Skripta Elektrotechnické materiály a výrobní procesy - lab. cvičení

isperzní křivky
(znázorněné na obr. 2.2 čárkovaně), neboť část komplexní permitivity, složka ε´= F(ω), klesá
s rostoucím kmitočtem pomaleji než v klasickém Debyeho průběhu. Rovněž maximum křivky
ε´´ = F(ω) je u reálného dielektrika nižší než v ideálním případě podle Debyeho. Proto bylo
třeba Debyeho teorii rozšířit a rovnici (2.1) upravit. V tomto smyslu vytvořili Cole a Cole
empirický vztah

Obr. 2.2 Vliv distribučního koeficientu na průběhy Debyeho funkcí

* s
1
1(j )
α
εε
εε
ωτ
∞
∞ −
−
=+
+
, (2.5)
kde α je kmitočtově nezávislý distribuční parametr určující šířku distribuce
(0 < α > C
x
bude napětí na kondenzátoru C
N
úměrné náboji na kondenzátoru C
x

a vstupní napětí bude přibližně rovno napětí na vzorku C
x
. Napětí z kondenzátoru C
N

odpovídající náboji na vzorku je přivedeno na vertikální zesilovač osciloskopu. Na
horizontální zesilovač je přivedeno vstupní napětí, tedy napětí na vzorku upravené
odporovým děličem. Na obrazovce osciloskopu se zobrazí hysterezní smyčka, která odpovídá
vlastnostem použitého feroelektrického materiálu. Podmínky měření vlastností vzorku lze
měnit změnou vstupního napětí U.
K určení hodnoty kapacity vzorku C
x
je nutno stanovit měřítka na osách napětí a náboje. Platí:
. ,∼
x
UU ∼
Nx
UQ
Pro měřítko na ose napětí

2. 2
=
x
U
U
m
B
(2.13)
a pro měřítko na ose náboje

2. 2 .
=
NN
Q
UC
m
A
, (2.14)
kde A, B jsou délky vymezující podle obr. 2.9 rozměry hysterezí smyčky.
Kapacita C
x
je

.
,
.
==
Q
x
x
xU
mA
Q
C
UmB

tj. po dosazení z (4.4) a (4.5):
=
NN
x
x
UC
C
U
. (2.15)
Relativní permitivitu ε´stanovíme ze vztahu

0
´ε =
x
C
C
, (2.16)
kde C
0
(F) je geometrická kapacita vzorku vypočítaná z geometrických rozměrů vzorku
Elektrotechnické materiály a výrobní procesy – laboratorní cvičení 23

2
00
4.
π
ε=
m
d
C
h
(2.16a)
d
m
(m) je průměr vzorku
h (m) je tloušťka vzorku.
Z principu daného měření vyplývá, že vyčíslená veličina představuje amplitudovou relativní
permitivitu. Hodnota ztrátového činitele tg δ se stanoví z poměru činného a jalového výkonu
v dielektriku. Tedy
δ =
č
j
P
tg
P
. (2.17)
Činný výkon P
č
je úměrný ploše hysterezí smyčky, jalový výkon P
j
je úměrný maximálním
hodnotám napětí a náboje ve vzorku.
Činný výkon
, (2.18) .. . ..==
∫
č UQ
PfudqfmmS
kde f (Hz)je kmitočet pracovního střídavého napětí a
S (m
2
) je plocha vymezená hysterezní smyčkou.
Pro jalový výkon můžeme psát

...
.
.
24
ωπ==
QU
mm
j
mmAB
QU
Pf (2.19)

Po dosazení (4.9) a (4.10) do (4.8) dostaneme

4.
..
δ
π
=
S
tg
AB
(2.20)
Postup měření
1) Stanovíme geometrické rozměry předložených vzorků a vypočteme geometrické kapacity
C
0
.
2) Vzorky umístíme do termostatu. Termostat zapneme a pomocí regulačního teploměru
nastavíme požadovanou teplotu.
3) Po dokonalém prohřátí vzorku (po uplynutí 10 až 15 minut po dosažení požadované
teploty v termostatu) nastavíme předepsaná napětí na vzorku, odečteme napětí U
N

a pomoci (2.15), (2.16) a (2.16a) stanovíme hodnotu relativní permitivitu ε´. Ostatní
hodnoty relativní permitivity stanovíme s využitím PC.
4) Hysterezní smyčku překopírujeme z obrazovky osciloskopu na průsvitný papír. Stanovíme
délky A a B, plochu smyčky zjistíme planimetrem. Dosazením zjištěných údajů do (2.20)
vypočteme ztrátový činitel tg δ. Ostatní hodnoty ztrátového činitele stanovíme s využitím
PC.
5) Měření podle bodu 3) opakujeme pro všechny předepsané teploty a hodnoty napětí.
6) Zjištěné údaje zapíšeme do tabulky a vyneseme předepsané grafické závislosti.
Shrnutí
Absolvováním měření si student na praktickém příkladu ověří průběh závislosti relativní
primitivity a ztrátového činitele feroelektrického materiálu na intenzitě elektrického pole
s parametrem teploty.
24 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
2.5 Určení součinitele nelinearity keramického titaničitanu barnatého
Cíl úlohy
Cílem úlohy je s využitím průběhů závislosti relativní permitivity a ztrátového činitele
feroelektrického materiálu na intenzitě elektrického pole, resp. na napětí stanovit graficko-
matematickou metodou součinitele nelinearity zkoumaného materiálu.
Zadání úlohy
U předloženého vzorku keramického titaničitanu barnatého stanovte hodnoty součinitele
nelinearity. Potřebné údaje zjistěte z napěťových závislostí relativní permitivity v rozsahu 100
až 600 V. Dielektrické vlastnosti vzorku měřte při kmitočtu 50 Hz v rozsahu teplot 25 až
130 °C. Vyneste grafickou závislost K = F (υ).

Teoretický úvod
Viz laboratorní úloha 2.4.
Dielektrické vlastnosti látek feroelektrické soustavy BaTiO
3
jsou výrazně závislé i na intenzitě
působícího střídavého elektrického pole. Pro relativní permitivitu je tato závislost zřejmá z
průběhu hysterezní smyčky, zobrazené na obr. 2.7. Při malých intenzitách střídavého
elektrického pole nedochází v soustavě domén feroelektrika k pohybu doménových stěn,
takže úroveň polarizace je relativně nízká. Té odpovídá počáteční permitivita (2.7). Při
vzrůstu intenzity elektrického pole dochází postupně k přeskupování doménových hranic,
polarizace feroelektrika se prudce zvyšuje a stejný charakter změny vykazuje i relativní
permitivita. Při určité hodnotě intenzity pole se projeví stav nasycení, kdy se přepolarizují
domény v celém objemu látky. Nad oblastí polarizace nasycení již další vzrůst intenzity
elektrického pole nevyvolává žádné podstatné zvýšení polarizace; poměr P/E se zmenšuje a
relativní permitivita klesá. Typický průběh závislosti ε´ = F(E )
´
ε
poč
υ = konst.
feroelektrika je uveden
na obrázku 2.10. Z průběhu je patrna maximální hodnota permitivity (2.7) při intenzitě
E
´
max
ε
∼max
.


Obr. 2.10 průběh závislosti ε´ = F(E )
υ = konst.
u feroelektrika
Míru změn relativní permitivity při změnách intenzity elektrického pole vyjadřuje součinitel
nelinearity

´
max
´
ε
ε
=
∼
poč
K (2.21)
Elektrotechnické materiály a výrobní procesy – laboratorní cvičení 25
Součinitel K
∼
může u feroelektrik dosáhnout hodnot až 100, u titaničitanu barnatého
K
∼
= 3 ÷ 4. Protože u feroelektrik jsou permitivity a , jakož i poloha E
´
ε
poč
´
max
ε
∼(max)
značně
závislé na teplotě, je teplotně závislý i součinitel nelinearity.
Závislosti relativní permitivity na intenzitě přiloženého elektrického pole se využívá
u skupiny keramických kondenzátorů, které se nazývají varikondy. Vhodný materiál pro
výrobu varikondů by měl splňovat následující požadavky:
null velkou hodnotu součinitele nelinearity K
∼

null minimální závislost K
∼
na teplotě
null malou hodnotu tg δ a
null existenci oblasti s lineárním průběhem závislosti ε´ = F(U) .
Měřicí metoda
Relativní permitivita a ztrátový činitel v závislosti na intenzitě elektrické ho pole, resp. na
napětí, se stanoví na základě měření podle úlohy 2.4. Zkušební vzorky mají tvar destiček, jsou
oboustranně pokovené a opatřené přívody. Vzorky jsou při měření umístěny v teplovzdušném
termostatu s nuceným prouděním vzduchu. Měří se přetržitým způsobem, který umožňuje
dostatečné prohřátí vzorků na předepsanou teplotu.
Postup měření
1) Stanovíme geometrické rozměry předložených vzorků a vypočteme geometrickou
kapacitu vzorků (2.16a).
2) Vzorky umístíme do termostatu. Pomocí kontaktního teploměru nastavíme požadovanou
teplotu a zapneme termostat.
3) Po dostatečném prohřátí vzorků (po uplynutí 10 až 15 minut po dosažení určené teploty)
nastavíme předepsané vstupní napětí na vzorcích, změříme napětí na normálovém
kondenzátoru, stanovíme relativní permitivitu a na základě vyhodnocení hysterezí
smyčky, s využitím výpočetní techniky, určíme ztrátový činitel vzorků.
4) Postup podle bodu 2) a 3) opakujeme pro všechna předepsaná napětí, teploty a vzorky.
5) Zjištěné údaje zaznamenáme do tabulky a sestrojíme předepsané grafické závislosti.
6) V souladu s obr. 2.10 určíme ε´
min
, ε´
max
a podle vztahu (2.21) stanovíme součinitele
nelinearity a sestrojíme graf teplotní závislosti tohoto součinitele.
Shrnutí
Absolvováním měření si student na praktickém příkladu ověří průběh závislosti relativní
primitivity a ztrátového činitele feroelektrického materiálu na intenzitě elektrického pole
s parametrem teploty. Na základě měření křivek ε´ = F(E) si student určí součinitele
nelinearity vzorku materiálu a určí jeho závislost na teplotě.







26 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
2.6 Stanovení prvků elektrického náhradního obvodu piezoelektrického
rezonátoru
Cíl úlohy
Cílem úlohy je seznámit se s prvky náhradního elektrického obvodu piezoelektrického
rezonátoru pro h-tou harmonickou a proměření těchto prvků na konkrétním rezonátoru.
Zadání úlohy
a) U předložených vzorků piezoelektrických rezonátorů stanovte při teplotě okolí hodnoty
prvků elektrického náhradního obvodu. Statickou kapacitu C
0
změřte automatickým
RLCG-metrem Tesla BM 591. Pro stanovení dynamické kapacity C
h
změřte sériové
rezonanční kmitočty vlastního rezonátoru a rezonátoru se dvěma postupně připojenými
sériovými kondenzátory. Dynamickou indukčnost L
h
vypočtěte z Thompsonova vzorce.
Dynamický odpor R
h
určete substituční metodou. K měření použijte Heegnerův oscilátor a
čitač Tesla BM 445E. Měřte při základním (100 kHz) a nejbližším vyšším harmonickém
kmitočtu (228 kHz) a ověřte, že velikost dynamické kapacity je nepřímo úměrná druhé
mocnině řádu harmonického kmitočtu; velikost dynamické indukčnosti je na
harmonickém kmitočtu nezávislá; dynamický odpor je přímo úměrný druhé mocnině řádu
harmonického kmitočtu. Z vypočtených a změřených hodnot prvků sestavte elektrický
náhradní obvod, vypočtěte paralelní rezonanční kmitočet f
ph
a činitel jakosti Q
h
při
sériové rezonanci. Výpočet proveďte pro základní a nejbližší vyšší rezonanční kmitočet.
Poznámka: C
s1
= 198 pF, C
s2
= 88,1 pF

Teoretický úvod
Pro praktické použití se zhotovují z piezoelektrických materiálů výbrusy určitých
geometrických tvarů. Na tyto výbrusy se vhodným způsobem nanesou elektrody, na něž se
přikládá elektrické napětí. Následkem převráceného piezoelektrického jevu se výbrus bude
deformovat. Jestliže se přiložené elektrické napětí bude periodicky měnit, bude se měnit
i deformace výbrusu a výbrus se rozkmitá vynucenými kmity. Jejich amplituda bude největší,
bude-li kmitočet budícího elektrického pole totožný s vlastním mechanickým rezonančním
kmitočtem výbrusu. Takový rezonátor se potom uplatňuje jako oscilační systém s význačnými
elastickými a elektrickými vlastnostmi. Řešením obvodu piezoelektrického rezonátoru
zapojeného ke zdroji harmonického signálu obdržíme výraz pro velikost proudu tekoucího
obvodem rezonátoru. Porovnáním s proudem tekoucím elektrickým obvodem složeným
z dekretních součástek obdržíme zapojení náhradního obvodu rezonátoru.



Obr. 2.11 Elektrický náhradní obvod piezoelektrického rezonátoru
Elektrotechnické materiály a výrobní procesy – laboratorní cvičení 27
Elektrický náhradní obvod piezoelektrického rezonátoru pro široký kmitočtový rozsah je
uveden na obr. 2.11, kde představuje:
C
0
tzv. statickou kapacitu rezonátoru (F),
R
h
dynamický odpor pro h-tý harmonický kmitočet (Ω),
L
h
dynamickou indukčnost pro h-tý harmonický kmitočet (H) a
C
h
dynamickou kapacitu pro h-tý harmonický kmitočet (F)
(h je přirozené číslo; h = 1, 2, 3, …)
Statická kapacita C
0
je určena jednoznačně geometrickými rozměry výbrusu a dielektrickými
vlastnostmi použitého piezoelektrického materiálu. Vybuzený kmitočet závisí na konstrukci
rezonátoru, upevnění přívodů a na typu vybuzených kmitů.
U některých rezonátorů můžeme vybudit jen liché harmonické kmitočty, u některých jen
sudé. Je možno vybudit i kmity, které nejsou celistvým násobkem základního rezonančního
kmitočtu, ale násobek je kořenem tzv. kmitočtové rovnice.
Při vyšších harmonických kmitočtech klesá u reálných rezonátorů amplituda kmitů a z toho
důvodu se v praxi nevyužívá vyšší než asi sedmé harmonické.

Měřicí metoda
Při měřeni vlastností prvků náhradního schématu se vychází z předpokladu, že při rezonanci
se rezonátor chová jako elektrický obvod naznačený na obr. 2.12. Můžeme proto použít ke
změření jednotlivých prvků všech metod, vhodných pro obvody sestavené z diskrétních
součástek.

Obr. 2.12 Elektrický náhradní obvod piezoelektrického rezonátoru v rezonanci

Statickou kapacitu C
0
můžeme změřit přístrojem pro měřeni kapacit řádu pikofaradů až
desítek pikofaradů.
Dynamická indukčnost L
h
dynamická kapacita C
h
se u elektrického náhradního obvodu měří
nejobtížněji. Obvykle se stanovuje jedním ze čtyř způsobů :
null ze závislosti impedance na kmitočtu v oblasti mezi rezonančním a antirezonančním
kmitočtem,
null z měření útlumu piezoelektrického rezonátoru,
null výpočtem z naměřeného činitele jakosti Q a dynamického odporu R
h
,
null ze změny rezonančního kmitočtu, způsobené připojením známé reaktance.
V dalším je rozveden poslední způsob. Princip měření a výpočtu vyplývá z obr.2.12.
Zvolíme-li kapacitu C
s
větší než C
0
a předpokládáme-li malé tlumení výbrusu, obdržíme
řešením daného obvodu vztah pro rozladění vůči sériovému rezonančnímu kmitočtu vlastního
rezonátoru ve tvaru
28 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

0
1
2.( )
sh s
LC C
ω
ω
∆=
+
, (2.22)
z něhož pro L
h
vyplývá:

0
1
2 . .( )
h
ss
L
CCωω
=
∆+
. (2.23)
Pro dynamickou kapacitu C
h
lze z Thomsonova vztahu odvodit výraz:

0
2(
s
h
s
CC
C
ω
ω
∆+
=
)
. (2.24)
K vyloučení statické kapacity C
0
, zahrnující parazitní kapacity přívodů a celého zařízení,
provedeme měření se dvěma postupně připojenými kondenzátory o kapacitách C
s1
a C
s2
.

Matematickou úpravou přechází v tomto případě (5.3) ve vztah

11
1
2
2
.
1
ss
h
sh
CCf
C
f
f
f
−∆
=
∆
−
∆
2
(2.25)
kde ,
1
1 sC sh
ff f∆= −
,
2
2 sC sh
ff f∆= −

f
sh
je sériový rezonanční kmitočet vlastního rezonátoru pro daný
harmonický rezonanční kmitočet (Hz) a
f
sC1
,

f
sC2
jsou sériové rezonanční kmitočty rezonátoru s postupně připojenými
kondenzátory C
s1
a C
s2
(Hz).
Z Thomsonova vztahu vyplývá pro dynamickou indukčnost L
h


22
1
4..
h
sh h
L
fCπ
= (2.26)
Paralelní rezonanční kmitočet je dán výrazem:

0
00
1
..
2..
h
ph sh
hh
CC C
ff
LCC Cπ
+
==1
h
+. (2.27)
Činitel jakosti vypočítáme z rovnice:

2.
sh h
h
h
fL
Q
R
π
= . (2.28)
K určení dynamického odporu R
h
lze využít některého ze způsobů :
null měření za použití mostové metody,
null stanovení R
h
z rezonanční křivky,
null výpočtem naměřeného činitele jakosti Q
h
nebo
null měřením za použití substituční metody.
Nejčastěji se používá poslední způsob.
Elektrotechnické materiály a výrobní procesy – laboratorní cvičení 29
Kmitající piezoelektrický rezonátor se chová při sériovém rezonančním kmitočtu jako čistě
ohmický odpor, který lze při experimentu nahradit skutečným bezindukčním odporem.
Vycházíme-li ze zapojení na obr. 2.12 a z konkrétního rezonančního kmitočtu, můžeme
matematickým rozborem získat vztahy mezi vlastnostmi prvků náhradního zapojení
a harmonickými rezonančními kmitočty:
C
0
hodnota je nezávislá na harmonickém rezonančním kmitočtu (F),
L
h
hodnota je nezávislá na harmonickém rezonančním kmitočtu (H),

2
z
h
C
C
h
= , (2.29)
. (2.30)
2
.
hz
RRh=
V (5.8) a (5.9) značí:
C
z
dynamickou kapacitu při základním rezonančním kmitočtu (F) a
R
z
dynamický odpor při základním rezonančním kmitočtu (Ω).

Postup měření
1) Piezoelektrický rezonátor upevníme do vhodného přípravku, který umožňuje připojení
rezonátoru k Heegnerovu oscilátoru i k použitému měřiči kapacit.
2) Změříme statickou kapacitu C
0
pomocí automatického RLCG-metru Tesla BM 591.
3) Při stanovení C
h
, L
h
, R
h
náhradního obvodu připojíme rezonátor k Heegnerovu oscilátoru,
k jeho výstupu napojíme měřič kmitočtu - čítač Tesla BM 445 E. Podle pokynů pro
obsluhu Heegnerova oscilátoru změříme rezonanční kmitočet f
s1
vlastního rezonátoru na
základním harmonickém kmitočtu. Poté připojíme do série s rezonátorem kondenzátor o
kapacitě C
s1
, a stanovíme odpovídající rezonanční kmitočet f
sC1
. Totéž provedeme při
připojeném sériovém kondenzátoru o kapacitě C
s2
. Použitím vztahu (2.25) stanovíme
dynamickou kapacitu C
h
. Dynamickou indukčnost L
h
určíme pomocí (2.26).
4) Dynamický odpor R
h
stanovíme postupem odpovídajícím měření rezonančního kmitočtu
vlastního rezonátoru. Výchylku indikačního přístroje Heegnerova oscilátoru nastavíme na
minimum doladěním výstupního ladicího obvodu a tuto výchylku si poznamenáme. Poté
nahradíme rezonátor bezindukčním proměnným odporem takové hodnoty, při níž
dosáhneme stejnou výchylku na indikačním přístroji jako s připojeným rezonátorem.
Hodnota proměnného odporu odpovídá v tomto případě dynamickému odporu R
h
.
5) V dalším měření nastavíme Heegnerův oscilátor na nejbližší vyšší harmonický rezonanční
kmitočet rezonátoru a celé měření zopakujeme.
6) Na základě změřených a vypočtených hodnot sestavíme náhradní zapojení rezonátoru
a stanovíme údaje požadované zadáním.
Shrnutí
Absolvováním cvičení se student seznámí s elektrickým náhradním obvodem
piezoelektrického rezonátoru, změří sériový kmitočet a změří a vypočte prvky elektrického
náhradního obvodu pro několik harmonických rezonančních kmitočtů.



30 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
2.7 Stanovení teplotní závislosti rezonančního kmitočtu piezoelektrického
rezonátoru
Cíl úlohy
Cílem úlohy je seznámit se s charakteristickým průběhem teplotní závislosti rezonančního
kmitočtu piezoelektrického rezonátoru, vypočítat náhradní matematickou funkci (stanovit
teplotní součinitele prvního, druhého a třetího řádu) k tomuto průběhu a provést srovnání
obou průběhů.
Zadání
b) U předloženého piezoelektrického rezonátoru stanovte teplotní závislost rezonančního
kmitočtu. K měření rezonančního kmitočtu použijte Heegnerův oscilátor, jehož kmitočet
měřte pomocí čítače Tesla BM 445E. Měření provádějte přetržitou metodou.
Z naměřených hodnot vypočtěte relativní změny rezonančního kmitočtu a graficky
vyjádřete průběh funkce
0
00
()
rrr
rr
fff
F
ff
υ
−∆
==
Vypočtěte teplotní součinitele kmitočtu prvního, druhého a třetího řádu a stanovte
náhradní matematickou funkci relativní změny rezonančního kmitočtu jako funkci teploty.
Graficky srovnejte vypočtený a naměřený průběh funkce.

Teoretický úvod
Rezonanční kmitočet rezonátoru je obecně závislý na hustotě piezoelektrické látky, jejich
elastických vlastnostech a na rozměrech výbrusu. Vzhledem k závislosti těchto veličin na
teplotě se bude s teplotou měnit i rezonanční kmitočet.
U mnohých piezoelektrických materiálů existují elastické veličiny s kladnými i se zápornými
teplotními součiniteli. Zvolíme-li určitou orientaci úhlu řezu, pod níž je výbrus vyříznut ze
základního materiálu, může se po přepočítání podle transformačních r