Skripta Vlny

elsia, nikoliv její jednotku.
k
dp
dV
Vp
=−=
11
κ
.
v =
ρ
κ
p
.
v =
M
RT
κ .
v = 331,82 + 0,61. t
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.13
Poznámka: Dosti často se místo hodnoty v
o
uvádí hodnota v
2o
při teplotě 20
o
C. Pak místo vztahu
(2,28) platí v = 344,36 + 0,61.∆t .
Zde ∆t je odchylka stávající teploty plynu od 20
o
C.

Poznámka: Rychlost zvuku ve vzduchu závisí také na přítomnosti dalších látek, zejména výrazný vliv
má přítomnost vodní páry, vlhkost vzduchu.

2.10 Superpozice a interference vlnění
• Princip superpozice je jedním ze zákonů přírody, který nachází uplatnění ve více oborech, např.
v mechanice, optice, elektrotechnice, radiotechnice, i jinde.
• Princip superpozice např. v teorii mechanických kmitů tvrdí, že částice, které mají vykonávat
současně několik kmitů daných výchylkami
1
u
r
,
2
u
r
, . . ., konají ve skutečnosti jeden kmitavý pohyb
daný výchylkou ++=
21
uuu
rrr
. . .




• Platnost principu superpozice je však omezena jen na takové děje, které jsou matematicky
charakterizovány (vyjádřeny) lineárními rovnicemi. Např. pro již zmíněné mechanické kmity platí
zákon superpozice jen v mezích platnosti Hookova zákona, tj. pro malé výchylky z rovnovážného
stavu, neboli nesmí být překročena mez pružnosti.
................................................................................................................................................................
• Protože vlnění jsou děje, při nichž se kmitavé pohyby (kmitavé změny stavu) rozšiřují z míst
svého vzniku do okolí, uplatňuje se princip superpozice i při vlnivých pohybech. Superpozici
vlnivých pohybů nazýváme interferencí.
• Nejjednodušší situace interference nastane, když se vzájemně prostoupí dvě harmonická vlnění o
stejné frekvenci (tedy i o stejné vlnové délce). Amplitudy obou vlnění se mohou lišit. (Že obě
vlnění musí být stejného druhu, např. obě akustická, nebo obě světelná, snad netřeba zdůrazňovat.)

vlnění 1
Z
1
.
• P .

vlnění 2

Z
2

Jednoduchý náčrtek znázorňuje uvedenou situaci. Ve vyšrafované oblasti se překrývají dvě
harmonické vlny, přicházející ze zdrojů Z
1
a Z
2
. Vyšetříme interferenci paprsků přicházejících do
bodu P. Abychom výchylky kmitů přicházejících do bodu P nemuseli sčítat vektorově,
předpokládejme, že okamžité výchylky kmitů přicházejících od zdroje Z
1
jsou rovnoběžné
s okamžitými výchylkami kmitů přicházejících od zdroje Z
2
. V takovém případě je v bodě P
můžeme sčítat algebraicky, tj. s ohledem jen na znaménko.
Z
1
ℓ
1
• P
ℓ
2
Z
2
• Označme vzdálenosti zdrojů od bodu P ℓ
1
a ℓ
2
. Okamžité výchylky harmonických kmitů
přicházejících od zdrojů jsou: ( )
111
sin ϕω −⋅= tuu
m

a ( )
222
sin ϕω −⋅= tuu
m
,

Okamžitá výchylka výsledného kmitavého pohybu je v kterémkoli okamžiku
rovna vektorovému součtu okamžitých výchylek dílčích kmitavých pohybů.
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.14
kde
1
ϕ a
2
ϕ jsou fázové konstanty, závislé mimo jiné na vzdálenostech
1
l a
2
l :

11
2
l
λ
π
ϕ = ;
22
2
l
λ
π
ϕ = . (2,29)
Pak tedy






−⋅=
111
2
sin l
λ
π
ω tuu
m

a






−⋅=
222
2
sin l
λ
π
ω tuu
m
.
Porovnejte tyto vztahy s rovnicí ( 2,5).
................................................................................................................................................................
• Okamžitá výchylka u výsledného vlnění v bodě P je určena vztahem:
u = ( ) ( )
221121
sinsin ϕωϕω −⋅+−⋅=+ tutuuu
mm
.
Po malé úpravě zjistíme, že
u = sin ω.t()
2211
coscos ϕϕ
mm
uu + - cos ω.t( )
2211
sinsin ϕϕ
mm
uu + . (2,30)
Protože závorky v (2,30) jsou konstanty, je výhodné zavést nové konstanty u
m
, ϕ následujícím
způsobem:

2211
coscos ϕϕ
mm
uu + = u
m
cos ϕ (2,31)

2211
sinsin ϕϕ
mm
uu + = u
m
sin ϕ (2,32)
................................................................................................................................................................
• Vztahy (2,31) a (2,32) dosadíme do (2,30) a upravíme:
u = u
m
( sin ω.t cos ϕ - cos ω.t sin ϕ )
tj.
(2,33)


• Podle (2,33) je výsledné vlnění opět harmonické a má stejnou frekvenci jako skládaná vlnění.
Zavedená konstanta u
m
je amplitudou výsledného vlnění a konstanta ϕ je fázovou konstantou
výsledné vlny. Obě konstanty se dají určit z (2,31) a z (2,32). Dostaneme:
( )
1221
2
2
2
1
2
cos2 ϕϕ −++=
mmmmm
uuuuu (2,34)
tg ϕ =
2211
2211
coscos
sinsin
ϕϕ
ϕϕ
mm
mm
uu
uu
+
+
. (2.35)
…………………………………………………………………………………………………………
• Rozdíl
2
ϕ -
1
ϕ je rozdílem fází obou skládaných kmitů. Nazývá se proto fázovým rozdílem.
Podle (2,29) je fázový rozdíl přímo úměrný rozdílu dráhovému
2
ϕ -
1
ϕ = ()
12
2
ll −
λ
π

nebo stručněji

(2,36)
…………………………………………………………………………………………………………
Poznámka: Při interferenci elektromagnetických vln (světla) se dráhovým rozdílem ∆ℓ rozumí rozdíl
optických drah ∆δ =
1122
ll nn − , kde
1
n je index lomu prostředí, kterým prochází paprsek zdroje
Z
1
a
2
n je index lomu prostředí, kterým prochází paprsek zdroje Z
2
.(Optická dráha nℓ se rovná
trajektorii světelného paprsku ve vakuu, kterou by proběhl za stejnou dobu, za jakou proběhne
skutečnou trajektorii ℓ v látkovém prostředí.)
V optice tedy píšeme: ∆ϕ =
λ
π2
∆δ . (2,37)
…………………………………………………………………………………………………………
u = u
m
sin(ω.t - ϕ) .
∆ϕ = l∆
λ
π2
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.15
• Podle (2,34) amplituda výsledného vlnového stavu v bodě P závisí nejen na amplitudách obou
skládaných vlnění, nýbrž i na jejich fázovém rozdílu. Protože fázový rozdíl je v různých bodech
interferenčního pole různý, bude mít i amplituda v různých bodech interferenčního pole různou
hodnotu. Z mnoha různých hodnot amplitudy výsledného vlnění jsou dvě hodnoty významné
(význačné):
1. Dráhový rozdíl interferujících paprsků je roven sudému celočíselnému násobku poloviny
délky vlny:
∆ℓ = 2m
2
λ
,( v případě interference světla ∆δ = 2m
2
λ
), kde m = 0, ± 1, ± … (2,38)
je tzv. interferenční řád. Pak ∆ϕ = 2mπ a podle (2,34) je


(2,39)
Podle (2,39) výsledné vlnění má v bodě P maximální amplitudu, tedy i maximální intenzitu.
Vztahu (2,38) můžeme říkat podmínka vzniku interferenčních maxim.
…………………………………………………………………………………………………….
Poznámka: Jestliže např.
mm
uu
21
= , pak podle (2,39)
mm
uu
1
2= a protože intenzita vlnění
je přímo úměrná čtverci amplitudy,viz (2,7), znamená to, že v bodě P bude intenzita
výsledného vlnění čtyřnásobná než kdyby tímto místem procházela jen jedna vlna.
………………………………………………………………………………………………………………….
2. Dráhový rozdíl je roven lichému celočíselnému násobku poloviny délky vlny.
∆ℓ = (2m + 1)
2
λ
, příp. ∆δ = (2m + 1)
2
λ
, kde opět m = 0, ± 1, ± 2, ± … (2,40)
Pak ∆ϕ = (2m + 1)π a podle (2,34)


(2,41)
Vztah (2,40) vyjadřuje podmínku vzniku interferenčních minim.
…………………………………………………………………………………………………
Poznámka: Jestliže např.
mm
uu
21
= , pak podle (2,41) bude v bodě P intenzita výsledného
vlnění nulová.
…………………………………………………………………………………………………
Poznámka: Dojde-li k interferenci aniž dojde k odchylce od přímočarého šíření vlnění (v
homogenním a izotropním prostředí), pak takový jev nazýváme jevem ryze interferenčním.
Dojde –li (v prostředí homogenním a izotropním) k interferenci v prostoru přímočarému
šíření vlnění nepřístupném (v tzv. geometrickém stínu), nazýváme takový jev jevem
ohybovým.
………………………………………………………………………………………………………………………
Poznámka: Aby interference vlnění byla pozorovatelná, je nutné, aby rozdíl fází
interferujících vlnění byl v každém bodě interferenčního pole konstantní, na čase nezávislý.
Vlnění, která tuto podmínku splňují, nazýváme koherentní. Toho lze dosáhnout několika
způsoby.

2.11 Stojaté vlnění
• vzniká složením (interferencí) dvou stejných vlnění (stejného druhu, stejné frekvence i stejné
amplitudy). Nejčastěji vzniká složením vlnění postupujícího ohraničeným prostředím , s vlněním
odraženým od hranice prostředí. Např. na strunách hudebních nástrojů (ohraničená délka strun), ve
sloupcích vzduchu hudebních dechových nástrojů (ohraničená délka sloupce vzduchu), na bicích
hudebních nástrojích (ohraničená plocha bubnů, činel), apod.
…………………………………………………………………………………………………………
………...
mmm
uuu
21
+=
mmm
uuu
21
−=
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.16
•Uvažujme o postupné harmonické vlně šířící se ve směru osy x. Její vlnová funkce má tvar
u
1
= u
m
sin ω(t -
v
x
) .
Tutéž funkci vyjádříme symbolicky: u
1
= f [ω (t -
v
x
)].
Stejně symbolicky vyjádříme vlnu odraženou: u
2
= g [ω (t -
v
x
)].
(Předpokládáme, že odrazem se tvar vlny mohl změnit, proto tvar odražené vlny vyjadřujeme
funkcí g (≠ f).)

f
g

Vlnová funkce složeného vlnění bude mít (velmi obecný) tvar:
u = u
1
+ u
2
= f [ω (t -
v
x
)] + g [ω (t -
v
x
)]. (2,42)

K této rovnici ještě patří konkrétní okrajové podmínky.
…………………………………………………………………………………………………………
Př.: struna na obou koncích upevněná (L = délka struny):
1. okrajová podmínka: počáteční bod struny (x = 0) nekmitá, jeho výchylka je trvale nulová,
tj.
u(t, 0) = 0.
2. okrajová podmínka: také koncový bod struny (x = L) trvale nekmitá, tj. u(t, L) = 0.

2.okrajovou podmínku dosadíme do (2,42) :

⇒ g [ω (t -
v
L
)] = - f [ω (t -
v
L
)]. (2,43)
Ze vztahu (2,43) ⇒ tvar odražené vlny se nemění, ale mění se výchylka (v opačnou: g = - f).

v
r

f g

………………………………………………………………………………………….

Najdeme okamžitou výchylku stojatého vlnění v libovolném bodě Xstruny:

x = 0 f X x = ℓ

v v g = -f
x ℓ - x

u = f + g u = f [ ω (t -
v
x
)] – f [ ω (t -
v
L
-
v
xL−
)]
u = f [ ω (t -
v
x
)] – f [ ω (t +
v
x
-
v
L2
)] (2,44)
(2,44) určuje obecný tvar vlnové funkce stojatého vlnění.

Dosadíme 1. okrajovou podmínku do (2,44) { podmínka tato říká: pro x = 0 je u = 0 }:
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.17
⇒ f ( ω t ) = f [ ω ( t -
v
L2
)]
⇒ (2,45)

Vztah (2,45) udává hodnotu periody stojatého vlnění na struně, na obou koncích upevněné.
………………………………………………………………………………………………………

• Tedy - v libovolném bodě X struny se setkává vlna „ přímá “ , jejíž okamžitá výchylka
v libovolném okamžiku t je:
u
1
= f = u
m
sin[ ω ( t -
v
x
)],
s vlnou odraženou od pevného konce struny. Okamžitá výchylka (v bodě X) vlny odražené je:
u
2
= g = - u
m
sin [ω ( t +
v
x
-
v
L2
)].
• Když vynecháme periodu T, tak podle (2,42) je okamžitá výchylka výsledné, tj. stojaté vlny
v bodě X
u = u
1
+ u
2
= u
m
{ sin ( ω t - ω
v
x
) – sin ( ω t + ω
v
x
)}.
…………………………………………………………………………………………………………

Pro další úpravu použijeme vzorec:
sin ( α - β ) – sin ( α + β ) = - 2 cos α ⋅ sin β,
tedy
(2,46)


Rovnice (2,46) určuje okamžitou výchylku stojatého vlnění na struně jako funkci místa bodu X a
času t .

• Označme - 2 u
m
sin
v
xω
symbolem u
m
´. Tento výraz vyjadřuje amplitudu okamžité výchylky
ve vztahu (2,46).
Amplituda u
m
´ bude minimální (tj. nulová) pro sin
v
x⋅ω
= 0.
⇒
v
x⋅ω
= m ⋅ π , přičemž m = 0, ± 1, ± 2, ± ……

(2,47)

Vztah (2,47) určuje polohu míst, která jsou trvale v klidu, jsou to uzly. Mezi uzly se nacházejí
úseky, které trvale kmitají, to jsou kmitny.



• • • • • •




uzly kmitny
T
v
L
=
2

u = -2 ()t
v
x
u
m
⋅





 ⋅
ω
ω
cossin
x = m.
2
λ

Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.18

•Body kmitají s různými amplitudami, ale v každém okamžiku se nacházejí ve stejné fázi. Např.
současně dosahují svých maximálních výchylek a současně procházejí rovnovážnými polohami.
( Porovnejte s postupným vlněním a určete, v čem se obecně liší průběh amplitud a fází obou
druhů vlnění, tj. určete, v čem se liší stojaté vlny od postupných vln.)
…………………………………………………………………………………………………………
………...
• Body (částice) prostředí zasaženého stojatým nebo postupným vlněním zůstávají na svých
místech a pouze kmitají kolem svých rovnovážných poloh. U postupného vlnění pouze tvar vlny
postupuje fázovou rychlostí v. U stojatého vlnění i tvar vlny zůstává na místě a „ kmitá “ současně
s částicemi prostředí kolem jejich rovnovážných poloh.

2.12 Vlnové klubko (vlnový svazek) a grupová rychlost

• Rovinná harmonická vlna, popsaná rovnicí u = u
m
sin ( ω t - k x ) je víceméně idealizací,
protože takové vlny jsou :
1. přísně monofrekvenční ( ω = 2πf ….. mají jen jednu hodnotu f )
2. rovinné (tzn. jsou prostorově neomezené ).
Reálné vlny těžko mohou splňovat tyto podmínky.

Reálná vlnění však jsou:
1. většinou směsí frekvencí (směsí různých vlnových délek, např. sluneční světlo, jeho viditelná
část obsahuje vlnové délky z intervalu 400 nm až 760 nm)
2. prostorově ohraničená ( přinejmenším někde začínají).

Avšak i reálná vlnění lze matematicky vyjádřit uspokojivým způsobem, superpozicí (složením)
několika (mnoha) rovinných (ideálních) monofrekvenčních vln.
…………………………………………………………………………………………………………

Příklad:
Dvě harmonické monofrekvenční rovinné vlny se stejnosměrnými výchylkami kmitů se šíří
stejným směrem (zvoleným za souřadnicovou osu x). Frekvence obou vln si jsou vzájemně blízké:
ω
1
= ω + dω
ω
2
= ω - dω.
Tzn., že blízké jsou i absolutní hodnoty vlnových vektorů:
k
1
= k + dk
k
2
= k – dk,
takže jejich vlnové funkce mají tvar:
u
1
= u
m
sin [( ω + dω) t - ( k + dk ) x],
u
2
= u
m
sin [( ω - dω) t - ( k – dk ) x].
…………………………………………………………………………………………………………
• Vlny se šíří stejným směrem, proto můžeme kmity (vektorově) složit:
u
r
=
1
u
r
+
2
u
r
.
Protože výchylky jsou vzájemně rovnoběžné, lze kmity složit algebraicky:
u = u
1
+ u
2
u = u
m
{ sin [( ω + dω ) t - ( k + dk) x] + sin [ ( ω - dω ) t – (k – dk) x ]}.

Nyní ve vnější (složené) závorce sečteme podle vzorce:
sin α + sinβ = 2 cos
2
βα −
⋅ sin
2
βα +
.
Touto úpravou dostaneme:
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.19
u = 2 u
m
cos ( dω ⋅ t – dk ⋅ x ) ⋅ sin ( ω t - kx ) .

• Část pravé strany poslední rovnice, tj. 2 u
m
cos ( dω ⋅ t - dk ⋅ x ), je amplitudou výsledného
vlnění. Vidíme, že amplituda je prostorově i časově proměnná. Výraz ( dω ⋅ t - dk ⋅ x ) je fází této
amplitudy.

• Tzn., že amplituda složeného vlnění je harmonicky modulovaná. Jinými slovy: složené vlnění má
v různých místech (různá x) různě velké amplitudy, a i v daném místě (x ⋅ t -= konst.) se amplituda
mění s časem (t ). Amplituda složeného vlnění je modulována podle vztahu cos