Skripta - Reálná funkce jedné reálné proměnné

pov dÆ souŁet
k parciÆln ch zlomkø tvaru
C1
ex + d +
C2
(ex + d)2 + ¢¢¢ +
Ck
(ex + d)k :
Pokud v rozkladu polynomu Qn je polynom tvaru (ax2 + bx + c)l; kde
a 6= 0; diskriminant D < 0; pak mu v rozkladu odpov dÆ souŁet l par-
ciÆln ch zlomkø:
A1x + B1
ax2 + bx + c +
A2x + B2
(ax2 + bx + c)2 + ¢¢¢ +
Alx + Bl
(ax2 + bx + c)l :
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
34 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
Pł klad 2.7.5: Rozlo te racionÆln funkci
f(x) = 2x
4 ¡ 4x2 + 5x + 1
2x4 ¡ 3x3 + x2 ¡x + 1 =
P4(x)
Q4(x)
na souŁet polynomu a parciÆln ch zlomkø.
e„en : ZadanÆ racionÆln funkce nen ryz a proto nejprve polynomy pod -
l me. Dostaneme
f(x) = 1 + 3x
3 ¡ 5x2 + 6x
2x4 ¡ 3x3 + x2 ¡x + 1:
Nyn nalezneme rozklad polynomu Q4; kter je ve jmenovateli. Nejprve pomoc
Hornerova schØmatu otestujeme, zda n kterØ z Ł sel 1;¡1 (d litelØ absolutn ho
Łlenu) je kołenem polynomu Q4:
2 -3 1 -1 1
x = ¡1 2 -5 6 -7 8 x = ¡1 nen kołen
x = 1 2 -1 0 -1 0 x = 1 je kołen
x = 1 2 1 1 0
Celkem tedy plat Q4(x) = (x¡1)2(2x2 + x + 1): Tomuto rozkladu odpov dÆ
souŁet parciÆln ch zlomkø
3x3 ¡ 5x2 + 6x
2x4 ¡ 3x3 + x2 ¡x + 1 =
A
x¡ 1 +
B
(x¡ 1)2 +
Cx + D
2x2 + x + 1:
Płevedeme-li pravou stranu rovnice na spoleŁnØho jmenovatele, dostaneme nÆsle-
duj c rovnost Łitatelø
3x3 ¡ 5x2 + 6x = A(x¡ 1)(2x2 + x + 1) + B(2x2 + x + 1) + (Cx + D)(x¡ 1)2:
Jde o rovnost polynomø, vyu ijme tedy toho, e koe cienty u stejn ch mocnin se
mus rovnat a souŁasn porovnÆme funkŁn hodnoty v reÆlnØm kołenu 1 polynomu
Q4: Dostaneme
x = 1 : 4 = 4B =) B = 1
x3 : 3 = 2A + C
x0 : 0 = ¡A + B + D
x2 : ¡5 = ¡A + 2B ¡ 2C + D:
Odtud
2A + C = 3
¡A + D = ¡1
¡A¡ 2C + D = ¡7:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.7 Polynomy a racionÆln funkce 35
e„en m tohoto systØmu je A = 0; C = 3; D = ¡1: Plat tedy rozklad
f(x) = 1 + 1(x¡ 1)2 + 3x¡ 12x2 + x + 1:
O sprÆvnosti rozkladu se mø eme płesv dŁit seŁten m pravØ strany.
PoznÆmka. Uveden rozklad racionÆln funkce nÆm pozd ji umo n
jej jednoduchØ zintegrovÆn .
ZnamØnko racionÆln funkce
ZnamØnko racionÆln funkce f(x) = Pm(x)=Qnx; kde polynomy Pm;Qn nemaj
spoleŁnØ kołeny, urŁ me analogicky jako znamØnko polynomu. StaŁ si uv domit,
e na zm nu znamØnka funkce f budou m t op t vliv pouze reÆlnØ kołeny lichØ
nÆsobnosti Łitatele a jmenovatele. Kołeny jmenovatele ov„em nejsou v de niŁn m
oboru funkce f:
Pł klad 2.7.6: UrŁete znamØnko racionÆln funkce
f(x) = (2x¡ 1)
3(3x + 4)2(2x2 + 1)
(x¡ 2)(x2 + x + 1) :
e„en : ReÆlnØ kołeny polynomu jsou x1 = 1=2 (trojnÆsobn , znamØnko se
m n ), x2 = ¡4=3 (dvojnÆsobn , znamØnko se nem n ), x3 = 2 (jednonÆsobn ,
znamØnko se m n ). Napł klad f(0) = 8 > 0 urŁ znamØnko polynomu v intervalu
obsahuj c m bod 0.
-‘a
¡43
‘a
1
2
b
2
+ + ¡ +znam f(x)
CviŁen 2.7.2: UrŁete rozklady racionÆln ch funkc na parciÆln zlomky nebo
na souŁet polynomu a parciÆln ch zlomkø:
a) 4 ¡x
3
4x3 + 7x2 ¡ 2x; b)
x + 2
x3 ¡ 2x2;
c) x
3 + 3x¡ 2
x4 + 3x2 + 4 d)
x5 + 3x4 + 4x3 + 8x2 + 6x + 4
x4 + 2x3 + x2 + 4x + 4 :
O sprÆvnosti v sledkø se płesv dŁte zkou„kou (płeveden m v sledku na spoleŁ-
nØho jmenovatele).
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
36 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
2.7.3 Testovac œlohy
AUTOTEST 2.7.1: Polynom, racionÆln funkce, parciÆln zlomky.
funkce a b c
1. Ł slo ¡1
je kołen polynomu
f(x) = x3 + x2 ¡x¡ 1 jednonÆsobn dvojnÆsobn nen kołen
2. Ł slo 1
je kołen polynomu
f(x) = x3 ¡ 3x2 + 3x¡ 1 jednonÆsobn dvojnÆsobn trojnÆsobn
3. xx2 ¡ 2x + 1 je parciÆln nen parciÆln je ryz
zlomek zlomek rac. funkce
4. x3x3 ¡ 3x2 + 3x¡ 1 je parciÆln je ryz je neryz
zlomek rac. funkce rac. funkce
5. xx4 + 2x2 + 1 je parciÆln nen parciÆln jmenovatel nemÆ
zlomek zlomek reÆln kołen
6. 13x4 + 5x2 + 2 je parciÆln nen parciÆln jmenovatel nemÆ
zlomek zlomek reÆln kołen
7. 16x2 + x¡ 2 je parciÆln rozklÆdÆ se na rozklÆdÆ se na
zlomek A2x+1 + B3x¡2 A2x¡1 + B3x+2
8. xx3 + x2 ¡x¡ 1 Ax+1 + Bx¡1 Ax+1 + B(x+1)2 + Cx¡1 Ax¡1 + B(x+1)2
se rozklÆdÆ na souŁet
parciÆln ch zlomkø
9. 1(3x¡ 1)2 ¢ (2x2 + 1) A3x¡1 + Bx+C(3x¡1)2 + A(3x¡1)2 + Bx+C2x2+1 A3x¡1 + B(3x¡1)2 +
se rozklÆdÆ na souŁet +Dx+E2x2+1 +Cx+D2x2+1
parciÆln ch zlomkø
10. 12x4 + 5x2 + 2 je parciÆln Ax+B2x2+1 + Cx+Dx2+2 A2x2+1 + Bx2+2
se rozklÆdÆ na souŁet zlomek
parciÆln ch zlomkø
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8 ElementÆrn funkce 37
2.8 ElementÆrn funkce
2.8.1 GoniometrickØ funkce
Mezi zÆkladn mi funkcemi znÆm mi ze stłedn „koly jsou goniometrickØ funkce.
Płipomeneme si n kterØ zÆkladn vlastnosti t chto funkc a u iteŁnØ vzorce.
sinus; f : y = sinx kosinus; f : y = cosx
D(f) = R; H(f) = h¡1;1i; D(f) = R; H(f) = h¡1;1i;
funkce je lichÆ na D(f); funkce je sudÆ na D(f);
periodickÆ na R s periodou 2…; periodickÆ na R s periodou 2…;
rostouc na ka dØm intervalu rostouc na ka dØm intervalu
h¡…=2 + 2k…;…=2 + 2k…i;k 2Z; h(2k + 1)… + 2k…;(2k + 2)… + 2k…i;
k 2Z;
klesaj c na ka dØm intervalu klesaj c na ka dØm intervalu
h…=2 + 2k…;3…=2 + 2k…i;k 2Z: h2k… + 2k…;(2k + 1)… + 2k…i;k 2Z:
ObrÆzek 2.11: Funkce sinx;cosx
Napł klad pro integrovÆn budeme pou vat nÆsleduj c vzorce:
sin(x1 §x2) = sinx1 cosx2 § cosx1 sinx2
cos(x1 §x2) = cosx1 cosx2 currency1 sinx1 sinx2
sin 2x = 2 sinxcosx;
cos 2x = cos2 x¡ sin2 x;
1 = cos2 x + sin2 x;
sin2 x = 1 ¡ cos 2x2 ;
cos2 x = 1 + cos 2x2 :
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
38 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
ObrÆzek 2.12:
ObrÆzek 2.13:
Spolu s periodicitou funkc sin;cos jsou Łasto vyu vÆny funkŁn hodnoty v ar-
gumentech 0;…=6;…=4;…=3;…=2; viz nÆsleduj c tabulka a vyu it jednotkovØ kru -
nice (2.12)
x 0 …=6 …=4 …=3 …=2
sinx 0 1=2 p2=2 p3=2 1
cosx 1 p3=2 p2=2 1=2 0
Pł klad 2.8.1: Nakreslete graf funkce f : y = 3 sin (2x + …=3):
e„en :p
1. łe„en . Zjist me si interval, kter vnitłn slo ka g(x) = 2x + …=3 zobraz
na zÆkladn interval periodicity funkce sinus, tj. h0;2…i; a takovØ hodnoty nezÆvisle
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8 ElementÆrn funkce 39
prom nnØ x; pro kterØ funkce g nab vÆ dal„ ch v znaŁn ch hodnot …=2;…;3…=2:
Dostaneme nÆsleduj c tabulku:
2x + …=3 0 …=2 … 3…=2 2…
x ¡…=6 …=12 …=3 7…=12 5…=6
3 sin (2x + …=3) 0 3 0 ¡3 0
Vid me, e g : h¡…=6;5…=6i¡!h0;2…i a funkce f mÆ periodu …: (Obr. 2.13)
p 2. łe„en . Vyjdeme z grafu funkce a) x 7¡! sinx v intervalu h0;2…i (dØlka jednØ
zÆkladn periody).
Postupn z skÆvÆme grafy (2.14):
† b) sin (x + …=6); posunut (translace) o ¡…=6 ve sm ru osy x;
† c) sin 2(x + …=6); sta en (kontrakce) 1=2{krÆt vzhledem k ose x;
† d) 3 sin 2(x + …=6); rozta en (dilatace) 3{krÆt ve sm ru osy y:
ObrÆzek 2.14:
pp KomentÆł 2.8.1: Funkce tohoto tvaru se vyskytuj płi studiu tzv. harmonic-
k ch kmitø, kde se pou vÆ Łasto oznaŁen Asin (!t + ’0) a nÆsleduj c terminologie:
’0 poŁÆteŁn fÆze kmitavØho pohybu
A amplituda v chylky
! œhlovÆ (kruhovÆ) frekvence
T = 2…=! perioda pohybu
f = 1=T frekvence kmitavØho pohybu
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
40 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
tangens; f : y = tg x kotangens; f : y = cotg x
D(f) = R¡f(2k + 1)…2 ;k 2Zg; H(f) = R; D(f) = R¡fk…;k 2Zg; H(f) = R;
lichÆ; lichÆ;
ryz perioda …; ryz perioda …;
rostouc na ka dØm intervalu klesaj c na ka dØm intervalu
(¡…=2 + k…;…=2 + k…);k 2Z; (k…;(k + 1)…);k 2Z;
Døle itØ vztahy (pro pł pustnÆ x) jsou napł klad
tg x = sinxcosx; cotg x = 1tg x; tg (x1 §x2) = tg x1 § tg x21 currency1 tg x
1 ¢ tg x2
:
Uvedeme si grafy obou funkc v Obr. 2.15
ObrÆzek 2.15: Funkce tg x, cotg x.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8 ElementÆrn funkce 41
2.8.2 CyklometrickØ funkce
CyklometrickØ funkce jsou inverzn funkce ke goniometrick m funkc m zœ en m
na konkrØtn vybranØ intervaly, v nich jsou ryze monot nn .
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Funkce
arkussinus arcsin; arkuskosinus arccos; arkustangens arctg; arkuskotangens
arccotg; jsou de novÆny takto:
arcsin = (sin=h¡…=2;…=2i)¡1;
arccos = (cos=h0;…i)¡1;
arctg = (tg=(¡…=2;…=2))¡1;
arccotg = (cotg=(0;…))¡1:
||||||||||||||||||||||||||||||||||
arkussinus; f : y = arcsin x arkuskosinus; f : y = arcos x
D(f) = h¡1;1i; H(f) = h¡…=2;…=2i; D(f) = h¡1;1i; H(f) = h0;…i;
lichÆ; ani lichÆ ani sudÆ;
rostouc na D(f) klesaj c na D(f)
ZÆkladn funkŁn hodnoty:
x 0 12
p2
2
p3
2 1
arcsin x 0 …6 …4 …3 …2
arccos x …2 …3 …4 …6 0
ObrÆzek 2.16:
arkustangens; f : y = arctg x arkuskotangens; f : y = arcotg x
D(f) = R; H(f) = (¡…=2;…=2); D(f) = R; H(f) = (0;…);
lichÆ; ani lichÆ ani sudÆ;
rostouc na D(f) klesaj c na D(f)
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
42 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
ZÆkladn funkŁn hodnoty:
x 0
p3
3 1
p3
arctg x 0 …6 …4 …3
arccotg x …2 …3 …4 …6
ObrÆzek 2.17:
Pł klad 2.8.2: Je dÆna funkce f : y = 1 + sin (2x¡ 7): UrŁete g¡1 k funkci
g = f=M; kde M je maximÆln ( nejv t„ ) podmno ina płirozenØho de niŁn ho
oboru funkce f; v n existuje k tØto funkci funkce inverzn .
e„en : V me, e inverzn funkc k funkci sinus je funkce arkussinus, płi-
Łem sinus uva ujeme zœ en na interval h¡…=2;…=2i: Pro funkci g bu-
deme proto po adovat spln n nerovnice ¡…=2 • 2x ¡ 7 • …=2; tj.
7=2 ¡…=4 • x • 7=2 + …=4: V tomto intervalu je funkce ryze monot nn a plat
f : h7=2 ¡…=4;7=2 + …=4i!h0;2i: DÆle plat postupn y ¡ 1 = sin (2x¡ 7) ,
2x¡ 7 = arcsin (y ¡ 1) , x = 12 (7 + arcsin (y ¡ 1)) a tedy (viz obr. 2.18)
g¡1 : y = 12 (7 + arcsin (x¡ 1)); płiŁem g¡1 : h0;2i!›72 ¡ …4; 72 + …4fi:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8 ElementÆrn funkce 43
ObrÆzek 2.18:
2.8.3 ExponenciÆln a logaritmickØ funkce
exponenciÆln funkce o zÆkladu a logaritmickÆ funkce o zÆkladu a
f(x) = ax; a 2R; a > 0; a 6= 1 g(x) = loga x; a 2R; a > 0; a 6= 1
D(f) = R; H(f) = (0;1); D(g) = (0;1); H(g) = R;
a > 1 ) f je rostouc ; a > 1 ) g je rostouc ;
0 < a < 1 ) f je klesaj c na D(f): 0 < a < 1 ) g je klesaj c na D(g):
Pro v„echna x1;x2 2R plat : Pro v„echna x1;x2 2 (0;1) plat :
ax1+x2 = ax1 ¢ax2; loga (x1 ¢x2) = loga x1 + loga x2;
ax1¡x2 = ax1=ax2; loga x1=x2 = loga x1 ¡ loga x2;
(ax1)x2 = ax1¢x2: loga xk1 = k ¢ loga x1; k 2R;
logb x1 = loga x1=loga b
pro a;b 2R; a > 0; b > 0; a 6= 1 6= b:
ObrÆzek 2.19:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
44 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
pp KomentÆł 2.8.2:
1. Logaritmickou funkc o zÆkladu a naz vÆme inverzn funkci k funkci exponenci-
Æln o zÆkladu a; tj. plat
y = loga x () x = ay:
2. Vlastnosti logaritmickØ funkce plynou z vlastnost exponenciÆln funkce.
3. Logaritmus o zÆkladu e := 2:71::: se naz vÆ płirozen logaritmus a znaŁ se lnx;
logaritmus o zÆkladu 10 se naz vÆ dekadick logaritmus a znaŁ se logx:
ObrÆzek 2.20: Funkce ex, lnx
2.8.4 MocninnÆ funkce
mocninnÆ funkce o exponentu a : h(x) = xa; a 2R; a 6= 0:
D(h) = (0;1); H(h) = (0;1);
a > 0 ) h je rostouc na D(h); a < 0 ) h je klesaj c na D(h):
Pro v„echna x1;x2 2 (0;1) plat : (x1 ¢x2)a = x1a ¢x2a; (x1=x2)a = x1a=x2a:
De niŁn obor mocninnØ funkce lze roz„ łit, omez me-li hodnoty exponentu a:
Napł klad:
† pokud a 2N; pak D(h) = R;
† jestli
(¶) a 2Z; a < 0; pak D(h) = (¡1;0) [ (0;1);
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8 ElementÆrn funkce 45
ObrÆzek 2.21: Funkce xa
(¶¶) a 2 Q; a = m=n; m;n nesoud lnÆ, m 2Z; n 2N; n lichØ, pak pro
⁄ m > 0 je D(f) = R;
⁄ m < 0 je D(h) = (¡1;0) [ (0;1):
2.8.5 HyperbolickØ funkce
V aplikac ch se Łasto pu vaj hyperbolickØ funkce, kterØ jsou de novÆny takto:
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. hyperbolick sinus: sinhx = (ex ¡e¡x)=2;
2. hyperbolick kosinus: coshx = (ex + e¡x)=2;
3. hyperbolick tangens: tgh x = sinhx=coshx;
4. hyperbolick kotangens: cotgh x = coshx=sinhx;
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Jejich nÆzev odpov dÆ tomu, e jejich u it m lze parametrizovat hyperbolu.
hyperbolick sinus: f(x) = sinhx; hyperbolick kosinus: g(x) = coshx
D(f) = R; H(f) = R; D(g) = R; H(g) = h1;1);
lichÆ; sudÆ;
rostouc ; klesaj c v (¡1;0i;rostouc v h0;1);
Grafem funkce hyperbolick kosinus je tzv. łet zovka (tvar ohebnØho vlÆkna
zav „enØho ve dvou bodech).
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
46 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
ObrÆzek 2.22:
hyperbolick tangens: h(x) = tgh x; hyperbolick kotangens: u(x) = cotgh x
D(h) = R; H(h) = (¡1;1); D(u) = R¡f0g; H(g) = (¡1;¡1) [ (1;1);
lichÆ; lichÆ;
rostouc ; klesaj c v (¡1;0);klesaj c v (0;1);
Nyn si uvedeme struŁn v b r nejzÆkladn j„ ch vztahø mezi hyperbolick mi
funkcemi, kterØ je mo no vyu t napł klad pozd ji płi integrovÆn funkc .
cosh2 x1 ¡ sinh2 x1 = 1
sinh(x1 §x2) = sinhx1 coshx2 § coshx1 sinhx2
cosh(x1 §x2) = coshx1 coshx2 § sinhx1 sinhx2
sinh 2x1 = 2 sinhx1 coshx1;
cosh 2x1 = sinh2 x1 + cosh2 x1:
UvedenØ vztahy si lze ov łit vyjÆdłen m a œpravami odpov daj c ch vztahø s ex-
ponenciÆln mi funkcemi.
CviŁen 2.8.1: Ov łte platnost vztahu cosh2 x1 ¡ sinh2 x2 = 1: (Pozor na od-
li„nosti s podobn mi vztahy platn mi pro goniometrickØ funkce.)
2.8.6 HyperbolometrickØ funkce
Na zÆv r płehledu elementÆrn ch funkc se je„t struŁn zm n me o tzv. hy-
perbolometrick ch funkc ch, co jsou inverzn funkce k funkc m hyperbolick m
v intervalech ryz monotonie. De nujeme:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8 ElementÆrn funkce 47
ObrÆzek 2.23:
||||||||||||||||||||||||||||||||||
argsinh = (sinh)¡1; Łteme: argument hyperbolickØho sinu
argcosh = (cosh=h0;1))¡1; Łteme: argument hyperbolickØho kosinu
argtgh = (tgh)¡1; Łteme: argument hyperbolickØho tangens
argcotgh = (cotgh)¡1; Łteme: argument hyperbolickØho kotangens:
||||||||||||||||||||||||||||||||||
V me ji , e hyperbolickØ funkce byly de novÆny pomoc funkc ex a e¡x: DÆ
se ukÆzat, e hyperbolometrickØ funkce lze vyjÆdłit płirozen mi logaritmy (tj.
inverzn mi funkcemi k funkc m exponenciÆln m).
Plat
argsinh x = ln (x + px2 + 1); x 2R;
argcosh x = ln (x + px2 ¡ 1); x 2h1;1);
argtgh x = 12 ln 1+x1¡x; x 2 (¡1;1);
argcotgh x = 12 ln x+1x¡1; x 2 (¡1;¡1) [ (1;1):
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
48 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
ObrÆzek 2.24:
ObrÆzek 2.25:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8 ElementÆrn funkce 49
2.8.7 Testovac œlohy
AUTOTEST 2.8.1: Inverzn funkce.
funkce f de no-
vanÆ na intervalu
inverzn funkce g k funkci f
a b c
1 f(x) = 2x¡ 3 g(x) = x + 32 neexistuje g(x) = ¡2x¡ 3
x 2h1;4i x 2h¡1;5i x 2h¡1;4i
2 f(x) = px + 2 g(x) = x2 + 2 g(x) = x2 ¡ 2 g(x) = x2 ¡ 2
x 2h¡2;1) x 2h6;1) x 2R x 2h0;1)
3 f(x) = 2x2 ¡ 1 g(x) =
px + 1
p2 neexistuje g(x) = ¡
px + 1
p2
x 2R x 2h¡1;1) x 2h¡1;1)
4 f(x) = 2x2 ¡ 1 g(x) =
px + 1
p2 neexistuje g(x) = ¡
px + 1
p2
x 2 (¡1;0i x 2h¡1;1) x 2h¡1;1)
5 f(x) = e2x¡1 g(x) = e¡2x¡1 g(x) = 12(1 + lnx) g(x) = e2x¡1
x 2R x 2R x 2 (0;1) x 2R¡f0g
6 f(x) = sin (2x¡ …4 ) g(x) = arcsin (2x¡ …4 ) neexistuje g(x) = …8 + 12 arcsinx
x 2h¡…8; 3…8 i x 2h¡…8; 3…8 i x 2h¡1;1i
7 f(x) = sin (2x¡ …4 ) g(x) = arcsin (2x¡ …4 ) neexistuje g(x) = …8 + 12 arcsinx
x 2h¡…2; …2i x 2h¡1;1i x 2h¡1;1i
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
50 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
AUTOTEST 2.8.2: Vztahy mezi elementÆrn mi funkcemi
pro x a b c
1 x 2R cos2 x¡ sin2 x = 1 cos 2x 1 ¡ sin2 x
2 x 2R cosh2 x¡ sinh2 x = 1 cosh 2x 1 ¡ sinh2 x
3 x 2R cos2 x = 12(1 ¡ cos 2x) 12(1 + sin 2x) 12(1 + cos 2x)
4 x 2R
p
1 ¡ cos 2x¡ sin2 x = sinx = cosx = jsinxj
5 x 2R sinx = 2 sin x2 cos x2 2 sin x2 sin (x2 + x2 )
6 x 2R sin2 x2 = sin x24 1 ¡ cos2 x2 1¡cosx2
7 x 2R sin (2x¡…=2) = 2 sin (x¡…=4) ¡cos 2x ¡1 + sin 2x
x > 0
8 a > 0 logax = lnalnx ln xa lnxlna
a 6= 1
x1;x2 > 0
9 a > 0 loga(x1 ¢x2) = loga(x1 + x2) logax1 + logax2 logax1 ¢ logax2
a 6= 1
x 2R
10 x 6= 0 lnx2 = 2 lnx ln 2x 2 lnjxj
11 x1;x2 2R jx1 + x2j ‚jx1j + jx2j = jx1j + jx2j •jx1j + jx2j
12 x 2h¡2;0i jx¡ 2j¡j5 ¡xj = ¡3 2x¡ 7 7 ¡ 2x
13 x 2 (¡1;¡1) p1 ¡ 2x2 + x4 = nen def. x2 ¡ 1 1 ¡x2
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.9 Kontroln otÆzky 51
2.9 Kontroln otÆzky
† Kdy hovoł me o explicitn m zadÆn funkce f ?
† Co je to płirozen de niŁn obor funkce?
† Jak je de novanÆ absolutn hodnota reÆlnØho Ł sla?
† Uve te zÆkladn vlastnosti, kterØ plat pro absolutn hodnotu.
† Kdy łekneme, e je funkce f na mno in M ‰ D(f) rostouc (klesaj c )?
† KterØ funkce naz vÆme ryze monot nn na mno in M ?
† Jak de nujeme sudost a lichost funkce?
† Kdy o funkci łekneme, e je periodickÆ na M s periodou p ? Co je to zÆkladn
perioda?
† Kdy hovoł me o parametrickØm zadÆn funkce f ? Uve te pł klady.
† Kdy łekneme, e funkce f¡1 je inverzn funkc k funkci f na mno in M ?
† Co plat pro grafy funkc f a f¡1 ?
† Co rozum me reÆln m polynomem n{tØho stupn ?
† Kdy łekneme, e Ł slo x0 je k{nÆsobn m kołenem polynomu stupn n ?
† Vysv tlete, co rozum me rozkladem reÆlnØho polynomu v reÆlnØm oboru.
† JakØ body maj vliv na znamØnko reÆlnØho polynomu?
† JakØ druhy racionÆln ch funkc znÆte?
† JakØ znÆte typy parciÆln ch zlomkø?
† Vysv tlete, jak se rozklÆdÆ ryz racionÆln funkce na parciÆln zlomky.
† Co jsou to cyklometrickØ funkce? Jak jsou de novÆny? Nakreslete jejich
grafy.
† Uve te de nice hyperbolick ch funkc a naŁrtn te jejich grafy.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
52 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
2.10 Kl Ł a v sledky cviŁen
CviŁen 2.2.2
a) f(x) =
8
<
:
¡4x¡ 1 pro x 2 (¡1;¡2i
¡2x + 3 pro x 2 (¡2; 1=3i
4x + 1 pro x 2 (1=3;1)
b) f(x) =
8<
:
4 pro x 2 (¡1;¡3=2i
¡4x¡ 2 pro x 2 (¡3=2; 1=2i
¡4 pro x 2 (1=2;1)
c) f(x) =
‰ x2 ¡ 1 pro x 2 (¡1;¡1i[h1;1)
1 ¡x2 pro x 2 (¡1; 1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.3.1
a) h(x) = px3; k(x) = 1 +p(x¡ 1)3
b) h(x) = ¡1 ¡e¡x; k(x) = 2 + e x2¡x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.3.2
1) h¡34; 23i
2) 4a + 2h + 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.6.1
a) g¡12 : y = ¡p2 + x; x 2h¡2;1)
b1) f¡1 : y = (x + 2)2; x 2 (¡1;¡2i
b2) h¡1 : y = 3
q
x+1
2 ; x 2R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.7.1
Uvedeme pouze rozklady polynomø v reÆlnØm oboru, z nich se po adovanÆ
znamØnka ji lehce urŁ .
a) f(x) = (3x¡ 2) ¢ (2x¡ 1)2
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.10 Kl Ł a v sledky cviŁen 53
b) g(x) = (x + 2) ¢ (x2 + 2)
c) h(x) = (2x + 1) ¢ (2x¡ 1) ¢ (2x2 + 1)
d) k(x) = (3x2 + 2) ¢ (2x2 + 1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.7.2
a) ¡14 ¡ 2x +
8512
4x¡ 1 +
23
x + 2
b) ¡1x ¡ 1x2 + 1x¡ 2
c) xx2 ¡x + 2 ¡ 1x2 + x + 2
d) x + 1 + 1x + 1 ¡ 1x + 2 + x¡ 1x2 ¡x + 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Autotest 2.4.1
1b, 2c, 3c, 4c, 5b, 6b i 6c
Autotest 2.7.1
1b, 2c, 3b i 3c, 4c, 5a i 5c, 6b i 6c, 7c, 8b, 9c, 10b
Autotest 2.8.1
1a, 2c, 3b, 4c, 5b, 6c, 7b
Autotest 2.8.2
1b, 2a, 3c, 4c, 5a i 5c, 6c, 7b, 8c, 9b, 10c, 11c, 12a, 13b
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Rejstł k
cykloida, 23
elipsa, 22
funkce, 11
cyklometrickØ, 41
de Łn obor, 12
płirozen , 12
elementÆrn , 12
exponenciÆln , 43
goniometrickØ, 37
graf, 13
hyperbolickØ, 45
hyperbolometrickØ, 46
inverzn , 26
klesaj c , 19
lichÆ, 20
logaritmickØ, 43
mocninnÆ, 44
monot nn , 20
ryze, 20
neklesaj c , 20
nerostouc , 20
nezÆvisle prom nnÆ, 11
obor hodnot, 12
ohraniŁenÆ, 19
zdola, 19
periodickÆ, 21
prostÆ, 26
racionÆln , 33
neryz , 33
parciÆln zlomky, 33
ryz , 33
znamØnko, 35
reÆln polynom, 28
rostouc , 19
rovnost, 12
slo enÆ, 15
vnitłn slo ka, 15
vn j„ slo ka, 15
sudÆ, 20
zadÆn
explicitn , 12
parametrickØ, 21
zÆkladn vlastnosti, 19
zÆvisle prom nnÆ, 11
polynom
Hornerovo schema, 31
kołen, 31
nÆsobn , 31
kołenovØ vlastnosti, 30, 31
kołenov Łinitel, 31
rozklad, 31
v oboru R, 31
znamØnko, 32
zÆkladn operace, 28
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Literatura
[1] Anton H., Calculus with Analytic Geometry, John Wiley, 1995.
[2] Brabec J., Martan F., Rozensk Z., MatematickÆ anal za I, SNTL, Praha
1989.
[3] Dan Łek J. a kolektiv, Sb rka pł kladø z matematiky I, VUT, FAST, CERM,
Brno 2000.
[4] DrÆbek P., M ka S., MatematickÆ anal za I, ZÆpadoŁeskÆ univerzita v Plzni,
Fakulta aplikovan ch v d, Plze 1999.
[5] Jankovsk Z., Prøcha L., DiferenciÆln poŁet I, ¨VUT, Fakulta elektrotech-
nickÆ, Praha 1996.
[6] Jarn k V., DiferenciÆln poŁet I, N¨SAV, Praha 1963.
[7] NovÆk V., DiferenciÆln poŁet v R (skripta), Masarykova univerzita, Pł ro-