Různé projekty

Článek prvního řádu (setrvačný člen)
Vypracovali:
František Bárta
František Hubený
Milan Kadlec
Miroslav Karásek
Libor Šutera
Tomáš Trávníček
Datum odevzdání:2.3.2009
Diferenciální rovnice:
on.3
- setrvačná časová konstanta [ s ]
-zesílení článku [-]
Operátorový přenos:
Za předpokladu nulových počátečních podmínek po Laplaceově transformaci:
Kde: b0/a0 … je zesílení článku K0
a1/a0 … je časová konstanta T1
pak přenosu odpovídá přenosová funkce:
Přechodová charakteristika h(t) :

/rozložíme na parciální zlomky
Impulsová charakteristika g(t) :
Frekvenční charakteristika:
a) v komplexní rovině:
D Equation.3
… vyjádření Reálne a Komplexní složky F(jω)
b) v logaritmických souřadnicích:
Mezní případy platí :
Od  = 0 do      je amplitudová frekvenční charakteristika přibližně dána polopřímkou
(asymptotou) vodorovnou s osou 0 dB a vzdálenou od ní 20 log K0. Pro K0 = 1 -> F (j)dB = 0
Od      do  = je amplitudová frekvenční charakteristika přibližně dána
polopřímkou (asymptotou) klesající o 20 dB na dekádu (desetinásobek) frekvence.
Průběh fáze je dán vztahem
 
Pro  0 je  0 ,
pro  je  - 90°,
pro je  = - 45°
Nahrazení amplitudové frekvenční charakteristiky asymptotami je tím přesnější, čím jsou
hodnoty  více vzdáleny od hodnoty  . Největší chyba vzniká pro . Její velikost se
zjistí dosazením     do vztahu:
  z/externi/kat_fyz_5377/Kap04/Obr/image070.gif" \* MERGEFORMATINET       
 Skutečný průběh amplitudové charakteristiky pro K0 = 1 leží tedy ve zlomu asymptot o 3 dB níže než udávají asymptoty.
Dynamické vlastnosti určené statickým členem 1. řádu mají zařízení, která obsahují jednu energetickou kapacitu (tj. prvek schopný akumulovat v sobě energii).
Rozložení pólů a nul v rovině „p“
Tento článek nemá žádné nuly( protože čitatel přenosu není závislý na p), pouze jeden pól
Vycházíme-li z rovnice přenosu , určí se póly, tak že položíme jmenovatel =0.
z toho plyne, že reálný článek bude vždy stabilní(T1>0).
Operátorový Z přenos ekvivalentního diskrétního článku
Diferenční rovnice ekvivalentního diskrétního článku
Rozložení pólů a nul v rovině „z“
Ani v rovině „z“ nemá tento článek žádné nuly, pouze jeden pól.
Vycházíme-li z rovnice přenosu , určí se póly, tak že položíme jmenovatel=0.
z toho plyne, že reálný článek bude vždy stabilní( 0:12250 - 3000 Kr krit > 0
12250 >3000 Kr

Kr krit < 4,08333
Kritické zesílení je tedy přibližně Kr krit 4 .
Pro návrh regulátoru využijeme Ziegler-Nicholsovu metodu, se určí zesílení regulátoru jako:
Kr = 0,5 Kr krit
Kr = 2
Výpočet regulační odchylky :
pro skokovou změnu řídícího signálu () platí
( předpokládáme U(p)=0 ) :
Odezva přenosu odchylky FE na jednotkový skok:
Odezva přenosu řízení FW na jednotkový skok:
pro skokovou změnu poruchy () platí ( předpokládáme W(p)=0 ):
MBED Equation.3
Odezva přenosu poruchy FU na jednotkový skok:
2. Výpočet regulační plochy (Nekolného metodou) :
Vyjdeme z přenosu odchylky :
Obraz odchylky E(p) jako odezvy regulační odchylky na skokovou změnu řídící veličiny je :

Není zde splněna podmínka, že poslední koeficient čitatele b0=0.
Musíme tedy vytvořit obraz modifikované odchylky (regulační odchylka pro ) :

Aplikace Nekolného metody (úprava Routh-Schurrova kritéria) :
- jmenovatel :
- čitatel :
Velikost regulační plochy je dána vztahem :
V našem případě :
Závěr:
Zadaná soustava realizovaná regulátorem typu P dosahuje kritického zesílení K=4. Ziegler-Nicholsovou metodou jsme navrhli P regulátor se zesílením K=2.
Při tomto zesílení obvod vykazuje ustálenou regulační odchylkou o velikosti přibližně 0,1.
Při menším zesílení regulátoru sice dochází k potlačení překmitu, ale regulační odchylka se zvětšuje. Naopak při zvětšení zesílení je menší regulační odchylka, avšak větší překmit. Tedy na jakém zesílení bude regulátor pracovat záleží na tom, který z parametrů bude v daném případě důležitější.
Nekolného úpravou Routh-Schurrova kritéria jsme vypočítali velikost regulační plochy o velikosti Jk=8,164.

- -


ŘÍZENÍ A REGULACE 1
NUMERICKÁ CVIČENÍ
Vypracování úkolu č.3
Vypracovali:
Ondřej Košta, Jan Černín, Oldřich Jakl, Ondřej Peňáz, Ladislav Abrle, Aleš Lebeda
Zadání:
Úloha č.2 pro podskupinu 6
Je dán přenos regulované soustavy tion.3
Některou ze standardních metod navrhněte k této soustavě PI regulátor. Vypočtěte velikost kvadratické regulační plochy (Nekolného metodou).
U každé úlohy vykreslete odezvy na skok žádané hodnoty a poruchy (působící na vstupu soustavy).
Metoda standardního tvaru frekvenční charakteristiky otevřeného obvodu
Postup návrhu PI regulátoru:
Zvolíme si tvar tvar přenosu PI regulátoru
Pro zajištění stability je třeba, aby T>5. Pro nalezení vhodné hodnoty použijeme frekvenční charakteristiku přenosu systému , ze které odečteme potřebnou velikost úseků LdB při daném maximálním překmitu. Zvolíme-li překmit Δxm= 40%, vychází LdB =10dB. To znamená, že střední úsek asymptoty se sklonem -20dB/dek bude navazovat na asymptoty se sklonem -40dB/dek při amplitudách +10dB.
Odečteme frekvenci při zvoleném překmitu a vypočítáme konstantu T. První zlom asymptotické náhrady bude při frekvenci a tedy .
Vypočteme přenos otevřené smyčky kde a
Z frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích zjistíme zesílení K0. Najdeme velikost K0dB, které je potřebné, abychom posunuli charakteristiku středem asymptoty se sklonem -20dB/dek na nulovou osu. Pro náš případ je a odtud vypočteme konstantu .
Výsledný přenos regulátoru je uation.3 a výsledný přenos otevřené smyčky je
Z frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích zjistíme kmitočet řezu ωř, který je tam, kde charakteristika protíná nulovou osu. Tato hodnota určuje rychlost přechodného děje a měla by být co největší. Pro náš případ ωř=0,06rad/s.
Zjistíme pomocí příkazu margin(F0) v Matlabu amplitudovou a fázovou bezpečnost.
Amplitudová bezpečnost MG=37,8dB a fázová bezpečnost MP=54,2°.
Vypočteme přenos uzavřené smyčky a zjistíme odezvu na jednotkový skok .

Vypočteme přenos poruchy a zjistíme odezvu na skok poruchy (působící na vstupu soustavy