Skripta Matematika 1 Počítačová cvičení Maple

usoby uz´avorkov´an´ı.
Pro dalˇs´ı pr´aci b´yv´a vhodn´e matici nˇejak oznaˇcit.
> A:=matrix(2,3,[[1,2,3],[4,5,6]]);
A :=
bracketleftbigg 1 2 3
4 5 6
bracketrightbigg
Oznaˇcen´ı n´am umoˇzn´ı pracovat d´ale nejen s matic´ı samotnou ale i s jej´ımi prvky.
Chceme-li vypsat hodnotu jednoho konkr´etn´ıho prvku, ˇci se na nˇej odk´azat, pouˇzijeme n´asleduj´ıc´ı syntax:
oznaˇcen´ı matice[ˇr´adek,sloupec]. Hodnota prvku v prvn´ım sloupci prvn´ıho ˇr´adku matice A je tedy:
> A[1,1];
1
Pokud bychom chtˇeli seˇc´ıst vˇsechny prvky v prvn´ım ˇr´adku matice A, staˇc´ı ps´at
> A[1,1]+A[1,2]+A[1,3];
6
Cviˇcen´ı
Zadejte libovolnou matici a vyn´asobte vˇsechny prvky v jej´ıch roz´ıch.
Matematika 1 10
3.1.2 Operace s maticemi – souˇcet, rozd´ıl a souˇcin
V pˇredchoz´ım odstavci jsme si uk´azali, jak´ym zp˚usobem lze pracovat s jednotliv´ymi prvky matice. Nyn´ı
uk´aˇzeme, jak pracovat s matic´ı jako s celkem.
Nejprve nadefinujeme dvˇe matice, napˇr.:
> A:=matrix(2,2,[[1,2],[4,5]]); B:=matrix(2,2,[[-1,-4],[2,3]]);
A :=
bracketleftbigg 1 2
4 5
bracketrightbigg
B :=
bracketleftbigg −1 −4
2 3
bracketrightbigg
Pokud chceme zobrazit v´ysledek nˇejak´e operace s maticemi, mus´ıme pouˇz´ıt pˇr´ıkaz evalm. Tak napˇr. sou-
ˇcet matic A a B zobraz´ıme pomoc´ı
> evalm(A+B); bracketleftbigg
0 −2
6 8
bracketrightbigg
Pokud budeme cht´ıt d´ale s v´ysledkem nˇejak´e operace pracovat, je vhodnˇejˇs´ı opˇet jej nˇejak oznaˇcit.
> C:=evalm(A+B);
C :=
bracketleftbigg 0 −2
6 8
bracketrightbigg
Podobnˇe jako se souˇctem m˚uˇzeme pracovat i s rozd´ılem matic.
> E:=evalm(A-B);
E :=
bracketleftbigg 2 6
2 2
bracketrightbigg
Tot´eˇz plat´ı pro n´asoben´ı matice ˇc´ıslem.
> F:=evalm(3*A);
F :=
bracketleftbigg 3 6
12 15
bracketrightbigg
Pro n´asoben´ı matic vˇsak mus´ıme pouˇz´ıt oper´ator &*.
> G:=evalm(A&*B);
F :=
bracketleftbigg 3 2
6 −1
bracketrightbigg
Cviˇcen´ı
Zadejte matice A, B, C tak, ˇze alespoˇn jedna z nich nen´ı ˇctvercov´a, a urˇcete v´yraz AC + (3B)C.
Ukaˇzte na konkr´etn´ım pˇr´ıkladˇe, ˇze n´asoben´ı matic nen´ı komutativn´ı. Jak bude vypadat posloupnost pˇr´ıkaz˚u
na ˇr´adku, abyste si usnadnili pr´aci? Pokud nev´ıte, odpovˇed’ naleznete zde.
3.1.3 Transponovan´a a inverzn´ı matice, hodnost matice
M´ame-li nadefinov´anu nˇejakou matici, pak transponovanou matici zobraz´ıme pˇr´ıkazem
transpose(oznaˇcen´ı matice).
> A:=matrix(2,3,[[1,2,3],[4,5,6]]); B:=transpose(A);
A :=
bracketleftbigg 1 2 3
4 5 6
bracketrightbigg
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 11
B :=


1 4
2 5
3 6


Pro v´ypoˇcet inverzn´ı matice pouˇz´ıv´ame pˇr´ıkaz inverse(oznaˇcen´ı matice).
> A:=matrix(2,2,[[1,2],[3,4]]); B:=inverse(A);
A :=
bracketleftbigg 1 2
3 4
bracketrightbigg
B :=
bracketleftBigg −2 1
3
2
−1
2
bracketrightBigg
Cviˇcen´ı
Ovˇeˇrte, ˇze matice B z´ıskan´a pomoc´ı pˇr´ıkazu inverse(A) je skuteˇcnˇe inverzn´ı matic´ı k matici A.
Zadejte libovoln´e dvˇe matice A, B a pot´e urˇcete(ABT)−1
Hodnost matice urˇc´ıme pomoc´ı pˇr´ıkazu rank(oznaˇcen´ı matice).
> A:=matrix(3,3,[[1,2,3],[2,4,6],[-1,2,-5]]); rank(A);
A :=


1 2 3
2 4 6
−1 2 −5


2
3.1.4 Omezen´ı operac´ı s maticemi
Maple pouze vykon´av´a pˇr´ıkazy zadan´e uˇzvatelem. Je proto potˇreba vˇedˇet, za jak´ych podm´ınek je dan´a
matematick´a operace pˇr´ıpustn´a!
3.2 Determinanty
Nejprve uved’me, ˇze chceme pracovat v prostˇred´ı linalg a zadejme matici:
> restart: with(linalg):
> A:=matrix(3,3,[[1,2,3],[1,3,6],[-1,2,-5]]);
A :=


1 2 3
1 3 6
−1 2 −5


Pro v´ypoˇcet determinantu pouˇz´ıv´ame pˇr´ıkaz det(oznaˇcen´ı matice). Opˇet jej m˚uˇzeme pˇriˇradit nˇejak´e
promˇenn´e.
> determinant:=det(A);
determinant := −14
Podobnˇe jako v pˇredch´azej´ıc´ı kapitole plat´ı, ˇze je potˇreba zn´at omezen´ı pro pr´aci s determinanty!
Cviˇcen´ı
Jak lze rozhodnout o tom, zda je matice regul´arn´ı nebo singul´arn´ı, za pouˇzit´ı pˇr´ıkaz˚u, kter´e dosud zn´ate,
avˇsak bez pouˇzit´ı pˇr´ıkazu det(oznaˇcen´ı matice)?
Zadejte dvˇe matice tak, aby bylo moˇzn´e urˇcit determinant jejich souˇcinu, a pot´e jej urˇcete.
Zadejte dvˇe matice tak, aby nebylo moˇzn´e urˇcit determinant jejich souˇcinu.
Matematika 1 12
3.3 Soustavy line´arn´ıch rovnic
3.3.1 Co je potˇreba zn´at
Pro hled´an´ı ˇreˇsen´ı soustavy rovnic pomoc´ı Maplu mus´ıte zn´at z´aklady zad´av´an´ı funkc´ı a umˇet
pracovat s maticemi. Je tak´e dobr´e, pokud um´ıte poˇc´ıtat determinanty.
3.3.2 Prost´e hled´an´ı ˇreˇsen´ı
Pˇri hled´an´ı ˇreˇsen´ı soustavy line´arn´ıch rovnic m´ame na v´ybˇer z nˇekolika moˇznost´ı:
Pokud chceme bez dalˇs´ıho pouze naj´ıt ˇreˇsen´ı, m˚uˇzeme nechat Maple vykonat pˇr´ıkaz solve({vyraz1,
vyraz2, atd.},{promenne}). Mus´ıme vˇsak umˇet ˇreˇsen´ı spr´avnˇe interpretovat.
Pokud pouˇzijeme pˇr´ıkaz solve, pˇrevedeme absolutn´ı ˇcleny na levou stranu a v´yslednou levou stranu
nˇejak oznaˇc´ıme:
> restart: rovnice_1:=x+y+z+4; rovnice_2:=2*x-3*y+4*z-8;
rovnice 1 := x + y + z + 4
rovnice 2 := 2x−3y + 4z −8
Potom uˇz m˚uˇzeme nechat Maple naj´ıt ˇreˇsen´ı.
> solve({rovnice_1,rovnice_2},{x,y,z});
{y = −165 + 25 z, x = −45 − 75 z, z = z}
Vzhledem k tomu, ˇze jsme ˇreˇsili soustavu dvou rovnic o tˇrech nezn´am´ych, Maple zvolil jednu z nezn´am´ych
a ostatn´ı dvˇe pomoc´ı n´ı vyj´adˇril.
3.3.3 Gaussova eliminaˇcn´ı metoda
Pomoc´ı Maplu tak´e m˚uˇzeme napodobit postup ˇreˇsen´ı pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody.
V´ıme, ˇze m´ame-li d´anu soustavu rovnic, napˇr. x + 4y + 3z = 1, −2x+ 3y + 7z = 2, −3x+ 5y + z = 0,
m˚uˇzeme ji vyj´adˇrit v maticov´em tvaru AX = B, kde A je matice koeficient˚u, X vektor nezn´am´ych a B
vektor prav´ych stran. Matici, kter´a vznikne spojen´ım matic A a B, tzv. rozˇs´ıˇrenoumatici soustavy rovnic,
pak pˇrev´ad´ıme na schodovit´y tvar.
Tent´yˇz postup pomoc´ı Maplu je n´asleduj´ıc´ı (Pozn.: vˇsechny pˇr´ıkazy v tomto postupu budou pracovat aˇz
po nahr´an´ı knihovny linalg.)
> restart: with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and
unprotected
> A:=matrix(3,3,[[1,4,3],[-2,3,7],[-3,5,1]]):
> X:=matrix(3,1,[[x],[y],[z]]): B:=matrix(3,1,[[1],[2],[0]]):
> C:=augment(A,B): rozsirena_matice_soustavy=evalm(C);
rozsirena matice soustavy =


1 4 3 1
−2 3 7 2
−3 5 1 0


Pro pˇrevod matice na schodovit´y tvar pouˇzijeme pˇr´ıkaz gausselim(oznaceni matice):
> evalm(C)=gausselim(C);


1 4 3 1
−2 3 7 2
−3 5 1 0

 =


1 4 3 1
0 11 13 4
0 0 −11111 −3511


Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 13
Z posledn´ı rovnice je vidˇet, ˇze z = 35111. Zpˇetn´ym dosazov´an´ım pak z´ısk´ame dalˇs´ı koˇreny. I tuto pr´aci za
n´as vˇsak udˇel´a Maple. Staˇc´ı jen m´ısto pˇr´ıkazu gausselim pouˇz´ıt pˇr´ıkaz gaussjord(oznaceni matice).
> evalm(C)=gaussjord(C);


1 4 3 1
−2 3 7 2
−3 5 1 0

 =




1 0 0 10111
0 1 0 −1111
0 0 1 35111




Hodnoty vˇsech nezn´am´ych tak z´ısk´av´ame pˇr´ımo.
Ne vˇzdy vˇsak m´a soustava rovnic pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı. Mus´ıme proto vˇedˇet, jak v´ystup pˇr´ıkazu interpretovat!
Cviˇcen´ı
Pomoc´ı uveden´eho postupu jsme z´ıskali tento v´ysledek. Co v´ıme o ˇreˇsen´ı soustavy rovnic?
> restart: with(linalg):
> A:=matrix(3,3,[[1,4,3],[2,3,7],[-6,-14,-20]]):
> X:=matrix(3,1,[[x],[y],[z]]): B:=matrix(3,1,[[1],[2],[0]]):
> C:=augment(A,B):
> evalm(C)=gaussjord(C);
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and
unprotected


1 4 3 1
2 3 7 2
−6 −14 −20 0

 =




1 0 195 0
0 1 −15 0
0 0 0 1




Cviˇcen´ı
ˇReknˇeme, ˇze n´as konkr´etn´ı ˇreˇsen´ı nezaj´ım´a a chceme pouze zjistit, zda je soustava rovnic ˇreˇsiteln´a. Jak
to udˇel´ame?
3.4 Chybov´a hl´aˇsen´ı
V n´asleduj´ıc´ıch pˇr´ıkladech se pokuste urˇcit, co vyvolalo chybov´e hl´aˇsen´ı, resp. proˇc neobdrˇz´ıte oˇcek´avan´y
v´ysledek. Pot´e pˇr´ıkaz opravte.
> A:=matrix(2,2,1,2,3,4);
Error, (in matrix) invalid arguments
> A:=matrix(3,2,[[1,2,1],[3,4,2]]);
Error, (in matrix) 2nd index, 3, larger than upper array bound 2
> A:=matrix(2,2,[[1,2],[3,4]]): B:=matrix(3,3,[[1,2,3],[3,4,5]]):
> evalm(A+B);
Error, (in linalg[matadd]) matrix dimensions incompatible
> A:=matrix(2,2,[[1,2],[3,4]]): B:=matrix(2,2,[[-1,2],[4,4]]):
> A&*B; A+B;
A&∗B
A + B
Matematika 1 14
Shrnut´ı
Matici zad´av´amepˇr´ıkazemmatrix(jmeno).V´ysledky maticov´ychoperac´ızobraz´ımepˇr´ıkazemevalm(co).
Pro sˇc´ıt´an´ı matic a n´asoben´ı ˇc´ıslem pouˇz´ıv´ame bˇeˇzn´e oper´atory – pro n´asoben´ı matic vˇsak mus´ıme
pouˇz´ıt &*. Transponovanou matici najdeme pˇr´ıkazem transpose(matice), inverzn´ı matici pˇr´ıkazem
inverse(matice). Determinant urˇc´ıme pˇr´ıkazem det(matice). Pˇri ˇreˇsen´ı soustav rovnic vyuˇzijeme
pˇr´ıkazy solve, fsolve, gausselim a gaussjord.
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 15
4 Diferenci´aln´ı poˇcet I
C´ıl kapitoly
Pomoc´ı programu Maple lze jednoduch´ym zp˚usobem hledat limity funkc´ı a poˇc´ıtat derivace – to je
obsahem prvn´ıch dvou ˇc´ast´ı t´eto kapitoly. Ve tˇret´ı ˇc´asti budeme krok za krokem ˇreˇsit ´ulohu o pr˚ubˇehu
funkce. ˇReˇsen´ı zakonˇc´ıme vykreslen´ım grafu funkce.
4.1 Limita funkce
4.1.1 Co je potˇreba zn´at
Pro v´ypoˇcet limit funkc´ı v Maplu je tˇreba nejprve ovl´adat z´aklady zad´av´an´ı funkc´ı.
4.1.2 Z´aklady
Limitu funkce lze vypoˇc´ıtat pomoc´ı pˇr´ıkazu limit(funkce,promenna=hodnota). Tak napˇr.
> restart:
> limit(x^2,x=3);
9
M˚uˇzeme ale volit i pˇrehlednˇejˇs´ı v´ypis. Pˇr´ıkaz Limit(funkce,promenna=hodnota) pouze pˇrep´ıˇse zad´an´ı
do bˇeˇzn´eho tvaru, proto kdyˇz pouˇzijeme oba pˇr´ıkazy vedle sebe, z´ısk´ame:
> Limit(x^2,x=3)=limit(x^2,x=3);
limx→3x2 = 9
Jeˇstˇe jednoduˇsˇs´ıho a pˇrehlednˇejˇs´ıho z´apisu doc´ıl´ıme, pokud nejprve funkci a bod nadefinujeme:
> funkce:=x^2: bod:=3 : Limit(funkce, x=bod)=limit(funkce, x=bod);
limx→3x2 = 9
Cviˇcen´ı
Ve v´yˇse uveden´em tvaru zadejte a vypoˇctˇete limx→1 xexln(x)+√x, limx→2 sin(x)+cos(x)x+3 , limx→0 x2+4x ,
limx→1 x
√x+3
x−1
4.1.3 Limita parci´aln´ı funkce (limity zleva a zprava)
Pˇr´ıkaz limit umoˇzˇnuje poˇc´ıtat i jednostrann´e limity; staˇc´ı jej pouze doplnit na tvar
limit(funkce,promenna=hodnota,smer), kde parametr smer nab´yv´a hodnot left nebo right.
Analogicky funguje i pˇr´ıkaz Limit. M˚uˇzeme tedy ps´at napˇr.:
> Limit(1/x,x=0,left)=limit(1/x,x=0, left);
> Limit(1/x,x=0,right)=limit(1/x,x=0,right);
limx→0− 1x = −∞
limx→0+ 1x = ∞
Cviˇcen´ı
Definujte funkci, kter´a v nˇejak´em bodˇe sv´eho definiˇcn´ıho oboru nem´a limitu, a urˇcete v tomto bodˇe limity
zleva a zprava. Pokud se budete cht´ıt pˇresvˇedˇcit obr´azkem, nastudujte si, jak vykreslovat grafy funkc´ı.
Matematika 1 16
4.1.4 Limity v nevlastn´ıch bodech
Pro poˇc´ıt´an´ı limit v nevlastn´ıch bodech plat´ı stejn´e pˇr´ıkazy jako pro limity ve vlastn´ıch bodech. Pouze je
tˇreba ps´at x →∞, tj. x=infinity, resp. x=-infinity.
> Limit(exp(x),x=-infinity)=limit(exp(x),x=-infinity);
lim
x→(−∞)
ex = 0
Cviˇcen´ı
Pro jednu zn´amou funkci plat´ı, ˇze jej´ı limita pro x →∞ je rovna nekoneˇcnu, jej´ı limita zprava pro x → 0
je rovna −∞, pˇriˇcemˇz pro z´aporn´a x tato funkce nen´ı definov´ana. Najdˇete tuto funkci a ovˇeˇrte uveden´a
tvrzen´ı o limit´ach. Pokud se budete cht´ıt pˇresvˇedˇcit obr´azkem, nastudujte si, jak vykreslovat grafy
funkc´ı.
4.1.5 Chybov´a hl´aˇsen´ı
V n´asleduj´ıc´ıch pˇr´ıkladech se pokuste urˇcit, co vyvolalo chybov´e hl´aˇsen´ı, resp. proˇc neobdrˇz´ıte oˇcek´avan´y
v´ysledek. Pot´e pˇr´ıkaz opravte.
> limit(2x/(x+1)^2,x=1);
Error, missing operator or ‘;‘
> limit(x^2);
Error, (in limit) too few arguments
> limit(sin(y),x=1);
sin(y)
4.2 Derivace
4.2.1 Co je potˇreba zn´at
Pro v´ypoˇcet derivac´ı funkc´ı v Maplu je tˇreba nejprve ovl´adat z´aklady zad´av´an´ı funkc´ı.
4.2.2 Z´aklady
Derivaci funkce na intervalu lze vypoˇc´ıtat pomoc´ı pˇr´ıkazu diff(funkce,promenna).
> restart:
> diff(x^2,x);
2x
Na funkci se tak´e m˚uˇzeme v pˇr´ıkazu diff pouze odk´azat, tedy uv´est jen jej´ı oznaˇcen´ı. Uk´azat jak.
Podobnˇe jako pˇr´ıkaz limit, m´a i pˇr´ıkaz diff variantu Diff. V´ystup se vˇsak na prvn´ı pohled zd´a pˇr´ıliˇs
sloˇzit´y:
> Diff(x^2,x)=diff(x^2,x);
∂
∂x x
2 = 2x
Oznaˇcen´ı y = x2, y’ = 2x je moˇzno doc´ılit t´ımto postupem (vˇsimnˇete si, ˇze ve druh´em a tˇret´ım ˇr´adku
je pouˇzito = nikoliv :=. Nejedn´a se proto o pˇriˇrazen´ı hodnoty ale pouze o ”kosmetickou ´upravu“).
> with(PDEtools): declare(y(x),prime=x):
y(x), will now be displayed as, y
derivatives with respect to :, x, of functions of one variable will now be displayed with ′
> funkce:=x^2: y=funkce;
y = x2
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 17
> diff(y(x),x)=diff(funkce,x);
y′ = 2x
Cviˇcen´ı
Zadejte a vypoˇctˇete derivace funkci y = tg x2 . Odpov´ıd´a poˇc´ıtaˇcov´y v´ystup v´ysledku, kter´y dostanete pˇri
ruˇcn´ım poˇc´ıt´an´ı? Pokud ne, zkuste tento rozpor objasnit.
Poˇc´ıt´ame-li derivaci funkce v bodˇe, najdeme nejprve pˇr´ıkazem diff(funkce,promenna)
derivaci funkce a pot´e provedeme dosazen´ı pˇr´ıkazem subs(promenna=hodnota,kam).
> funkce:=x^3+3*x^2: derivace:=diff(funkce,x): subs(x=2,derivace);
24
Cviˇcen´ı
Urˇcete derivaci funkce y = x+1x+3 v bodˇe x = 2 a porovnˇejte v´ysledek z Maplu s v´ysledkem pˇri ruˇcn´ım
poˇc´ıt´an´ı. Mohou se z´ıskan´e hodnoty liˇsit?
4.2.3 Derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u
> restart:
Zmˇena parametru u pˇr´ıkazu diff na diff(funkce,x$rad derivace)
umoˇzˇnuje hledat derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u.
> funkce:=x^4: diff(funkce,x$2); diff(funkce,x$3); diff(funkce,x$4);
12x2
24x
24
Cviˇcen´ı
Urˇcete druhou derivaci funkce y = tg x2 a srovnejte ji s v´ysledkem dosaˇzen´ym pˇri ruˇcn´ım poˇc´ıt´an´ı. Vysvˇetlete
pˇr´ıpadn´y rozpor.
4.2.4 Chybov´a hl´aˇsen´ı
V n´asleduj´ıc´ıch pˇr´ıkladech se pokuste urˇcit, co vyvolalo chybov´e hl´aˇsen´ı, resp. proˇc neobdrˇz´ıte oˇcek´avan´y
v´ysledek. Pot´e pˇr´ıkaz opravte.
> funkce:=sqrt(x): diff(y);
Error, wrong number (or type) of parameters in function diff
> funkce:=ln(x): diff(funkce);
Error, wrong number (or type) of parameters in function diff
> funkce:=exp(x): diff(funkce,x=1);
Error, wrong number (or type) of parameters in function diff
> with(PDEtools): declare(y(x),prime=x):
y(x), will now be displayed as, y
derivatives with respect to :, x, of functions of one variable will now be displayed with ′
> y:=x^3: diff(y(x),x)=diff(y,x);
3x(x)2 x′ = 3x2
Matematika 1 18
4.3 Pr˚ubˇeh funkce
4.3.1 Co je potˇreba zn´at
Pˇri vyˇsetˇrov´an´ı pr˚ubˇehu funkce pomoc´ı programu Maple je tˇreba umˇet naj´ıt limitu funkce v dan´em
bodˇe a naj´ıt derivaci funkce (vˇcetnˇe derivace druh´eho ˇr´adu).
4.3.2 Definiˇcn´ı obor, obor hodnot, nulov´e body funkce
Zaˇcnˇeme informacemi, kter´e lze o funkci z´ıskat z jej´ıho pˇredpisu. Pˇri urˇcov´an´ı, kdy funkce nab´yv´a klad-
n´ych a z´aporn´ych hodnot, a pˇri hled´an´ı nulov´ych bod˚u funkce vyuˇzijeme pˇr´ıkaz solve(nerovnice),resp.
solve(v´yraz). Pokud je z´ıskan´y v´yraz pˇr´ıliˇs komplikovan´y, pouˇzijte pˇr´ıkaz fsolve(v´yraz).
> restart:
> y:=1/(x^2-6*x+8);
y := 1x2 −6x + 8
> kladna:=solve(y>0); zaporna:=solve(y prvni_derivace:=simplify(diff(y,x));
prvni derivace := −2 x−3(x2 −6x+ 8)2
> rostouci:=solve(prvni_derivace>0);
> klesajici:=solve(prvni_derivace stacionarni_body:=solve(prvni_derivace=0);
rostouci := RealRange(−∞, Open(2)), RealRange(Open(2), Open(3))
klesajici := RealRange(Open(3), Open(4)), RealRange(Open(4), ∞)
stacionarni body := 3
Mus´ıme ovˇsem rozliˇsovat, kter´e intervaly patˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru dan´e funkce. V tomto pˇr´ıpadˇe vid´ıme,
ˇze funkce roste na intervalu ( −∞, 2) a ( 2, 3) , kles´a na intervalech ( 3, 4) a ( 4, ∞) a stacion´arn´ım
bodem je bod x = 3.
4.3.4 Konk´avnost, konvexnost funkce, inflexn´ı body
Informace o tvaru kˇrivky a povaze lok´aln´ıch extr´em˚u n´am poskytne jej´ı druh´a derivace.
> druha_derivace:=simplify(diff(prvni_derivace,x));
druha derivace := 2 3x
2 −18x+ 28
(x2 −6x+ 8)3
> konvexni:=solve(druha_derivace>0); konkavni:=solve(druha_derivace inflexni_body:=solve(druha_derivace=0);
konvexni := RealRange(−∞, Open(2)), RealRange(Open(4), ∞)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 19
konkavni := RealRange(Open(2), Open(4))
inflexni body := 3 + 13 I√3, 3− 13 I√3
Podobnˇe jako u prvn´ıch derivac´ı mus´ıme rozliˇsovat, kter´e intervaly patˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru funkce.
Zde vid´ıme, ˇze funkce je konvexn´ı (tj. nad teˇcnou) na intervalu ( −∞, 2) a ( 4, ∞) a konk´avn´ı (tj. pod
teˇcnou) na intervalu ( 2, 4). Funkce nem´a re´aln´e inflexn´ı body (I znaˇc´ı imagin´arn´ı jednotku).
4.3.5 Lok´aln´ı extr´emy
Pomoc´ı hodnot druh´e derivace m˚uˇzeme tak´e rozhodnout o typech lok´aln´ıch extr´em˚u funkce. V´ıme o nich,
ˇze mohou nastat ve stacion´arn´ıch bodech – o jejich charakteru pak rozhoduje znam´enko druh´e derivace
v tˇechto bodech. Proto:
> s1:=stacionarni_body:
> druha_derivace_v_s1:=subs(x=s1,druha_derivace);
druha derivace v s1 := −2
> if(druha_derivace_v_s1 if(druha_derivace_v_s1>0) then print(’minimum’) end if;
> if(druha_derivace_v_s1=0) then print(’takto_nelze_rozhodnout’) end if;
maximum
Pokud by bylo stacion´arn´ıch bod˚u v´ıce, museli bychom ps´at sn:=stacionarni body[n], kde parametr
n (v hranat´ych z´avork´ach) by byl indexem stacion´arn´ıho bodu, pˇriˇcemˇz prvn´ı bod by mˇel index 1.
Analogicky bychom pak museli opravit i n´asleduj´ıc´ı ˇr´adky.
(Pozn.: Sekvence pˇr´ıkaz˚u if, then, print, a end if je pouze ”kosmetick´a z´aleˇzitost“, jej´ıˇz v´yklad
pˇresahuje r´amec tohoto textu. Zajiˇst’uje, aby Maple vypsal spr´avnou moˇznost, tedy maximum, mini-
mum, resp. takto nelze rozhodnout).
4.3.6 Asymptoty grafu funkce
Asymptoty bez smˇernice (svisl´e) budeme hledat v krajn´ıch bodech interval˚u, kde funkce nen´ı definov´ana.
Zaj´ım´a n´as totiˇz, jak se funkce chov´a v krajn´ıch bodech sv´eho definiˇcn´ıho oboru. V naˇsem pˇr´ıpadˇe nen´ı
funkce definov´ana v bodech x = 2 a x = 4. Proto budeme zkoumat jednostrann´e limity v tˇechto bodech.
> Limit(y,x=2,right)=limit(y,x=2,right);
> Limit(y,x=2,left)=limit(y,x=2,left);
> Limit(y,x=4,right)=limit(y,x=4,right);
> Limit(y,x=4,left)=limit(y,x=4,left);
limx→2+ 1x2 −6x + 8 = −∞
limx→2− 1x2 −6x+ 8 = ∞
limx→4+ 1x2 −6x+ 8 = ∞
limx→4− 1x2 −6x+ 8 = −∞
Kromˇe svisl´ych asymptot mohou existovat i jin´e – asymptoty se smˇernic´ı. Bude n´as zaj´ımat, ˇcemu se
bl´ıˇz´ı hodnoty funkce za situace, kdy se x bl´ıˇz´ı + ∞ nebo −∞.
> Limit(y/x,x=infinity)=limit(y/x,x=infinity);
> k1:=limit(y/x,x=infinity):
> Limit(y-k1*x,x=infinity)=limit(y-k1*x,x=infinity);
> q1:=limit(y-k1*x,x=infinity): asymptota_1:=k1*x+q1;
limx→∞ 1(x2 −6x+ 8)x = 0
limx→∞ 1x2 −6x + 8 = 0
Matematika 1 20
asymptota 1 := 0
> Limit(y/x,x=-infinity)=limit(y/x,x=-infinity);
> k2:=limit(y/x,x=-infinity):
> Limit(y-k2*x,x=-infinity)=limit(y-k2*x,x=-infinity);
> q2:=limit(y-k2*x,x=-infinity): asymptota_2:=k2*x+q2;
lim
x→(−∞)
1
(x2 −6x+ 8)x = 0
lim
x→(−∞)
1
x2 −6x + 8 = 0
asymptota 2 := 0
V tomto pˇr´ıpadˇe je jedinou asymptotou se smˇernic´ı pˇr´ımka y = 0, tj. osa x.
4.3.7 Vykreslen´ı grafu funkce
Nyn´ı m˚uˇzeme graf funkce nechat vykreslit. Nejprve si vˇsak zopakujme, co o dan´e funkci v´ıme:
• nen´ı definov´ana v bodech x = {2, 4}, nab´yv´a kladn´ych hodnot na intervalech ( −∞, 2) a ( 4, ∞),
z´aporn´ych hodnot na intervalu ( 2, 4),
• na intervalech ( −∞, 2 ) a ( 2, 3) roste, na intervalech (3,4) a ( 4, ∞) kles´a,
• v bodˇe x = 3 m´a lok´aln´ı maximum y = −2,
• na intervalech ( −∞, 2) a ( 4, ∞) je konvexn´ı (tedy leˇz´ı nad teˇcnou), na intervalu ( 2, 4) je konk´avn´ı
(tedy leˇz´ı pod teˇcnou), pˇriˇcemˇz nem´a inflexn´ı bod,
• v okol´ı bodu x = 2 nab´yv´a zprava velk´ych z´aporn´ych hodnot, zleva velk´ych kladn´ych hodnot;
v okol´ı bodu x = 4 zprava velk