Různé materiály 2

vstup/výstup tedy jde o systém orientovaný.
MTDS
2.Vnější popis DS
Diferenciální a diferenční rovnice, přenosy, nuly a póly, frekvenční charakteristiky, časové odezvy. Bloková algebra. Signálové grafy.
2008/09
Diferenc. rce. Přenos Rozložení nul a polů Časové odezvy. Frekvenční charakteristika Spojité systémy Diferenční rce. Přenos Rozložení nul a pólů Časové odezvy. Diskrétní systémy Laplaceova transformace:
Značení vztahu F(p) , f(t) :
L{ f(t) } = F(p) L-1 { F(p) }= f(t) Neexistují nutné a postačující podmínky. Konvergence definičního integrálu určuje zda je daná funkce laplaceovsky transformovatelná, čili zda existuje její L-obraz. Základní vlastnosti Laplaceovy transformace: - Linearita ( násobení konstantou, obraz součtu= součtu obrazů) - Obraz derivace: - Obraz integrace: - Násobení exponenciálou : - Posunutí v čase: - Věty o konečné a počáteční hodnotě: - Součin obrazů vede na konvoluci v originálech: Z- transformace:
Matematický nástroj pro popis diskrétních (v čase) systémů:
Vlastnosti Z- transformace:
- Linearita - Věta o konečné a počáteční hodnotě:
Popis spojitých systémů, pracujících v diskrétním režimu
( diskretizace spojitých systémů). Diskrétní Laplaceova transformace DL{f(t)}. Pomocí vztahu přechod k Z a Zm transformaci. Výstupní veličina takového systému je spojitá, hodnoty mezi okamžiky vzorkování nejsou nulové. Jak je lze určit? Použitím kratší periody vzorkování (obecně nevhodné) nebo posunutím okamžiků vzorkování. Tento postup je možný zavedením modifikované diskrétní transformace Zm .
Doplněk k problému realizace vnitřního popisu systému ve Frobeniově tvaru u SISO systémů. Je dán přenos SISO systému ve tvaru
Pokud je řád čitatele menší než řád jmenovatele je konstrukce stavového diagramu i odpovídajících matic A,B,C jednoduchá, matice D ( u SISO systémů pouze skalární koeficient) d=0.
Při rovnosti řádů polynomů čitatele a jmenovatele m=n dochází k drobné komplikaci. 1. Přenos rozdělíme na dvě části tak, aby prvá vyjadřovala proporcionální složku a druhá již splňovala požadavek nižšího řádu polynomu čitatele. 2. Přenos použijeme v původním tvaru. Přítomnost proporcionální složky se projeví na koeficientech matice výstupu C a koeficient přímé vazby není nulový.
Stavový diagram pak lze navrhnout dvěma způsoby: + bn-1 + + b1 -an-1 -a0 b0 + + u(t) y(t) bn + -a1 x1 x2 xn xn-1
MTDS
5. Řešení stavových rovnic První stavová rovnice spojitého systému je soustava diferenciálních rovnic prvního řádu (v případě lineárního systému s konstantními koeficienty jsou prvky matic A B reálná čísla) :
Tato rovnice má řešení ve tvaru součtu řešení rovnice zkrácené (tato část je určena maticí A a vektorem počátečních podmínek) a tzv. partikulárním integrálem, který representuje odezvu na daný vstupní signál :
Řešení druhé stavové rovnice je relativně snadné, neboť je to rovnice algebraická a zejména s pomocí výpočetní techniky lze řešit i systémy velmi vysokých rozměrů a řádů. Rovnici zkrácenou můžeme také řešit pomocí Laplaceovy transf.:
Matici časových funkcí, získanou zpětnou L transformací nazveme maticí přechodu a budeme značit . Srovnáním s dříve uvedeným řešením zkrácené rovnice plyne velmi důležitý vztah
Z tohoto srovnání plynou následující rovnice: Příklad: Je dána matice A vypočtěte matici přechodu. K výpočtu prvků matice přechodu (časové funkce) použijeme L transformace: -2 x1 x2 y(t) + x2(0) x1(0)
Prvky matice přechodu lze v jednodušších příkladech určit také podle následující věty: Prvek fij ,matice přechodu je odezva j-té stavové proměnné na jednotkovou počáteční podmínku i-té stavové proměnné, za předpokladu, že všechny ostatní počáteční podmínky jsou nulové. Řešení diskrétních stavových rovnic: První rovnice je zde soustava diferenčních rovnic prvního řádu, jejíž řešení je: Řešení rovnice zkrácené:
Podobně jako u spojitých systémů i zde zavedeme matici přechodu:
Ze srovnání obou předchozích rovnic plyne:
Druhá rovnice je opět algebraická a její řešení je jednoduché.
7a.
Řiditelnost a dosažitelnost výstupu systémů. MTDS 2008/09 V kapitole 7. jsme definovali řiditelnost a dosažitelnost stavu systému. Pro praktické účely je často třeba zjistit tyto vlastnosti i z hlediska výstupu. K tomu slouží následující definice a výpočty:
Definice řiditelnosti a dosažitelnosti výstupu systému:
Systém n- tého řádu (realizace v n rozměrném prostoru) je plně řiditelný a dosažitelný z hlediska výstupu, jestliže existuje takové řízení U(t) (případně u diskr.systému U(k) ), které převede výstup systému z libovolného počátečního bodu výstupního prostoru Y(0) do kteréhokoliv jiného bodu výstupního prostoru, tj.stavu Y(Tk ), v konečném čase (Tk má konečnou hodnotu). Předpokládáme, že výstup má rozměr m (systém má m výstup). Věta:
Lineární, časově neproměnný systém má řiditelný (dosažitelný) výstup, je-li hodnost matice Hy=m (hodnost je alespoň rovna počtu výstupů systému). Pro spojitý systém platí Pro diskrétní (a diskretizované) systémy platí stejná matice, pouze místo matice zpětných vazeb A je použita matice E. Poznámka: v praxi mohou existovat všechny kombinace uvedených vlastností tj. systémy stavově řiditelné i neřiditelné s neřiditelným výstupem, systémy stavově řiditelné i neřiditelné s řiditeným výstupem, jakož i systémy z obou hledisek řiditelné i neřiditelné (viz rozdělení systémů na skupiny subsystémů s uvedenými vlastnostmi.
7.
Řiditelnost a dosažitelnost stavu systémů. MTDS 2008/09 Definice řiditelnosti:
Systém n- tého řádu (realizace v n rozměrném prostoru) je plně řiditelný, jestliže existuje takové řízení U(t) (případně u diskr.systému U(k) ), které převede stav systému z libovolného počátečního bodu stavového prostoru X(0) do počátku, tj.stavu X(Tk )=0, v konečném čase (Tk má konečnou hodnotu). Definice dosažitelnosti:
Stavový prostor systému n- tého řádu (realizace v n rozměrném prostoru) je plně dosažitelný, jestliže existuje takové řízení U(t) (případně u diskr.systému U(k) ), které převede stav systému z počátku stavového prostoru X(0)=0 do libovolného bodu stavového prostoru X(Tk), v konečném čase (Tk má konečnou hodnotu). Poznámka: vzájemná zaměnitelnost řiditelnosti a dosažitelnosti obrácením směru času po stavové trajektorii je možná pouze u reversibilních systémů. Určení dosažitelnosti a řiditelnosti diskrétních systémů: Diskr.lin. a stacionární systém popisuje stavová rovnice Pro stav systému, který je v kroku k=0 v počátku stavového prostoru X(0)=0 , lze postupně psát: Věta:
Stav diskrétního lineárního stacionárního systému je plně dosažitelný, jestliže matice
má hodnost n.

Věta:
Stav spojitého lineárního stacionárního systému je plně dosažitelný, jestliže matice
Nechť spojitý lineární stacionární systém je popsán rovnicí: která má při nulových počátečních podmínkách řešení: má hodnost n. Řiditelnost odvodíme pro diskrétní systém následujícím postupem:
Pro diskrétní systém, popsaný rovnicí
Množina bodů, ze kterých lze v jednom kroku dosáhnout počátek stavového prostoru je dána rovnicí:
Pokračováním tohoto postupu lze odvodit následující tvrzení : diskrétní systém je řiditelný, jestliže matice
Má hodnost alespoň n . Je zřejmé, že matici řiditelnosti lze násobením stavovou maticí zpětných vazeb v n-té mocnině převést na matici dosažitelnosti. Odtud plyne definice reverzibilního systému:
Systém, jehož matice zpětných vazeb je regulární je reverzibilní.
Toto tvrzení platí rovněž pro spojité systémy. Bez důkazu uvedeme následující tvrzení:
Každý systém, který je dosažitelný, je také řiditelný. Obrácené tvrzení však neplatí (viz příklad diskrétního systému s konečnou dobou trvání přechodného děje, jeho vazební matice na vstup je nulová)
8.
Pozorovatelnost a rekonstruovatelnost systémů.
MTDS 2008 Definice pozorovatelnosti:
Systém n- tého řádu (realizace v n rozměrném prostoru) je pozorovatelný, jestliže ze změřeného průběhu výstupu Y(t) v časovém intervalu 0-T a při znalosti vstupního vektoru U(t) v tomtéž časovém intervalu můžeme jednoznačně určit výchozí stav systému X(0).
Definice rekonstruovatelnosti:
Tato definice je shodná s definicí pozorovatelnosti, změna je pouze v tom, že jde o jednoznačné určení koncového stavu X(T) (při znalosti vstupu a výstupu na časovém intervalu 0-T) Poznámka: totéž platí pro diskrétní systémy, pouze spojitý čas t je nahrazen diskrétním časem k. Známe-li počáteční stav systému X(0) a průběh vstupního signálu U(t) na intervalu 0-T, pak vždy můžeme jednoznačně vypočítat koncový stav X(t). Je-li systém pozorovatelný, lze určit počáteční stav. Z předchozích dvou tvrzení plyne:
jestliže je systém pozorovatelný, pak je vždy též rekonstruovatelný. Obrácené tvrzení neplatí. Praktický význam pojmů pozorovatelnost rekonstruovatelnost 1. Měřením zjistíme průběh výstupu a vstupu. Stav systému je „vnitřní vlastností systému“ a je proto otázkou, zda jsme schopni určit vlastní dynamiku systému tzv. experimentální identifikací. 2. Známe-li hodnotu výstupu a všech jeho derivací až do řádu n ( realizace ve Frobeniově tvaru) můžeme pomocí zpětných vazeb libovolně měnit vnitřní dynamiku daného systému. Pozorovatelnost však jinými slovy znamená, že systém též rekonstruovatelný).
Důležité pro realizaci rekonstruktorů ( nebo též pozorovatelů stavu). Princip výpočtu ukážeme na diskrétním systému, který popisují rovnice
Druhé části obou rovnic není třeba sledovat, protože známe-li průběh vstupu na daném intervalu je výpočet této složky stavu jednoduchý. Řešení výše uvedených rovnic vede na soustavu vektorových rovnic: Tuto soustavu rovnic lze zapsat v maticovém tvaru: Pak pro pozorovatelnost tohoto diskrétního systému platí věta:
Diskrétní lineární stacionární systém je pozorovatelný, jestliže kriteriální matice V má hodnost alespoň n. Postup při rekonstrukci stavu určuje rovnice: Po dosazení do soustavy rovnic pro výpočet kriteriální matice pozorovatelnosti V a za předpokladu, že matice E je regulární dostaneme upravenou soustavu rovnic: Odtud již lze odvodit kriteriální matici rekonstruovatelnosti: Při řešení pozorovatelnosti spojitých systémů postupujeme podobně jako při řešení jejich řiditelnosti (pozorovatelnost je totožná s rekonstruovatelností). Stačí proto zkoumat kriteriální matici ve tvaru: Věta: spojitý lineární stacionární systém n-tého řádu je pozorovatelný a rekonstruovatelný, jestliže hodnost kriteriální matice V je alespoň n.
9.Změna dynamických vlastností systémů.

MTDS 2008/09 Chceme-li změnit dynamické vlastnosti systému můžeme použít dva různé postupy:
Sériové spojení (do série s daným systémem zapojíme takový článek, který dodá do celkového přenosu potřebné nuly a póly)
Zpětnovazební kompenzace (změnou matice zpětných vazeb dosáhneme požadované vlastnosti) Oba uvedené způsoby mají své výhody i nevýhody Ad 1.: zapojením dalšího dynamického členu do série nemůžeme stabilizovat nestabilitu původního systému. Naproti tomu pokud je sériový člen stabilní, nemůže jeho sériovým spojením vzniknout nestabilita. Další nevýhodou je malá robustnost vlastností nového systému proti parametrickým změnám.
Obecně: sériové spojení poskytuje méně možností realizace požadovaných vlastností než zpětná vazba ( zejména vazba od stavu). Poznámka:
Z minulých kurzů jsou známé zásady pro volbu zpětné vazby, jestliže je požadováno aby se neměnil řád astatismu, případěně zesílení systému. 1. Jestliže se zavedením zpětné vazby nemá měnit řád astatismu systému obklíčeného smyčkou zpětné vazby, musí být ve zpětnovazebním článku použit derivační člen stejného řádu jako je řád astatismu systému v přímé větvi. 2. Nemá-li se zavedením zpětné vazby měnit zesílení systému, musí ve zpětné vazbě být použit derivační článek nejméně o řád vyšší než je řád astatismu podsystému v přímé větvi. Ad 2.: zpětnou vazbu můžeme zavést od měřených výstupních, nebo stavových proměnných.
Snadno lze ukázat, že vazba od stavu ( stavová zpětná vazba), poskytuje takřka neomezené možnosti, zatímco zpětná vazba od výstupu umožňuje realizovat pouze některé změny.
B C A + + K w v x y u Původní lineární stacionární systém popisují rovnice:
Rovnice systému, doplněného o zpětnou vazbu od stavu jsou: Dynamické vlastnosti nového systému určuje poloha vlastních čísel matice:
Pokud není k dispozici informace o stavu a pro zavedení zpětné vazby máme pouze informaci o výstupu, je volba umístění pólů přenosu systému ( neboli vlastních čísel matice upraveného systému) velmi omezena. V případě SISO systému je možno měnit pouze jeden z koeficientů charakteristického polynomu. Jestliže je systém plně pozorovatelný, lze sestavit model systému, na něm zvolit jednotlivé stavové proměnné a ty použít k zavedení pseudo-stavové zpětné vazby.
Adaptivní řídící systémy
ÚVOD. (1/4)
Adaptivita je obecně chápána jako schopnost přizpůsobit se změněným podmínkám. Jako adaptivní řídící (regulační) systém budeme označovat takový regulátor, který má nastavitelné parametry (případně je schopen měnit i svou strukturu) a má i mechanismus pro nastavování těchto parametrů (struktury). Takový regulátor je nelineární, což přináší značné obtíže při popisu a řešení těchto systémů. Většinou se proto omezujeme na několik typů adaptivních regulátorů, které jsou dobře propracovány a vyhovují nejčastěji se vyskytujícím soustavám s proměnnými vlastnostmi.
Zpětnovazební adaptivní regulační obvod má vždy dvě smyčky. Jednu tvoří klasický regulační systém se zpětnou vazbou, tak jak jej známe z lineární teorie řízení. Druhá smyčka je adaptační a tvoří ji prvky pro měření probíhajících změn, logický obvod pro jejich vyhodnocení a určení potřebných změn parametrů regulátoru. Poslední částí může být člen, který určené změny v regulátoru realizuje (viz Obr. 1.1 Blokový diagram adapt. systému). Tato druhá (adaptivní) smyčka je
vždy co do dynamiky pomalejší než smyčka regulační. V následujícím textu ukážeme některé typické příklady soustav se silně proměnnými parametry a také tři nejčastěji používané typy adaptivních regulátorů. Nejprve však poukážeme na skutečnost, že samotné zavedení lineární zpětné vazby může za určitých okolností snížit citlivost systému na některé parametrické změny.
Příklad 1.1.
Přenos spojitého systému druhého řádu je
Kde a= -0.01 , nebo 0, nebo 0.01. Přechodové charakteristiky pro všechny tři hodnoty parametru a jsou uvedeny na Obr.1.2 (a). Je zřejmé, že vliv parametru je zcela zásadní, protože rozhoduje o stabilitě tohoto systému (to ostatně není nic překvapujícího, protože se jedná o pól přenosové funkce, který jednou leží v levé polorovině roviny „p“, ve druhém případě v počátku a konečně pro třetí hodnotu v pravé polorovině - tedy nestabilní oblasti.). Obklíčíme-li tento systém zápornou zpětnou vazbou se zesílením 1, bude přechodová charakteristika ve všech třech případech prakticky totožná, jak ukazuje Obr.1.2 (b). Je to zřejmé i z tvaru přenosu uzavřené smyčky
. Ke ztrátě stability dojde teprve při .
Příklad 1.2.
Opačně se bude chovat systém s přenosem . Přechodové charakteristiky pro hodnoty: T=0, 0.015 a 0.03 jsou na Obr.1.3.(a), kdežto (b) v tomtéž obr. ukazuje odezvy systému opět s jednotkovou zpětnou vazbou. Výsledek je zřejmě opačný než v předchozím příkladě.
Z uvedeného vyplývá, že je třeba najít obecné kriterium, podle kterého lze rozhodnout o citlivosti systému (ať už otevřeného nebo uzavřeného) ke změnám určitého parametru. Takovým měřítkem je frekvenční charakteristika systému.
Předpokládejme blokové schéma podle Obr.1.4. V uzavřené smyčce zpětné vazby je samotná soustava s přenosem a regulátor . Mimo smyčku (v cestě řídící veličiny) je ještě druhý regulátor . Je to typická struktura regulačního obvodu se dvěma stupni volnosti. Přenos samotné uzavřené smyčky je dán vzorcem . Pro změnu tohoto přenosu při změnách v přenosu soustavy platí (s použitím derivace)
.
Vezmeme-li v úvahu frekvenční přenosy , budou vlastnosti uzavřeného obvodu pro určité frekvence (frekvenční pásmo) tím méně citlivé na změny parametrů soustavy, čím větší bude amplituda přenosu . Tato skutečnost může být též jedním z vodítek při návrhu klasických regulátorů.
Základní struktury adaptivních systémů.
V průběhu vývoje adaptivních systémů se ustálilo několik dnes už standardních struktur. Zde uvedeme čtyři z nich.
Adaptivní řízení podle měřených parametrů (PSC- Parameter Schedulling Control).
Blokové schéma této struktury je na Obr.1.5. Často je možné měřit na regulovaném objektu takové veličiny, ze kterých lze určit hodnoty přenosových parametrů. Nejčastěji se to týká zesílení soustavy (Gain Schedulling Control). Změnám zesílení soustavy pak odpovídají reciproké změny zesílení regulátoru prováděné tak, aby celkové zesílení otevřené smyčky bylo konstantní. Změny mohou být řízeny buď předem tabelovanými hodnotami, nebo funkční závislostí.
Adaptivní systémy s referenčním modelem. (MRAC-Model Reference Adapt. Control)
Blokové schéma této struktury je na Obr.1.6. Podstatou je přítomnost modelu, který určuje jaké by mělo být požadované chování uzavřeného obvodu (v tomto případě z  hlediska přenosu řízení). Existují různé modifikace tohoto uspořádání, npř. model zařazený v otevřené smyčce. Hlavní úlohou při použití MRAC systému je nalezení nastavovacího mechanismu (Adjustment mechanism), tj. pravidel, která určují jak budou měněny parametry regulátoru v závislosti na adaptační odchylce (případně jejích derivacích či integrálech). Základním požadavkem je zachování stability celého systému, což –vzhledem k nelineárnosti systému- není jednoduchý úkol.

Poznámka: systémy MRAC je třeba odlišovat od lineárních systémů s referenčním modelem, který je však používán pro získávání pomocného signálu a nedochází přitom ke změnám parametrů regulátoru(viz npř. rozvětvené systémy pro kompensaci vlivu dopravního zpoždění).
Systémy se samočinným nastavováním parametrů.(STR- Self-tuning Regulators)
Předcházející systémy jsou označovány za adaptivní řízení s přímou metodou adaptace. Je to proto, že nastavovaní parametrů regulátoru probíhá podle předem přesně stanovených mechanismů. Rozdílnou strategii používají STR systémy, u kterých změny parametrů jsou závislé na výsledku průběžně prováděné (on-line) identifikace a dále na předepsaném algoritmu výpočtu vlastností regulátoru. Blokové schéma je na Obr.1.7. Jasně jsou zde rozpoznatelné dvě zpětnovazební smyčky adaptivní regulace: vlastní zpětnovazební řízení, které probíhá ve smyčce soustava (Process) a regulátor (Controller) a adaptivní z, kterou tvoří blok estimace parametrů soustavy a blok návrhu regulátoru (Controller design). Výsledné chování (kvalita regulace a adaptace) závisí na kvalitě těchto dvou bloků. Jakkoliv kvalitní metoda návrhu řídícího algoritmu je bezcenná pokud nejsou k dispozici pravdivá data o chování soustavy a naopak. Praktické aplikace systémů STR jsou velmi rozmanité, neboť existuje celá řada různých metod identifikace i návrhu řídících algoritmů, které lze různě kombinovat. Ve výsledcích identifikace (estimace) existuje vždy určitá nejistota a proto u těchto systémů je ještě obtížnější splnit základní úkol, totiž zabezpečit za všech okolností stabilitu systému. Otevírá se zde velmi široké pole pro uplatnění znalostních (expertních) systémů v roli „ochranného plástě“ pro STR.
Duální řízení. (Dual Control)
Dosud popisované struktury jsou poměrně snadno pochopitelné a jednoduché.Dalo by se říci, že na ně lze přijít logickými úvahami. Popsané struktury však mají svá omezení (npř. nejistoty ve výsledcích estimačních procesů u STR systémů, působení neměřitelných poruch u MRAC systémů).Lze však využít některých principů optimalizačních metod a nelineárních stochastických postupů. Právě tyto metody mohou pomoci se vypořádat s nejistotami a neurčitostmi