Různé materiály 2

. Základním problémem tohoto přístupu je zvolit vhodný matematický popis toho, že hodnota zesílení či jiného parametru soustavy, který se pomalu (vůči dynamice samotné soustavy) mění, není v daném okamžiku známa (není měřitelná). Řešením může být zavedení složeného stavového vektoru , který obsahuje jednak vektor stavu x a dále vektor parametrů. Cílem řízení je minimalizovat ztrátovou funkci, defnovanou následujícím vztahem
, kde E znamená matematickou naději (očekávání), u je vektor řízení, G a g jsou skalární funkce z a u. Naděje je stanovena s uvážením rozložení počátečních hodnot a poruch vyskytujících se v modelu systému. Kriterium V by mělo být minimalizováno za předpokladu, že řízení u je funkcí všech minulých a současných měření a odhadů. Řešení tohoto komplikovaného vzorce bývá většinou prováděno s použitím dynamického programování. Určitou představu o struktuře takto definovaného adaptivního systému dává Obr.1.8. Z procesu estimace získáme podmíněnou pravděpodobnost rozložení stavu na základě provedených měření . Toto rozložení se nazývá hyperstavem daného problému. Zpětnovazební regulátor je nelineární funkcí, mapující tento hyperstav na prostor řídících proměnných. Dodejme, že v netriviálních případech jsou výpočty, které musí být prováděny průběžně (on-line) natolik složité a neprůhledné, že dosud se takto definované adaptivní regulátory v praxi takřka neuplatnily.
V případech nejistých (či nevěrohodných) výsledků estimace hodnot parametrů soustavy, některé optimální regulátory dodávají k ideálnímu řídícímu signálu další signál, označovaný za zkušební. Jeho úlohou je „rozmanitějším“ způsobem vybudit řízenou soustavu a tím dosáhnout lepších výsledků estimace (eliminovat soustavy slabě podmíněných rovnic- viz též kapitola o LSQ estimaci). Optimální řízení pak dává vyvážené výsledky ve smyslu přijatelného procesu řízení a dostatečně malých chyb estimace. Zabezpečit tuto rovnováhu je cílem duálního řízení.
PSC systémy. (2/4)
V řadě praktických aplikací je možné předem stanovit parametry řízeného objektu podle pracovního bodu. Pak je možné stanovit odpovídající parametry regulátoru tak, aby byla za všech okolností dodržena kvalita regulačního děje. Funkční závislosti lze určit buď analyticky (na základě známých fyzikálních nebo chemických zákonů) nebo experimentálně (měřením). V mnoha případech se jedná o změnu zesílení. To se týká zejména akčních členů typu ventil nebo elektrické topné těleso. Není možné stanovit obecně použitelný postup, protože každá aplikace má jiný charakter. Většinou však lze použít některý z následujících postupů:
linearizace nelineárního průběhu statické charakteristiky akčního členu
nastavení zesílení podle měření některé stavové proměnné
nastavení časových konstant podle výrobních časů (cyklů)
nelineární transformace.
Principy jednotlivých metod ukážeme na charakteristických příkladech.
Příklad 2.1.
Předpokládejme, že nelinearita akčního členu je popsána rovnicí . Předřadíme-li před akční člen nelineární filtr se statickou charakteristikou rovnou inversní funkci, tj , bude v ideálním případě platit (viz Obr. 2.1). Obvykle se nepoužívá přesná inverse nelineární funkce, ale její aproximace npř. přímkovými úseky. Moderní DDC systémy (DDC- Direct Digital Control, Systémy přímého číslicového řízení) již mají tyto algoritmy jako součást standardního SW vybavení.
Příklad 2.2
Na Obr. 2.2 je schéma zařízení pro regulaci koncentrace chemické látky (roztoku). Proces je popsán rovnicí
, kde .
Význam jednotlivých symbolů je patrný z obrázku. Zavedeme pomocnou proměnnou a dostaneme přenosovou funkci ve tvaru
Jak je vidět jde o systém prvního řádu s dopravním zpožděním. Oba parametry jsou závislé na hodnotě průtoku q. Tato závislost je u obou časových konstant reciproká. Podrobnějším rozborem lze ukázat, že není možné navrhnout takový regulátor, který by v celém rozsahu provozních hodnot zajistil přijatelnou kvalitu regulačního děje. Použijeme-li diskrétní regulátor s konstantními parametry, dobu vzorkování však volíme závislou na průtoku, získáme přechodný děj, jehož tvar je nezávislý na změně průtoku, mění se pouze časové měřítko.
Příklad 2.3
Techniku nelineární transformace ukážeme na systému druhého řádu. Stavové rovnice jsou
Stavové proměnné jsou měřitelné, jednotlivé funkce mohou být nelineární. Úkolem je najít takovou zpětnou vazbu, aby přenos řízení u na výstup byl ve tvaru
Zavedeme nové proměnné z podle vztahů
, a nový řídící signál v, definovaný rcí
Touto transformaci získáme lineární systém
.
Je zřejmé, že lineární zpětná vazba
realizuje požadovaný přenos. Zbývá zpětná transformace do původních proměnných podle rovnice
.
Řešením této rovnice pro u dostáváme žádaný tvar zpětné vazby. Zobecnění této metody, jakož i význam jednotlivých symbolů jsou zřejmé z Obr. 2.3, na kterém je blokové schéma regulátoru, navrženého touto metodou.

Ljapunovova teorie stability.
Při návrhu MRAC systému metodou MIT není zaručena stabilita adaptační (a tím ani regulační) smyčky. Chceme-li zabezpečit stabilitu, musíme použít takový postup, který tento požadavek zohledňuje. Jednou z možností je použití Ljapunovovy teorie stability.
Pro osvěžení zopakujeme základní verzi pro časově invariantní systémy.Nechť je systém popsán nelineární diferenciální rovnicí
Protože f(0)=0,rovnice má řešení x(t)=0. Aby toto řešení existovalo a bylo jediné, je třeba doplnit určité předpoklady o f(x). Postačující podmínkou je, aby funkce f(x) lokálně splňovala Lipschitzovy podmínky, tj. aby platilo
, v okolí počátku. Pak lze formulovat Ljapunovovu podmínku stability takto:
Definice: Řešení x(t)=0 výše uvedené nelineární diferenc, rovnice nazveme stabilní, jestliže pro dané , existuje takové číslo , že všechna řešení s počátečními podmínkami splňují následující nerovnost pro. Řešení nazveme asymptoticky stabilní, jestliže je stabilní a lze nalézt takové , že pro všechna řešení s počáteční podmínkou platí Equation.3 pro .
Poznámka 1.: Jestliže řešení je asymptoticky stabilní pro všechny počáteční podmínky, mluvíme o globální asymptotické stabilitě.
Poznámka 2.: Definice se zabývá partikulárním řešením nikoliv samotnou diferenciální rovnicí.
Ljapunovova metoda zkoumání stability je založena na hledání funkcí se speciálními vlastnostmi. K tomu je zaveden pojem pozitivně definitní funkce.
Definice: Spojitě diferencovatelná funkce V je pozitivně definitní v oblasti .3 , zahrnující počátek, jestliže
1.V(0)=0
2.V(x)>0, a .
Funkce je pozitivně semidefinitní, jestliže podmínka 2. je změněna takto V(x)0. Graficky jsou tyto vztahy znázorněny na Obr. 3.4.
Ljapunovova věta o stabilitě časově invariantních systémů.
Jestliže existuje pozitivně definitní funkce V taková, že její derivace podle řešení nelin. dif. rovnice x(t)
je negativně semidefinitní, pak řešení x(t)=0 je stabilní. Jestliže dV/dt je negativně definitní, řešení je asymptoticky stabilní. Funkce V je nazývána Ljapunovovou funkcí dané nelin. dif. rovnice (systému). Důkaz zde nebudeme uvádět, šlo pouze o připomenutí. Samotná Ljapunovova teorie stability je jednoduchá a „elegantní“, problém spočívá v určování (nacházení) Ljapunovových funkcí. Jakkoliv neexistuje obecný návod pro generování L-funkcí, pro lineární systémy platí následující věta :
Ljapunovova funkce u lineárních systémů.
Předpokládejme, že lineární systém, popsaný stavovou rovnicí , je asymptoticky stabilní. Pak pro každou symetrickou pozitivně definitní matici Q existuje jediná symetrická pozitivně definitní matice P, pro kterou platí
Equation.3 (3.1)
Pak funkce je Ljapunovovou funkcí systému.
Důkaz: nechťQ je symetrická pozitivně definitní matice. Zavedeme
. Matice P(t) je symetrická pozitivně definitní, protože integrál pozitivně definitní matice je rovněž pozitivně definitní. Matice P splňuje podmínku
. Protože matice A je stabilní, existuje limita . Postup konstrukce L-funkce ukáže následující příklad:

Příklad: L-funkce lineárního systému.
Lineární systém druhého řádu je popsán maticí , jejíž obě vlastní čísla leží v levé polorovině komplexní roviny. Nechť matice Q má tvar , kde jsou kladná čísla.Matice P je ve tvaru . Rovnice (3.1) je
. Tato lineární rovnice má vždy řešení když A je stabilní a toto řešení je vždy pozitivně definitní matice P.
Ljapunovova teorie stability pro časově proměnné systémy.
Předpokládejme, že dif.rovnice má časově proměnné koeficienty, takže . (3.2)
Počátek je bodem rovnováhy rovnice (3.2) jestliže f(0,t)=0. Předpokládáme, že f je taková, že řešení existuje pro všechna .3 .To znamená,že f je po částech spojitá v intervalu t a lokálně splňuje Libschitzovy podmínky v x v okolí x(t)=0. Nyní zkoumáme stabilitu řešení x(t)=0.
U časově proměnných systémů řešení závisí jednak na t a dále na počátečním čase .
Definice Ljapunovovy trvalé stability.
Řešení x(t)=0 rovnice (3.2) je trvale stabilní, jestliže pro existuje takové číslo , nezávislé na čase , že platí . Řešení je trvale asymptoticky stabilní, jestliže je trvale stabilní a existuje c>0, nezávislé na takové, že , pro všechna .
Nyní zavedeme tzv. třídu funkcí K.
Definice třídy funkcí K.
Spojitá funkce patří do třídy K jestliže je rostoucí a . Patří do třídy,jestliže .
Nyní můžeme formulovat Ljapunovovu větu o stabilitě pro časově proměnné systémy:
Ljapunovova stabilita pro časově proměnné systémy.
Nechť x=0 je bodem rovnováhy rovnice (3.2) a . Nechť V je spojitě diferencovatelná funkce, taková že
, ,
kde jsou funkce třídy K. Pak x=0 je trvale asymptoticky stabilní.
Návrh MRAC s pomocí Ljapunovovy teorie stability.
Výše uvedená věta o stabilitě časově proměnných systémů může být využita pro konstrukci MRAS. Obvykle se nejprve určí diferenciální rovnice pro adaptační odchylku . Ta obsahuje nastavované parametry regulátoru. Pak je třeba najít L-funkci a odpovídající adaptační algoritmus tak, aby odchylka směřovala k nule a nastavované parametry dosáhly potřebných hodnot.
Při použití L-teorie stability pro adaptivní systémy často zjistíme, že derivace L-funkce dV/dt je pouze negativně semidefinitní. Pak je třeba určit rovnici odchylky a najít L-funkci s omezenou druhou derivací. Postup ukážeme na jednoduchém příkladě, který jsme už řešili pomocí MIT pravidla.
Příklad 3.3.
Systém prvního řádu popisuje rovnice , požadované vlastnosti určuje model
, kde >0 . Regulátor popisuje rovnice . Pro derivaci odchylky platí: . Odchylka se rovná nule, pokud parametry mají hodnoty, odvozené v příkladě 3.2. Nyní hledáme algoritmus nastavení těchto parametrů. Předpokládejme, že a použijeme následující kvadratickou funkci:
Tato funkce nabývá nulové hodnoty když odchylka je nulová a nastavované parametry mají požadované hodnoty. Aby funkce V mohla být prohlášena L-funkcí tohoto systému, musí její derivace být záporná:

Jestliže změny parametrů se dějí podle následujících rovnic:
bude .
Derivace V podle času je negativně semidefinitní, nikoliv definitní. Proto druhá derivace V
bude omezená, jestliže odchylka a oba parametry budou rovněž nabývat omezených hodnot.
Poznámka: praktický význam tohoto zjištění spočívá v tom, že uvedený algoritmus není použitelný pro libovolné (nekonečné) hodnoty.
Na Obr. 3.5 jsou uvedena dvě bloková schémata: první znázorňuje řešení, které jsme dostali použitím MIT pravidla, druhé odpovídá výsledku podle L-teorie stability. Jediný rozdíl je v tom, že u MIT pravidla jsou signály filtrovány přenosem modelu. V obou případech lze nastavovací algoritmus popsat rovnicí
, kde je vektor parametrů a pro L-metodu platí , kdežto pro MIT je .
Obr.3.4. Grafické znázornění Ljapunovovy funkce
Obr.3.5. Porovnání blokových schémat MRASs :podle MIT a podle Ljapunova.

MRAC systémy (3/4)
Adaptivní regulační systémy s referenčním modelem (MRAC) jsou velmi často používány. Existuje řada modifikací základní struktury, jejíž blokové schéma je uvedeno na Obr.1.6. Zopakujme, že kromě primární regulační smyčky, tvořené regulovanou soustavou a regulátorem v přímé větvi je u MRAC systémů ještě druhá- adaptační smyčka, tvořená referenčním modelem a blokem pro realizaci mechanismu nastavování proměnných parametrů regulátoru. Vstupem tohoto bloku je obvykle adaptační odchylka e , definovaná vztahem , kde y je výstup regulované soustavy a je výstup modelu. Výstup bloku adaptačního mechanismu mění parametry regulátoru. MRAC systémy byly navrženy pro použití v deterministických spojitých soustavách, teprve později bylo jejich uplatnění rozšířeno na diskrétní stochastické systémy.
Při aplikaci MRAC systémů je třeba řešit dva základní problémy:
výběr vhodného referenčního modelu; v běžné praxi nepředstavuje tato úloha příliš obtížný problém
výběr mechanismu nastavování parametrů regulátoru, což znamená určení vztahu mezi adaptační odchylkou a signálem akce k nastavení parametrů. Řešení této úlohy je mnohem složitější a MRAC systémy se dělí právě podle typu použité metody pro výpočet tohoto algoritmu.
Zde uvedeme jen dva nejpoužívanější postupy: MIT metodu a postup, založený na aplikaci Ljapunovovy teorie stability.
MIT postup.
Tato metoda je nejstarší metodou v MRAC systémech. Byla navržena na MIT (USA) a odtud pochází její název. Návrh adaptačního algoritmu je odvozen analyticky a má jediný parametr, který musí zvolit konstruktér systému, totiž adaptační zesílení, jehož hodnota určuje rychlost s jakou adaptační proces probíhá.
Princip metody MIT vysvětlíme na příkladě uzavřeného regulačního obvodu, ve kterém je jediným nastavovaným parametrem zesílení regulátoru . Jednou z možností jak nastavit hodnotu tohoto parametru tak, aby odpovídala hodnotě zesílení v referenčním modelu, je minimalizovat ztrátovou funkci
ED Equation.3 , kde e je adaptační odchylka.
Minimalizace ztrátové funkce dosáhneme změnou parametru ve směru záporného gradientu J.
Odtud plyne

Tento vztah je jádrem onoho MIT pravidla. Parciální derivace ation.3 se nazývá citlivostní derivace systému a udává jak se změna nastavitelného parametru podílí na změně adaptační odchylky.
Existuje řada modifikací tvaru ztrátové funkce. Často je používána definice , při které gradientní metoda dává následující rovnici
První aplikace, která byla podle MIT pravidla realizována, používala tuto formu. Další možnost dává následující definice
, která je označována jako sign-sign algoritmus.
Uvedený postup lze použít i tehdy, je-li nastavováno více parametrů. Symbol je pak třeba chápat jako vektor a derivaci jako gradient odchylky vzhledem k jednotlivým parametrům.
Příklad 3.1.
Máme nastavovat zesílení v přímé větvi. Předpokládáme lineární spojitou soustavu s přenosem kG(s), kde G(s) je známá přenosová funkce, kdežto zesílení k je neznámé. Úlohou je pomocí MRAC systému realizovat systém , kde je zadaná hodnota koeficientu zesílení. Úkol vyřešíme sériovým zapojením článku s proměnným zesílením , takže celková přenosová funkce bude . Bude-li splněna rovnice, bude tato funkce rovna požadovanému přenosu modelu . Pro výpočet adaptačního algoritmu použijeme MIT postup:
Pro adaptační odchylku platí ,
kde významy jednotlivých veličin jsou zřejmé z Obr.3.1. a p je operátor derivace (vzhledem k tomu, že rovnice je sestavena pro časové průběhy, nelze použít Laplaceův operátor s). Citlivostní derivace je dána vztahem

a MIT metoda dává algoritmus adaptace ve tvaru .
Realizace pomocí integrátoru a dvou násobiček je uvedena na Obr. 3.1. Vlastnosti tohoto adaptivního systému pro soustavu s přenosem
jsou patrné z Obr.3.2. Systém je buzen sinusovým signálem, počáteční hodnoty jsou k=1a požadovaná hodnota je .3 . Obrázek ukazuje průběhy pro tři různé hodnoty adaptačního zesílení : 0.5, 1 a 2. Nejlepší výsledky dosáhneme při hodnotě 1, při které nastavovaný parametr dosáhne nejrychleji potřebné hodnoty 2. Je zřejmé, že zvolit vhodnou hodnotu adaptačního zesílení není jednoduché. Intuitivně lze předpokládat, že adaptační proces (tj. konvergence parametru k žádané hodnotě) bude tím rychlejší, čím větší bude adaptační zesílení. To je pravda pro malé hodnoty , při větších hodnotách se někdy dočkáme nepředvídatelných výsledků, včetně ztráty stability adaptační smyčky.
Praktická aplikace právě popsané metody je častá u robotů, jejichž chapadlo nese břemeno o neznámé váze (momentu setrvačnost). Přenos takového systému je kde k je konstanta zesílení mezi proudem aktuátoru a kroutícím momentem, a J je moment setrvačnosti ramene.
Příklad 3.2.
MRAC systém pro soustavu prvního řádu, která je popsána diferenciální rovnicí
, kde u je řídící veličina a y je měřený výstup. Chceme realizovat přenos uzavřeného obvodu ve tvaru . Regulátor je popsán rovnicí
, takže má dva volitelné parametry. Předpokládejme, že je zvolíme ve tvaru a . Pak vztah mezi vstupem a výstupem
systému i modelu budou stejné. Takové uspořádání se nazývá přesné sledování modelu. Pro aplikaci MIT pravidla zavedeme odchylku . Po dosazení dostaneme
, kde je diferenční operátor. Citlivostní derivace dostaneme pomocí parciálních derivací podle a
,
.
Tyto vzorce nemohou být použity přímo, protože parametry soustavy a a b nejsou známy. Musíme proto použít jejich aproximaci. Jedna z možných aproximací je založena na pozorování, že , jestliže jde o přesné sledování modelu. Jestliže skutečné hodnoty jsou blízké odhadovaným , můžeme tuto aproximaci použít a pak pro parametry regulátoru platí následující rovnice:
V těchto rovnicích jsou spojeny parametry b a s adaptačním zesílením v součinu . Pro určení správného znaménka je třeba znát znaménko parametru b. Adaptivní regulátor je dynamický systém s pěti stavovými proměnnými. Blokové schéma je na Obr.3.3.
Určení adaptačního zesílení.
Ve výše uvedených odvozeních a příkladech vystupuje adaptační zesílení jako jediný parametr, jehož hodnotu musí zvolit uživatel (konstruktér) MRAC. Simulacemi i teoretickým rozborem lze ukázat, že volba adaptačního zesílení může mít zcela zásadní význam pro průběh adaptačního procesu. Ukážeme to na systému, popsaném v př. 3.1, ve kterém je reg. soustava popsána přenosem kG(s). Tvar i konstanty přenosu G(s) jsou známé, zesílení k je
neznámé. Předpokládáme, že soustava je stabilní, póly G(s) tedy leží v levé polorovině komplexní roviny s. Úkolem adaptace je nastavit zesílení na požadovanou hodnotu . Celý systém popisuje soustava následujících rovnic:
, , , , ,
kde p=d/dt je diferenční operátor a význam ostatních symbolů je zřejmý z Obr.3.1.
Vyloučením proměnných u a e dostaneme rovnici
, která je nazývána rovnicí parametrů , neboť zcela popisuje vývoj parametrů v průběhu adaptačního procesu. O časovém průběhu lze předpokládat, že je znám. Jestliže přenos G(s) je racionální funkce lomená, rovnice parametrů je lineární diferenciální rovnice s časově neproměnnými parametry.Jak víme, řešením této rovnice může být velmi komplikovaný průběh a nelze dát obecný návod na alespoň jeho kvalitativní odhad. Zejména se to týká odhadu vlivu zesílení na charakter děje.
Pro orientační ilustraci ukážeme řešení při následujícím experimentu:
předpokládejme pro chvíli, že hodnota parametru je konstantní, adaptační proces je přerušen a řídící signál je rovněž konstantní. Všechny veličiny jsou tedy v ustálené stavu a nyní opět zapojíme adaptační smyčku. Změny parametru proběhnou nyní podle rovnice:
, která popisuje lineární, časově neproměnný systém. Stabilita této rovnice (respektive jejího řešení) je dána algebraickou rovnicí . Odtud ihned vidíme, že funkce vývoje parametru závisí na hodnotě , neboť jde o polohu nul rovnice parametru. Z teorie dynamických systémů víme, že pokud bude některá z nul ležet v pravé polorovině komplexní roviny, hodnota parametru bude divergovat.

Zadání 1.úlohy cvičení teoretického základu (CZ) předmětu MTDS
Je dána přenosová funkce spojitého systému ( SISO nebo MI