Skripta Spojité systémy 2.část

ní lineární
diferenciální rovnice s konstantními koeficienty s pravou stranou (tzv. nehomogenní
diferenciální rovnice) je dáno součtem řešení homogenní diferenciální rovnice tj. rovnice bez
pravé strany a libovolného partikulárního řešení rovnice s pravou stranou ()ty
H
( )ty
P
.
Homogenní diferenciální rovnice tj. rovnice bez pravé strany
()
0
0
=
∑
=
n
i
i
i
i
dt
tyd
a
( 1.36 )
popisuje tedy situaci, kdy systém není buzen tj. ( ) 0=tu a je tedy ponechán „sám sobě“. Na
výstupu tohoto systému bude odezva ( )ty
P
, která vyhovuje diferenciální rovnici ( 1.36 ) a je
dána počátečními podmínkami
()
()
( )
( )
( )
( ) ( )0,0,...0,0
121
yyyy
nn −−
. Každá homogenní lineární
diferenciální rovnice s konstantními koeficienty řádu má právě lineárně nezávislých
řešení . Řešení této rovnice je pak dáno lineární kombinací (princip
superpozice)
n n
() nity
i
,...2,1=
() () () ( )tyCtyCtyCty
nnP
+++= ...
2211

( 1.37 )
kde koeficienty jsou určeny počátečními podmínkami tj. stavy jednotlivých
akumulátorů energie, obsažených v systému. Je tedy řešení homogenní rovnice odezvou
systému na počáteční podmínky a nazývá se
niC
i
,...2,1=
přirozená odezva systému (zero- input
response). Při nenulových počátečních podmínkách si jednotlivé akumulátory uvnitř systému
vyměňují energii což ve svém důsledku vede k nenulové odezvě ( )ty
P
na výstupu systému.
Budou-li ale počáteční podmínky nulové, bude i výstup systému nulový.
Předpokládejme nyní, že počáteční podmínky jsou nulové, ale na vstupu systému působí
nenulový signál . Reakce systému na tento signál tj. jeho výstup, se nazývá () 0≠tu vynucená
odezva systému (zero- state response) ( )ty
V
. Je dána řešením rovnice ( 1.35 ) při nulových
počátečních podmínkách.
Nechť jsou nyní jak počáteční podmínky tak i vstupní signál nenulový. Protože se jedná
o lineární systém kde platí princip superpozice, bude výsledná odezva systému rovna
součtu jednotlivých odezev tj.
()ty
() () ( )tytyty
VP
+= .
( 1.38 )
Tedy celkové chování buzeného systému s nenulovými počátečními podmínkami je dáno
superpozicí přirozené a vynucené odezvy (princip superpozice) a nazývá se úplná odezva
(total response).
Příklad 1.1: Příklad řešení diferenciální rovnice
Uvažme jednoduchý elektrický systém z Obr. 1-1. Je popsán diferenciální rovnicí prvního
řádu
()
() ()tutu
dt
tdu
RC
12
2
=+
Signály a systémy 17
s počáteční podmínkou napětí na kapacitoru ( )0
2
u . Předpokládejme nejprve, že systém není
buzen tj. a kapacitor je na počátku nabit na napětí () 0
1
=tu ( )
22
0 Uu = . Označme TRC = .
Řešíme tedy homogenní rovnici
()
() 0
2
2
=+ tu
dt
tdu
T
s počáteční podmínkou . Snadno se přesvědčíme, že řešení homogenní rovnice má
tvar
()
22
0 Uu =
()
t
P
eCtu
α
12
=
()
t
P
eC
dt
tdu
α
α
1
2
=
kde α a jsou zatím neznámé konstanty. Konstantu
1
C α získáme tak, že výše uvedené dva
vztahy dosadíme do diferenciální rovnice. Bude
T
TeCeTC
tt
1
010
11
−=⇒=+⇒=+ ααα
αα
.
Platí tedy pro přirozenou odezvu našeho systému
()
T
t
P
eCtu
−
=
12
.
Konstantu určíme z počáteční podmínky
1
C
()
1
0
122
0 CeCUu
t
T
t
===
=
−
.
Takže konečně pro přirozenou odezvu máme
()
T
t
P
eUtu
−
=
22
.
Tento vztah říká, že kapacitor se z počátečního napětí exponenciálně vybíjí. Situace je
znázorněna v levé části Obr. 1-6.
2
U

RR
C C
i (t)
1
i (t)
1
u (t)=0
1
i (t)
c
i (t)
c
i (t)=0
2
i (t)=0
2
u (t)
2
u (t)
2
u (t)
2
u (t)
2
u (0)=U
2
2
u (0)=0
2
U
2
U
1
00tt
u (t)=U (t)σ
1 1
τ

Obr. 1-6: Přirozená (vlevo) a vynucená (vpravo) odezva
Nechť je nyní počáteční napětí na kapacitoru nulové ( ) 00
2
=u a systém je buzen signálem
typu jednotkový skok () ()tUtu σ
11
= . Řešíme tedy nyní rovnici s pravou stranou
()
() ()tUtu
dt
tdu
T σ
12
2
=+
s počáteční podmínkou . Snadno se přesvědčíme, že řešení má v tomto případě tvar () 00
2
=u
() ()tUeCtu
T
t
V
σ
112
+=
−

18 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
a konstantu nyní určíme z počáteční podmínky
1
C ( ) 00
2
=u . Bude
() ()
1111
0
112
00 UCUCtUeCu
t
T
t
V
−=⇒+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+==
=
−
σ
Je tedy
() () 01
1112
>
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=+−=
−−
teUtUeUtu
T
t
T
t
V
σ .
Tento vztah znamená, že kapacitor se z počátečního nulového napětí nabíjí na napětí .
Situace je znázorněna v pravé části Obr. 1-6.
1
U
1.3.2 Operátorový přenos systému
Operátorový přenos je způsob popisu chování systému, kdy diferenciální rovnice je
vyjádřena v jiné podobě. Pro zavedení pojmu operátorový přenos potřebujeme matematický
nástroj, zvaný Laplaceova transformace. Stručně zopakujeme definici a některé základní
vlastnosti této transformace.
Nechť je dán nějaký signál, popsaný časovou funkcí ( )tf . Laplaceova transformace je
předpis, který každé takové funkci přiřazuje její obraz ( )pF a je definována integrálem
() (){} ()
∫
∞
−
==
0
dtetftfpF
pt
L
( 1.39 )
kde proměnná p je komplexní číslo ωjcp += . Funkce ( )tf se nazývá vzor, funkce ( )pF
je funkce komplexní proměnné a nazývá se obraz. Všimněme si, že dolní mez integrálu je
nulová což je totéž, jako kdyby funkce ( )tf byla nulová pro záporný čas tj. signál má svůj
počátek- začíná v nule. Aby výše uvedený definiční integrál existoval, musí funkce ( )tf
splňovat jisté další matematické podmínky, které jsou ale předmětem matematiky a nikoliv
předmětem našeho textu. Existují rozsáhlé tabulky („slovníky“ Laplaceovy transformace),
obsahující vzory a obrazy Laplaceovy transformace (viz např.[ 2]). Pro naše účely bude
dostačující znát jen čtyři taková přiřazení, která jsou uvedena v následující tabulce.
Tab. 1-1: Malý slovník Laplaceovy transformace
Vzor ()tf Obraz ( ) ( ){ }tfpF L=
() ()ttf δ= Diracův impuls ( ) 1=pF
() ()ttf σ= jednotkový skok
()
p
pF
1
=
()
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
−
00
0
t
te
tf
at
konstanta =a
()
ap
pF
+
=
1

()
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
00
0
t
tt
tf lineárně narůstající signál
()
2
1
p
pF =
Pomocí těchto 4 základní přiřazení lze odvodit řadu dalších potřebných přiřazení.
Příklad 1.2: Příklad výpočtu Laplaceovy transformace
Signály a systémy 19
Najděte Laplaceovu transformaci funkce
()
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
00
0cos
t
ttA
tf
ω

Řešení: Jelikož víme, že platí
tjtj
tjtj
e
A
e
Aee
AtA
ωω
ωω
ω
−
−
+=
+
=
222
cos
potom {}{} { }
22
1
2
1
222
cos
ωωω
ω
ωω
+
=
+
+
−
=+=
−
p
p
A
jp
A
jp
A
e
A
e
A
tA
tjtj
LLL
kde jsme použili třetího řádku výše uvedené tabulky.
Laplaceova transformace má dvě důležité vlastnosti, které ji předurčují pro řešení
lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty.
První vlastností je její linearita, která vyplývá přímo z vlastnosti definičního integrálu.
Tato vlastnost znamená následující: Nechť jsou dány dvě funkce a nechť dále
známe jejich Laplaceovy obrazy
() ()tftf
21
,
( ) ( )pFpF
21
, . Dále nechť jsou dány dvě konstanty
21
,αα .
Vytvořme novou funkci () ( ) ( )tftftf
2211
αα += která je lineární kombinací obou
předchozích a hledejme její Laplaceův obraz ( )pF . Přímo z definičního integrálu Laplaceovy
transformace plyne
() (){ } ( ){ } ( ){ } ( )(
11 2 2 11 22
Fp ft ft f t Fp F pαα αα== + =+LLL
)
( 1.40 )
a tedy Laplaceův obraz lineární kombinace funkcí je lineární kombinace jejich Laplaceových
obrazů. Tento vztah snadno zobecníme pro více sčítanců. Bude-li
() ()
∑
=
=
n
i
ii
tftf
1
α a ( ) ( )
{ }
ii
Fp ft=L
( 1.41 )
potom
() (){} ()
1
n
ii
i
F pft Fα
=
==
∑
L p
( 1.42 )
Druhá vlastnost, která bývá nazývána větou o obrazu derivace, je následující. Nechť je dána
funkce a víme, že její obraz je ()tf ( )pF . Čemu se bude rovnat Laplaceův obraz derivace
funkce ? Přímo z definičního integrálu užitím integrace per partes obdržíme: ()tf
() ()
()
() ()
0
0 0
'
'
pt pt
pt pt pt
ue u pe
df t df t
e dt f te p f te dt
df
dt dt
vvft
dt
−−
∞ ∞
==−
⎧⎫
⎡⎤== =+
⎨⎬
⎣⎦
==
⎩⎭
∫∫
L
−

a tedy
()
() ()0
df t
f pF p
dt
⎧⎫
=− +
⎨⎬
⎩⎭
L
( 1.43 )
Bude-li počáteční hodnota funkce ( )tf nulová tj. ( ) 00 =f potom Laplaceův obraz derivace
funkce lze získat tak, že její obraz ()tf ( )pF vynásobíme operátorem p
20 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
()
()
df t
pFp
dt
⎧⎫
=
⎨⎬
⎩⎭
L
( 1.44 )
Vícenásobnou integrací per partes lze ukázat, že pro Laplaceův obraz -té derivace funkce
platí
n
()tf
()
()
()
()
()
()
()
() ()[]00...00
112211
ffpfpfppFp
dt
tfd
nnnnn
n
n
++++−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−−−−
L
( 1.45 )
Budou-li počáteční hodnoty funkce ( )tf a všech derivací nulové tj.
potom Laplaceův obraz -té derivace funkce
lze získat tak, že její obraz vynásobíme operátorem
()
()
()
()
()
() () 000...00
121
=====
−−
ffff
nn
n
()tf ()pF
n
p
()
()
n
n
n
dft
pF p
dt
⎧⎫
⎪⎪
=
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
L
( 1.46 )
Laplaceova transformace tedy převádí operaci derivace vzoru na operaci násobení obrazu
operátorem p .
Tyto dvě vlastnosti Laplaceovy transformace lze s výhodou použít pro jiný zápis
diferenciální rovnice, která popisuje chování systému. Nechť je dán systém, jehož chování je
popsáno diferenciální rovnicí
() () ()
()
( ) ( ) ()
()tub
dt
tdu
b
dt
tyd
b
dt
tud
btya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n 01
1
1
101
1
1
1
........ +++=+++
−
−
−
−
−
−

kterou zkráceně zapíšeme jako
() ()
∑∑
==
=
m
i
i
i
i
n
i
i
i
i
dt
tud
b
dt
tyd
a
00

( 1.47 )
s nulovými počátečními podmínkami
( )
( )
( )
( )
( )
( )()000...00
121
=====
−−
yyyy
nn
. Označme
Laplaceův obraz vstupního signálu jako ( ) ( ){ }tupU L= a obraz výstupního signálu (odezvy
systému na tento vstup) jako () ( ){typY L= }. Proveďme Laplaceovu transformace levé i pravé
strany diferenciální rovnice tj.

( ) ( )
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∑∑
==
m
i
i
i
i
n
i
i
i
i
dt
tud
b
dt
tyd
a
00
LL
Použijeme-li nyní první vlastnosti tj. vlastnosti linearity obdržíme:
( ) ( )
∑∑
== ⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
m
i
i
i
i
n
i
i
i
i
dt
tud
b
dt
tyd
a
00
LL
Použijeme-li nyní druhé vlastnosti tj. věty o obrazu derivace (za dříve uvedeného předpokladu
nulových počátečních podmínek) obdržíme:
() ()
∑∑
==
=
m
i
i
i
n
i
i
i
pUpbpYpa
00

Signály a systémy 21
Obraz výstupu ani obraz vstupu ()pY ( )pU nezávisí v těchto sumách na sčítacím indexu i a
můžeme je vytknout před tyto sumy a obdržíme:
() ()
∑∑
==
=
m
i
i
i
n
i
i
i
pbpUpapY
00

Z této rovnice můžeme vyjádřit poměr Laplaceova obrazu výstupu ( )pY a vstupu jako ()pU
()
()
()
()
()pA
pB
apapapa
bpbpbpb
pa
pb
pU
pY
pF
n
m
n
n
n
n
m
m
m
m
n
i
i
i
m
i
i
i
=
++++
++++
===
−
−
−
−
=
=
∑
∑
01
1
1
01
1
1
0
0
...
...

( 1.48 )
Tento poměr se nazývá operátorový přenos systému. Všimněme si, že operátorový přenos je
poměrem dvou polynomů. Polynom v čitateli ( )pB
m
má stupeň (je roven řádu nejvyšší
derivace na pravé straně diferenciální rovnice tedy na straně vstupu systému) a polynom
ve jmenovateli
m
( )pA
n
má stupeň . Tento stupeň je roven řádu nejvyšší derivace na levé
straně diferenciální rovnice tedy na straně výstupu systému. Polynom se nazývá
n
()pA
n
charakteristický polynom. Stupeň polynomu n ( )pA
n
se nazývá řád systému. Z fyzikálního
hlediska je řád systému roven počtu nezávislých akumulátorů energie, které se nachází
v systému. O stupních polynomů čitatele a jmenovatele platí následující: stupeň
polynomu čitatele je nejvýše roven stupni polynomu jmenovatele tj. . Tato skutečnost
souvisí s fyzikální realizovatelností operátorového přenosu a bude podrobně fyzikálně
objasněna v kapitole Frekvenční přenos systému.
m n
nm ≤
Z toho, co bylo právě řečeno o polynomech čitatele a jmenovatele je zřejmé, že operátorový
přenos lze získat jednoduše přímo z diferenciální rovnice bez předchozích zdlouhavých
výpočtů. V čitateli operátorového přenosu je polynom, jehož koeficienty u jednotlivých
mocnin jsou rovny koeficientům u jednotlivých derivací na pravé straně diferenciální
rovnice. Ve jmenovateli operátorového přenosu je polynom, jehož koeficienty u jednotlivých
mocnin jsou rovny koeficientům u jednotlivých derivací na levé straně diferenciální
rovnice. A obráceně, z operátorového přenosu (na základě znalosti obou polynomů) lze
jednoduše najít diferenciální rovnici systému.
p
p
Příklad 1.3: Operátorový přenos jednoduchých systémů
Jednoduché systémy, kterými jsme se zabývali na začátku této kapitoly, byly popsány
formálně stejnou diferenciální rovnicí tvaru
( )
() ()tubtya
dt
tdy
a
001
=+
Proto jejich přenos bude mít ve všech případech tvar
()
01
0
apa
b
pF
+
= .
Obvykle tento přenos upravujeme na takový tvar, ve kterém je nejnižší koeficient jmenovatele
roven jedné tj. na tvar
22 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
()
1
1
0
1
0
0
+
=
+
=
Tp
K
p
a
a
a
b
pF .
( 1.49 )
Konstanta K se nazývá zesílení systému a její fyzikální rozměr je roven poměru fyzikálních
rozměrů výstupní a vstupní veličiny systému. Konstanta T se nazývá časová konstanta a její
fyzikální rozměr je sekunda. Tento systém je systémem prvního řádu s charakteristickým
polynomem . () 1+=TppA
Příklad 1.4: Operátorový přenos složitějších systémů
Složitější systémy, kterými jsme se zabývali na začátku této kapitoly, byly popsány formálně
stejnou diferenciální rovnicí tvaru
( )
() ()tubtya
dt
tdy
a
dt
yd
a
001
2
2
2
=++
Proto jejich přenos bude mít ve všech případech tvar
()
1
0
1
2
0
2
0
0
01
2
2
0
++
=
++
=
p
a
a
p
a
a
a
b
apapa
b
pF .
Předpokládejme, že charakteristický polynom ( ) 1//
01
2
02
++= paapaapA má oba kořeny
reálné. Potom můžeme tento přenos upravit na tvar
()
()()11
21
++
=
pTpT
K
pF ( 1.50 )
kde
0
0
0
20
2
11
2
0
20
2
11
1
2
4
2
4
a
b
K
a
aaaa
T
a
aaaa
T =
−−
=
−+
=
( 1.51 )
Konstanta K je opět zesílení systému a její fyzikální rozměr je roven poměru fyzikálních
rozměrů výstupní a vstupní veličiny systému. Konstanty jsou
21
, TT časové konstanty a jejich
fyzikální rozměr je sekunda. Tento systém je systémem druhého řádu.
Příklad 1.5: Operátorový přenos jedné nádrže bez otvoru
Vezměme příklad jednoduchého hydraulického systému sestávajícího z jedné nádrže
z motivační kapitoly (viz Obr. 1-1), ale otvor u dna nádrže zcela uzavřeme tj. hydraulický
odpor . Diferenciální rovnice bude mít v tomto případě tvar ∞→R
()
()tub
dt
tdy
a
01
=
a operátorový přenos potom bude
p
K
pa
b
pF ==
0
0
)( . ( 1.52 )
Signály a systémy 23
Z předchozího víme, že násobení operátorem p představuje derivaci v časové oblasti a dělení
tímto operátorem představuje integraci v časové oblasti. Proto se systémy, které mají ve
jmenovateli operátorového přenosu samostatné p nazývají integrační systémy.
O fyzikálních jednotkách
Připomeňme v této souvislosti některé fyzikální skutečnosti, které se týkají fyzikálních
jednotek. V definičním integrálu Laplaceovy transformace časové funkce ()tf
() () dtetfpF
pt−
∞
∫
=
0

se vyskytuje v exponentu čas , jehož fyzikální rozměr je t [ ]sec . Fyzikální rozměr operátoru
musí tedy být p [ ]
1
sec
−
, neboť argument exponenciální funkce musí být bezrozměrný.
V operátorovém přenosu, vyjádřeném pomocí zesílení a časových konstant se vyskytuje výraz
. Jelikož číslo 1 je bezrozměrné musí být i součin bezrozměrný a tedy číslo (1+Tp ) Tp T
musí mít fyzikální rozměr . Odtud plyne oprávněnost názvu „časová“ konstanta.
Fyzikální jednotka zesílení je rovna poměru fyzikální jednotky výstupní veličiny ku fyzikální
jednotce vstupní veličiny.
[sec]
Proč operátorový přenos
Nyní může být nastolena otázka, proč je výhodnější popis systému pomocí operátorového
přenosu než pomocí diferenciální rovnice. Výhoda popisu systému pomocí operátorového
přenosu spočívá v elegantním a rychlém řešení příslušné diferenciální rovnice. Toto řešení
plyne přímo z definice operátorového přenosu. Představme si, že máme dán systém, který je
popsán pomocí operátorového přenosu ( )pF a na vstup tohoto systému působí signál ( )tu ,
jehož Laplaceův obraz známe a označme jej jako ( )pU . Vlivem vstupního signálu bude na
výstupu systému časový průběh ( )ty , jehož Laplaceův obraz označme jako . Z definice
operátorového přenosu plyne, že pro Laplaceův obraz výstupního signálu platí
. Chceme-li nyní znát časový průběh výstupu
()pY
() ()()pUpFpY = ( )ty potom
() ( ){ } ()(){}pUpFpYty
11 −−
== LL .
( 1.53 )
Budeme-li mít nyní k dispozici dostatečně bohatý slovník Laplaceovy transformace, potom
v jeho pravém sloupci nalezneme výraz ( ) ( )pUpF tj. obraz ( )pY a v jeho levém sloupci
k němu odpovídající vzor tj. . Jinými slovy jsme tímto rychlým postupem nalezli reakci
systému na vstupní signál
()ty
()ty ( )tu tj. vyřešili jsme diferenciální rovnici (pro nulové
počáteční podmínky- viz definice operátorového přenosu) systému.
Příklad 1.6: Použití operátorového přenosu
Nechť je dán jednoduchý systém s operátorovým přenosem
()
1+
=
Tp
K
pF
Nalezněte odezvu systému na jednotkový skok ( )tσ . Tento příklad reprezentuje chování
jednoduchých systémů, které byly uvedeny na začátku této kapitoly (RC článek, napouštění
nádrže, ohřev vody ponorným vařičem atd.). Všechny tyto jednoduché systémy mají formálně
stejnou diferenciální rovnici a musí mít tedy i formálně stejný operátorový přenos (zesílení i
časová konstanta se mohou lišit svojí velikostí a fyzikálním rozměrem) a musí mít proto i
24 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
formálně stejnou reakci na stejný vstupní signál. Tímto vstupním signálem je připojení (v čase
) jednotkového napětí na RC článek, napouštění nádrže jednotkovým množstvím
kapaliny
0=t []Vu
[ ]sec/
3
mq , dodávání jednotkového výkonu [ ]Wp do ponorného vařiče atd.).
Laplaceův obraz vstupního signálu je podle dříve uvedené tabulky ( ) ppU /1= . Průběh
výstupní veličiny každého takového systému bude tedy dán jako:
() ( ){} ()(){}
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
===
−−−
1
1
111
Tp
K
p
pUpFpYty LLL
V bohatším slovníku než je naše tabulka bychom našli přímo tuto zpětnou Laplaceovu
transformaci. Můžeme ale použít naší tabulky s tím, že výraz v závorce nejprve rozložíme na
parciální zlomky. Bude platit
()
11 11
11
1
KKK
yt K K
pTp p p
pp
TT
−− −−
⎧ ⎫⎧⎫
⎪ ⎪⎪⎧⎫ ⎧⎫
==−=−
⎨⎬⎨ ⎬ ⎨⎬ ⎨
+
⎩⎭ ⎩⎭
⎪
⎬
⎪
++
⎩⎭ ⎩
LL LL
⎭

Oba výrazy již najdeme v naší tabulce a tedy platí
() ()
10
00
t
T
t
T
Ke t
yt K t Ke
t
σ
−
−
⎧
⎛⎞
−≥
⎪ ⎜⎟
⎪
⎝⎠
=−
⎨
⎪
<
⎪
⎩
= .
( 1.54 )
Situace je znázorněna obrázku Obr. 1-7. Snadno můžeme určit, že směrnice tečny v počátku
(počáteční rychlost nárůstu výstupní veličiny) je rovna poměru zesílení a časové
konstanty . TK /
u(t)
t0
y(t)
y(t)
K
1
F(p)=
Tp+1
K
u(t)= (t)σ
U(p)=
1
p
Y(p)=F(p).U(p)
T

Obr. 1-7: Jednoduchý systém a jeho reakce na jednotkový skok
Následující tabulka uvádí jednoduché systémy, prezentované v předchozím (viz. Obr. 1-1),
jejich zesílení K , časovou konstantu T a fyzikální popis průběhu výstupní veličiny jako
odezvy na jednotkový skok.
)(ty
Tab. 1-2: Jednoduché systémy a jejich reakce na jednotkový vstupní skok
Systém a jeho parametry Fyzikální popis průběhu výstupní veličiny
Elektrický systém
][1 −=K
[sec]RCT =
Napětí na kapacitoru narůstá z nulové hodnoty až na ustálenou
hodnotu, kdy dosáh