Skripta - Teorie namáhání prutů

částí
– např. stojiny t
w
nebo pásnice t
f
– značně menší než rozměry průřezu jako cel-
ku (obr. 5.15). Často se uvádí poměr 1:10, přijatelné výsledky však získáme
i při méně výrazných poměrech. Rozeznáváme pak pruty otevřeného průřezu,
jejichž střednice (čára půlící tloušťku) netvoří uzavřenou křivku – např. tvaru
U, I, T, C, Z apod. a uzavřeného průřezu - O, null apod.
V dalším výkladu se zaměříme především na nosníky s otevřeným průřezem.
A. Smyková napětí v tenkostěnných nosnících otevřeného průřezu
Budeme vycházet ze základních předpokladů:
a) Smyková napětí jsou konstantní v řezu kolmo k dílčí stěně.
b) Smyková napětí jsou rovnoběžná s obrysem průřezu.
Základní vzorec (5.24) přepíšeme takto:
tI
UV
y
zodz
x
,
=τ , (5.28)
kde t je tloušťka ve vyšetřovaném místě, U
od
,
y
je statický moment plochy oddě-
lené řezem kolmým na obrys průřezu. Označení τ
x
napovídá, že jde o výsledné
napětí v rovině kolmo k ose x (na svislých částech je to τ
xz
, na vodorovných
τ
xy
).
Průběh smykových napětí v tenkostěnných otevřených profilech tvarů I, L a U
je zobrazen na obr. 5.15 a 5.16.

Obr. 5.15 – Smykové napětí ve stojině a přírubách I profilu
Ohyb nosníků
- 39 (64) -

Obr. 5.16 - Smykové napětí v L a U profilu a střed smyku A
B. Smyková napětí v tenkostěnných nosnících uzavřeného průřezu
U tenkostěnných nosníků uzavřeného průřezu je úloha určení smykového napě-
tí staticky neurčitá. K výpočtu je nutné definovat deformační podmínky. Vý-
jimkou jsou jednokomůrkové nosníky s osou symetrie, zatížené v této rovině.
Smyková napětí v této rovině jsou rovna nule a jejich průběh po výšce je stejný
jako u průřezu otevřeného, který vznikl rozdělením uzavřeného průřezu na dvě
poloviny.

Obr. 5.17 - Smykové napětí v uzavřeném tenkostěnném profilu tvaru null
Na obrázku 5.17 je vykreslen průběh smykových napětí v uzavřeném ten-
kostěnném null profilu. Povšimněte si podobnosti s průběhem smykových napětí
v tenkostěnném otevřeném U profilu, viz. obr. 5.16.
Teorie namáhání prutů
- 40 (64) -
5.1.5 Střed smyku
Z předpokladů, které byly uvedeny výše, a z rovnice (5.28) se dají vyčíslit
u prutů otevřeného průřezu jednoznačně smyková napětí od posouvající síly
v libovolném místě. Jejich integrací podél jednotlivých stěn můžeme odvodit
výsledné smykové síly Q, jež jsou staticky ekvivalentní posouvající síle V
z
.
Má-li průřez dvě osy symetrie, prochází výsledná síla těžištěm. Jinak tomu
však je u nesymetrických průřezů, pokud rovina zatížení (budeme ji uvažovat
svislou) není rovinou symetrie prutu.
Tak např. u rovnoramenného úhelníku při orientaci podle obr. 5.16 není průřez
symetrický vůči ose z. Výslednice smykových sil na obou přírubách Q
f
jsou
shodné (a rovné V
z
/√2) a protínají se v průsečíku os, tj. v bodě A, takže výsled-
ná posouvající síla neprochází těžištěm, ale tzv. středem smyku, jímž musí pro-
to též procházet rovina zatížení, pokud nemá být prut kroucen.
Odvození polohy středu smyku (středu ohybu) u obecného průřezu je součástí
teorie kroucení tenkostěnných prutů otevřeného průřezu; v našem výkladu se
omezíme jen na jednodušší průřezy s jednou osou symetrie. Délky jednotlivých
stěn budeme zjednodušeně zavádět jako délky střednic, což u tenkostěnných
průřezů nevede k závažným nepřesnostem.
Mějme jednoose symetrický U-profil, viz obr. 5.16. Zavedeme-li pomocnou
souřadnici s jako vzdálenost od volného konce příruby, je statický moment
oddělené části U
od,y
a smykové napětí pak podle rovnice (5.28)
hst
h
stU
ffyod
2
1
2
0
,
== , (5.29)
s
I
hV
tI
UV
y
z
fy
yodz
xy
2
0
,
==τ . (5.30)
Průběh napětí je lineární – obr. 5.16. Výsledné smykové síly na přírubách zís-
káme integrací
y
fz
b
f
y
z
b
f
y
z
b
fxyf
I
hbtV
s
t
I
hV
sst
I
hV
stQ
422
d
2
d
0
2
0
0
2
0
0
0
0
0
00
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
===
∫∫
τ . (5.31)
Průběh smykových napětí na stojině odvodíme analogicky jako u tenkého ob-
délníkového průřezu. Při zavedeném označení vyjde
()[]
2
0
2
00
44
8
zhthbt
tI
V
wf
wy
z
xy
−+=τ . (5.32)
Jeho výslednici nemusíme odvozovat integrací, neboť jediná svislá složka musí
být shodná s posouvající silou: Q
w
= V
z
.
Smykové síly na přírubách tvoří dvojici sil, jejíž momentový účinek je Q
f
⋅h
0
.
Složíme-li ji se silou Q
w
= V
z
procházející osou stojiny, obdržíme výslednou
sílu V
z
odsunutou od stojiny o vzdálenost
y
f
z
f
I
hbt
V
hQ
a
4
2
0
2
00
== . (5.33)
Ohyb nosníků
- 41 (64) -
Touto vzdáleností je definována poloha středu smyku A; leží na opačné straně
od stojiny než těžiště. Pokud nemá být prut kroucen, musí tedy výslednice
vnějších sil procházet tímto středem smyku (středem ohybu), viz obr 5.18.

Obr. 5.18 – Střed smyku – ohyb U průřezu
Pro válcované ocelové nosníky průřezu U, UE, UPE jsou polohy středu smyku
uvedeny ve Statických tabulkách. Vzhledem k tomu, že jejich dílčí stěny nema-
jí tvar obdélníků (zaoblení koutů, příp. sklon hran), liší se poněkud od hodnot
daných vzorcem (5.33).
U tenkostěnných nosníků uzavřeného průřezu je úloha určení smykového napě-
tí staticky neurčitá. K výpočtu je nutné definovat deformační podmínky. Vý-
jimkou jsou jednokomůrkové nosníky s osou symetrie, zatížené v této rovině.
Smyková napětí v této rovině jsou rovna nule a jejich průběh po výšce je stejný
jako u průřezu otevřeného, který vznikl rozdělením uzavřeného průřezu na dvě
poloviny. Střed smyku leží u těchto nosníků na ose symetrie průřezu.
5.2 Průhyb ohýbaných nosníků a pootočení
průřezů
5.2.1 Diferenciální rovnice ohybové čáry
Přemístění ohýbaných nosníků je třeba zjišťovat z důvodu posouzení podle
mezního stavu použitelnosti, tj. zda-li hodnoty průhybu a pootočení průřezu
jsou v požadovaných mezích. Dále výpočet posunutí a pootočení je nezbytný
pro výpočet staticky neurčitých konstrukcí.

Obr. 5.19 – Ohybová čára nosníku
Teorie namáhání prutů
- 42 (64) -
Je-li nosník (prut) dostatečně štíhlý, je jeho stav po deformaci určen tvarem
ohybové čáry, křivky do níž přejde původně přímá osa nosníku pod vlivem
zatížení. Mějme rovinnou úlohu, kdy sledujeme posun osy nosníku za ohybu.
Osa nosníku pod vlivem zatížení ležícím v jedné z hlavních rovin setrvačnosti,
např. v rovině xz, se křiví ve stejné rovině, viz obr. 5.19.
Funkci průhybu budeme označovat w. Hodnota této funkce je kladná, jestliže
posunutí odpovídajícího bodu bude ve směru osy z. Pootočení průřezu ϕ
y
je
úhel, o který se každý průřez potočí vzhledem ke své počáteční poloze. Úhel
pootočení průřezu ϕ
y
budeme předpokládat kladným, když toto pootočení bude
ve směru od osy x k ose z.
Vzhledem k tomu, že se jedná o úhly malých hodnot, lze předpokládat, že
dx
dw
=
y
tgϕ , (5.34)
potom s dostatečnou úrovní přesnosti lze říci, že úhel pootočení
y
ϕ je ve sledo-
vaném průřezu roven derivaci funkce průhybu w(x) podle souřadnice x
dx
dw
≈
y
ϕ . (5.35)
Z fyzikální představy o ohybu osy nosníku je zřejmé, že ohybová čára musí být
spojitá a hladká křivka. Požaduje se, aby po délce osy nosníku byla funkce
průhybu w(x) spojitá, včetně její derivace. Průhyby a úhly pootočení jsou pře-
místěními průřezů nosníku. Deformace každé části nosníku je dána zkřivením
ohýbané osy, tj. křivostí. Vliv posouvajících sil na zakřivení tenkých prutů je
malý. V obecném případě příčného ohybu, tedy využijeme rovnici (5.7) ve
tvaru
()
()
()xEI
xM
xr
y
y
=
1
. (5.27)
Z kurzu vyšší matematiky je znám výraz pro křivost rovinné čáry ve tvaru
()
2
3
2
2
2
1
1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
±=
dx
dw
dx
wd
xr
, (5.28)
kde r je poloměr křivosti v rovině xz. Je nutno definovat, které znaménko bude
pro uvedený případ souřadného systému vhodné. V případě tažených dolních
vláken, viz obr. 5.19, přijmeme znaménko mínus, protože křivost je záporná.
Spojením rovnic (5.27) a (5.28) obdržíme
()
()xEI
xM
dx
dw
dx
wd
y
y
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
3
2
2
2
1
. (5.29)
Ohyb nosníků
- 43 (64) -
Tato rovnice se nazývá přesnou diferenciální rovnicí ohybové čáry nosníku.
Tato nelineární rovnice se řeší poměrně složitě. Naštěstí v praktických úlohách
jsou průhyby malé, takže lze přesnou rovnici nahradit přibližnou. Ve jmenova-
teli se vyskytuje člen
y
dx
dw
ϕtg11
2
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ . (5.30)
Při malých hodnotách průhybu (podle norem 1/100 až 1/1000 rozpětí) se uka-
zuje, že úhel pootočení je menší než 1
o
. Tangenta malého úhlu 1
o
je přibližně
rovna 0,017. V druhé mocnině to je 0,0003, což je velmi malá hodnota ve srov-
nání s jedničkou. Tedy bez velké chyby můžeme zapsat
()
()xEI
xM
dx
wd
w
y
y
−==
2
2
"
. (5.31)
Tato rovnice se nazývá diferenciální rovnice ohybové čáry 2. řádu. Druhá deri-
vace je tedy přímo úměrná ohybovému momentu M
y
(x) v daném místě a ne-
přímo úměrná ohybové tuhosti EI
y
(x).
Dalším dvojím derivováním obdržíme diferenciální rovnici čtvrtého řádu. Pro
případ nosníku s konstantní ohybovou tuhostí platí
()
y
z
EI
xq
dx
wd
w −==
4
4
IV
. (5.32)
Z této rovnice vyplývá, že čtvrtá derivace průhybu je úměrná příčnému zatíže-
ní.
Diferenciální závislost
Označení a kladný
smysl
Veličina
Obecný případ Pro EI = konst.

průhyb w

pootočení ϕ = w‘

ohybový moment M = -EIw‘‘

posouvající síla V = -(EIw‘‘)‘ V = -EIw‘‘‘

příčné zatížení q = -(EIw‘‘)‘‘ q = -EIw
IV
Tab. 5.2 – Diferenciální závislosti veličin nosníku
Teorie namáhání prutů
- 44 (64) -
5.2.2 Integrace diferenciální rovnice ohybové čáry
U staticky určitých nosníků lze určit průhyb od ohybových momentů ()xM
přímo ze statických podmínek rovnováhy. Potom můžeme vyjít přímo
z rovnice (5.31), kterou dvakrát integrujeme.
Postupná integrace
y
y
EI
M
w −=′′ , (5.33)
∫
+−=′=
1
Cdx
EI
M
w
y
y
ϕ , (5.34)
∫∫
++
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
21
CxCdx
EI
M
w
y
y
. (5.35)
Integrační konstanty C
1
a C
2
určíme z okrajových podmínek nebo podmínek
spojitosti, viz. tab. 5.2, 5.3.
Jedná se o podmínky kinematické (deformační). Veškeré statické podmínky,
tab. 5.2, byly již respektovány při odvození ohybových momentů ()xM .
w = 0

Prostě podepřený
okraj
w′= 0
w = 0

Vetknutý okraj
w′= 0 Na ose symetrie
Tab. 5.3 – Kinematické okrajové podmínky
Příklad:
Odvoďte rovnici ohybové čáry prostého nosníku stálého průřezu, zatíženého
plným rovnoměrným zatížením. Číselně určete maximální průhyb pro válcova-
ný ocelový nosník I260 při m 6=l a
1
kN.m 16
−
=q .
Řešení:
Ohybový moment v obecném průřezu
() ( )
22
22
1
xlx
q
qxAxxM
y
−=−= .
Po dosazení do diferenciální rovnice
ohybové čáry
()
()
()
2
2
xlx
EI
q
EI
xM
xw
yy
y
−−=−=′′ .
Ohyb nosníků
- 45 (64) -

Obr. 5.20 – Průběhy V, M, ϕ a w
Postupnou integrací získáme
() ()
1
32
322
C
xx
l
EI
q
xwx
y
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=′=ϕ ,
()
21
43
1262
CxC
xx
l
EI
q
xw
y
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−= .
Integrační konstanty získáme
z okrajových podmínek – podmínek
uložení nosníku.
Na obou koncích nosníku je průhyb
nulový ( ) 00 ==xw , ( ) 0== lxw .
Po dosazení do rovnic pro průhyb určí-
me integrační konstanty.
Nejprve zavedeme podmínku pro levý
konec ( ) 00 ==xw , potom
( ) 0000
2
=++== Cxw ⇒ 0
2
=C .
Podmínka ( ) 0== lxw na pravém
okraji nosníku vede na rovnici
() 0
126
21
43
=++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−== ClC
ll
l
EI
q
lxw
y
. Z této rovnice po dosazení C
2
= 0
získáme
y
EI
ql
C
3
1
24
1
= . Po dosazení konstant do výchozích rovnic získáme
v konečném tvaru rovnici pro výpočet pootočení
() ()
323
332
46
2424322
xlxl
EI
q
EI
qlxlx
EI
q
x
yyy
+−=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=ϕ
a rovnici pro výpočet průhybů
() ()
323
2
24
xxllx
EI
q
xw
y
+−= .
Průběhy funkcí pootočení průřezu a průhybu jsou uvedeny na obr. 5.20.
Maximální průhyb (vzhledem k symetrii) je uprostřed rozpětí
y
EI
qll
xww
4
max
384
5
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
== .
Polohu extrémních hodnot pootočení lze získat derivací funkce pootočení
()
()01212
24
2
=+−= xlx
EI
q
dx
xd
y
ϕ
⇒ ( ) 0=−lxx . Extrém lze očekávat v mís-
tech 0=x , lx = odpovídajících místům podepření. Po dosazení těchto sou-
řadnic získáme extrémní hodnoty pootočení
Teorie namáhání prutů
- 46 (64) -
()
y
EI
ql
x
24
0
3
==ϕ , ()
y
EI
ql
lx
24
3
−==ϕ .
Vztahy
y
EI
ql
w
4
max
384
5
= ,
y
a
EI
ql
24
3
max
==ϕϕ ,
y
b
EI
ql
24
3
min
−==ϕϕ jsou uvede-
ny ve statických tabulkách nebo průvodcích.
Číselně: q = 16 kN.m
-1
, l = 6 m, profil I260 ⇒ I
y
= 57,4 ⋅10
-6
mm
4
,
E = 2,1⋅10
11
Pa,
=
⋅⋅⋅
⋅⋅
=
−611
43
max
104,57101,2
61012
384
5
w 0,0168 m = 16,8 mm,
=⋅=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
=
−
−
3
611
33
max
1096,8
104,57101,224
61012
ϕ 0,513
o
.
Příklad:
Odvoďte rovnici ohybové čáry a velikosti průhybu a pootočení volného konce
konzoly stálého průřezu zatížené trojúhelníkovým zatížením. .konst=
y
EI

Obr. 5.21 – Průběhy V, M, ϕ a w

Řešení:
Intenzita příčného zatížení
()
l
x
qxq = .
Nejprve určíme funkci mo-
mentu M
y
.
()
l
qxx
x
l
qx
xM
y
632
1
3
−=−= .
Po dosazení do diferenciální
rovnice ohybové čáry obdr-
žíme rovnici
() ()
y
y
lEI
qx
xMxw
6
3
=−=′′ .
Dále tuto rovnici dvakrát
integrujeme. Tím získáme
vztah pro velikost pootočení
a průhybu v libovolném bodě
x konzoly.

() ()
1
4
24
C
lEI
qx
xwx
y
+=′=ϕ a ()
21
5
120
CxC
lEI
qx
xw
y
++=
Výpočet integračních konstant získáme po zavedení okrajových geometrických
podmínek ve vetknutí. Průhyb a pootočení na pravém konci (ve vetknutí) nos-
níku je roven nule. Potom platí
()() 0
24
1
4
=+==′== C
lEI
ql
lxwlx
y
ϕ , () 0
120
21
5
=++== ClC
lEI
ql
lxw
y
.
Ohyb nosníků
- 47 (64) -
Řešením soustavy rovnic obdržíme konstanty
y
EI
ql
C
24
3
1
−= a
y
EI
ql
C
30
4
2
= .
Zpětným dosazením do funkcí průhybu a pootočení průřezu obdržíme výsledné
řešení ve tvaru
() ()
yy
EI
ql
lEI
qx
xwx
2424
34
−=′=ϕ ,
()
yyy
EI
ql
x
EI
ql
lEI
qx
xw
3024120
435
+−= .
Extrémní hodnoty průhybu určíme tak, že nejprve získáme místo, kde lze oče-
kávat extrém průhybu, a to ze vztahu
()
0
24
4
==
y
lEI
qx
dx
xdw
⇒ 0=x .
Po dosazení souřadnice x = 0 do výrazu pro průhyb obdržíme hodnotu maxi-
málního průhybu ()
y
EI
ql
xww
30
0
4
max
=== .
Obdobně se vyčíslí extrémní hodnoty pootočení
0
6
3
==
y
lEI
qx
dx
dϕ
⇒ x = 0.
Potom ()
y
EI
ql
x
24
0
3
min
−===ϕϕ .
Jedná-li se o maximum či minimum, určíme buď z fyzikálních představ o cho-
vání konstrukce nebo pomocí druhé derivaci funkce. Je-li druhá derivace
v daném bodě kladná, jedná se o minimum, je-li záporná, o maximum.

Obr. 5.22 – Složitější případy zatížení
Teorie namáhání prutů
- 48 (64) -
Při složitějším (nespojitém) zatížení nebo podepření nosníku nelze průběh
ohybových momentů vyjádřit jedinou funkcí (výrazem). Pak je třeba rozdělit
celý vyšetřovaný obor na jednotlivé intervaly a v každém z nich integrovat
diferenciální rovnici zvlášť, viz obr. 5.22. Je-li počet intervalů n, vyvstane při
integraci celkem 2n integračních konstant C
1j
, C
2j
(j = 1, .., n). Po zavedení
okrajových podmínek spojitosti mezi jednotlivými oblastmi musíme řešit 2n
rovnic. Tento obecně navržený postup se jeví prakticky nevhodný.
Pro ruční výpočet nosníků s konstantním průřezem lze s výhodou použít meto-
du, která integrační postup upravuje tak, abychom pracovali pouze se dvěma
integračními konstantami. Vhodný postup navrhl Clebsch.
Řešení průhybů a pootočení nosníků Clebschovou metodou
Základní myšlenka vychází z předpokladu, že řešení lze provést takovým způ-
sobem, aby integrační konstanty byly stejné pro všechny části nosníku. Toto
platí pouze tehdy, kdy se v rovnicích momentů, pootočení a průhybů při pře-
chodu od předchozího intervalu k následujícímu intervalu opakují všechny
členy z předcházejících intervalů.
Nově vstupující členy jsou rovny nule na levých hranicích svých intervalů.

Obr. 5.23 – Clebschova metoda
Pro splnění uvedených podmínek při sestavování diferenciálních rovnic ohy-
bové čáry a při jejich integraci je nutno dodržet tato pravidla:
1. počátek souřadnic volíme v krajním levém bodě zkoumaného nosníku
a platí pro všechny intervaly,
2. rovnici M
y
(x) sestavujeme od všech působících sil nalevo od sledovaného
průřezu,
3. při zavádění osamělého momentu je nutno jej vynásobit členem (x - a
i
)
0

(a
i
souřadnice polohy momentu),
4. v případě ukončení spojitého zatížení je nutno jej uvažovat až do konce
nosníku a od místa ukončení zatížení přiložit kompenzující zatížení, rovněž
probíhající až do konce nosníku,
5. integrace se provádí bez odstranění závorek,
6. v případě vnitřního kloubu je nutno vzájemné pootočení průřezu α vynáso-
bit členem (x - a
i
)
0
(a
i
souřadnice polohy kloubu), α je neznámé pootočení
vyjadřující nespojitost v pootočeních v místě i
45
12
tg
aa
qq
k
−
−
== β .
Ohyb nosníků
- 49 (64) -
Pro úspornost zápisu přitom vyjadřujeme každou veličinu jedinou rovnicí,
v níž určitým způsobem rozlišujeme platnost jednotlivých členů v integračních
intervalech.
Podle obr. 5.23
() ( ) ( )
321
2
0
100
aaa
axPaxMxVMxM
yy
↵↵↵
+−+−++=
(5.35)
()()( ) ( )
54
3
4
2
4
2
3
3
2
3
1

6262
aa
ax
k
ax
q
ax
k
ax
q
↵↵
−
−
−
−
−
+
−
+

Integrací podle uvedeného pravidla obdržíme výrazy, které identicky splňují
podmínky spojitosti, takže vyvstanou pouze dvě integrační konstanty. Ty určí-
me z podmínek v podepření.
V případě, že bychom vzali hodnoty průhybu w
0
a pootočení ϕ
0
v bodě k , lze
zapsat výsledné řešení ve tvaru
()
( ) ( )
() () () ()
⎥
⎦
⎤
−
−
−
+
−
−
−
+
⎢
⎣
⎡
−
+
−
++−+=
∑∑∑∑
∑∑
!5!5!4!4

!3!2!3!2
1
5
4
5
3
4
4
2
4
3
1
3
2
2
1
3
0
2
000
ax
k
ax
k
ax
q
ax
q
ax
P
ax
M
x
V
x
M
EI
xwxw
y
ϕ
.(5.36)
V tomto případě mluvíme o metodě počátečních parametrů. Hodnoty w
0
a ϕ
0

většinou neznáme, proto je lépe použít úpravu podle Clebsche.

Obr. 5.24 – Průběhy V, M, ϕ a w
Příklad:
Odvoďte rovnici ohybové čáry prostého
nosníku stálého průřezu (EI
y
= konst.)
zatíženého silou F v obecné poloze.
Řešení:
Nejprve vyčíslíme reakci
l
Fb
A = .
Najdeme průběh momentu pro celou
oblast
() ()
lala
axFx
l
b
FaxFAxM
y
↵↵↵↵
−−=−−=

.
Po dosazení do diferenciální rovnice
Teorie namáhání prutů
- 50 (64) -
() ()
la
axFx
l
b
F
EIEI
M
xw
yy
y
↵↵
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−=−=′′

1
.
Po integraci obdržíme
() ()
( )
la
ax
F
x
l
Fb
EI
Cxwx
y
↵↵
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−=′=

22
1
22
1
ϕ
,
()
( )
la
ax
F
x
l
Fb
EI
CxCxw
y
↵↵
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−+=

66
1
33
21
.
Nyní zavedeme okrajové podmínky pro levý konec do rovnice pro prů-
hyb ()00 ==xw .
Tím získ