Přednášky

b;lení m N (0,1):
X - h
U = --------------
d
32 pravděpodobnost P ( x 1 < X < x 2 ) a řídí se normálním rozdělením ® převod.
x 2 - h x 1 - h
P ( x 1 < X < x 2 ) = F ----------- - F ------------
d d
Pravidlo 3 d :
34 jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X se nachází v intervalu:
o P ( h - d < X < h + d ) = 2 F (1) - 1 = 0,68268
o P ( h - 2 d < X < h + 2 d ) = 2 F (2) - 1 = 0,95450
o P ( h - 3 d < X < h + 3 d ) = 2 F (3) - 1 = 0,99730


o Rozdělení c 2 :
39 Nechť U 1 , U 2 , . . . . U n jsou nezávislé náhodné veličiny s rozdělení m N (0,1). Součet jejich čtverců, označený
c 2 = U 1 2 + U 2 2 + . . . . + U n 2
představuje náhodnou veličinu, jež má tzv. c 2 - rozdělen í o n stupních volnosti.
44 počet stupňů volnosti , který obecně označujeme f je jediným parametrem tohoto rozdělení a představuje počet nezávislých sčítanců ve výrazu c 2 .

f = 1

f = 8
f = 4

f = 2
c 2


46 byly sestaveny tabulky tzv. kritických hodnot c a 2(n) , což jsou hodnoty, které pro daný počet stupňů volnosti f = n
47 a = hladina významnosti
48 n = počet stupňů volnosti

o Studentovo t - rozdělen í :
52 pro praktické účely byly tabelovány kritické hodnoty t a (n) , kde a je hladina významnosti (zpravidla a = 0,05 nebo a = 0,01) a n je počet stupňů volnosti
U
t = ------------
c 2
------
n

o Rozdělení F (Fisher - Snedecorovo):
53 V praxi se používají tabulky kritických hodnot F a (n1,n2) , kde a je hladina významnosti a n 1 a n 2 jsou stupně volnosti
h n1,n2 (F)

(8; Ą )


(8;10)
(8;2)
F

Náhodný výběr, charakteristiky ZS a VS, výběrové odhady - bodový 5. přednáška

Náhodný (pravděpodobnostní) výběr
54 celý soubor rozdělíme na výběrové jednotky (jsou totožné se statistickými jednotkami) a na to, kdo se dostane do výběru má vliv jen náhoda
55 dokážeme dělat odhady u náhodného výběru - lze stanovit i chybu odhadu
o NV - stejnými pravděpodobnostmi
v Jednodušš í, všechny jednotky mají stejnou možnost se dostat do výběru
o NV - s nestejnými pravděpodobnostmi
v Jednotky mají různou pravděpodobnost jednání
v Každá jednotka může mít jinou pravděpodobnost vybrání

Technika náhodného výběru
56 je důležitá u náhodného výběru - musíme totiž zachovat tu náhodnost
o losování - opora výběru - např. soubor studentů se musí zastoupit lístky s jejich jmény
o mechanický (systematický) výběr
v bere kaž dou n - tou jednotku
v podmínka: posloupnost jednotek musí být náhodně uspořádána
o použití tabulek náhodných č o ísel
v u poč v ítač v ů: generátor náhodn ých č v ísel

1) Náhodný výběr s vracením ( s opakováním)
57 jednodušší
58 jednotky po výběru vracíme zpět
59 rozsah základního souboru je neustále stejný
60 pravděpodobnost vybrání v každém dalším tahu je stejná
61 nevýhoda: ta samá jednotka se může do výběru dostat vícekrát
2) Náhodn ý výběr bez vracení (bez opakování)
62 jednotky po výběru nevracíme zpět
63 nevýhoda: základní soubor se zmenšuje a pravděpodobnost vybrání pro zbylé jednotky se zvyšuje

64 v některých případech lze zanedbat rozdíl mezi náhodným výběrem s vracením a bez vracení Ţ při výběru malého výběrového souboru z velmi rozsáhlého základního souboru


65 před vybráním: příprava výběru
o formulovat problé m, proč o výběrové zjišťování provádíme
o úč o el výběrového zjišťován í
o urč o it rozsah výběrové ho souboru - z hlediska nákladů a rychlosti bychom požadovali co nejmenší X z hlediska přesnosti požadujeme co největší --- musíme najít kompromis


Speciální typy výběrového zjišťování:
a) oblastní výběr - před výběrem - základní soubor rozdělíme podle ur čb) itých hledisek do několika skupin a v každé té skupině provedeme např. prostý náhodný výběr (se stejnými pravděpodobnostmi)
c) vícestupňový náhodný výběr - provádí se v několika stupních

Charakteristiky základního a výběrového souboru
66 Výběrový soubor
o Je tvoř en jednotkami x 1 ,x 2 ,x 3 , . . . x n ® má n nezávislých pozorování
o Veškeré informace o tomto výběrovém souboru získáme ze znalosti základního souboru (jeho charakteristiky)
o Ale snažíme se vypoč o í tat i charakteristiky výběrového souboru

Charakteristika Základní soubor Výběrový soubor Rozsah N n Jednotky X i x i Absolutní četnost N i n i Relativní četnost F i f i Průměr ĺ X i h = ---------- N ĺ x i ` x = ----------- n Rozptyl ĺ (X i - h ) 2 d 2 = -------------- N ĺ (x i - ` x) 2 s o 2 = -------------- n Směrodatná odchylka d = Ö ( d 2 ) s o = Ö (s o 2 ) Variační koeficient d V = ------- h s o v = ------- ` x
67 veškeré informace zkoumaném výběrovém souboru obdržíme ze známého základního souboru, který je popsán pomocí N, h , d 2 , d
68 na základě znalostí se snažíme vypočítat výběrové charakteristiky a hledáme vztah mezi charakteristikami základní ho souboru a výběrového souboru

Soubor výběrových průměrů
73 dostaneme ho - pokud ze základního souboru vybereme všechny teoreticky možné výběrové soubory ( je jich nekonečně mnoho) a v kaž dém výběrovém souboru vypočítáme výběrový průměr ® a tyto všechny průměry by nám vytvořili soubor výb ěrových průměrů ( je nekonečný )
74 střední hodnota souboru výběrových průměrů:
E ( ` x ) = h
75 rozptyl souboru výběrových průměrů:
d 2
D ( ` x ) = - -------- Výběr s vracením
n

d 2 N - n
D ( ` x ) = --------- * ----------------- Výběr bez vracení
n N - 1

nekonečnostní násobitel

Souvislost mezi základním a výběrovým souborem
76 omezíme se na 2 předpoklady:
o 1. jedná se o výběr z normálně rozděleného základního souboru
77 budeme rozdělení souboru výběrových průměrů považovat též za normální
78 konstrukce odhadů budeme opírat o veličinu u = normovaná náhodná veličina
` x - h
u = ----------------------
d 2
-------
n
82 tato normovaná náhodná veličina se řídí rozdělením normovaným normálním N (0,1)
83 v praktických příkladech nebudeme znát většinou d a proto to budeme nahrazovat výběrovým rozptylem s o 2
` x - h
t = --------------------
s o 2
----------
n - 1
86 tato veličina t se řídí t - Studentovým rozdě lením t (n-1) a v případech, že n > 30 , pak rozdělení této veličiny t lze nahradit (aproximovat) též rozdělením normálním
o 2. výběr velkého rozsahu z libovolně rozděleného základního souboru
87 neznáme rozdělení základního souboru, ale máme k dispozici výběr velkého rozsahu ( n > 50 nejméně, lépe však n > 100 )
88 pouze u asymetricky rozdělených základních souborů se vyžaduje výběr několika set jednotek
89 rozdělení souboru výběrových průměrů lze opět nahradit rozdělením normálním
90 veličina r :
f i - F i
r = ---------------------
f i ( 1 - f i )
--------------
n - 1
93 potřebujeme tuto veličinu ke konstrukci odhadů
94 rozdělení této veličiny lze při výběru velkého rozsahu opět aproximovat rozdělením normálním

Základní principy výběrových odhadů
96 chceme prostřednictvím výběrového souboru charakterizovat celý základní soubor - hlavní princip = princip zevšeobecnění
97 pomocí náhodného výběru si pořídíme výběrový soubor - v něm si spočteme výběrové charakteristiky a na základ ě výběrových charakteristik odhadujeme charakteristiky základního souboru - tento postup se nazývá: statistický indukce

2 způsoby odhadů:
1. jednodušší odhad bodový
99 je to jedna hodnota, kterou vybereme z výběrového souboru, aby nám nahradila neznámou charakteristiku základního souboru
100 odhad:
o č o innost v duchu zvolené definice
o zvolená charakteristika
o hodnota charakteristiky výběrového souboru
101 I neznámá charakteristika základního souboru a odhadujeme ji výběrovou charakteristikou t
T ® t
h ® ` x
® x
® x
102 jde o to, aby byl odhad co nejkvalitnější: požadavky na výběr:
o musí bý t co nejkvalitnější
o požadavek nestrannosti - odhad nesmí nenadhodnocovat a podhodnocovat danou charakteristiku
E (t) = T (nestrannost je splněna, jestliže střední hodnota t se rovná charakteristice T ) - je-li splněn - odchylky s v průměru eliminují
v s rostoucím rozsahem výbě ru ta vychýlenost mizí - při výběrech velkého rozsahu lze požadavek nestrannosti zanedbat
o konzistence - tzn. že s rostoucím rozsahem výběru se zvyšuje pravděpodobnost, že odhad dá hodnotu blízkou skuteč o né charakteristice (obvykle nestranné odhady bývají i konzistentní)
o vydatnost - nejvydatnější odhad = ten, který má nejmenší rozptyl
o musí být postač o ující - je postač o ující tehdy, jestli že shrnuje veškeré informace o charakteristice základního souboru, které jsou k dispozici ve výběrovém souboru
104 nevýhoda bodového odhadu : u bodového odhadu se mž eme dopustit chyby odhadu, ale u tohoto odhadu ji nedokážeme určit
2. složitější odhad intervalový
105 stanovíme hodnoty 2 charakteristik, které nám vymezují interval spolehlivosti
P ( t 1 < T < t 2 ) = 1 - a
Ţ hovoříme o 100 * (1 - a ) % intervalu spolehlivosti
106 1 - a = koeficient spolehlivosti
107 smysl mají tyto intervaly, jestliže je a malé č íslo ( a = 0,01 Ţ interval spolehlivosti 99 %
108 intervaly spolehlivosti bývají obvykle symetrické - v některých případech nesymetrick é
o dvoustrann ý interval spolehlivosti P ( t 1 < T < t 2 ) = 1 - a
o jednostranný interval spolehlivosti :
v pravostranný interval spolehlivosti P ( T < t 2 ) = 1 - a
v levostranný interval spolehlivosti P ( T > t 1 ) = 1 - a

110 úkol - pravděpodobnost, že daná hodnota leží v daném intervalu - pravděpodobnost co nejvyšší - ale rozšiřuje se interval

Přesnost odhadu
= udává maximální chybu, které se můžeme při daném odhadu s danou spolehlivostí dopustit

Spolehlivost odhadu
= pravděpodobnost, že neznámá charakteristika bude ležet v tom vymezeném intervalu

1) Bodové odhady:
- odhad průměru : h ® ` x (je nestranný, …. --- splňuje všechny podmínky)
ĺ (x i - ` x ) 2
- odhad rozptylu : d 2 ® s o 2 = ------------------- (není nestranný, systematicky
n podhodnocuje rozptyl základního souboru)
ĺ (x i - ` x ) 2
s 2 = -------------------- (nestranný odhad rozptylu ZS)
n - 1

112 lze si oba rozptyly vzájemně přepočítat:
n
s 2 = s o 2 * ------------ Výběr s vracením
n - 1

n N - 1
s 2 = s o 2 * ------------ * ------------- Výběr bez vracení
n - 1 N



- odhad směrodatné odchylky : d ® s o = Ö (s o 2 ) (nepoužívá se, není nestrann ý)
ĺ (x i - ` x ) 2
s = ----------------
n - 1

o pokud j