Různé materiály 2

Teorie dynamických systémů
Prof. Petr Vavřín
Zimní semestr 2008/09
Organizace výuky. Formy výuky: přednášky, cvičení odborného základu (CZ), cvičení v počítačové laboratoři (CP) Bodové hodnocení:
numerická cvičení (CZ) 18 b.
miniprojekty v CP.12 b.
záv.písemná zkouška70 b.
V případě zdůvodněné nepřítomnosti na CZ nebo na cvičení CP náhrada (je-li to časově možné) nebo náhradní projekt. Literatura:
Vavřín,P.: Teorie dynamických systémů, skriptum FEVUT
Štecha,J.: Teorie dynamických systémů, ppt presentace, skripta: http://dce.felk.cvut.cz/stecha
Vavřín,P.: TDS, ppt presentace, Q/vyuka/vavrin/MTDS
Zápočet se uděluje na základě presence na cvičeních (numerických i počítačových) a výše dosažených bodů.
Pro udělení zápočtu je třeba získat v obou typech cvičení alespoň polovinu možných bodů ( tj. 9 v Cz a 6 v LPC). TDS Matematika Fyzika Signály a systémy BRR1 BRR2
8.Identifikace dynamických systémů

MTDS 2008/09 Identifikace je obecně proces, jehož výsledkem je některá ze standardních forem popisu zkoumaného objektu. Obvykle je identifikace spojena s aproximací (zejména u soustav s rozloženými parametry). Na kvalitě identifikace (mírou je shoda získaného modelu či hodnot stanovených parametrů se skutečností) závisí výsledek navrženého algoritmu řízení. Důležitou úlohu zde hraje citlivostní funkce systému vzhledem k vybranému parametru (parametrům). U některých metod je nutné předem určit tvar popisující funkce (řád systému, počet neznámých parametrů a pod).
Pokud je dána struktura systému (včetně řádu) a jde pouze o stanovení číselných hodnot parametrů, mluvíme o estimaci (odhadu). V praxi se nejčastěji používají tři různé metody identifikace: Výpočtem na základě známých vztahů a parametrů identifikovaného objektu ( pohybové rovnice točivých strojů, přechodné děje v hydrodynamických systémech, biochemické reakce) Výhody: vysoká míra shody popisu se skutečností, možnost použít dříve odvozených vztahů (pokud má zkoumaný systém stejné technologické schéma)
Nevýhody: potřebné vztahy obvykle formuluje specialista daného oboru, jehož terminologie bývá málo srozumitelná pro regulačního technika, výsledek může být těžko použitelný bez aproximace,
2. Jednorázovým experimentem; měření impulsových a přechodových charakteristik, frekvenční charakteristiky
Výhody: k získání výsledků není třeba teoretických znalostí ( ať už fyzikálně chemických pochodů v systému nebo matematických operací)
Nevýhody: máme-li získat věrohodné výsledky je třeba pracovat se systémy, které nejsou pod vlivem poruch a jejich počáteční stav odpovídá nulových počátečním podmínkám popisujících rovnic. Výsledky jsou v grafickém tvaru, jejich převod je obvykle možný jen se současnou aproximací. 3. Průběžným (on-line) měřením vstup-výstupních (stavových) proměnných. Nejčastěji používaná je metoda minima čtverců odchylek (rozdíl vypočtených -tj.predikovaných- a skutečných hodnot). Tato metoda má řadu modifikací, jejichž výběr záleží v prvé řadě na typu vstupního (budícího) signálu a působících poruch. Výhody: metoda je použitelná pro libovolné počáteční podmínky i působící poruchy a je proto vhodná pro měření za normálního provozu.
Nevýhody: výpočetní postup je poměrně složitý a pro nezkušené uživatele neprůhledný. Předpoklady, za kterých lze získat alespoň kvalitativně odpovídající výsledky nemusí být splněny a může dojít k numerické nestabilitě výpočtu. Obvykle je proto nutné výsledky ověřovat pomocí předem známých skutečností ( npř. stabilita, kmitavost a pod). Identifikace diskrétních dynamických SISO systémů metodou minima kvadrátů odchylek Nechť přenos identifikovaného systému je Z tohoto přenosu odvodíme tzv. regresní model, určený rovnicí e(k) je odchylka mezi skutečnou hodnotou výstupu y(k) a hodnotou vypočtenou na základě změřených předcházejících vstupů a výstupů a odhadu parametrů ai , bj . Zavedeme vektor parametrů identifikovaného objektu
a matici změřených hodnot kde Dále zavedeme sloupcové vektory: Pak platí: Podmínka minima součtu kvadrátů odchylek je
Po dosazení z předchozí rovnice:
Minimum bude dosaženo při splnění podmínky:
Po dosazení a derivaci: Pro vektor parametrů B pak platí:
Poznámka:
V každém kroku je třeba vypočítat inverzi součinu matic naměřených hodnot, jejichž rozměr neustále vzrůstá ( odpovídá počtu kroků provedených měření). Odvození rekurentní formy výpočtu. Rozměr vektorů a též matice se v každém kroku zvětšuje Pro odhad vektoru parametrů pak platí: Pro matici P :

Výsledné rekurentní vzorce pak jsou :

Celý postup popisuje následující pětice rovnic:
Chyba predikce v kroku i+1 Nový odhad vektoru parametrů B Vektor zesílení (citlivost na chybu) Kovariační matice Pomocná skalární funkce Úprava pro zmenšení váhy hodnot z minulého času – exponenciální zapomínání
Stabilita dynamických systémů

MTDS 2008/09 Stabilita je obecně používaný pojem, který může být chápán mnoha různými způsoby.
Stabilita dynamických systémů ve smyslu obvykle používané definice
( a. Stabilní je takový systém jehož výstup po doznění přechodného děje a skončení budícího signálu zaujme konstantní hodnotu
b. Systém, jehož odezva na omezený vstupní signál je rovněž omezená je stabilní) Takto chápaná stabilita odpovídá tzv. BIBO (bounded input-bounded output)
stabilitě, používané zejména u lineárních stacionárních systémů. V obecné teorii systémů je však třeba pojem stability definovat poněkud podrobněji. 1. Se zavedením vnitřního popisu je třeba se zabývat nejen vnějšími projevy systému (stabilita výstupu) ale též stabilitou stavu. Vzájemný vztah závisí na pozorovatelnosti systému. Chceme-li ze stability výstupu usuzovat na stabilitu stavu nesmí zkoumaný systém mít skryté (nepozorovatelné) části. Opačně ze stability stavu lze prakticky vždy usuzovat na stabilitu výstupu. 2. Stabilita dynamického systému obecně znamená, že malé změny počátečních podmínek, působících signálů či parametrů systému nezpůsobí velké (zásadní) změny stavu (případně přechodného děje). Je proto vhodné stabilitu posuzovat (a definovat) vzhledem k rovnovážným stavům systému (tj. klidovým stavům, ve kterých systém bez působení vnějších signálů a po skončení přechodného děje zůstane). Příklad:kyvadlo, které má dvě rovnovážné polohy- dolní=stabilní a horní=nestabilní. Poznámka: u lineárních stacionárních spojitých i diskrétních systémů je problém stability jednoduše definovatelný a řešitelný, zatímco u nelineárních systémů existuje několik typů stability. 3. Z mnoha definic stability jsou nejdůležitější dvě:
asymptotická stabilita a Ljapunovská stabilita. Definice Ljapunovské stability:
Rovnovážný stav systému je ljapunovsky stabilní jestliže ke každému existuje takové, že každé řešení , které vychází z některého bodu v okolí rovnovážného stavu leží celé v okolí rovnovážného stavu podle rovnice Zjednodušeně: nevyžadujeme, aby přírůstek k nominálnímu řešení xe , vyvolaný odchylkou od nominálních počátečních podmínek konvergoval k nule, ale aby byl omezen tak, že v průběhu celého řešení přechodného děje neopustí definovanou vzdálenost od rovnovážného stavu ( mezné cykly u nelineárních systémů- neboli připouštíme npř. kmity omezené amplitudy). Definice kvaziasymptotické stability: rovnovážný stav je kvaziasymptoticky stabilní, jestliže existuje takové číslo ,že každé řešení z okolí, definovaného tímto číslem konverguje pro nekonečný čas k počátku.
Jestliže platí potom daný rovnovážný stav je globálně kvaziasymptoticky stabilní ( též kvaziasymptoticky stabilní ve velkém).
Poznámka: takový systém má pak pouze jeden rovnovážný stav. Definice asymptotické stability:
Rovnovážný stav je asymptoticky stabilní tehdy, jestliže je ljapunovsky stabilní i kvaziasymptoticky stabilní. Poznámka: ljapunovská teorie stability je základním nástrojem pro určování stability nelineárních a časově proměnných systémů. Vzhledem k obtížnosti formulace tzv. ljapunovských funkcí, potřebných k řešení konkrétního příkladu, je její praktické použití poměrně řídké a spíše se uplatňuje metody harmonické rovnováhy, Popovovo nebo Charitonovo kriterium. Nejpoužívanější metody pro určení stability spojitých lineárních systémů. Stabilitu těchto systémů určuje poloha kořenů charakteristického polynomu ( poloha pólů kteréhokoliv z přenosů uzavřené smyčky).
Při použití stavového popisu stabilitu určuje poloha vlastních čísel matice zpětných vazeb A .
U systémů do 2.řádu přímo výpočtem, u vyšších řádů nejprve kontrolou nutné- nikoliv však postačující- podmínky ( všechny koeficienty charakteristického polynomu musí být nenulové a stejného znaménka), dále použitím Hurwitzova nebo Routh-Shurova kriteria (viz BRR1).
Pokud je výchozím podkladem přenos (nebo frekvenční charakteristika) otevřené smyčky je možné použít Nyquistovo kriterium, které určuje stabilitu uzavřeného obvodu na základě vlastností přenosu (frekv.char.) otevřené smyčky. Pro určení stability je třeba znát počet nestabilních pólů otevřené smyčky. Michajlov-Leonhardovo kriterium stability. Toto kriterium pracuje s frekvenčním průběhem charakteristického polynomu. Charakteristický polynom má tvar:
Věta: polynom je stabilní, jestliže frekvenční charakteristika (graf)
splňuje následující podmínky:
- graf začíná na kladné reálné poloose. - Při rostoucí frekvenci obkličuje graf počátek v kladném směru, prochází postupně jednotlivými kvadranty a končí s úhlem Příklad: Im Re 0 Tento graf odpovídá stabilnímu polynomu,jestliže n=4 Im Re Průběh grafu nestabilního polynomu stejného řádu. Praktické uplatnění Michajlov -Leonhardova kriteria:
Průsečíky grafu s imaginární a reálnou osou se při narůstající frekvenci musí střídat což zjistíme řešením rovnic
Robustní stabilita.
Často neznáme přesně hodnoty parametrů (koeficientů) charakteristického polynomu, víme pouze, že se nalézají v určitém rozsahu (známe dolní a horní mez). Pro takové případy, odvodil Charitonov následující pravidlo: Nechť každý z koeficientů charakteristického polynomu leží v intervalu
Pokud hodnotu každého parametru vyneseme na jednu z os n+1 rozměrného prostoru, vznikne n+1 rozměrný kvádr. Podle Charitonovova pravidla stačí vyšetřit, zda jsou stabilní čtyři polynomy, sestavené z parametrů ve čtyřech vrcholech n+1 rozměrného kvádru.
Tyto polynomy vytvoříme pomocí následujících posloupností parametrů: Pokud jsou stabilní polynomy s mezními hodnotami parametrů, jsou stabilní i všechny polynomy s parametry, jejichž hodnoty se nacházejí uvnitř daného kvádru. Prakticky používané metody pro určení stability nelineárních systémů. První a druhá Ljapunovova metoda.
( Velmi obecně platná, leč teoreticky náročná.) 2. Metoda harmonické rovnováhy.
( Pro praxi mnohem jednodušší, vyžaduje však splnění určitých podmínek. Výsledky je proto třeba přijímat s opatrností. Vhodná pro zjištění existence mezných cyklů.) Metody pro určení stability lineárních diskrétních systémů Podmínka stability lineárních stacionárních diskrétních systémů plyne ze srovnání s ekvivalentními spojitými systémy, přičemž ekvivalence je definována vztahem
je perioda vzorkování. Tento vztah přiřazuje celé levé polorovině roviny P jeden kruh o poloměru 1 v jednom listu vícelisté plochy v rovině Z. Při splnění Shannon-Kotelnikovova teoremu platí, že póly stabilního charakteristického polynomu v proměnné z mají absolutní hodnotu menší než 1 (leží uvnitř jednotkového kruhu). Ke zjištění stability slouží test pro indikaci absolutní hodnoty menší než 1, známý jako Juryho test. Chceme-li použít kriteria,která známe z analýzy spojitých lineárních systémů ( Hurwitzovo, Routh-Shurovo), je třeba se vrátit do spojité roviny, ve které pro stabilitu polynomu musí všechny kořeny ležet v levé polorovině roviny P. Pro zpětný převod však platí
Výpočet komplikuje zmíněná vícelistá plocha, která vznikla při procesu vzorkování. Proto se používá bilineární transformace, daná rovnicí
která převádí jeden list vícelisté plocha na celou levou polorovinu roviny W. Poznámka: na výpočet stability to nemá vliv, je však třeba s tím počítat při určování frekvenčních hodnot ( pseudofrekvenční charakteristiky). Podmínka aperiodicity dynamického chování lineárních spojitých systémů. Nechť charakteristický polynom je ve standardním tvaru
Jestliže posloupnost koeficientů, vytvořená následujícím způsobem:
vyhoví Routh-Shurovu testu stability, budou všechny kořeny polynomu A(p) reálné a záporné. ( Vytvořením Hurwitzova matice z upravené posloupnosti lze přejít na Hurwitzovo kriterium).
MTDS 2008-9 Citlivostní analýza systémů. Citlivostní analýza systému zkoumá, jak se změní vlastnosti systému při změnách hodnot jeho parametrů. Z této definice je zřejmé, že v konkrétním případě je třeba určit jak budou měřeny a vyjádřeny změny vlastností (stabilita, frekvenční charakteristika, časové odezvy, umístění pólů a nul přenosové funkce apod.) a které parametry budou měnit svou hodnotu. U technických systémů je obvyklé sledovat vliv změny zesílení v systému, případně změny časových konstant (hodnoty energetických kapacit). Kromě citlivosti se používá pojem robustnost , který obecně vyjadřuje odolnost systémových vlastností proti určitým vlivům a je tedy převrácenou hodnotou citlivosti. V teorii dynamických systémů se používají citlivostní funkce, což jsou matematicky odvozené – obvykle časové – závislosti některé z charakteristických dynamických vlastností na změnách vektoru parametrů. Npř. vektor výstupu systému je pak funkcí času t a vektoru parametrů Pro změnu výstupu při změně jednotlivých složek vektoru parametrů ai platí: kde n je počet složek vektoru parametrů.
V tomto vztahu uvažujeme pouze lineární závislost, což znamená, že z obecně mocninné řady, která popisuje daný proces, bereme pouze první člen.
Jestliže systém je popsán stavovými rovnicemi, můžeme psát:
(Předpokládáme, že hodnoty všech systémových matic mohou být funkcí vektoru parametrů). Citlivostní funkce získáme derivací stavových rovnic podle parametrů:
Pokud derivace podle parametrů existují, lze změnit pořadí derivací. Pro přehlednost ještě zavedeme nové značení: Pro zjednodušení záznamu označíme parciální derivace stavového a výstupního vektoru:
Předešlé rovnice pak můžeme přepsat na tvar:
Pro počáteční podmínky platí:
A C + Tyto rovnice určují tzv. citlivostní model systému. Jeho grafickou representaci ukazuje následující obrázek: B D A C + + Y(t) X(t) U(t) + C MODEL SYSTÉMU CITLIVOSTNÍ MODEL Vzhledem k tomu, že většina změnových funkcí v praxi je nelineární funkcí vektoru parametrů je pro citlivostní analýzu vhodné používat modelovací prostředky (Matlab-Simulink).
Adaptive Feedback Control Systems prof. Petr Vavřín
BUT, FEEC, Dept.of Automatic Control and Instrumentation 1 MRAC
Model Reference Adaptive Control PSC
Parameter Scheduling Control STURE
Self Tuning Regulators R S W Y Ident. Design
of Control 2 R S W Y Ident. Design
of Control 3 Expert Supervision
(Safety Cover) Specifications 4 Expert Supervision=set of rules and procedures which: - increase stability and robustness of the system - give possibility to change priority of control(servo or disturbance comp.) - avoid negative influence of bad estimation Simple examples: - estimation is valid only when control values are sufficiently high and different - simple control algorithms are more robust compare to more sophisticated ones (if there is no much information about plant we would start with on-off control) 5
MTDS – ukončení přednášek a cvičení odborného základu.
Závěrečná konzultační přednáška MTDS se z důvodu nepřítomnosti přednášejícího prof. Vavřína překládá na 11.12.2008, v 15.00 hod.
Současně proběhne poslední cvičení pro skupinu sudých týdnů.
Na žádost studentů bude uspořádána další mimořádná hromadná konzultace dne 5.1.2009 v 10.00 hod. Místnost bude zvolena podle dislokačních možností.
4.12.2008Prof. Petr Vavřín.

MTDS
1.
Definice, přehled látky, třídění systémů, příklady Definice pojmu systém:
je daná množina veličin, definovaných (uvažovaných) na určité rozlišovací úrovni zdrojový systém - je časový vztah mezi minulými,současnými a budoucími hodnotami jistých veličin generativní systém Obecná teorie systémů se zabývá metodami, nástroji, principy, problémy, popisy a technikami týkajícími se systémů. Základní pojmy: systém, systémový přístup, teorie systémů, systémové aplikace ( kybernetika) - je dán souborem variací určitých veličin v časedatový systém - je daná množina prvků, spolu s množinou vazeb mezi nimi navzájem i s okolímdefinice užívaná v kybernetice -je daná množina stavů spolu s množinou přechodů mezi nimi Systémový přístup.
Metodický postup, který upravuje pravidla daných činností tak, aby bylo dosaženo určitého cíle s minimem (maximem) ztrát (zisků).
(Pradávná zásada českých inženýrů 4N: nikdy na nic nezapomeň !!! Dynamický systém: systém jehož výstup (stav) je závislý nejen na okamžitých hodnotách vstupů (a jejich derivací) nýbrž i na předcházejících hodnotách vstupů a stavů (hloubka paměti). Systémová teorie:
Soubor definic, axiomů, vět, pravidel, nástrojů na vysokém stupni abstrakce, umožňující pracovat s pojmy potřebnými pro popis a řešení daného problému. Často používané pomocné discipliny:
matematika, včetně numerického a grafického zpracování veličin
modelování – simulace (model, simulátor)
počítačový experiment
Třídění systémů:
- podle interakce (vazeb) s okolím: uzavřené(volné), otevřené (řízené) - podle počtu veličin: ohraničené (omezený), neohraničené(neomez.) - podle typu veličin: spojité , diskrétní (v amplitudě, čase ) - podle zdroje signálů: deterministické, stochastické (náhodné) - podle hloubky paměti: statické (bez paměti), dynamické (hloubka p) - podle objektů: abstraktní, reálné (neplést s „realizovatelné) - podle reakce na podněty: kauzální, anticipativní, bez předvídání, fyz.realizovatelné Základní úlohy při práci se systémy: - Stanovení cíle úlohy a výchozích (dostupných) informací Volba metody popisu systému a metody řešení dané úlohy (volba modelu systému) - Definice proměnných, určení hodnot parametrů - identifikace - Analýza vlastností systému (obvykle včetně linearizace) - Syntéza (za účelem změny vlastností systému) Definice dynamického systému:
Dynamický systém je uspořádaná n-tice množin času(T), stavů(X), vstupů(U),výstupů(Y), přechodových stavů (f) a výstupních zobrazení (g) Další upřesnění:
Je dána orientace času (množina času je uspořádanou podmnožinou reálných čísel)
Množina vstupů je neprázdná a hodnoty jsou přípustné
Množina výstupů splňuje rovněž podmínku přípustnosti. - Přechodová funkce f (trajektorie) určuje spolu s časem dynamické vlastnosti systému - Výstupní zobrazení g určuje souvislost mezi stavem a výstupem systému Poznámka: při použití vstup-výstupního popisu dynamického systému odpadá zprostředkující úloha stavu a sledujeme pouze závislost výstupu na vstupních podnětech a počátečních podmínkách. Definice dynamického systému (R.E.Kalman):
Dynamický systém je matematická struktura definovaná těmito axiomy:
Je dán topologický prostor S a množina hodnot času T na nichž je definováno chování systému
Je dán topologický prostor Q funkcí času, definovaných na T, které jsou přípustnými vstupy systému (Q je vstupní prostor)
Pro jakýkoliv počáteční čas t0 (z množiny T), libovolný počáteční stav X0 (z prostoru S) a libovolný vstup U(z prostoru Q), definovaný pro t >t0 , jsou stavy systému určeny funkcí f, definovanou na kartézském součinu
f: Q x T x T x S
Funkci f nazýváme přechodovou funkcí systému.
Každý výstup systému je reálnou funkcí g definovanou na kartézském součinu T x S
Funkce g a f jsou spojité na oborech, na nichž jsou definovány.
Definice obsahuje pojmy