Skripta Vlny

.......
• Z teorie harmonických kmitů je známo, že kmitající částice o hmotnosti m má celkovou energii
W =
2
1
m ω
2

2
m
u = (W
k
+ W
p
). (2,7)
Je-li rozkmitáno prostředí procházejícím postupným vlněním, pak objemová hustota energie, která
je tímto vlněním transportována, je - analogicky vztahu (2,7) –


(2,8)


• V případě postupného rovinného vlnění se toto množství energie (2,8) za 1 sekundu přesune o
vzdálenost v. Energie, která za 1 sekundu projde pomyslnou plochou 1m
2
, postavenou kolmo na
směr šíření vlnění, určuje intenzitu příslušného vlnění v místě nastavené pomyslné plochy. Tedy
v případě postupné rovinné vlny je intenzita této vlny rovna

(2,9)


Vztah (2,9) platí pro postupnou rovinnou vlnu harmonickou.
................................................................................................................................................................
Poznámka: Přenos energie vlnění (v případě elektromagnetických vln přenos energie záření)
souvisí se 2. mocninou amplitudy kmitů (
2
m
u ). To platí i pro světlo jako část elektromagnetického
spektra. Z toho plyne, že všechny přístroje a zařízení registrující světlo (včetně fotografického
materiálu i sítnice našich očí) zaznamenávají světelný vjem v okamžiku dopadu amplitudy
světelných kmitů. Tzn., že registrujeme rychlost grupovou, nikoliv fázovou. (O grupové rychlosti viz
dále.)
................................................................................................................................................................
• Podle (2,9) intenzita rovinných vln se vzdáleností se nemění, je stálá, pokud zanedbáme možný
vliv prostředí (absorpce, rozptyl).
• U kulových vln klesá intenzita se čtvercem vzdálenosti r od zdroje
I =
2
4 r
P
z
π
,
Intenzita vlnění je číselně rovna energii, která za 1 sekundu v daném místě projde plochou
jednotkové velikosti, nastavenou kolmo ke směru šíření vlnění.
w =
2
1
ρ ω
2

2
m
u .
I =
2
1
v ρ ω
2 2
m
u .
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.7

kde P
z
je výkon zdroje kulových vln.


2.7 Příčná postupná vlna na struně
• Uvažujme o napnuté struně, směr struny zvolme za osu x. Strunu rozkmitáme tak, aby výchylky
všech elementů struny ležely v nákresné rovině:

y
F
2
r

2
F
r

y ≡ u α
2

x
F
2
r

∆ℓ

∆u

x
F
1
r

α


α
1


1
F
r

y
F
1
r



∆x = x
2
– x
1


0 x
1
x
2
x

Obr.: Element ∆x napjaté struny, vychýlený z rovnovážné polohy. Délka (∆ℓ) vychýleného
elementu je větší než délka téhož elementu v rovnovážné poloze (y = 0). Vektory sil (
1
F
r
,
2
F
r
) mají
směr tečen v koncových bodech elementu.

•Uvažujme jen malé výchylky elementu dx dokonale ohebné struny. Pak:
1. F
1
≈ F
2
= F
2. α
1
→ 0, α
2
→ 0, ⇒ sin α
1
≈ tg α
1
, sin α
2
≈ tg α
2

3. ∆ℓ ≈ ∆x.
…………………………………………………………………………………………………………………
• Pohyb elementu struny ve vertikálním směru je výrazně ovlivněn silou
y
F
r
=
yy
FF
21
rr
÷ ,
tj.
y
F = F sin α
2
– F sin α
1
≈ F(tg ∝
2
– tg ∝
1
).
Protože tg ∝
1
a tg ∝
2
jsou směrnice tečen ke křivce oblouku v bodech x
1
a x
2
, lze poslední
rovnici zapsat ve tvaru

y
F= F {
12
xxxx
dx
du
dx
du
==






−






},
kde {ve složené závorce} je jenom jiné vyjádření obou směrnic tečen. Ale rozdíl v uvedené závorce
znamená změnu hodnoty funkce
dx
du
při přechodu z bodu x
1
do bodu x
2
. To lze vyjádřit takto:

y
F = F⋅ ∆






dx
du
.
…………………………………………………………… ……………………………………………………...
• Poslední rovnici spojíme s 2. pohybovým zákonem: F
y
= ∆m⋅a
y
,
kde ∆m = µ⋅∆x je hmotnost elementu a µ je lineární hustota hmotnosti struny v klidu. Tedy
F⋅∆ 





dx
du
= µ⋅∆x⋅
2
2
dt
ud








∆
∆
dx
du
x
=
F
µ
⋅
2
2
dt
ud
. (2,10)
u
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.8
Levá strana poslední rovnice v limitě získá následující tvar:
0
lim
→∆x
{






∆
∆
dx
du
x
} =






dx
du
dx
d
=
2
2
dx
ud
.
A uvážíme-li, že výchylka u je funkcí místa, tj, u = u(x, y, z), pak (2,10) bude mít tvar


(2,11)


• Rovnice (2,11) je vlnovou rovnicí struny dokonale ohebné a nekonečně dlouhé (tj. neohraničené).
Kmity tohoto elementu se šíří k sousedním elementům struny rychlostí fázovou (v). Rychlost
kmitání (tj. ve směru výchylek) kolmého na strunu označme w.

v = konst.


w
max

x

w


•


w = 0
Obr.: Postupná harmonická vlna postupující fázovou rychlostí v. Na třech místech
vlny je vyznačena okamžitá rychlost w výchylky.

v =
dt
dx
w =
t
u
∂
∂

Pro fázovou rychlost příčných kmitů struny platí v = .
µ
F
Takže rovnice (2,11) dostává obecnější
tvar

(2,12)


………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
• Reálné struny nejsou nekonečně dlouhé. Mají konečnou délku ℓ a jsou na obou koncích
upevněné, takže na koncích vzniknou uzly. Na celé délce struny se vytvoří celistvý počet půlvln:


kmitna
0 ℓ 1·
2
λ
= ℓ ⇒ λ = 2ℓ






kmitna



0 uzel ℓ 2 ·
2
λ
= ℓ ⇒ λ = ℓ
kmitna

2
2
2
2
.
t
u
Fx
u
∂
∂
=
∂
∂ µ
.

2
2
22
2
.
1
t
u
vx
u
∂
∂
=
∂
∂
.
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.9




kmitna


0 uzel uzel ℓ 3 ·
2
λ
= ℓ ⇒ λ =
3
2
ℓ




kmitna kmitna

…….. atd.

• Obecně: n ·
2
λ
= ℓ ⇒ (2,13)

Protože v = λ · f ⇒ f =
λ
v
, tj.
(2,14)

Rovnice (2,14) udává frekvenci tónů, které může vydávat struna na obou koncích upevněná.
................................................................................................................................................................
Ve stavu s n = 1 struna vydává tzv. základní tón, ten zpravidla převládá a určuje tak výšku
(složeného) tónu.
Při n > 1 struna vydává svrchní (resp. vyšší) harmonické tóny, které dodávají základnímu tónu
barvitost. Podle svrchních tónů rozlišíme např.hrající housle od violy nebo od violoncella – i když
je nevidíme.
………………………………………………………………………………………………………....
• Rovnice (2,12) může být vlnovou rovnicí i prostorové rovinné vlny, pokud směr její fázové
rychlosti (v
r
) zvolíme za kladný směr souřadnicové osy x.
• V obecnějším případě, kdy směr souřadnicových os x, y, z je zvolen nezávisle na směru fázové
rychlosti v
r
, stačí upravit pouze levou stranu (2,12):


(2,15)


Stručně:

(2,16)


Nebo:
(2,17)

kde ∆ ≡
2
2
2
2
2
2
dzdyx
∂
+
∂
+
∂
∂
je Laplaceův operátor, a □ ≡ ∆ -
2
2
2
1
tv ∂
∂
⋅ je operátor d´Alembertův.

2.8 Postupné podélné vlnění v tekutinách
(v kapalinách a v plynech)
λ =
n
l2
.
f
n
=
µ
Fn
l2
.
2
2
22
2
2
2
2
2
1
t
u
vz
u
y
u
x
u
∂
∂
⋅=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∆ u =
2
2
2
1
t
u
v ∂
∂
⋅ .
□ u = 0 ,
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.10
• V trubici nekonečné délky a příčného průřezu S je uzavřena tekutina (kapalina nebo plyn).
Trubice je na jednom konci uzavřena lehce pohyblivým pístem, druhý konec ubíhá do nekonečna.

y
dx
p(x, t) p(x+dx, t)
píst S
A B x

• Pokud je tekutina v makroskopické rovnováze, (tzn., že tekutinou neprochází žádný rozruch),
zvolíme v tekutině element objemu dV = S dx, ležící mezi příčnými řezy A,B. Poté na píst lehce
udeříme ve směru podélné osy trubice. Píst se rozkmitá a jeho kmity se přenesou na nejbližší částice
tekutiny. Částice uvedené do kmitavého pohybu předávají energii kmitů dalším částicím, atd.
Sloupcem tekutiny se šíří postupná podélná vlna.
• Okamžité podélné výchylky částic z jejich rovnovážných stavů jsou funkcemi polohy (souřadnice
x ) a času t. Výchylky částic v řezu A jsou tedy určeny funkcí u = u (x, t) a v řezu B funkcí
u = u(x + dx, t). Následkem šířícího se rozruchu se mění velikost (délka dx) sledovaného elementu
objemu. Jeho relativní změna je
()(){}
dx
dx
x
u
dx
du
dxS
txutdxxuS
V
dV
⋅
∂
∂
==
⋅
−+
=
,,


⋅
∂
∂
=
x
u
V
dV

................................................................................................................................................................
• Koeficient stlačitelnosti k je definován jako veličina, která je číselně rovna relativní změně
objemu, vyvolané změnou tlaku o 1 Pa (jeho převrácená hodnota
k
1
se nazývá modul objemové
pružnosti):
k = -
dpV
dV
dp
dV
V
11
⋅−=⋅


(2,18)


kde p
x
je aktuální tlak v tekutině v místě x , při šířícím se rozruchu,
p
o
je tlak v tekutině

v rovnovážném stavu

(před vyvoláním rozruchu).

• Z rov. (2,18) plyne

(2,19)


Rovnice (2,19) vyjadřuje tlak v místě x tekutiny, kterou prochází postupná podélná vlna.
................................................................................................................................................................
• Na vybraný element tekutiny působí síla F, jejíž hodnota je závislá na rozdílu hodnot tlaku, který
působí na element z levé i pravé strany:
F = S[p
x
- p
x+dx
]
k = - ,
1
0
ppx
u
x
−
⋅
∂
∂

p
x
= p
o
-
x
u
k ∂
∂
⋅
1
.
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.11
F = S.












∂
∂
−






∂
∂
+ xdxx
x
u
x
u
k
1


tj. F =






∂
∂
⋅
x
u
d
k
S



(2,20)


• Podle 2. pohybového zákona Newtonova síla F je přímo úměrná součinu hmotnosti elementu a
jeho zrychlení. Proto
2
2
2
2
t
u
Sdxdx
t
u
k
S
∂
∂
⋅⋅=⋅
∂
∂
⋅ ρ


⇒ (2,21)


(2,21) je vlnová, diferenciální rovnice pro podélnou postupnou vlnu v tekutinách.
................................................................................................................................................................
• Protože obecná diferenciální pohybová rovnice má tvar
∆u = ,
1
2
2
2
t
u
v ∂
∂
⋅ (2,22)

získáme porovnáním (2,21) a (2,22) vztah pro fázovou rychlost vlnění v kapalinách a v plynech:



(2,23)
................................................................................................................................................................

2.9 Zvukové vlny v plynech
Literatura: H – R – W : Fyzika
1. vydání, VUTIUM Brno, r. 2000
Část 2., kapitola 18 (Vlny II), str. 467 – 494.

• Zvukové vlny jsou vlny mechanické a v plynech se mohou šířit pouze jako vlny podélné. Jejich
šíření v plynech sebou přináší střídavá místní zhuštění a zředění plynu, tj. střídavé změny tlaku
plynu. Změny tlaku jsou doprovázeny místními změnami teploty plynu. Tyto změny jsou velmi
rychlé, místní změny teploty se nestačí vyrovnat s teplotou okolního plynu. Tzn., že šíření
zvukových vln v plynech je děj adiabatický.
• Pak je ovšem třeba koeficient stlačitelnosti k plynu považovat za koeficient adiabatický a určit jej
pomocí Poissonovy rovnice
pV
κ
= konst. (2,24)
Rov. (2,24) logaritmujeme ln p + κ lnV = ln k
a diferencujeme 0=⋅+
V
dV
p
dp
κ

F = dx
x
u
k
S
⋅
∂
∂
2
2
.
2
2
2
2
dt
u
k
x
u ∂
=
∂
∂
ρ
v =
kρ
1
.
Průvodce předmětem FYZIKA 2: Kapitola 2 – Vlny str.12


(2,25)


• Vzhledem k (2,23) zjišťujeme, že fázová rychlost zvukových vln v plynech


(2,26)

...............................................................................................................................................................
• Rovnici (2,26) možno upravit pomocí stavové rovnice pro ideální plyny; nahradíme závislost
v = v(p) závislostí v = v(T), protože teplota plynu se snadněji zjišťuje než tlak.
Poznámka: Reálné plyny se blíží představě ideálního plynu tím více, čím dál jsou od stavu
zkapalnění. Zejména jsou-li ve stavu s vysokou teplotou a nízkým tlakem.
................................................................................................................................................................
• Tedy ze stavové rovnice p = ρ.
M
RT

a proto

(2,27)
................................................................................................................................................................
• Rovnici (2,26) lze upravit podle stavové rovnice pro ideální plyny ještě jedním způsobem:
protože
M
RTp
=
ρ
a podobně
M
RTp
0
0
0
=
ρ
,
kde ρ
o
je hustota plynu při teplotě t
o
= 0
o
C (T
o
= 273,15 K), a při tlaku p
o
= 1,013.10
5
Pa,

je (),11 t
p
T
tp
T
Tpp
o
o
oo
o
oo
o
⋅+=








+=⋅= γ
ρρρρ

kde γ =
1
15,273
11
−
= K
T
o
je součinitel objemové roztažnosti plynu.
................................................................................................................................................................
• Rovnici (2,26) tedy upravíme takto:
v = () ().11 2
1
t
p
t
p
o
o
o
o
⋅+=⋅+ γ
ρ
κγ
ρ
κ
Poslední vztah rozvineme:
v =
o
o
p
ρ
κ (1 +
2
1
γ.t + . . . ) .
Protože
o
o
p
ρ
κ je v
o
(v
o
je rychlost zvukových vln v plynu za teploty 0
o
C) a zanedbáme-li vyšší
členy rozvoje, pak v ≈ v
o
(1 +
2
1
γ.t).
Poslední rovnici převedeme na numerický tvar

(2,28)

kde za t dosazujeme pouze hodnotu teploty ve stupních C