Přednášky

x00e9; mají vlastnosti blízké Ć
§ snažíme-li se tedy, aby ve výběrovém souboru bylo přibližně stejné rozdělení č § etností jako u souboru základního
o na základě záměrného výběru nelze stanovit objektivně tzv. chybu odhadu
4. náhodný (pravděpodobnostní) výběr
o soubor rozdělíme na výbě rové jednotky, které jsou zpravidla totožné se statistickými jednotkami - rozhoduje pouze náhoda
o jsme schopni stanovit kvalitní odhady, které se s rostoucím rozsahem výběru zlepšují
o v tomto případě se totiž zmocňujeme výhodných stránek náhody - pro zevšeobecňování - využíváme poč o et pravděpodobností


Počet pravděpodobností
53 náhoda = komplex drobných příčin; dokážeme ji v počtu pravděpodobností modelovat
54 náhodný pokus - experiment, výrobní postup, přednes práv; patří tam vše, co je zat íženo určitou nejistotou
55 náhodný jev (A, B, C)
o je urč o en výsledkem náhodného pokusu
o může, ale i nemusí nastat při uskuteč o nění daného komplexu podmínek
o vše, co nás obklopuje

Jevy A,B
A = B jevy jsou si rovny
A Č B sjednocení jevů, nastane realizace alespoň jednoho z jevů
A Ç B průnik dvou jevů, současná realizace obou jevů
A ` A jev opačný k jevu A
A a B jevy neslučitelné (disjunktní), jestliže výskyt jednoho vylučuje výskyt druhého jevu

59 jev jistý - uskuteční se vždy za uskutečnění daného komplexu podmínek
60 jev nemožný - nemůže nikdy nastat
61 základní jevy se odlišují objektivní možností své realizace


Klasická definice pravděpodobnosti:
m kde: m - počet případů příznivých jevu A
P (A) = --------- n - počet případů všech možných
n

Statistická definice pravděpodobnosti:
m
P (A) = lim n ® Ą -------- relativní četnost výskytu jevu
n
n ® zvětšování počtu pokusů ® to zna čí
64 podmínkou je statistická stabilita relativních četností ® s rostoucím rozsahem výběrů se blížíme té skutečné pravděpodobnosti

Axiomatická definice pravděpodobnosti:
67 každému náhodnému jevu je přiřazena určitá pravděpodobnost jako nezáporné číslo od 0 do 1
68 1 = jev jistý XXX 0 = jev nemožný
69 0 Ł P (A) Ł 1

Vlastnosti pravděpodobností
1. 0 Ł P (A) Ł 1
2. pravděpodobnost jevu opačného P ( ` A )= 1 - P ( A )
3. pravděpodobnost sjednocení jevů = věta o sčítání pravděpodobností
P ( A Č B )= P (A) + P(B) - P ( A Ç B)
6. podmíněná pravděpodobnost
P ( A / B) - pravděpodobnost jevu A za podmínky, že nastal jev B
P ( A Ç B )
P ( A / B) = ------------------
P (B)
7. věta o násobení pravděpodobností
P ( A Ç B ) = P ( A / B ) * P (B)
= P ( B / A ) * P (A)
8. nezávislý jev = jsou-li nezávislé, nelze stanovit jejich podmíněnou pravděpodobnost
P ( A Ç B ) = P (A) * P (B)

71 náhodný jev je základním stavem v počtu pravděpodobností

Náhodná veličina Y,X,Z
= kvantitativní číselná charakteristika náhodného jevu

Náhodná veličina, její rozdělení a její číselné charakteristiky 4. p řednáška

Náhodná veličina
= charakterizuje výsledek náhodného pokusu kvantitativně (číselně)
= proměnná, která nabývá různých hodnot v závislosti na náhodě
73 značí se velkými písmeny od konce abecedy (X, Y, Z)
74 náhodná veličina nabývá hodnot . . . . ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . x n )
75 v praxi se používají dva typy náhodných veličin:
o diskrétní náhodná velič o ina
§ nabývá celoč § íselných obměn a množina těchto obměn je spoč § etná (poč § et dětí, zkoušek, . . .)
o spojitá náhodná velič o ina
§ nabývá hodnot z urč § itého spojitého intervalu
§ obměny lze vyjádřit desetinným č § íslem (životnost žárovky, roč § ní dojivost, . . . .)
76 abychom plně charakterizovali náhodnou veličinu, je nutno znát nejen všechny hodnoty, kterých nabývá, ale též pravdě podobnost, s jakou se při velkém počtu pokusů vyskytuje
77 každý předpis, který určuje vztah mezi možnými hodnotami náhodné veličiny a pravděpodobností jejich výskytu se nazývá Zákon rozdělení náhodných veličin:
o existují 3 formy:
§ Řada rozd ělení pravděpodobností
· Používá se pouze u diskr étních náhodných velič · in
· Má podobu tabulky rozdělení pravděpodobností
· Grafem je polygon
· Platí: ĺ p i = 1
x i x 1 x 2 ……… x n p i p 1 p 2 ……… p n




§ Distribuč § ní funkce F(x)
· lze použít pro spojité i diskrétní ná hodné velič · iny
· = univerzální zákon rozdělení náhodných velič · in
· F (x) = P ( X < x )
Ä mez, kterou si zvolí me, x Î R ( - Ą ; Ą )
· 5 základních vlastností distribuč · ní funkce:
2. je-li distribuční funkce definována jako pravděpodobnost
F (x) = < 0 ; 1 >
3. F (- Ą ) = P ( X < - Ą ) = 0 nemožný jev
F (+ Ą ) = P ( X < Ą ) = 1 jev jistý
4. je to funkce neklesající
x 1 < x 2 Ţ F ( x 1 ) Ł F ( x 2 )
5. P ( x 1 < X < x 2 ) = F ( x 2 ) - F ( x 1 )
6. distribuční funkce je funkce spojitá zleva
· grafem je schodovitá č · ára ( u diskrétní náhodné velič · iny) nebo spojitá funkce u spojité náhodné velič · iny
§ Hustota pravd ěpodobností f (x)
· Pouze pro spojité náhodn é velič · iny
· f (x) = F´ (X)
· Ţ plocha pod spojitou funkcí - lze ji spoč · ítat pomocí integrálů (plochu rozdělím na obdélníky)
· F (X) = + Ą ∫ - Ą f (x) dx
· 3 základní vlastnosti hustoty pravděpodobností:
1. f (x) ł 0 (je to plocha)
2. + Ą ∫ - Ą f (x) dx = 1 (pod každým spojitým útvarem je ta plocha)
3. P - Ą ( x 1 < X < x 2 ) = x2 ∫ x1 f (x) dx


Číselné charakteristiky náhodných veličin
90 uvedené formy zákona rozdělení náhodných veličin nám udává sice úplnou informaci o daném rozdělení, avš ak tato informace bývá nepřehledná. Proto se při výpočtech využívají tzv. číselné charakteristiky náhodných veličin . Ty udávají v koncentrované podobě základní rysy a vlastnosti rozdělení náhodné veličiny.

a. Charakteristiky polohy
92 reprezentují střed rozdělení, kolem kterého kolísají při opakování náhodného pokusu hodnoty náhodné veličiny
93 nejvýznamnější je Střední hodnota E (x) (jakýsi Ć )
o způsob výpoč o tu:
v pro diskrétní n áhodné velič v iny:
E (x) = ĺ x i p i
v pro spojité náhodné velič v iny:
E (x) = + Ą ∫ - Ą x * f (x) * dx
1 patří sem i modus, medián, kvartily . . . . . .

b. Charakteristiky variability
2 ukazují, jak se jednotlivé hodnoty náhodných veličiny rozptylují kolem průměru
1) Rozptyl náhodné veličiny D (x)
o Dle definice: D (x) = E [ X - E (X) ] 2
o Výpoč o tový tvar: D (x) = E ( X 2 ) - [ E ( X ) ] 2
o Způsob výpoč o tu:
v Pro diskrétní náhodné velič v iny:
D (x) = ĺ [ x i - E (X) ] 2 - p i
v Pro spojité náhodné velič v iny:
D (x) = + Ą ∫ - Ą [ x - E (X) ] 2 * f (x) * dx
2) Směrodatná odchylka d (x)
d (x) = + Ö D(X)

Některá rozdělení náhodných veličin
A) Rozdělení diskrétních náhodných veličB) in
o Alternativní rozdělení
o Binomické rozdělení
o Poissonovo rozdělení
o Hypergeometrické rozdělení
o Geometrické rozdělení

o Alternativní rozdělení A(p):
1 Tím rozdělením se řídí diskrétní náhodná veličina X, která nabývá pouze dvou obměn
2 X x 1 = 1 x 2 = 0
3 E (X) = p (střední hodnota)
4 D (X) = p * q (rozptyl), kde q = 1 - p

x i 1 0 p i p 1 - p ĺ p i = 1
o Binomické rozdělení B i [ n , p ] :
5 Mějme sérii n nezávislých pokusů, v nichž jev A může nastat s pravděpodobností p ( a nenastane s pravděpodobností 1 - p ) Ţ jedná se o tzv. Bernoulliho schéma
n
p i = P (X = i) = * p i * (1 - p) n - 1
i
kde: i = 0,1,2, . . .n ® obměny náhodné veličiny X
n = 1,2,3, . . . ® počet pokusů
6 E (X) = n * p
7 D (X) = n * p (1 - p)

o Poissonovo rozdělení Po [l] = [ np ] :
8 s parametrem l ; l = np ® konstanta
9 jestliže počet pokusů v Bernoulliho schématu je velk ý ( n ® Ą ) a pravděpodobnost, že nastane jev A je malá ( p ® Ą ), přičemž součin np ® konst ., pak se náhodná veličina X řídí Poissonovým rozdělením s parametrem l ( l = np)
e - l * l i
p i = P (X = i) = ------------
i !
kde: l > 0 n ® Ą
i = 0,1,2, . . . n (počet pokusů)
14 E (X) = l
15 D (X) = l E (X) = D (X)

o Hypergeometrické rozdělení H [ N, M, n ] :
17 Mějme N libovolných prvků, z nichž M má jistou vlastnost V. Ze souboru N vybereme n prvků tak, že vybrané prvky nevracíme zpět (v ýběr bez vracení - bez opakování), pak náhodná veličina X má hypergeometrické rozdělení s parametry N, M, n.
M * N - M
i n - i
p i = ( X = i ) = ----------------------------- pro i = 0,1,2 . . . . n
N
n

M
18 E (X) = n * --------- = n * p
N

M M N - n N - n
- D (X) = n * --------- * 1 - ---------- * ------------ = np (1- p) * ----------
N N N - 1 N - 1


C) Rozdělení spojitých náhodných veličD) in
o Normální rozdělení
o Studentovo t - rozdělení
o Rozdělení F (Fisher - Snedecorovo)
o Pearsonovo c 2 - rozdělení (chí kvadrát)
o Exponenciální rozdělení
o Rovnoměrné rozdělení

o Normální rozdělení:
19 Nejdůležitější ve statistice
20 Významný pravděpodobnostní model spojitých náhodných veličin ve všech vědních oborech
21 Říkáme, že náhodná veličina X má norm ální rozdělení, jestliže její střední hodnota E(X) = h (mí) a rozptyl D (X) = d 2 ( h Î R; d 2 > 0)
1
E (X) = ---------------- + Ą ∫ - Ą x * e - [ ( x - h )2 / 2 d 2 ] dx = h . . . . . . . . průměr
d * Ö 2 p

1
D (X) = ----------------- + Ą ∫ - Ą ( x - h ) 2 * e - [ ( x - h )2 / 2 d 2 ] dx = d 2 . . . . rozptyl
d * Ö 2 p

24 grafem hustoty pravděpodobnosti je tzv. Gaussova křivka . Jedná se o zvonovitou symetrickou křivku, která nabývá maxima v bodě x = h
25 d - velká - roztáhlá křivka, h - malé - vrchole je relativně nízko
f (x) h = 6, d = 0,5
h = 4, d = 1

h = 0,5, d = 2



28 normální rozdělení se zcela libovolnými parametry h a d 2 se nazývá obecn é a značí se N ( h , d 2 ). Jestli že h = 0 a d = 1 ( tedy d 2 = 1), hovoříme o normovaném normálním rozdě lení a značíme ho N (0,1).
29 Pro praktické výpočty byly sestaveny tabulky distribuční funkce normovaného normálního rozdělení.

Převod náhodné veličiny X s normálním rozdělením N ( h , d 2 ) na veličinu U s normovaným normálním rozd