Skripta Fyzikální seminář

počet je

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

T 1.7

Na obrázku je zakreslen graf závislosti velikosti rychlosti hmotného bodu na čase. Jak velké
zrychlení má hmotný bod v čase t = 4 s?




10
8
6
4
2

0 1 2 3 4 5 t (s)

v (m.s
-1
)


T 1.8

Po silnici jedou dva automobily o stejných hmotnostech. První jede rychlostí 40 km.h
-1
, druhý
80 km.h
-1
. V jakém poměru jsou kinetické energie obou automobilů?

E
k1
/ E
k2
= 1 / 4 b) E
k1
/ E
k2
= 1 / 2 c) E
k1
/ E
k2
= 4 d) E
k1
/ E
k2
= 2


t
s
t
s
t
s
t
s
a) 8 m.s
-2

b) 2 m.s
-2

c) 1 m.s
-2

d) 0 m.s
-2

10
T 1.9
Na tři tělesa, která se pohybují po vodorovné podlaze, působí síly
1
F
G
,
2
F
G
a
3
F
G
. Všechny síly
mají stejnou velikost F, ale různý směr, jak je vidět na obrázku. Urazí-li tělesa stejné dráhy,
pak největší práci vykoná

a) síla
1
F
G
b) síla
2
F
G
c) síla
3
F
G
d) všechny síly stejnou


s s s
1
F
K
3
F
K
α
2
F
K


T 1.10
Kotouč o poloměru r je otáčivý kolem nehybné osy, jdoucí jeho středem. Na kotouč působí
síly
1
F
G
až
4
F
G
, znázorněné na obrázku. Všechny síly mají stejnou velikost a stejný směr, liší
se jen polohou působiště. Vzdálenost d je rovna polovině poloměru r. Na kotouč má největší
otáčivý účinek










a) síla
1
F
G
b) síla
2
F
G
c) síla
3
F
G
d) síla
4
F
G



T 1.11

Při rovnoměrně zrychleném přímočarém pohybu působí na těleso

a) nulová síla c) síla úměrná času
b) konstantní nenulová síla d) síla úměrná rychlosti


T 1.12

Jestliže hybnost částice klesne na polovinu, pak její kinetická energie

a) vzroste 2-krát b) klesne 4-krát c) klesne 8-krát d) vzroste 4-krát
O
2
F
G
1
F
G

3
F
G
4
F
G
O
d
r r
O
r
O
d
11
T 1.13

Kola A a B o poloměrech r
A
= 50 cm a r
B
= 20 cm jsou spojena řemenovým převodem. Otáčí-
li se kolo A s úhlovou frekvencí 2 Hz, pak se kolo B otáčí s úhlovou frekvencí

a) 5 Hz b) 10 Hz c) 2 Hz d) 0,8 Hz

T 1.14

m
2
.kg.s
-2
je vyjádřením jednotky

a) výkonu b) tlaku c) síly d) práce

T 1.15

Jak velkou silou musíme kopnout do míče o hmotnosti 400 g, abychom mu udělili zrychlení
80 m.s
-2
?

a) 200 N b) 32 N c) 20 N d) 5 N

T 1.16

Jestliže se setrvačníkové kolo, vykonávající na počátku 12 otáček za sekundu, zastaví po šesti
sekundách, pak průměrné úhlové zrychlení je

a) - 2 s
-2
b) - 4 s
-2
c) - 4π s
-2
d) - 2 π s
-2

T 1.17

Velikost dostředivé síly F
d
při rovnoměrném pohybu tělesa hmotnosti m po kružnici
poloměru r s úhlovou rychlostí ω a obvodovou rychlostí v můžeme vyjádřit vztahem
a) F
d
= m v
2
r b) F
d
= m ω
2
r c) F
d
= m r ω d)
ω
2
vm
F
d
=




1.4 Nutné předběžné znalosti
V této kapitole jsou shrnuty vybrané části z úvodu do studia fyziky, na které studium
celé fyziky navazuje. Projděte si tyto úvodní stránky pozorně, poněvadž obsahem těchto
kapitol jsou základy potřebné k dalšímu studiu fyziky. Mnohé informace si jistě ještě
pamatujete ze střední školy. Pak teprve začněte se studiem dalších kapitol.


12
Základní informace o fyzikálních veličinách a jednotkách
K vyjádření výsledku pozorování určitého děje či experimentu používáme fyzikální
veličiny. Fyzikální veličinou rozumíme např. objem, teplotu, dráhu, čas, rychlost, hmotnost,
elektrický proud atd. Každou fyzikální veličinu označujeme smluvenou značkou, např. pro
uvedené veličiny to jsou V, T, s, t, v, m, I.

Každá fyzikální veličina je určena číselnou hodnotou a fyzikální jednotkou.

V naší republice se používá Mezinárodní soustava jednotek, která se označuje SI
(Systeme International d`Unités). Používání těchto jednotek je u nás také stanoveno normou
Zákonné měřicí jednotky ČSN 01 1300.

Podle Mezinárodní soustavy jednotek se fyzikální jednotky dělí na základní, doplňkové
a odvozené.

a) Základ SI tvoří sedm základních jednotek

Základní veličina Značka Fyzikální jednotka Značka
délka l metr m
hmotnost m kilogram kg
čas t sekunda s
elektrický proud I ampér A
termodynamická teplota T kelvin K
látkové množství n mol mol
svítivost I kandela cd

Tab. 1: Mezinárodní soustava jednotek SI

b) Doplňkovými jednotkami SI jsou:

Doplňková jednotka Značka Fyzikální jednotka Značka
rovinný úhel t∆ radián rad
prostorový úhel ω,Ω steradián sr

Tab. 2: Doplňkové jednotky SI

Podle rozhodnutí Mezinárodní komise pro míry a váhy jsou tyto dvě jednotky
interpretovány jako jednotky bezrozměrné, které můžeme (ale nemusíme) používat pro
odvozené jednotky SI. Tak např. v literaturách se někdy setkáváme s jednotkou pro úhlovou
rychlost ve tvaru rad.s
-1
nebo jen s
-1
. Obojí je správně.


13
c) Odvozené jednotky se odvozují ze základních jednotek pomocí definičních vztahů
odpovídajících fyzikálních veličin. Např. rychlost rovnoměrného přímočarého pohybu
můžeme vyjádřit vztahem v =
t
s
, kde s je dráha a t doba trvání pohybu. Poněvadž jednotkou
dráhy je metr – m a jednotkou času sekunda – s, je jednotkou rychlosti metr za sekundu –
[v] =
s
m
= m.s
-1
.
Násobky a díly jednotek SI – jsou tvořeny ze základních jednotek pomocí předpon SI, tj.
pomocí mocnin o základu 10. Jejich názvy jsou pak tvořeny spojením předpony a názvu
jednotky v jedno slovo (např. kilometr, kilogram, milimetr, pikofarad).

Tab. 3. jsou uvedeny nejdůležitější předpony pro tvoření násobků a dílů jednotek (úplnou
tabulku najdete v ČSN 01 1300.

Předpona tera giga mega kilo mili mikro nano piko
Značka T G M k m
µ
n p
Mocnina 10
12
10
9
10
6
10
3
10
-3
10
-6
10
-9
10
-12


Tab. 3: Násobky a díly jednotek SI

Vedlejší jednotky povoluje používat norma Zákonné měřicí jednotky a to z praktických
důvodů. Patří mezi ně např. litr (l), tuna (t), minuta (min), hodina (h).




















14
2 VEKTOROVÁ ALGEBRA


Ke kapitole 3 z doporučené literatury:
D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: FYZIKA

2.1 Skalární a vektorové veličiny
Veličiny, se kterými se ve výuce fyziky setkáme, dělíme na veličiny skalární
a vektorové.

Skalární fyzikální veličiny nebo stručně skaláry jsou jednoznačně určeny jediným
číslem a příslušnou měřicí jednotkou. Patří k nim např. hmotnost, objem, délka, čas.
Zapisujeme je např. m = 3 kg, V = 10 m
-3
, l = 5 m, t = 20 s.
Při počítání se skaláry používáme běžná pravidla aritmetiky a algebry čísel.

Vektorové fyzikální veličiny neboli vektory jsou veličiny, k jejichž úplnému určení je
třeba znát nejen číselnou hodnotu a měřicí jednotku, ale i směr (včetně orientace). Takovými
veličinami jsou např. síla, rychlost, zrychlení. Vektorové fyzikální veličiny se označují buď
tučně vytištěnými značkami (F, v, a) nebo nad značkou veličiny píšeme šipku (F
G
, v
G
, a
G
).
Při výpočtech platí zvláštní pravidla vektorové algebry.

TEST 2.1

Mezi vektorové veličiny patří

a) moment síly b) dráha c) hmotnost d) tlak


Geometricky zobrazujeme vektorovou veličinu orientovanou úsečkou, jejíž délka
znázorňuje velikost vektoru, tj. hodnotu veličiny, a její šipka pak směr vektoru.

Počáteční bod vektoru určuje umístění vektoru (na Obr. 2.1 je označen O) a nazývá se
působištěm dané vektorové veličiny.

Libovolný vektor a
G
v kartézské soustavě souřadnic O, x, y, z můžeme vyjádřit

• pomocí souřadnic
),,(
zyx
aaaaa
GG
=
( 2.1 )
• jako součet jeho tří složek vztahem
kajaiaa
zyx
G
GG
G
++= , ( 2.2 )
kde i
G
, j
G
a k
G
jsou jednotkové vektory ve směru os x, y, z a a
x
, a
y
a a
z
jsou souřadnice
vektoru a
G
.

15

ak
z
ai
x
a
a j
y
x
y
z
α
β
γ
O



Obr. 2.1: Vektor. kajaiaa
zyx
G
GG
G
++=
2.2 Složky, souřadnice a velikost vektoru
Složkami vektoru a
G
jsou vektory

iaa
xx
G
G
= , jaa
yy
G
G
= , kaa
zz
G
G
= .

Souřadnice vektoru v prostoru jsou určeny jeho kolmými průměty do směrů
souřadnicových os x, y a z a označujeme je
x
a ,
y
a a
z
a .

V kartézské soustavě souřadnic platí, že
• velikost (modul) vektoru a
G
je
222
zyx
aaaaa ++==
G

( 2.3 )
• průměty vektoru a
G
(viz Obr. 2.1) do směrů souřadnicových os lze vyjádřit vztahy

αcosaa
x
= βcosaa
y
= γcosaa
z
= ,
( 2.4 )

kde cos α , cos β a cos γ jsou tzv. směrové kosiny.

Velikost vektoru je vždy kladná, neboť délky úseček vyjadřujeme jen kladnými čísly.
Velikost vektoru lze psát také ve tvaru

γβα coscoscos
zyx
aaaa ++=
( 2.5 )

Úhly α , β a γ sevřené s kladnými směry os určují směr vektoru a
G
a pro jejich kosiny platí
1coscoscos
222
=++ γβα .
( 2.6 )
16
Velikost i směr vektoru a
G
ležícího (pro názornost) v rovině můžeme určit pomocí
souřadnic vektoru (jak je znázorněno na Obr. 2.2)

θcosaa
x
= a θsinaa
y
=
( 2.7 )

vztahy
22
yx
aaa += a
x
y
a
a
tg =θ ,
( 2.8 )

kde θ je úhel mezi vektorem a
G
s kladným směrem osy x. Znaménko souřadnice určuje
orientaci odpovídajícího průmětu vektoru vzhledem ke kladnému směru souřadnicové osy.



Obr. 2.2: Složky vektoru.
a) Složky vektoru a
G
. b) Při posunutí vektoru (při zachování jeho velikosti i směru) se jeho
složky nezmění. c) Složky vektoru a
G
tvoří odvěsny pravoúhlého trojúhelníka, jehož přeponou
je vektor a
G
.


TEST 2.2

Na kterém z obrázků je správně zakreslen rozklad vektoru a
G
na složky?


x
a
G
y
x

y
a
G

a
G
a)



y
a
G

x
a
G
y
x
a
G
b)


y
x
y
a
G
x
a
G
c)
a
G



y
x
y
a
G
x
a
G
d)
a
G





17
Příklad 2.1: (HRW – 3.17.)

Kolo o poloměru 45,0 cm se valí bez prokluzu po vodorovné podlaze (viz obrázek). Na
obvodu kola označíme bod P, který se v okamžiku t
1
právě dotkne podlahy. V pozdějším
okamžiku t
2
je kolo otočeno o polovinu otáčky. Jaké je posunutí bodu P za dobu od t
1
do t
2
?

Řešení:
R = 45,0 cm, t
1,
t
2
, r = ?


y
xP
P
r
x
r
y
R
r
α


Z obrázku:
22
yx
rrr +=
G
, kde r
x
= R
R
π
π
=
2
2

r
y
= 2 R.

Pak
2222
2)2()( +=+= ππ RRRr
G


Po dosazení
445
2
+= πr
G
cm = 167,6 cm

ππ
α
22
===
R
R
r
r
tg
x
y
⇒
π
α
2
arctg= , α =
D
5,32 .

Bod P se za dobu
12
ttt −=∆ posunul o 167,6 cm pod úhlem α =
D
5,32 .


Úkol 2.1 (HRW – 3.11.)

Vektor posunutí r
G
leží v rovině xy a má velikost 15 m (na obrázku). Určete jeho souřadnice.





18
Úkol 2.2 (HRW – 3.14.)

Loď se chystá na cestu dlouhou 120 km severním směrem. Náhlá bouře ji zanese 100 km
východně od výchozího bodu. Jak musí kapitán změnit pokyny k plavbě vzdálenost a směr),
aby loď dosáhla původně plánovaného cíle?

2.3 Jednotkové vektory
Jednotkový vektor
0
a
G
je vektor, který má velikost jedna a má tentýž směr a orientaci
jako vektor a
G
(Obr. 2.3). Fyzikálně je bezrozměrný. Platí


aaa
0
GG
= , odkud je
a
a
a
G
G
=
0
( 2.9 )









Obr. 2.3: Jednotkový vektor
0
a
G


Vektory i
G
, j
G
a k
G
jsou definovány jako navzájem kolmé vektory jednotkové velikosti,
jejichž směry jsou souhlasně rovnoběžné s osami x, y a z pravotočivé soustavy souřadnic.











Obr. 2.4: Jednotkové vektory i
G
, j
G
a k
G
.


Příklad 2.2:

Vyjádřete jednotkové vektory i
G
, j
G
a k
G
pomocí souřadnic a vypočítejte velikosti těchto
vektorů.

j
G
k
G
0
a
G
a
G
y
z
x
i
G
19
Řešení:

Podle obr. 2.4 je vyjádření jednotkových vektorů i
G
, j
G
a k
G
pomocí souřadnic
i
G
= (1, 0, 0), j
G
= (0, 1, 0), k
G
= (0, 0, 1).

Pro velikosti vektorů i
G
, j
G
a k
G
platí

001
2
++== ii
G
= 1

010
2
++== jj
G
= 1

2
100 ++== kk
G
= 1.

( 2.10 )

Úkol 2.3

K vektoru kjir
G
GG
G
432 ++= určete jednotkový vektor
0
r
G
.


Nulový vektor je vektor, jehož velikost je rovna nule (o směru nemá smysl hovořit).

Opačný vektor k vektoru b
G
je vektor b
G
− , který má stejnou velikost a stejný směr ale
opačnou orientaci.


2.4 Algebraická metoda sčítání a odečítání vektorů
Algebraická metoda výpočtu součtu vektorů kajaiaa
zyx
G
GG
G
++= a kbjbibb
zyx
G
GG
G
++=
je založena na použití pravidla „sčítání po souřadnicích“

xxx
bas +=
yyy
bas +=
zzz
bas +=
( 2.11 )

Výsledný vektor s
G
je ve tvaru

bas
G
GG
+= = kbajbaiba
zzyyxx
G
GG
)()()( +++++ . ( 2.12 )

Podobně pro rozdíl vektorů kajaiaa
zyx
G
GG
G
++= a kbjbibb
zyx
G
GG
G
++= platí

bad
G
G
G
−= = kbajbaiba
zzyyxx
G
GG
)()()( −+−+− . ( 2.13 )

20
Příklad 2.3: (HRW – 3.21.)

Určete složky, velikost a směr vektorů a) ba
G
G
+ a b) ab
G
G
− , je-li a
G
= 3,0i
G
+ 4,0 j
G

a b
G
= 5,0i
G
– 2,0 j
G
.


Řešení:

a
G
= 3,0i
G
+ 4,0 j
G
, b
G
= 5,0i
G
– 2,0 j
G
, a) ba
G
G
+ = ?, b) ab
G
G
− = ?

a) Složky vektoru s
G
= ba
G
G
+ vypočítáme ze vztahu

s
G
= ba
G
G
+ =
yx
ss
GG
+ = jbaiba
yyxx
GG
)()( +++ ,

tj. s
G
= ba
G
G
+ = (3 + 5) i
G
+ (4 – 2) j
G
= 8 i
G
+ 2 j
G
,

jeho velikost je s
G
=
2222
28 +=+=+
yx
ssba
G
G
= 8,2

a směr vektoru s
G
= ba
G
G
+ je určen vztahem
8
2
arctg=α ,

odkud je α =
D
14 .

b) obdobně počítáme pro vektor d
G
= ab
G
G
− ,

kde platí pro:

složky vektoru d
G
= ab
G
G
− d
G
=
yx
dd
GG
+ = jabiab
yyxx
GG
)()( −+−

d
G
= ab
G
G
− = ji
GG
)42()35( −−+− = ji
GG
62 −

velikost vektoru
2222
62 +=+=−=
yx
ddabd
G
GG
= 6,3

směr vektoru d
G
:
D
72
2
6
−=






−
=arctgβ .



21
Grafické řešení:

y
x
0
α
a
G
b
G
ba
G
G
+
y
x
β
a
G
b
G
a
G
−
ab
G
G
−



Úkol 2.4 (HRW – 3.24.)

Určete vektory a
G
a b
G
, je-li ba
G
G
+ = 4c
G
, ba
G
G
− = 2c
G
a jíc
GG
G
43 += .


Příklad 2.4: (HRW – 3.29.)
Radarová stanice zaznamenala letoun, který se k ní blížil přesně z východu. V té chvíli byl
letoun ve vzdálenosti 370 m od stanice a byl vidět pod elevačním úhlem
D
40 (nad
vodorovnou rovinou). Radar sledoval letoun až do okamžiku, kdy byl od stanice vzdálen
790 m na západ a velikost pozorovacího úhlu činila
D
123 (na obrázku). Určete posunutí
letounu během doby sledování a) graficky, b) výpočtem.



Řešení:
Podle obr. OA = 370 m, OB = 790 m,
D
17=α ,
D
40=β , BA
G
= ?, γ = ?

a) Grafické znázornění posunutí letounu

22

0
y
x
B
A
γ
α=17° β=40°

b) Nejprve vypočítáme vektor posunutí BA
G
jako rozdíl vektorů BO
G
a AO
G


AOBOBA
GGG
−=

[]( ) jijijiOBBO
GGGGGGG
DDDD
0,2315,75517sin17cos79017sin)(17cos +−=+−=+−=

()( ) jijijiOAAO
GGGGGGG
DDDD
8,2374,28340sin40cos37040sin40cos +=+=+=

Výsledný vektor je m)8,69,1038( jiBA
GGG
−−=

a jeho velikost
22
8,69,1038 +=BA
G
m = 1038,9 m.

Odchylka od vodorovného směru
DD
038,0
9,1038
8,6
≈=
−
−
=arctgγ .

Letoun se během doby sledování posunul o 1038,9 m ve vodorovném směru.

2.5 Grafická metoda sčítání a odečítání vektorů
Vektory a
G
a b
G
narýsujeme ve vhodném měřítku tak, že počáteční bod kteréhokoli
z nich umístíme do koncového bodu druhého. Jejich součtem je vektor s
G
spojující počáteční
bod prvého vektoru s koncovým bodem druhého.

Obr. 2.5: Součet vektorů.
a) AC je vektorovým součtem vektorů AB a BC. b) Jiné označení vektorů
z obrázku a)


23
Obr. 2.5 je patrné, že
bas
G
GG
+=
( 2.14 )
Vektor ba
G
G
+ tvoří úhlopříčku v rovnoběžníku určeném vektory a
G
a b
G
podle Obr. 2.6.

Obr. 2.6: Dva vektory a
G
a b
G
lze sčítat v libovolném pořadí (vztah ( 2.15)).


Při odečítání vektoru b
G
od vektoru a
G
změníme směr vektoru b
G
a získáme tak vektor
opačný -b
G
, který přičteme k a
G
(Obr. 2.7).

Pro součet vektorů platí :
• komutativní zákon
abba
G
GG
G
+=+
( 2.15 )
• asociativní zákon
( ) ( )cbacba
G
G
GG
G
G
++=++ ( 2.16 )







Obr. 2.7: Vektory b
G
a –b
G


Obr. 2.8: a) Vektory a
G
, b
G
a –b
G
, b) Odečtení
vektoru b
G
od vektoru a
G
.


Rozdílem vektorů a
G
a b
G
rozumíme vektor d
G
, který určíme jako součet vektoru a
G

a vektoru opačného k vektoru b
G
, tj. vektoru –b
G

( )babad
G
G
G
G
G
−+=−=
( 2.17 )
24
TEST 2.3

Který z následujících obrázků vyjadřuje správně grafické sečítání dvou navzájem kolmých sil
21
,FF
GG
?







a) b) c) d)


Příklad 2.5: (HRW – 3.3.)

Turista ušel 3,1 km na sever, pak 2,4 km na západ a nakonec 5,2 km na jih. a) Sestrojte
vektorový diagram popisující jeho pohyb. b) Jak daleko a v jakém směru by musel letět pták,
aby ze stejného výchozího místa doletěl do stejného cíle? Let ptáka je přímočarý.

Řešení:

Podle obr. AB = 3,1 km, BC = 2,4 km, CD = 5,2 km, r
G
= ?, α = ?

a) Vektorový diagram popisující pohyb turisty

r
G
D0≡
y
x
C B
A
α


b) Body A a D mají podle obrázku souřadnice A (2,4; 2,1), D (0; 0).

Vektor r
G
= ji
GG
1,24,2 −− .

Pták by musel uletět vzdálenost
22
1,24,2 +=r
G
= 3,19 km
ve směru
D
2,41
4,2
1,2
==arctgα .
2
F
G
2
F
G
2
F
G
1
F
G

1
F
G
1
F
G
2
F
G
1
F
G

25
Úkol 2.5 (HRW – 3.4.)

Automobil jede 50 km východním směrem, poté 30 km severně a dále 25 km na
severovýchod pod úhlem
D
30 vzhledem k místnímu poledníku. Sestrojte vektorový diagram
pohybu a určete celkové posunutí automobilu.


Poznámka:
Při sčítání vektorových veliči