Skripta - Reálná funkce jedné reálné proměnné

:
1) UrŁete de niŁn obor funkce f : y = p6 ¡x¡ 12x2:
2) Je dÆna funkce f : y = 2x2 + 3x¡ 4: VyjÆdłete a upravte pod l
f(a + h) ¡f(a)
h pro h 6= 0:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4 ZÆkladn vlastnosti funkc 19
2.4 ZÆkladn vlastnosti funkc
OznaŁ me D(f) de niŁn obor funkce f a M ‰ D(f); kde M mÆ alespo dva prvky.
ZÆkladn vlastnosti funkc si płipomeneme tabulkou:
vlastnost podm nka pł klad
1: f je shora ohraniŁenÆ na M existuje Ł slo k 2R - x
6
y y = k
f
M = h0;1)takovØ, ef(x) • kpro v„echna x 2 M
2: f je zdola ohraniŁenÆ na M existuje Ł slo h 2R
- x
6
y
y = hf
M = (¡1;1)takovØ, ef(x) ‚ hpro v„echna x 2 M
3: f je ohraniŁenÆ na M existuj Ł sla h;k 2R
- x
6
y
y = h
y = k
f
M = RtakovÆ, e h • f(x) • kpro v„echna x 2 M
4: f je rostouc na M pro v„echna x1;x2 2 M - x
6
y
f
x1
f(x1)
x2
f(x2)
M = R
s vlastnost x1 < x2
plat f(x1) < f(x2)
5: f je klesaj c na M pro v„echna x1;x2 2 M - x
6
y
f
x1 x2
M = R
s vlastnost x1 < x2
plat f(x1) > f(x2)
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
20 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
vlastnost podm nka pł klad
6: f je neklesaj c na M pro v„echna x1;x2 2 M - x
6
y
ba
M = ha;bi
s vlastnost x1 < x2
plat f(x1) • f(x2)
7: f je nerostouc na M pro v„echna x1;x2 2 M - x
6
y
ba
M = ha;bi
s vlastnost x1 < x2
plat f(x1) ‚ f(x2)
8: f je ryze (ostłe) f je rostouc nebo
monot nn na M klesaj c na M
9: f je monot nn f je nerostouc nebo
na M neklesaj c na M
10: f je sudÆ na M 1. pro ka dØ x 2 M takØ (¡x) 2 M - x
6
y
2¡2
M = h¡2;2i
2. pro ka dØ x 2 M
plat f(¡x) = f(x)
a) M mus b t symetrickÆ vzhledem k poŁÆtku,
b) graf funkce f je symetrick vzhledem k ose y:
11: f je lichÆ na M 1. pro ka dØ x 2 M takØ (¡x) 2 M
- x
6
y
1
¡1
M = h¡1;1i2. pro ka dØ x 2 M plat f(¡x) = ¡f(x)
a) M mus b t symetrickÆ vzhledem k poŁÆtku,
b) graf funkce f je symetrick vzhledem k poŁÆtku.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 ParametrickØ zadÆn funkce 21
12: f je periodickÆ Existuje Ł slo p 2R; p > 0; takovØ, e - x
6
y
1 9
M = R; p = 8
je zÆkladn perioda
na M s periodou p 1. pro ka dØ x 2 M takØ x§p 2 M;
2. pro ka dØ x 2 M plat
f(x + p) = f(x)
Nejmen„ periodu (pokud existuje) naz vÆme zÆkladn (primitivn , ryz )
periodou funkce f: Graf funkce se opakuje po œsec ch, jejich dØlka je p
(v pł kladu je p = 8).
2.4.1 Testovac œlohy
AUTOTEST 2.4.1: ZÆkladn vlastnosti funkc .
funkŁn płedpis vlastnosti funkce f
f(x) = x2 + x + 1
a b c
1. grafem funkce f je hyperbola parabola elipsa
2. obor hodnot H(f) je h1;1) h¡1;1) h3=4;1)
3. f je v D(f) ohraniŁenÆ shora ohraniŁenÆ zdola ohraniŁenÆ
4. f je v D(f) sudÆ lichÆ ani sudÆ ani lichÆ
5. f je klesaj c v intervalu (¡1;0) (¡1;¡1=2i (¡1=2;1)
6. f je prostÆ v D(f) (¡1;¡1) (¡1;¡1=2)
2.5 ParametrickØ zadÆn funkce
V n kter ch aplikac ch se ukazuje, e je nev hodnØ pracovat s funkcemi zadan mi
explicitn . Płitom se nÆm mnohdy podał vyjÆdłit kartØzskØ souładnice [x;y]
bodø grafu jako funkce n jakØ novØ prom nnØ t; kterou pak obvykle naz vÆme
parametrem.
M jme funkci f; jej m grafem je Łtvrtkru nice le c v 1. kvadrantu se
stłedem v poŁÆtku a polom rem r = 2: Zvolme si za parametr t œhel,
kter sv rÆ œseŁka urŁenÆ body O;P s kladn m sm rem osy x:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
- x
6
y
O
2
¡
¡
¡
¡¡
P
2
¢t
Pak pro kartØzskØ souładnice [x;y] bodø grafu funkce f plat x = 2 cost;
y = 2 sint: Pro bod A = [2;0] dostÆvÆme parametr t = 0; pro bod
B = [0;2] je hodnota parametru t = …=2: ZadÆme-li tedy funkce
x = 2 cost; y = 2 sint a interval h0;…=2i pro parametr t; pak mno-
ina bodø [x;y] 2 E2 takto urŁenÆ je grafem funkce f a ł kÆme, e
funkce f je zadÆna parametricky. Je vhodnØ si uv domit, e pokud bychom
uva ovali tytØ funkce x = 2 cost; y = 2 sint na oboru parametrø napł.
h0;2…i; pak grafem je celÆ kru nice, a proto e se nejednÆ o graf funkce,
nelze hovołit ani o parametrickØm zadÆn funkce. V tomto pł pad hovo-
ł me o tzv. parametrickØm zadÆn kłivky. V„imn me si takØ toho, e pro
body grafu funkce f (zvolenÆ Łtvrtkru nice) plat x2 + y2 = 4 a funkce f
mÆ proto explicitn vyjÆdłen f : y = p4 ¡x2; x 2h0;2i: Kdybychom nyn
dosadili do tohoto płedpisu x = 2 cost z parametrickØho vyjÆdłen , pak pro
y vyjde po adovan vztah y = 2 sint; a to pro v„echna t 2h0;…=2i:
Znalost explicitn ho vyjÆdłen funkce f nÆm umo uje i tzv. płirozenou
parametrizaci, kdy za parametr t zvol me nezÆvisle prom nnou x a pro zÆvisle
prom nnou dostaneme z explicitn ho vyjÆdłen płedpis y = p4 ¡t2; t 2h0;2i:
De nice 2.5.1: Obecn pak łekneme, e funkcemi x = g(t);y = h(t); de nova-
n mi na oboru parametrø M ‰R; je urŁenÆ parametricky funkce f, jestli e
mno ina v„ech bodø [x;y] 2 E2 takov ch, e x = g(t);y = h(t);t 2 M; je grafem
funkce.
4
Dal„ Łasto se vyskytuj c kłivkou je elipsa, jej n kterØ ŁÆsti jsou op t
grafy funkc . Z konstrukce elipsy je znÆmo (viz deskriptivn geometrie),
e body elipsy mø eme z skat jako prøseŁ ky kolmice vedenØ bodem P
na hlavn osu a kolmice vedenØ bodem R na vedlej„ osu. Ze z skan ch
pravoœhl ch trojœheln kø pak ji lehce z skÆme płedpisy pro souładnice
[x;y] bodu Q; plat x = acost;y = bsint: Zvol me-li za mno inu parame-
trø interval h0;…i; pak dostaneme parametrickØ vyjÆdłen funkce f; jej m
grafem je ŁÆst elipsy nad osou x:
PoznÆmka: Zkontrolujte si, zda prøseŁ køm A;D;C horn ŁÆsti elipsy
se souładnicov mi osami odpov daj parametry z intervalu h0;…i:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 ParametrickØ zadÆn funkce 23
ObrÆzek 2.6:
PoznÆmka: Zjist te, zda uvedenØ płedpisy vyhovuj explicitn mu vy-
jÆdłen funkce f : y = bapa2 ¡x2:
Uvedeme si je„t jednu kłivku, kterÆ se Łasto vyskytuje v aplikac ch. Jde
o tzv. prostou cykloidu, kterou opisuje pevn bod kru nice, kterÆ se (bez
skluzu) kutÆl po pł mce (viz obrÆzek 2.7) Zvol me-li si za parametr t veli-
kost œhlu, o kter se otoŁ kru nice płi płechodu zvolenØho bodu z polohy
P0 do polohy P; pak dostÆvÆme pro souładnice [x;y] bodu P vyjÆdłen
x = jOAj = jOBj¡jABj = jOBj¡jPCj = at¡asint;
y = jAPj = jBSj¡jCSj = a¡acost:
Pł klad 2.5.1: Zjist te, zda rovnicemi
x = 2t¡ 1; y = 4t + 3; t 2h¡1;1i;
je urŁena parametricky funkce.
e„en : Pro t 2h¡1;1i nab vÆ prom nnÆ x hodnot z intervalu h¡3;1i a pro-
m nnÆ y hodnot z h¡1;7i: VyjÆdłen m parametru t z 1. rovnice a dosazen m do
2. rovnice z skÆme explicitn vyjÆdłen prom nnØ y jako funkce prom nnØ x; tj.
f : y = 2x+5; x 2h¡3;1i. Grafem funkce f je œseŁka spojuj c bod A = [¡3;¡1];
kter odpov dÆ parametru t = ¡1 s bodem B = [1;7]; odpov daj c mu parametru
t = 1:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
ObrÆzek 2.7:
PoznÆmka: Pokud nebudeme znÆt graf, vznikÆ otÆzka: za jak ch płed-
pokladø je dvojic funkc x = g(t);y = h(t);t 2 M urŁenÆ parametricky
funkce? Takovou podm nku si uvedeme płi v kladu inverzn funkce.
Na zÆv r si ukÆ eme vyu it parametrickØho zadÆn funkce ve fyzice. Uva ujme
vodorovn vrh hmotnØho bodu. Jde o pohyb slo en z pł moŁarØho pohybu ve
sm ru osy x (vodorovnØho) a z volnØho pÆdu. Poloha hmotnØho bodu, urŁenÆ
souładnicemi x a y; je v ka dØm Łase t takovÆ, jako kdyby hmotn bod konal oba
pohyby nezÆvisle na sob . Je-li hmotn bod v Łase t = 0 v poŁÆtku souładnic,
plat pro drÆhu rovnom rnØho pł moŁarØho pohybu s rychlost c; vztah x = ct;
pro voln pÆd plat y = 12gt2: Dvojice t chto funkc urŁuje drÆhu (trajektorii)
hmotnØho bodu, płiŁem parametrem je Łas.
2.6 Inverzn funkce
V matematice, fyzice i v technick ch płedm tech je zcela b nØ, e ze znÆm ch
funkŁn ch zÆvislost , potłebujeme Łasto vyjadłovat funkŁn zÆvislosti novØ na zÆ-
klad toho, kterØ veliŁiny v danØm pł pad znÆme a kterØ neznÆme.
Uva ujeme-li napł klad rovnom rn zrychlen pohyb s nulovou poŁÆteŁn
rychlost , pak pro drÆhu plat s = 12at2: Bude-li drÆha znÆmÆ konstantn veli-
Łina, pak pro zrychlen dostaneme zÆvislost na Łase ve tvaru a = 2s=t2: Pokud
budeme naopak zji„»ovat Łas, pak zÆvislost na zrychlen płi znÆmØ drÆze bude
tvaru t = p2s=a2:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6 Inverzn funkce 25
Pł klad 2.6.1: Zab vejme se nyn podrobn ji t mito otÆzkami z matematic-
kØho hlediska. M jme napł klad funkci f : y = x=3 + 2; x 2 h¡3;6i: Je jasnØ, e
funkce f zobrazuje interval h¡3;6i na interval h1;4i a grafem funkce f je œseŁka.
VyjÆdł me-li z funkŁn ho płedpisu prom nnou x; pak z skÆme płedpis x = 3y¡6;
kter urŁuje novou funkci g; kterÆ ka dØmu y z intervalu h1;4i płiład prÆv
takovØ x z intervalu h¡3;6i; pro kterØ plat y = x=3 + 2: Funkci g naz vÆme
inverzn k funkci f a p „eme g = f¡1: Płitom dostÆvÆme
g(f(x)) = 3
‡x
3 + 2
·
¡ 6 = x pro x 2h¡3;6i;
f(g(y)) = 3y ¡ 63 + 2 = y pro y 2h¡1;4i;
gra cky:
ObrÆzek 2.8:
eventuÆln :
x f7¡! y f¡17¡! x; y f¡17¡! x f7¡! y;
f : h¡3;6i¡!h1;4i; f¡1 : h1;4i¡!h¡3;6i:
Chceme-li zakreslit grafy funkc f a f¡1 do tØ e kartØzskØ soustavy souładnic
hO;x;yi; pak je zapotłeb ve funkŁn ch płedpisech nezÆvisle prom nnou oznaŁit
p smenem x a zÆvisle prom nnou p smenem y: Proto v zÆpisu f¡1 : x = 3y ¡ 6
provedeme zÆm nu prom nn ch x a y a budeme psÆt f¡1 : y = 3x¡6: Z vlastnost
[a;b] 2 Gr f () [b;a] 2 Gr f¡1
plyne, e grafy funkc f a f¡1 jsou symetrickØ vzhledem k pł mce y = x
(to znamenÆ, e body A = [a;b]; B = [b;a] le na pł mce kolmØ k pł mce y = x
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
26 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
a maj od tØto pł mky stejnou vzdÆlenost). Pro nÆmi zvolenou funkci f(x) = x3 +2
napł klad dostaneme
x -3 0 3 6
f(x) 1 2 3 4
x 1 2 3 4
f¡1(x) -3 0 3 6
Nyn se budeme zab vat podm nkou, za kterØ existuje funkce f¡1 inverzn
k funkci f. Proto e f¡1 je op t funkce, odpov dÆ ka dØmu y 2 H(f) prÆv jedno
takovØ x 2 D(f); e plat f(x) = y: kÆme pak, e funkce f je prostÆ. ZnÆme-li
graf funkce f; pak tuto vlastnost jednodu„e ov ł me t m, e nejenom ka dÆ pł mka
rovnob nÆ s osou y protne graf nejv „e v jednom bod , ale takØ libovolnÆ pł mka
rovnob nÆ s osou x protne graf nejv „e v jednom bod . Na„e œvahy lze shrnout
do nÆsleduj c de nice:
De nice 2.6.1: Je-li f prostÆ funkce v D(f); pak k n existuje inverzn
funkce f¡1 de novanÆ na H(f); płiŁem plat
[x;y] 2 Gr f () [y;x] 2 Gr f¡1:
4
Pokud tedy k funkci f existuje v D(f) inverzn funkce f¡1; pak plat :
a) D(f¡1) = H(f); H(f¡1) = D(f)
b) y = f(f¡1(y)) pro ka dØ y 2 H(f);
x = f¡1(f(x)) pro ka dØ x 2 D(f):
ObrÆzek 2.9:
PoznÆmka: Je-li funkce g de novÆna na mno in M ‰ D(f) a płitom plat
g(x) = f(x) pro ka dØ x 2 M, pak ł kÆme, e funkce g je restrikc (zœ en m) funkce
f na mno inu M. P „eme g = fjM.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6 Inverzn funkce 27
Pł klad 2.6.2: UrŁete inverzn funkci k funkci g = fjM; kde M je nejv t„
podmno ina de niŁn ho oboru funkce f : y = x2 ¡ 2; v n je f prostÆ.
e„en : Z Obr. 2.9 vid me, e existuj rovnob ky s osou x; kterØ prot naj graf
ve dvou bodech. Funkce f tedy nen v D(f) = R prostÆ. Mø eme se o tom płe-
sv dŁit takØ algebraicky . Z rovnice y = x2¡2 dostÆvÆme jxj = py + 2: Zvol me-
li napł klad y1 = 7; pak rovnici jxj = p9 vyhovuj Ł sla x1 = 3;x2 = ¡3: Zœ me-li
v„ak funkci f napł klad na interval h0;1); dostaneme funkci g1 = fjh0;1); kterÆ
je ji prostÆ a mø eme tedy k n urŁit funkci inverzn . Proto e x 2 h0;1), je
jxj = x a tedy x = py + 2: Odtud g¡11 : y = px + 2: Płitom
g1 : h0;1) ¡!h¡2;1);
g¡11 : h¡2;1) ¡!h0;1):
Tomu odpov daj nÆsleduj c grafy na Obr. 2.10.
ObrÆzek 2.10:
CviŁen 2.6.1:
a) Pro funkci f : y = x2 ¡ 2 urŁete g¡12 ; kde g2 = fj(¡1;0i a naŁrtn te grafy
funkc g2 a g¡12 :
b) UrŁete inverzn funkce (existuj -li) k funkc m
1) f(x) = 2 ¡px;
2) h(x) = 2x3 ¡ 1
(na jejich płirozen ch de niŁn ch oborech).
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
28 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
2.7 Polynomy a racionÆln funkce
2.7.1 Polynomy
Pro rozklady racionÆln ch funkc na parciÆln zlomky a urŁovÆn znamØnka funkŁ-
n ch hodnot budeme potłebovat um t rozklÆdat polynomy na souŁiny polynomø
co mo nÆ nejni „ ch mo n ch stup ø . Płitom pøjde o tzv. reÆlnØ polynomy,
kter mi budeme rozum t reÆlnØ funkce de novanØ v R, maj c funkŁn płedpisy
tvaru
f(x) = Pn(x) = anxn + an¡1xn¡1 + ¢¢¢ + a1x + a0 =
nX
k=0
akxk;
ak 2R, k = 0;1;:::;n. ¨ sla ak naz vÆme koe cienty polynomu, Ł slo a0 se Łasto
naz vÆ absolutn m Łlenem, nejvy„„ mocninu n = stf naz vÆme stupn m
polynomu a płitom płedpoklÆdÆme, e koe cient an 6= 0.
V dal„ m textu budeme pracovat pouze s reÆln mi polynomy a płitom bu-
deme zkrÆcen hovołit jen o polynomu. Płipome me si n kterØ zÆkladn operace
s polynomy, s nimi jste se seznÆmili ji na stłedn „kole.
M jme polynomy f : y = Pn(x) = Pnk=0 akxk;g : y = Qm(x) = Pnl=0 blxl: Pak
de nujeme
f(x) + g(x) =
nX
k=0
(ak + bk)xk pro n ‚ m
(sŁ tÆme koe cienty u odpov daj c ch si mocnin),
rf(x) =
nX
k=0
rakxk pro r 2R;
f(x) ¢g(x) =
n+mX
k=0
ckxk; kde ck =
kX
i=0
aibk¡i
(nÆsob me postupn ka d sŁ tanec prvn ho polynomu v„emi sŁ tanci druhØho
polynomu). Złejm plat
st(f + g) • max(stf;stg);
st(f ¢g) = stf + stg:
UkÆ eme si tyto jednoduchØ operace na pł klad . M jme polynomy
f(x) = 4x3 + 8x2 ¡x¡ 2;g(x) = 2x + 1:
Pak
f(x) + g(x) = 4x3 + 8x2 + x¡ 1;
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.7 Polynomy a racionÆln funkce 29
f(x) ¢g(x) = (4x3 + 8x2 ¡x¡ 2) ¢ (2x + 1) =
= 8x4 + 4x3 + 16x3 + 8x2 ¡ 2x2 ¡x¡ 4x¡ 2 = 8x4 + 20x3 + 6x2 ¡ 5x¡ 2:
Døle it mi operacemi s polynomy jsou:
D len polynomø: Plat nÆsleduj c tvrzen :
Tvrzen : Jsou-li Pn;Qm polynomy stup ø n ‚ m > 0; pak existuj prÆv dva
polynomy Hn¡m;Rj (stup ø n¡m;0 • j < m), pro kterØ plat
Pn = Qm ¢Hn¡m + Rj;tj.
Pn
Qm = Hn¡m +
Rj
Qm; pokud Qm(x) 6= 0:
Proto pou vÆme pro polynomy nÆzvy: Qm {d litel, Hn¡m {pod lov polynom,
Rj {zbytek. Je-li polynom Rj nulov , pak ł kÆme, e polynom Pn je d liteln
polynomem Qm:
Pł klad 2.7.1: Jsou dÆny polynomy P3(x) = 4x3 + 8x2 + x¡ 1;
Q2(x) = 2x2 + 1: VypoŁt te
P3(x)
Q2(x):
e„en :
(4x3 + 8x2 + x¡ 1) : (2x2 + 1) = 2x + 4
¡4x3 ¡ 2x
8x2 ¡x¡ 1
¡8x2 ¡ 4
¡x¡ 5
Odtud 4x3 + 8x2 + x¡ 1
2x2 + 1 = 2x + 4 ¡
x + 5
2x2 + 1:
O sprÆvnosti v sledku se lehce płesv dŁ me płeveden m pravØ strany rovnice na
spoleŁnØho jmenovatele.
Rovnost polynomø: Je-li
Pn(x) = anxn + ::: + a1x + a0;
Qm(x) = bmxm + ::: + b1x + b0;
pak Pn = Qm; jestli e n = m a bi = ai pro i = 0;1;:::;n (tj. koe cienty u stejn ch
mocnin jsou si rovny).
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
30 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
KołenovØ vlastnosti reÆln ch polynomø: Ze stłedn „koly ji znÆte vzorec
x1;2 = ¡b§
pD
2a =
¡b§pb2 ¡ 4ac
2a
pro v poŁet kołenø kvadratickØ rovnice ax2 + bx + c = 0; kde a;b;c 2R;a 6= 0:
V te, e mø e nastat n kolik variant łe„en :
1) Je-li diskriminant D > 0; pak mÆ rovnice dva røznØ reÆlnØ kołeny x1;x2
(tzv. jednonÆsobnØ) a plat ax2 + bx + c = a(x¡x1)(x¡x2):
2) Je-li D = 0; pak mÆ rovnice dva stejnØ reÆlnØ kołeny x1 = x2 (tzv. dvoj-
nÆsobn kołen x1) a plat ax2 + bx + c = a(x¡x1)(x¡x2) = a(x¡x1)2:
3) Je-li D < 0 a płipust me-li, e kołeny mohou b t komplexn Ł sla, pak mÆ
rovnice dvojici (jednonÆsobn ch) komplexn sdru en ch kołenø
x1 = ¡b + i
p4ac¡b2
2a =
¡b + ip¡D
2a ; x2 =
¡b¡ip¡D
2a
a op t plat ax2 + bx + c = a(x¡x1)(x¡x2):
O sprÆvnosti uveden ch rozkladø se mø ete płesv dŁit roznÆsoben m pra-
v ch stran rozkladø a jejich œpravou na tvar ax2 + bx + c: Ve tłet m pł pad
v„ak v razy x¡x1;x¡x2 nejsou reÆlnØ polynomy, ale jejich souŁin je ji reÆln
polynom. Proto tyto
polynomy 2. stupn se zÆporn m diskriminantem ji nebudeme dÆle rozklÆdat.
V „e uvedenØ varianty si ukÆ eme na płibli n ch grafech reÆln ch polynomø.
- x
6
y
3
4¡
1
2 2
¡258
a)
- x
6
y
2
3
4
b)
- x
6
y
2
7
3
c)
kde
a) y = 2x2 ¡ 3x¡ 2 = 2(x + 12)(x¡ 2);
b) y = 9x2 ¡ 12x + 4 = 9(x¡ 23)2;
c) y = x2 ¡ 4x + 7 = (x¡ 2)2 + 3 = (x¡ (2 + ip3))(x¡ (2 ¡ip3)):
Vid te, e v reÆln ch kołenech graf funkce f : y = ax2 + bx + c prot nÆ nebo
se dot kÆ osy x a funkŁn hodnoty v kołenech jsou tedy nulovØ. Rovn funkŁn
hodnoty v komplexn ch kołenech jsou nulovØ, jak se mø ete płesv dŁit dosazen m
do funkŁn ho płedpisu, graf funkce v tomto pł pad neprot nÆ ani se nedot kÆ osy
x. UvedenØ rozklady naz vÆme rozklady na souŁin kołenov ch Łinitelø. Płejdeme
k płesn j„ mu vyjÆdłen pou it ch pojmø.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.7 Polynomy a racionÆln funkce 31
De nice 2.7.1:
† Je-li Pn polynom stupn n;n > 0; pak Ł slo x0 2 R (pł padn x0 2 C)
nazveme kołenem (nebo tØ nulov m bodem), je-li spln no Pn(x0) = 0:
V raz x¡x0 naz vÆme kołenov m Łinitelem.
† ¨ slo x0 nazveme k{nÆsobn m kołenem polynomu Pn stupn n > 0;
jestli e plat Pn(x) = (x¡x0)k ¢Qn¡k(x); płiŁem Qn¡k(x0) 6= 0:
4
Uvedeme si je„t płehled kołenov ch vlastnost reÆln ch polynomø
Pn(x) = anxn + ¢¢¢ + a1x + a0 stup ø n ‚ 1 :
† V oboru C mÆ ka d polynom n{tØho stupn prÆv n kołenø (płi-
Łem ka d kołen je poŁ tÆn tolikrÆt, jakÆ je jeho nÆsobnost) a plat
Pn(x) = an(x¡x1) ¢:::¢ (x¡xn): Jde o tzv. rozklad polynomu na sou-
Łin kołenov ch Łinitelø.
† S ka d m k{nÆsobn m kołenem a+ib mÆ polynom takØ k{nÆsobn kołen
a¡ib:
† Polynom lichØho stupn mÆ alespo jeden reÆln kołen.
† MÆ-li polynom Pn celoŁ selnØ koe cienty ai 2Z;i = 0;:::;n; a je-li celØ
Ł slo p kołenem polynomu Pn; pak p d l koe cient a0:
† Pn(x) = an(x¡x0)k1¢:::¢(x¡xr)kr¢((x¡a1)2+b21)l1¢:::¢((x¡as)2+b2s)ls; kde
polynom Pn mÆ reÆlnØ kołeny x0;:::;xr nÆsobnost k1;:::;kr; komplexn
kołeny a1 + b1i;:::;as + bsi nÆsobnost l1;:::;ls; płiŁem k1 + ::: + kr+
+2l1 + ::: + 2ls = n: Jde o tzv. rozklad v reÆlnØm oboru.
pp KomentÆł 2.7.1:
1. Je vhodnØ si uv domit, e pro nalezen rozkladu polynomu v reÆlnØm oboru staŁ ,
abychom zadan polynom rozlo ili na souŁin polynomø tvaru
(ex + d)k; e 6= 0;k 2N; (ax2 + bx + c)l; a 6= 0;l 2N;D = b2 ¡ 4ac < 0:
Za rozklad v reÆlnØm oboru tedy mø eme napł klad pova ovat souŁin
(2x + 1)3(3x¡ 4)2(2x2 + x + 1)(3x2 + 5)2:
2. Pro hledÆn celoŁ seln ch kołenø mø eme takØ vyu t tzv. Hornerova schØmatu.
D l me-li polynom Pn polynomem x¡c; pak plat Pn(x) = (x¡c)Hn¡1(x) + d;
płiŁem pro koe cienty polynomu Hn¡1(x) = bn¡1xn¡1 + ¢¢¢ + b1x + b0 plat
schØma
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
32 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
an an¡1 an¡2 ::: a1 a0
x = c bn¡1 bn¡2 bn¡3 ::: b0 d = Pn(c)
kde
bn¡1 = an;
bn¡2 = cbn¡1 + an¡1;
bn¡3 = cbn¡2 + an¡2;
...
b0 = cb1 + a1;
d = cb0 + a0:
Je vid t, e se s touto tabulkou pohodln pracuje a lehce se urŁ koe cienty
polynomu Hn¡1:
O platnosti t chto vztahø bychom se mohli płesv dŁit napł klad tak, e v rovnosti
Pn(x) = (x¡c)Hn¡1 + d; porovnÆme koe cienty u odpov daj c ch mocnin.
Pł klad 2.7.2: UrŁete rozklad polynomu (v reÆlnØm oboru)
P5(x) = 2x5 + x4 ¡ 5x3 + x2 ¡x + 2:
e„en : MÆ-li polynom celoŁ selnØ kołeny, pak tyto kołeny d l koe cient
a0 = 2: Mohou to b t tedy Ł sla 1;¡1;2;¡2: Pou ijeme Hornerovo schØma
2 1 -5 1 -1 2
x = 1 2 3 -2 -1 -2 0 x = 1 je kołen,
P5(x)=(x¡1)(2x4+3x3¡2x2¡x¡2)=(x¡1)H4(x)
x = 1 2 5 3 2 0 x = 1 je op t kołen,
H4(x)=(x¡1)(2x3+5x2+3x+2)=(x¡1)H3(x)
x = ¡1 2 3 0 2 -2 x = ¡1 nen kołen
x = ¡2 2 1 1 0 x = ¡2 je kołen
H3(x)=2x3+5x2+3x+2=(x+2)(2x2+x+1)
V sledek je P5(x) = (x¡ 1)2(x + 2)(2x2 + x + 1):
Pł klad 2.7.3: UrŁete rozklad polynomu P4(x) = 4x4 + 3x2 + 1:
e„en : Je jasnØ, e polynom nemÆ reÆlnØ kołeny. Zkus me ho rozlo it na
souŁin polynomø 2. stupn u it m œprav (bez v poŁtu komplexn ch kołenø). Jist
plat P4(x) = (2x2 + 1)2 ¡x2 = (2x2 + x + 1)(2x2 ¡x + 1):
ZnamØnko polynomu
Płi vy„etłovÆn prøb hu funkc budeme potłebovat Łasto urŁit znamØnko poly-
nomu. Je vid t, e na zm nu znamØnka polynomu maj vliv pouze reÆlnØ kołeny
lichØ nÆsobnosti.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.7 Polynomy a racionÆln funkce 33
Pł klad 2.7.4: UrŁete znamØnko polynomu
P5(x) = (x¡ 1)2(x + 2)(2x2 + x + 1):
e„en : ReÆlnØ kołeny polynomu jsou x1 = 1 (dvojnÆsobn , znamØnko se
nem n ), x2 = ¡2 (jednonÆsobn , znamØnko se m n ). Napł klad P5(0) = 2 > 0
urŁ znamØnko polynomu v intervalu obsahuj c m bod 0.
-‘a
¡2
‘a
1
¡ + +znam P
5(x)
CviŁen 2.7.1: UrŁete rozklad v reÆlnØm oboru a znamØnko polynomu:
a) f(x) = 3x3 ¡ 8x2 + 7x¡ 2; b) g(x) = x3 + 2x2 + 2x + 4;
c) h(x) = 8x4 + 2x2 ¡ 1; d) k(x) = 6x4 + 7x2 + 2:
2.7.2 RacionÆln funkce, rozklad na parciÆln zlomky.
De nice 2.7.2: RacionÆln funkc naz vÆme pod l dvou nenulov ch polynomø
Pm=Qn stup ø m;n: Pokud m < n; jde o tzv. ryz funkci, jestli e m ‚ n; jde o
tzv. neryz racionÆln funkci.
4
Plat :
1. Ka dÆ neryz racionÆln funkce je bu polynom nebo se dÆ vyjÆdłit
jako souŁet polynomu a ryz racionÆln funkce.
2. Ka dou ryz racionÆln funkci Pm=Qn lze rozlo it na souŁet parciÆln ch
zlomkø.
Jestli e se v rozkladu polynomu Qn vyskytuje polynom (ex + d)k; kde
e 6= 0; pak mu v rozkladu racionÆln funkce Pm=Qn od