pˇr´ıkazu
diff za znakem $ urˇc´ıme ˇr´ad derivace.
> z:=x*y+sqrt(x)-exp(y): Diff(z,x$2)=diff(z,x$2);
∂2
∂x2 (xy +
√x−ey) = −1
4
1
x(3/2)
Jin´y v´ystup z´ısk´ame pomoc´ı pˇr´ıkazu
> diff(z(x,y),x$2)=diff(funkce,x$2);
zx,x = −14 1x(3/2)
Pˇri v´ypoˇctu sm´ıˇsen´ych derivac´ı p´ıˇseme
> Diff(funkce,x,y)=diff(funkce,x,y);
> Diff(funkce,y,x)=diff(funkce,y,x);
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 27
∂2
∂y∂x (xy +
√x−ey) = 1
∂2
∂x∂y (xy +
√x−ey) = 1
Cviˇcen´ı
Podle z´apisu na posledn´ım ˇr´adku derivuje Maple v jin´em poˇrad´ı, neˇz zad´av´ame. Dok´aˇzete tento rozpor
vysvˇetlit?
Upravte posledn´ı v´ypis na tvar zxy =
6.2 Lok´aln´ı extr´emy funkc´ı dvou promˇenn´ych
6.2.1 Co je potˇreba zn´at
Pˇri hled´an´ı lok´aln´ıch extr´em˚u funkce dvou promˇenn´ych vyuˇzijete poznatky o zad´av´an´ı matic,
v´ypoˇctu determinant˚u, derivac´ıch, derivac´ıch vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u a parci´aln´ıch derivac´ıch.
6.2.2 Stacion´arn´ı body
Nejprve nahrajeme potˇrebn´e knihovny a zad´ame funkci, jej´ıˇz extr´emy hled´ame. Zvolme napˇr. funkci
z = x3 + y3 −3xy. (Z´aroveˇn budeme db´at na pˇrehlednost v´ystupu, proto funkci zad´ame ”na dvakr´at“.)
> restart: with(linalg): with(PDEtools): declare(z(x,y)):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and
unprotected
z(x, y), will now be displayed as, z
> funkce:=x^3+y^3-3*x*y: z=funkce;
z = x3 + y3 −3xy
V´ıme, ˇze extr´em m˚uˇze nast´avat v bodech, kde jsou vˇsechny parci´aln´ı derivace nulov´e. Protoje nejprve urˇc´ıme
a potom pˇr´ıkazem solve({v´yraz1, v´yraz2}) vyˇreˇs´ıme poˇzadovanou soustavu rovnic.
> z_x:=diff(funkce,x): diff(z(x,y),x)=z_x;
> z_y:=diff(funkce,y): diff(z(x,y),y)=z_y;
zx = 3x2 −3y
zy = 3y2 −3x
> stacionarni_body:=solve({z_x,z_y});
stacionarni body := {y = 0, x = 0}, {y = 1, x = 1},{
y = RootOf( Z2 + Z + 1, label = L5),
x = −1−RootOf( Z2 + Z + 1, label = L5)}
Z´ıskan´e ˇreˇsen´ı zahrnuje i komplexn´ı koˇreny, kter´e n´as nezaj´ımaj´ı; podstatn´e jsou pro n´as body [0,0] a
[1,1]. Je tˇreba je nˇejak oznaˇcit, abychom s nimi mohli d´al pracovat. Promˇenn´a stacionarni body se skl´ad´a
ze tˇr´ı sloˇzek (sloˇzen´e z´avorky), z nichˇz kaˇzd´a m´a dvˇe sloˇzky x=neco a y=neco). Proto nejprve oznaˇc´ıme
jednotliv´e body (jako pomocn´e promˇenn´e) a pot´e naˇcteme jednotliv´e hodnoty. K tomu vyuˇzijeme pˇr´ıkaz
rhs(ceho), tj. right hand side = prav´a strana, (v naˇsem pˇr´ıpadˇe prav´a strana druh´e sloˇzky prvn´ıho
bodu) a pˇr´ıkaz vector(slozka1,slozka2). Mus´ıme vˇsak db´at na poˇrad´ı promˇenn´ych x a y ve v´ypisu
stacionarni body – pro bod [0,0] m˚uˇze b´yt jin´e neˇz pro bod [1,1]!
> P_1:=stacionarni_body[1]: P_2:=stacionarni_body[2]:
> P1:=vector([rhs(P_1[1]),rhs(P_1[2])]);
> P2:=vector([rhs(P_2[1]),rhs(P_2[2])]);
P1 := [0, 0]
P2 := [1, 1]
Matematika 1 28
6.2.3 Typ extr´emu
Pro rozhodnut´ı, zda ve stacion´arn´ıch bodech nast´av´a extr´em, resp. o jak´y extr´em se jedn´a, potˇrebujeme
zn´at druh´e derivace funkce:
> z_xx:= diff(z_x,x): z_xy:=diff(z_x,y): z_yx:=z_xy: z_yy:=diff(z_y,y):
> diff(z(x,y),x$2)=z_xx; diff(z(x,y),x,y)=z_xy; diff(z(x,y),y,x)=z_yx;
> diff(z(x,y),y$2)=z_yy;
zx,x = 6x
zx,y = −3
zx,y = −3
zy,y = 6y
Sestav´ıme pˇr´ısluˇsnou matici a urˇc´ıme jej´ı determinant.
> matice_druhych_derivaci:=matrix(2,2,[[z_xx, z_xy],[z_yx, z_yy]]);
> determinant:=det(matice_druhych_derivaci);
matice druhych derivaci :=
bracketleftbigg 6x −3
−3 6y
bracketrightbigg
determinant := 36xy−9
Podle hodnoty determinantu v dan´em bodˇe pak m˚uˇzeme rozhodnout, zda extr´em nast´av´a nebo ne.
(Sekvence pˇr´ıkaz˚u if, then, print, a end if je pouze ”kosmetick´a z´aleˇzitost“, jej´ıˇz v´yklad pˇresahuje
r´amec tohoto textu. Zajiˇst’uje, aby Maple vypsal spr´avnou moˇznost, tedy extrem nenastava, takto
nelze rozhodnout, resp. extrem).
> determinant_v_P1:=subs(x=P1[1],y=P1[2],determinant);
> if (determinant_v_P1 if (determinant_v_P1=0) then print(P1,’takto_nelze_rozhodnout’) end
> if;
> if (determinant_v_P1>0) then print(P1,’extrem’) end if;
> determinant_v_P2:=subs(x=P2[1],y=P2[2],determinant);
> if (determinant_v_P2 if (determinant_v_P2=0) then print(P2,’takto_nelze_rozhodnout’) end
> if;
> if (determinant_v_P2>0) then print(P2,’extrem’) end if;
determinant v P1 := −9
[0, 0], extrem nenastava
determinant v P2 := 27
[1, 1], extrem
Pokud extr´em nast´av´a, tak podle znam´enka druh´e derivace v dan´em bodˇe m˚uˇzeme rozhodnout o jeho
typu.
> z_xx_v_P2:=subs(x=P2[1],y=P2[2],z_xx);
> if(z_xx_v_P2 if;
> if(z_xx_v_P2=0) then print(P2,’takto_nelze_rozhodnout’) end if;
z xx v P2 := 6
[1, 1], minimum
Podobnˇe jako u funkce jedn´e promˇenn´e, m˚uˇzeme i u funkc´ı dvou promˇenn´ych vykreslit graf funkce. K
tomu pouˇzijeme pˇr´ıkaz plot3d, avˇsak nejprve nahrajeme knihovnu plots.
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> plot3d(funkce,x=-3..3,y=-3..3);
Stejnˇe jako u funkce jedn´e promˇenn´e m˚uˇzeme celou ˇradou parametr˚u ovlivnit vzhled grafu. Tak napˇr.
parametrem axes zobraz´ıme typ, parametrem scaling rozhodneme, zda zobrazit v mˇeˇr´ıtku apod. Vˇzdy
vˇsak mus´ıme zadat rozsah na os´ach x a y.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 29
Obr´azek 6.1: Zobrazen´ı trojrozmˇern´eho grafu bez specifikovan´ych parametr˚u.
> plot3d(funkce,x=-3..3,y=-3..3, axes=framed);
–3–2
–10
12
3
x
–3 –2
–1 0
1 2
3
y
–80
–60
–40
–20
0
20
Obr´azek 6.2: Trojrozmˇern´y graf se zobrazen´ymi souˇradn´ymi osami.
Jiˇz v ´uvodu jsme si uk´azali, ˇze trojrozmˇern´y graf m˚uˇzeme uchopit myˇs´ı a r˚uznˇe nat´aˇcet, resp. vyvolat
r˚uzn´e volby.
6.3 Chybov´a hl´aˇsen´ı
V n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladu se pokuste urˇcit, co vyvolalo chybov´e hl´aˇsen´ı, resp. proˇc neobdrˇz´ıte oˇcek´avan´y
v´ysledek. Pot´e pˇr´ıkaz opravte.
Matematika 1 30
> restart:
> z_x:= 3*x^2-3*y: z_y:= 3*y^2-3*x:
> stacionarni_body:=solve({z_x,z_y}):
> P:=stacionarni_body:
> P1:=vector([rhs(P[1]),rhs(P[2])]);
> P2:=vector([rhs(P[1]),rhs(P[2])]);
Error, wrong number (or type) of parameters in function rhs
Error, wrong number (or type) of parameters in function rhs
Zad´an´ı je totoˇzn´e s modelov´ym pˇr´ıkladem, kde vˇsak z´ısk´ame dva r˚uzn´e body.
Cviˇcen´ı
Urˇcete lok´aln´ı extr´emy funkc´ı dvou promˇenn´ych z elektronick´eho textu Fuchs, P, Krupkov´a, V.: Ma-
tematika 1.
Shrnut´ı
Parci´aln´ı derivace vypoˇc´ıt´ame, pokud u pˇr´ıkazu diff(funkcevicepromennych, promenna) specifiku-
jeme, podle kter´e promˇenn´e chceme derivovat. T´eto znalosti (a znalosti maticov´ych pˇr´ıkaz˚u) vyuˇzijeme
pˇri hled´an´ı extr´em˚u funkce v´ıce promˇenn´ych.Pˇr´ıkazemplot3d(funkce,x=od..do,y=od..do)z knihovny
plots (kterou nahrajeme pˇr´ıkazem with(plots)) si m˚uˇzeme trojrozmˇern´y graf nechat vykreslit.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 31
7 Z´avˇer
Program Maple je vhodn´ym n´astrojem pro ilustraci l´atky pˇredmˇetu Matematika 1. N´azornˇe a intuitivnˇe
lze s jeho pomoc´ı poˇc´ıtat s maticemi,ˇreˇsit soustavy rovnic, urˇcovat limity, derivace, v jednotliv´ych kroc´ıch
ˇreˇsit ´ulohu o pr˚ubˇehu funkce jedn´e (i dvou) promˇenn´ych a poˇc´ıtat urˇcit´e a neurˇcit´e integr´aly.
Maple m´a samozˇrejmˇe mnohem ˇsirˇs´ı pouˇzit´ı. My jsme se sezn´amili pouze s jednoduch´ymi n´avody
na ˇreˇsen´ı konkr´etn´ıch ´uloh. Postupy, kter´e jsme uvedli, nejsou jedin´ymi spr´avn´ymi (ani nejkratˇs´ımi ˇci
nejefektivnˇejˇs´ımi). Jsou vˇsak – alespoˇn douf´am – n´azorn´e a srozumiteln´e i studentovi, kter´y s matema-
tick´ym softwarem nem´a ˇz´adn´e pˇredchoz´ı zkuˇsenosti.
Co je vˇsak nutn´e zn´at, je teoretick´e z´azem´ı ˇreˇsen´ych ´uloh. Maple jako kter´ykoliv jin´y program pouze
vykon´av´a naˇse instrukce, bez ohledu na to, zda maj´ı smysl ˇci ne. V mnoha pˇr´ıpadech n´am poˇc´ıtaˇc usnadn´ı
pr´aci t´ım,ˇze za n´as vykon´a dlouh´e ruˇcn´ıpoˇc´ıt´an´ı(napˇr. v´ypoˇcet determinantu matic vyˇsˇs´ıchˇr´ad˚u). Pokud
vˇsak nev´ıme, jak m´ame danou ´ulohu ˇreˇsit, ˇci nejsme schopni z´ıskan´e v´ysledky spr´avnˇe interpretovat, je
veˇsker´a pomoc v´ypoˇcetn´ı techniky zbyteˇcn´a.
Po zvl´adnut´ı tohoto textu m˚uˇzete zaˇc´ıt pracovat s programem Maple sami. V´yhodou je znalost an-
gliˇctiny, v n´ıˇz je psan´a n´apovˇeda a z n´ıˇz vych´az´ı oznaˇcen´ı mnoha pˇr´ıkaz˚u. M˚uˇzete tak´e napˇr. zkouˇset
upravovat n´avody a postupy uveden´e ve skriptech, vylepˇsovat je a zefektivˇnovat.
Matematika 1 32
8 V´ysledky cviˇcen´ı
Z´aklady pr´ace s programem Maple
Jak zad´avat pˇr´ıkazy
(a+b)/(c-a), a+(b-c)/a+b*c, (b^2+a^3)^4-(c+1)/(a^2)
Jak zad´avat algebraick´e v´yrazy
zadejte ˇr´adek expand(simplify((x+3)*(x-1)^2*(x^2+1)/(x^2+2*x-3)))
Zad´av´an´ı element´arn´ıch funkc´ı
(x^2-sqrt(x))/sin(x), cos(3*x^2+pi/4)-ln(x)/(x^3), a-c*(a+b*c/(a+b)),2*a^3-3*b^4+4*a*b/3,
a^(b/c), exp(b/(c^2))
Line´arn´ı algebra
Operace s maticemi – souˇcet, rozd´ıl a souˇcin
1. Matice je tˇreba zadat tak, aby souˇcin AC byl stejn´eho typu jako BC. To znamen´a, ˇze matice A mus´ı
b´yt stejn´eho typu jako matice B. N´asoben´ı ˇc´ıslem typ matice nezmˇen´ı. 2. Zadejte dvˇe r˚uzn´e matice. Pr´aci
si ulehˇc´ıte tak, ˇze si matice nejprve oznaˇc´ıte a pot´e nap´ıˇsete pˇr´ıkazy evalm(A&*B) a evalm(B&*A).Matice
tak mˇen´ıte pouze jednou nikoliv dvakr´at.
Transponovan´a a inverzn´ı matice, hodnost matice
1. Matice B bude inverzn´ı k A, pokud jejich souˇcinem bude jednotkov´a matice, proto zadejte pˇr´ıkaz
evalm(A&*B). 2. napˇr. inverse(A&*transpose(B)), ovˇsem tak, aby souˇcin byla ˇctvercov´a matice
Determinanty
1. Fakt,ˇze m´a matice nulov´y determinant, znamen´a,ˇze nˇekter´yˇr´adek (resp. sloupec) je line´arn´ıkombinac´ı
ostatn´ıch ˇr´adk˚u (resp. sloupc˚u). Poˇcet line´arnˇe nez´avisl´ych ˇr´adk˚u (resp. sloupc˚u) matice jsme definovali
jako hodnost matice. Tu zjist´ıme pˇr´ıkazem rank(oznaceni_matice). Pokud tedy bude hodnost matice
stejn´a jako poˇcet ˇr´adk˚u (coˇz v tomto pˇr´ıpadˇe znamen´a tak´e sloupc˚u) matice, je determinant r˚uzn´y od
nuly. Matice je proto regul´arn´ı. 2. Souˇcin mus´ı b´yt ˇctvercov´a matice. 3. Souˇcin nesm´ı b´yt ˇctvercov´a
matice.
Soustavy line´arn´ıch rovnic
1. Posledn´ı sloupec odpov´ıd´a prav´ym stran´am rovnic, zat´ımco prvn´ı aˇz tˇret´ı lev´ym stran´am. Posledn´ı
ˇr´adek proto znamen´a, ˇze 0 = 1, tedy soustava rovnic nem´a ˇreˇsen´ı. 2. Zaj´ım´a n