Přednášky (2)

-1;1 (
čím je závislost silnější, tím se hodnoty více blíží k 1 (resp. –1) a čím je závislost slabší, tím se hodnoty blíží k 0
Yuelův koeficient asociace (Jůlův(
(ab) ((() – (a() ((b)
Q = ------------------------------
(ab) ((() + (a() ((b)
Yuelův koeficient asociace nabývá hodnot v intervalu od (-1;1(
čím je závislost silnější, tím se hodnoty více blíží k 1 (resp. –1) a čím je závislost slabší, tím se hodnoty blíží k 0
Koeficient koligace
(a() ((b)
1 - -----------
(ab) ((()
Y = ---------------------------
(a() ((b)
1 + -----------
(ab) ((()
tyto koeficienty jsou méně přesnými měrami asociace; spíše mají orientační význam; vycházejí vždy vyšší než koeficient asociace
Upravený (2 – test
Používáme ho, když chceme zjistit, zda se jedná o znaky závislé
Ho = znaky jsou nezávislé
Testovací kritérium:
n ((ab) ((() - (a() ((b)(2
(2 = -----------------------------------
(a) (b) (() (()
Postup:
1. zvolíme si hladinu významnosti ( (0,05; 0,01)
2. vypočteme testovací kritérium
3. nalezneme kritickou hodnotu (2((2 – 1) (2 – 1) - stupeň volnosti tedy = 1
4. porovnáme vypočtenou hodnotu s testovacím kritériem a jestliže je (2 ( (2((2–1) (2–1) pak zamítáme nulovou hypotézu ve prospěch alternativní a považujeme za prokázanou existenci vztahu mezi oběma zkoumanými znaky
uvedený test lze použít, jestliže je rozsah souboru n ( 40
jestliže je 20 ( n ( 40 – test lze použít pouze za předpokladu, že žádná teoretická četnost není menší než 5
Teoretické četnosti vypočteme jako součin příslušných okrajových četností dělený rozsahem souboru a píšeme je s doplním indexem 0; např.:
(a) (b)
(ab)o = -------
n
Fisherův test
Používáme ho jako náhradní test v případě že n ( 20 a nelze tedy použít (2 – test
Postup:
1. zvolíme si hladinu významnosti ( (0,05; 0,01)
2. výsledky pozorování uspořádáme do asociační tabulky
3. vyhledáme nejnižší četnost v tabulce a sestavíme další pomocné tabulky s tím, že tuto minimální četnost zmenšujeme vždy o 1
4. poslední pomocnou tabulkou bude tabulka, kde minimální četnost = 0
5. nyní si spočítáme výsledné pravděpodobnosti a to jak pro tabulku původní, tak i pro tabulky pomocné
(a)! (b)! (()! (()!
pi = -------------------------------------
n! (ab)! (a()! ((b)! ((()!
6. vypočteme celkovou pravděpodobnost P = ( pi
Vyhodnotíme: P ( ( - pak zamítáme nulovou hypotézu a považujeme za prokázanou existenci vztahů mezi oběma znaky
Znaky množné
Kontingence
= vztah mezi dvěma množnými znaky
zachycujeme ji do tzv. kontingenční tabulky
Znak A / Znak B
b1
b2
…..
bs
a1
(a1b1)
(a1b2)
…..
(a1bs)
a1
a2
(a2b1)
(a2b2)
…..
(a2bs)
a2
…..
…..
…..
…..
…..
…..
ar
(arb1)
(arb2)
…..
(arbs)
ar
b1
b2
…..
bs
n

Okrajové četnosti
Celková četnost
uvnitř tabulky se nacházejí četnosti odpovídající výskytu jednotlivých znaků
okrajové četnosti: (a1) = (a1b1) + (a1b2) + . . . + (a1bs)
jedná se o tzv. vícepolní tabulku
u kontingenční tabulky neumíme vyjádřit průběh závislosti a určujeme pouze těsnost závislosti:
Pearsonův koeficient kontingence = Pearsonův koeficient průměrné čtvercové kontingence
(2
C = ------------
n + (2
používá se nejčastěji
kde:
n (aibj)2
(2 = ( (i=1,..r) ( (j=1,..s) --------------- - n
(ai) (bj)
maximální hodnota, jaké může dosáhnout koeficient kontingence při stejném počtu řádků a sloupců: r = s
r – 1 r – 1
C max. = ------------ = ---------
1 + r – 1r
Pearsonův koeficient kontingence nabývá hodnot v intervalu ( 0;1 (, ale jeho nevýhodou je to, že ani při úplné kontingenci znaků nedosáhne hodnoty 1
Čuprovův koeficient kontingence
Odstraňuje nedostatek Pearsonova koeficientu, neboť při úplné kontingenci znaků nabude skutečně hodnoty 1
(2
K = ------------------------
n (r – 1) (s – 1)
Normovaný koeficient kontingence
Používá se tehdy, chceme-li porovnat kontingenci mezi několika kontingenčními tabulkami – přičemž tabulky mohou mít různý počet řádků a sloupců
C
C nor = -----------
C max.
Upravený (2
Používáme ho tehdy, chceme-li zjistit, zda jsou znaky závislé
Postup:
1. zvolíme si hladinu významnosti ( (0,05; 0,01)
2. vypočteme hodnotu testovacího kritéria:
n (aibj)2
(2 = ( (i=1,..r) ( (j=1,..s) --------------- - n
(ai) (bj)
3. vyhledáme kritickou hodnotu (2((r – 1) s – 1), kde r je počet řádků a s je počet sloupců tabulky
4. porovnáme kritickou hodnotou s testovacím kritériem a jestliže je (2 ( (2((r – 1) (s – 1) , pak zamítáme nulovou hypotézu a prokázali jsme, že mezi oběma znaky existuje závislost
uvedený test nelze použít v případě, že více než 20 % teoretických četností je menších než 5 anebo jedna teoretická četnost je menší než 1
teoretické četnosti nám tedy umožňují zjistit použitelnost testu a vypočteme je např. takto:
(a1) (b1)
(a1b1)o = -----------------------
n
k tomuto testu, ale nemáme náhradní test a pokud tedy nejsou splněny podmínky použitelnosti, tak sloučíme sousední skupiny a tím se četnost (teoretická) zvětší a podmínky se pak po sloučení splní
Analýza časových řad7. přednáška
Analýza časových řad
Časová řada = posloupnost v čase seřazených údajů, zpravidla ve směru minulost přítomnost, z nichž každý se vztahuje buď k určitému časovému úseku (intervalu) nebo k časovému bodu (okamžiku)
smyslem časových řad je:
číselně popsat dynamiku vývoje sledovaných jevů v referenčním období (tj. období, kterého se to týká)
prognózovat jejich budoucí vývoj
Základní druhy časových řad
Z hlediska:
časového
intervalové časové řady
obsahují údaje, které se vztahují k určitému časovému intervalu (k jednomu roku, měsíci, . . .)
součet hodnot má věcný význam a průměr se řeší jako prostý aritmetický průměr
např. vývoj HDP v letech 1995 až 2002
okamžikové časové řady
sestaveny k určitému rozhodujícímu okamžiku, součet nemá smysl, průměr se řeší jako průměr chronologický:
y1 / 2 + y2 + y3 + . . . + yn – 1 + yn / 2
(y = -----------------------------------------------
n – 1
např. výsledky sčítání lidu, domů a bytů za 20. století
periodicity
krátkodobé
týdenní, měsíční, čtvrtletní
dlouhodobé
roční, pětileté
v ekonomice se nejčastěji vyskytují krátkodobé měsíční časové řady
druhu sledovaných ukazatelů
ČŘ primárních ukazatelů – tj. ukazatelů prvotních
ČŘ sekundárních ukazatelů – tj. ukazatelů odvozených
Součtové
Poměrových ukazatelů
Klouzavých průměrů
sekundární mají velký význam – např. HDP na jednoho obyvatele (poměr dvou primárních
dle způsobu vyjadřování údajů
ČŘ naturálních ukazatelů
ČŘ peněžních ukazatelů
Srovnatelnost údajů v časových řadách
každá časová řada musí splňovat 3 hlediska srovnatelnosti:
hledisko věcné srovnatelnosti
stejně nazývané ukazatele nemusí být stejně obsahově vymezeny
porušení – změnou metodiky výpočtu a získávání ukazatelů, technický rozvoj apod.
hledisko prostorové srovnatelnosti
rozdělení ČR, vnitřní reorganizace státu
hledisko časové srovnatelnosti
nutné respektovat u intervalových časových řad – výše ukazatele závisí na délce intervalu (např. měsíční tržby – musíme přepočíst na měsíc se stejným počtem dnů)
Elementární charakteristiky časových řad
hodnocení vývoje daného ukazatele
slouží k rychlé informaci o charakteru a chování ukazatele v časové řadě
členíme je na:
diference různého řádu (absolutní, relativní)
tempa a průměrná tempa růstu
průměry hodnot ukazatele
První absolutní diference
d1i = yi – yi – 1yi . . . i-tý člen časové řady o n členech (i = 1,2, . . n)
Průměrný absolutní přírůstek
(y2 – y1) + (y3 – y2) + . . . + (yn – yn – 1)yn – y1
(di = -------------------------------------------------- = ------------
n – 1 n – 1
Druhá absolutní diference (diference zrychlení)
d2i = d1i – d1(i – 1)
První relativní diference (tempo přírůstku)
d1i
ri = ------------- * 100 (%(
yi – 1
Druhá relativní diference (koeficient zrychlení)
d2i
zi = ---------------
d1(i – 1)
Řetězový index (index růstu, tempo růstu)
yi
ki = -------------
yi – 1
Koeficient růstu
yi
k´i = ------------- * 100 (%(
yi – 1
Průměrný koeficient růstu
n – 1 y2 y3yn n – 1 yn
(k = ------ * ------- * . . . . . . . . . * --------- = -------
y1 y2yn – 1 y1
(k =n – 1 k1 * k2 * . . . . * kn – 1
Bazický index
yi
------yo = základ (báze) indexu
yo
Charakteristické rysy průběhu časových řad
obecně – každá časová řada může obsahovat 3 základní složky:
trend
dlouhodobá vývojová tendence
dlouhodobý základní směr vývoje
periodická složka (periodické kolísání)
buď charakteru:
sezónního – délka periody je menší nebo rovna 1 rok
cyklického – délka periody je větší než 1 rok
náhodná složka
je opravdu téměř ve všech časových řadách
dle přítomnosti jednotlivých složek se časové řady člení na:
periodické a neperiodické ČŘ
ČŘ s trendem nebo ČŘ stacionární
Základní schémata různých časových řad
a) neperiodická ČŘ s trendemb) periodická ČŘ s trendem
y - např. míra nezaměstnanosti
y
t
- např. vývoj HDP / obyvatel v letech 1995 – 2002 t
c) neperiodická ČŘ stacionárníd) periodická ČŘ stacionární
- např. ha výnos od r. 1995- např. návštěvnost turistů v Praze
yy
tt
Analýza časových řad pomocí klasického modelu
matematický model vychází z rozkladu časových řad na 4 základní části (trendovou, sezónní, cyklickou, náhodnou)
(y . . . celkový průměr časové řady
ui . . . trendová složka v časové řadě (y´i)
si . . . sezónní složka v časové řadě
ci . . . cyklická složka v časové řadě
(i . . . náhodná složka v časové řadě
yi . . . jednotlivé údaje časové řady
rozklad každé hodnoty v časové řadě může být:
aditivní modely
ve tvaru yi = (y + ui + si + ci + (i
multiplikativní modely
ve tvaru yi = (y * ui * si * ci * (i
u tohoto typu se dále provede logaritmická transformace a tím se převede multiplikativní model na model aditivní
logaritmická transformace:
log yi = log(y + log ui + log si + log ci + log (i
smíšené modely
vyskytují se nejčastěji v praxi
Popis a analýza neperiodických časových řad s trendem
jedná se o předchozí obrázek – a)
tyto časové řady lze členit na:
ČŘ monotónní – má jeden základní směr vývoje, který zásadně převažuje
ČŘ nemonotónní – má více tendencí, které zjišťujeme
Popis trendu v časových řadách
obecně lze trend v časových řadách popsat 3 způsoby:
graficky
pomocí korelačního pole
yikorelační pole
osa korelačního pole
ti
mechanicky
pomocí klouzavých průměrů
klouzavé průměry obecně dělíme na:
klouzavé průměry z lichého počtu období
Roky
yi
Klouzavý tříletý úhrn
Klouzavý tříletý průměr
95
y1
----
----
96
y2
y1 + y2 + y3
y1 + y2 + y3
------------------
3
97
y3
y2 + y3 + y4
y2 + y3 + y4
------------------
3
98
y4
y3 + y4 + y5
y3 + y4 + y5
------------------
3
99
y5
…
…
…
…
…
…
klouzavé průměry ze sudého počtu období
Roky
yi
Klouzavý čtyřčtvrtletní úhrn
Centrovaný čtyřčtvrtletní úhrn
Centrovaný čtyřčtvrtletní klouzavý průměr
95
y1
----
----
----
y2
----
----
----
----
y1 + y2 + y3 + y4
----
----
y3
----
y1 + y2 + y3 + y4 + y2 + y3 + y4 + y5
y1 + y2 + y3 + y4 + y2 + y3 + y4 + y5
-------------------------------------------
8
----
y2 + y3 + y4 + y5
----
----
y4
----
y2 + y3 + y4 + y5 + y3 + y4 + y5 + y6
y2 + y3 + y4 + y5 + y3 + y4 + y5 + y6
--------------------------------------------
8
----
y3 + y4 + y5 + y6
----
----
96
y5
----
y3 + y4 + y5 + y6 + y4 + y5 + y6 + y7
y3 + y4 + y5 + y6 + y4 + y5 + y6 + y7
--------------------------------------------
8
----
y4 + y5 + y6 + y7
----
----
y6
…
…
…
y7
…
…
…
y8
…
…
…
klouzavé průměry očišťují časovou řadu od periodického a náhodného kolísání
analyticky
to znamená popsat tento trend pomocí trendových funkcí
tyto trendové funkce jsou obdobou jednoduchých regresních funkcí, kde nezávisle proměnnou je čas (ti) a závisle proměnnou (yi) je hodnocený ukazatel v časové řadě
Lineární trend
Nejjednodušší typ trendové funkce
Přímka, která je vhodná u takových funkcí, kde první absolutní diference d1i = konstanta a 2. absolutní diference d2i = 0
Lineární trendová funkce má tvar:
ui = a + b ti
kde:
a – absolutní člen
b – regresní koeficient
ti – stupnice nezávisle proměnné
Parametry lineární trendové funkce – zjistíme pomocí metody nejmenších čtverců:
( (yi – ui)2 ( minimum
A) pomocí maticového počtu
b = (TT T) -1 * TT * y
Kde: T = matice nezávisle proměnné
T(n x k( = 1t1
1t2
1t3
. . . . . . . .
1ti
B) pomocí soustavy normálních rovnic
na + b ( ti = ( yi
a ( ti + b ( ti2 = ( yi ti
Lin. a nelineární trend,periodické ČŘ,náhodná složka,interpolace a extrapolace8. přednáška
Dokončení lineárního trendu:
Lineární trendová funkce
ui = a + b * ti
pracujeme s časovou proměnnou ti – je to nezávisle proměnná a představuje časovou posloupnost – tzn. že mezi údaji je vždy přírůstek jedno období
Volba hodnot ti
při ručním zpracování
volíme ti tak, aby ( ti = 0
potom:( yi
a = ------------
n
( yi ti
b = ------------------
( ti2
1 – časová řada s lichým počtem údajů:
Roky
yi
ti
1998
y1
-2
1999
y2
-1
2000
y3
0
2001
y4
1
2002
y5
2
(
---
0
Záporná celá čísla s přírůstkem 1
Prostřední hodnota = 0
Kladná celá čísla s přírůstkem 1
2 – časové řady se sudým počtem údajů:
Roky
yi
ti
*2
ti
1997
y1
-2,5
-5
1998
y2
-1,5
-3
1999
y3
-0,5
-1
2000
y4
0,5
1
2001
y5
1,5
3
2002
y6
2,5
5
(
---
0
0
při zpracování pomocí výpočetní techniky
Roky
yi
ti
1998
y1
1
1999
y2
2
2000
y3
3
…
…
…
musíme v tomto případě řešit celou soustavu normálních rovnic, nelze použít zjednodušené vzorce
Index korelace
stupeň přiléhavosti trendové funkce ke skutečným údajům v časové řadě vyjadřujeme pomocí indexu korelace
s(2
I = 1 - ----------
sy2
s(2 = rozptyl reziduální - z hodnot (i = yi - ui
( (yi - ui)2
s(2 = -------------------
n
sy2 = rozptyl skutečných hodnot v časové řadě
( yi2
sy2 = ---------- - ((y )2
n
index korelace nabývá hodnot I( ( 0,1 (
Index determinace
I2
Udává nám, z kolika % je změna hodno údajů v časové řadě vysvětlená změnou času (tj. trendovou funkcí)
Nelineární trend
modely aditivní
parabolický trend – parabola 2. stupně
ui = bo + b1 ti + b2 ti2
funkce má jedno maximum a řeší se standardně metodou nejmenších čtverců
pomocí maticového počtu b = (TT T) -1 * TT * y
soustava normálních rovnic
n bo + b1 ( ti + b2 ( ti2 = ( yi
bo ( ti + b1 ( ti2 + b2 ( ti3 = ( ti yi
bo ( ti2 + b1 ( ti3 + b2 ( ti4 = ( ti2 yi
pokud zařídíme, aby ( ti = 0, pak má soustava normálních rovnic tento tvar
n bo + b2 ( ti2 = ( yi
b1 ( ti2 = ( ti yi
bo ( ti2 + b2 ( ti4 = ( ti2 yi
parabolický trend – parabola 3. stupně
ui = bo + b1 ti + b2 ti2 + b3 ti3
hyperbolický trend
ui = bo + b1 * 1/ti
odmocninný trend
ui = bo + b1 ti + b2 (ti
logaritmický trend
ui = bo + b1 * log ti
modely multiplikativní
exponenciální trend
ui = bo * b1ti
mocninný trend
ui = bo * tib1
u těchto modelů je nutná logaritmická transformace
Další používané typy trendových funkcí
Logistická trendová funkce
Při popisu biologického růstu populací
Z této funkce vychází modelování poptávky a nabídky, výroby a prodeje výrobků
Dle jejího typického průběhu se jí říká S – křivka
fáze: 1 2 3 4 5.
Řetězová funkce
U časových řad se stejným koeficientem zrychlení
Modifikované exponenciální trendy
Používají se při prognózování
Volba vhodné trendové funkce
Kritéria výběru trendové funkce
věcně posoudit hodnocený jev
problematiku důkladně známe, nebo použijeme již publikovaných informací
vizuální výběr trendové funkce na základě analýzy
děláme pokud možno vždy
pomocí vývoje elementárních charakteristik časových řad a klouzavých průměrů
pomocí indexu korelace
nejvhodnější je ta funkce, která má nejvyšší index korelace, neboť ten nejlépe modeluje daný jev (nejvíce se přimyká ke skutečným hodnotám)
Analýza periodických časových řad
jedná se obrázek b) a d) z předešlé přednášky
tento typ časové řady vždy obsahuje periodické kolísání; může obsahovat trend a zpravidla obsahuje náhodné kolísání
periodická složka je důsledkem působení periodicky se opakujícího faktoru na výsledný jev
periodické kolísání:
kolísání dlouhodobé (cyklické) – délka periody je větší než 1 rok
kolísání krátkodobé (sezónní) – délka periody je menší nebo rovna 1 roku
(budeme se věnovat jen tomu sezónnímu)
sezónní kolísání je výsledkem působení objektivních faktorů (tzn. počasí) – týká se zemědělství, stavebnictví, cestovního ruchu . . . a dále také výsledkem působení subjektivních faktorů – prázdniny, svátky, náboženství . . .
obecně sezónní výkyvy mají zpravidla negativní dopad na ekonomické výsledky a proto se snažíme, pokud to lze, je odstranit
pro měření intenzity sezónních výkyvů se používají tzv. sezónní indexy
sezónní index = poměrné číslo
skutečná hodnota yi
si = -------------------------------------
teoretická hodnota
a) celkový průměr skutečných hodnotb) hodnota vypočtená z klouzavých
za období celé periody sezónního cykluprůměrů nebo hodnota určená pomocí
yitrendové funkce
si = ----------- yi
(ysi = -----------------
- počítá se u časových řad stacionárníchui (trend)
a u časových řad s nevýrazným (malým)
trendem (obrázek d))yi
si = ----------------------------------
yi´ (klouzavý průměr)
- používá se u časových řad s výrazným
trendem (obrázek b))
vypočtené si (sezónní indexy) se používají k opravě predikce ukazatele určené podle trendové funkce
Náhodná složka v časových řadách
nebo též tzv. náhodné kolísání
náhodné kolísání se kvantifikuje pomocí absolutní a relativní průměrné odchylky
 
Časové řady stacionární
Časové řady s trendem
Absolutní průměrná odchylka (t, ha . . )
( (i=1, . . n) (yi -(y(
(d = --------------------------------
n 
( (i=1, . . n) (yi - ui(
(d = --------------------------------
n 
Relativní průměrná odchylka (bezrozměrné; %)
(yi -(y(
( (i=1, . . n) --------------
(y
(d´ = -----------------------------------
n 

(yi - ui(
( (i=1, . . n) --------------
ui
(d´ = -----------------------------------
n 
yi . . . skutečné hodnoty časové řady
(y . . . celkový průměr
ui . . .vypočtené (vyrovnané / očekávané) hodnoty dle trendové funkce
n . . . délka časové řady (počet období)
Interpolace a extrapolace časových řad
Interpolace časových řad = přibližné určení chybějící hodnoty sledovaného ukazatele uvnitř časové řady za předpokladu, že známe sousední hodnoty
prostřednictvím sousedních hodnot
pomocí aritmetického průměru těchto sousedních hodnot * průměrný koeficient růstu celé časové řady
prostřednictvím všech hodnot časové řady
z trendové funkce
Extrapolace časových řad = určení hodnot časové řady za interval známých hodnot zpravidla do budoucnosti
jedná se o tzv. statistické prognózování, kdy prostřednictvím trendových funkcí a sezónních indexů je možno odhadnout budoucí vývoj
tento klasický postup předpokládá neměnnost dosavadního vývoje i do budoucnosti
uvedený nedostatek (tj. předpoklad neměnnosti) odstraňuje tzv. adaptivní prognózování, které považuje nejnovější údaje za nejcennější a starší údaje za méně cenné – tzn. že adaptivní modely berou v úvahu zastarávání informace
Modely adaptivního prognózování:
Metody harmonických vah
Metody exponenciálního vyrovnávání
Holtův model
Brownův model
Wintersův model
Počítají se za pomoci výpočetní techniky
Hodnocení přesnosti prognóz
hodnocení přesnosti prognóz se zpravidla provádí metodou ex post – poté, co víme skutečné výsledky
nejčastějším ukazatelem je relativní chyba (míra) predikce
prognóza - skutečnost
ur = -------------------------------------- * 100 (%(
skutečnost
pokud ur ( 5 % - prognóza je velmi přesná a náš konkrétní model dobře prognózuje
pokud ur ( ( 5 ; 10 ) % - prognóza je uspokojivě přesná a i model je pro další prognózování uspokojivý
Skutečné prognózování
vychází z trendových funkcí a sezónních indexů
poskytuje předpověď:
bodobouun + k kde n = počet členů časové řady a k = počet kroků dopředu
intervalovou
P ( udolní ( un + k ( uhorní ) = 1 - (
P ( un + k - ( ( un + k ( un + k + ( ) = 1 - (
Kde: n (n2 – 1) + 12 k2
( = t((n – 2) * sy * (1 – I2) * -------------