Skripta - Obyčejné diferenciální rovnice II

nen´ı-li ˇr´adnˇe zajiˇstˇeno ,,pˇredmost´ı
´utoku“.
A zkuste si zask´akat, kdyˇz ,,odrazov´y m˚ustek“ je nakˇrivo nebo nedejboˇze dokonce
nepruˇz´ı.
Proto jeˇstˇe neˇz pˇristoup´ıte ke studiu dalˇs´ı kapitoly, kter´a je jak´ymsi vyvrcholen´ım
tohoto modulu a tˇesnˇe navazuje na kapitolu pr´avˇe prostudovanou, peˇclivˇe si vyˇreˇste
´ulohy n´asleduj´ıc´ıho autotestu.
Autotest:
Urˇcete obecn´e ˇreˇsen´ı dan´ych homogenn´ıch line´arn´ıch diferenci´aln´ıch rovnic s kon-
stantn´ımi koeficienty:
1) yprimeprime −4yprime + 3y = 0, 2) yprimeprime + 2yprime +y = 0, 3) yprimeprime + 4y = 0,
4) yprimeprimeprime +yprime = 0, 5) yprimeprimeprime−6yprimeprime +11yprime−6y = 0, 6) y(4) −y = 0,
7) y(4) + 4y = 0, 8) y(4) + 8y(2) + 16y = 0, 9) y(5) +y(3) = 0
46 KAPITOLA 2. HOMOGENN´I LDR S KONSTANTN´IMI KOEFICIENTY
a jedna mal´a, takov´a ,,na vyd´ych´an´ı“, nakonec
10) yprime −541147607y = 0.
V´ysledky:
1 ) y = c1e3x + c2e2x
2 ) y = (c1 + c2x)e−x
3 ) y = c1 cos2x + c2 sin2x
4 ) y = c1 + c2 cosx + c3 sinx
5 ) y = c1ex + c2e2x + c3e3x
6 ) y = c1ex + c2e−x + c3 cosx + c4 sinx
7 ) y = (c1ex + c2e−x)cosx + (c3ex + c4e−x)sinx
8 ) y = (c1 + c3x)cos2x + (c2 + c4x)sin2x
9 ) y = c1 + c2x + c3x2 + c4 cosx + c5 sinx
10) y = ce541147607x
Pan S., ikona nov´e doby, kter´y tady ale nem´a v˚ubec co dˇelat: Pokud se
V´am pˇredchoz´ı pˇr´ıklady l´ıbily, volejte na brnˇensk´e telefonn´ı ˇc´ıslo uveden´e v indexu
v posledn´ım pˇr´ıkladu (s vypuˇstˇen´ım koncov´eho x) a chtˇejte pana Jana.
A pokud se nel´ıbily, tak si trhnˇete...
Chvilka trapn´eho ticha.
Jan Amos, vˇsemi milen´y a r´ad v´ıtan´y nejenom na str´ank´ach t´eto uˇcebn´ı
opory, se kter´y jsme se potkali uˇz v ´uvodu pˇredchoz´ıho modulu: J´a pa-
matuju tˇricetiletou v´alku – to se tenkr´at soldateska nechovala zrovna vychovanˇe,
a zaˇzil jsem uˇz kde co, ale pouˇstˇet takov´a individua do studijn´ıch opor, to je teda
skand´al! To ani za Habsburka nebylo! Kde je poˇr´adkov´a sluˇzba!? A co prav´ı Pr˚uvodci,
aby dohl´edli na poˇr´adek a zabr´anili neopr´avnˇen´emu pronik´an´ı?! Hanba!!
Dalˇs´ı, ponˇekud kratˇs´ı chvilka ticha.
Pan Hodn´y, hodn´y pr˚uvodce studiem t´eto uˇcebn´ı opory: V´aˇzen´y Jene
Amosi, pros´ım uklidnˇete se. Osobnˇe a i jm´enem pana Pˇr´ısn´eho slibuji, ˇze bude nas-
tolen poˇr´adek, aby uˇz k ˇz´adn´emu dalˇs´ımu neopr´avnˇen´emu vniknut´ı nedoˇslo.
Nav´ıc si d´av´am pˇredsevzet´ı, ˇze se pokus´ım napravit pana S. Ale j´a s n´ım prom-
luv´ım soukromˇe a vˇeˇr´ım, ˇze kdyˇz se mi podaˇr´ı ho nasmˇerovat k nˇejak´e uˇslechtilejˇs´ı
ˇcinnosti, stane se i z nˇej ˇr´adn´y ˇclen lidsk´e spoleˇcnosti, kter´y nebude obtˇeˇzovat sv´e
okol´ı vulg´arn´ım chov´an´ım.
Silnˇe vˇeˇr´ım, ˇze pr´avˇe j´a m´am dost trpˇelivosti a sil ke splnˇen´ı tohoto jistˇe nelehk´eho
´ukolu. Jen si poˇckejte na v´ysledek.
Kapitola 3
Nehomogenn´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı
rovnice. Stanoven´ı partikul´arn´ıho
ˇreˇsen´ı
Pˇredbˇeˇzn´e c´ıle studia t´eto kapitoly, motivaˇcn´ı pozn´amky:
O nehomogenn´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnici n-t´ehoˇr´adu jsme jiˇz diskutovali v Kapi-
tole 1. Tam jsme uvedli poznatek o tom, z ˇceho se skl´ad´a jej´ı obecn´e ˇreˇsen´ı. V´ıme
(pod´ıvejte se na znˇen´ı Vˇety 6), ˇze obecn´eˇreˇsen´ı line´arn´ı nehomogenn´ı rovnice n-t´eho
ˇr´adu je rovno souˇctu obecn´eho ˇreˇsen´ı asociovan´e homogenn´ı rovnice a nˇekter´eho
partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice. Vedeme-li opˇet debatu o nehomogenn´ı
rovnici, m´a to tento d˚uvod: je moˇzn´e naj´ıt jej´ı partikul´arn´ı reˇsen´ı? To nen´ı jednoduch´a
ot´azka. Ukazuje se, ˇze diskutovat o nalezen´ı partikul´arn´ıch ˇreˇsen´ı nehomogenn´ıch
rovnic nen´ı moˇzn´e bez toho, aniˇz bychom znali vlastnosti obecn´ehoˇreˇsen´ı asociovan´e
homogenn´ı rovnice. M˚uˇzeme to vyj´adˇrit jeˇstˇe v´ystiˇznˇeji: tvar partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı
z´avis´ı nejen na tvaru prav´e strany rovnice, ale je podm´ınˇen i tvarem obecn´eho ˇreˇsen´ı
pˇridruˇzen´e homogenn´ı rovnice.
V t´eto kapitole se budeme vˇenovat postup˚um, jak partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı urˇcit. Jak
jsme jiˇz naznaˇcili, bude pˇritom potˇreba zn´at, jak vypad´a obecn´e ˇreˇsen´ı asociovan´e
homogenn´ı rovnice nebo vˇedˇet o tomto obecn´emˇreˇsen´ı nˇekter´e informace, kter´e jsou
vlastnˇe jej´ımu sestaven´ı ekvivalentn´ı.
Vysvˇetl´ıme dvˇe nejzn´amˇejˇs´ı metody sestaven´ı partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı line´arn´ı neho-
mogenn´ı diferenci´aln´ı rovnice n-t´eho ˇr´adu. Jako prvn´ı bude vyloˇzena tzv. metoda
odhadu (nebo t´eˇz metoda neurˇcit´ych koeficient˚u). Tuto metodu m˚uˇzeme pouˇz´ıt
jen tehdy jestliˇze m´a prav´a strana nehomogenn´ı rovnice speci´aln´ı tvar (kombinace
polynom˚u, exponenci´al, sin˚u a kosin˚u) a je-li pˇridruˇzen´a homogenn´ı rovnice rovnic´ı
s konstantn´ımi koeficienty. Pak m˚uˇzeme funkci, kter´a bude partikul´arn´ım ˇreˇsen´ım
,,odhadnout“ jako nˇekterou funkci podobn´eho typu jako byla prav´a strana a to s
pˇresnost´ı do koeficient˚u jist´ych polynom˚u. Tyto koeficienty je potom nutno dourˇcit
dosazen´ım pˇredpokl´adan´eho tvaru partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı do v´ychoz´ı nehomogenn´ı
47
48 KAPITOLA 3. PARTIKUL´ARN´IHO ˇREˇSEN´I NEHOMOGENN´I LDR
rovnice a porovn´an´ım koeficient˚u, kter´ymi jsou n´asobeny stejn´e typy funkc´ı.
Druh´a metoda je tzv. metoda variace konstant. Jde o metodu univerz´aln´ı v tom
smyslu, ˇze pokud zn´ame obecn´e ˇreˇsen´ı asociovan´e homogenn´ı rovnice (m˚uˇze to b´yt
obecn´a homogenn´ı rovnice nikoliv s nutnˇe konstantn´ımi koeficienty), nalezneme par-
tikul´arn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice v pˇr´ıpadˇe jakkoliv zadan´e prav´e strany neho-
mogenn´ı rovnice. Myˇslenka t´eto metody je ve struˇcnosti tato - partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı
nehomogenn´ı rovnice lze naj´ıt ve tvaru, kter´y je form´alnˇe podobn´y obecn´emu ˇreˇsen´ı
homogenn´ı rovnice, a kter´y vznik´a n´ahradou libovoln´ych konstant v obecn´em ˇreˇsen´ı
vhodn´ymi funkcemi. Naˇse ´uvahy se v t´eto kapitole vztahuj´ı k urˇcit´emu intervalu I.
Po prostudov´an´ı t´eto kapitoly by kaˇzd´y mˇel:
• umˇet se efektivnˇe rozhodnout, kterou metodu pro hled´an´ı partikul´arn´ıhoˇreˇsen´ı
nehomogenn´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice s konstantn´ımi koeficienty zvolit;
• n´aslednˇe takov´e partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı LDR s konstantn´ımi koefi-
cienty naj´ıt.
3.1 Urˇcen´ı partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı
line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice metodou odhadu
Naˇs´ım c´ılem bude urˇcit partikul´arn´ıˇreˇsen´ı nehomogenn´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice
n-t´eho ˇr´adu tvaru
y(n) +an−1y(n−1) +···+a1yprime +a0y = g(x), (3.1)
kde an−1,...,a1,a0 jsou konstanty za pˇredpokladu,ˇze prav´a strana g(x) m´a speci´aln´ı
pˇredepsan´y tvar, kter´y za chv´ıli uvedeme. V´ıme,ˇze z Vˇety 6 vypl´yv´a,ˇze obecn´eˇreˇsen´ı
rovnice (3.1) je rovn´e souˇctu obecn´eho ˇreˇsen´ı pˇridruˇzen´e homogenn´ı rovnice
y(n) +an−1y(n−1) +···+a1yprime +a0y = 0 (3.2)
a nˇekter´eho partikul´arn´ıhoˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice. Postup konstrukce obecn´eho
ˇreˇsen´ı pˇridruˇzen´e homogenn´ı rovnice s konstantn´ımi koeficienty byl vyloˇzen v Kapi-
tole 2. Informace o tomto obecn´emˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice n´am budou uˇziteˇcn´e pro
nalezen´ı partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice. N´ıˇze uveden´a metoda se naz´yv´a
metodou odhadu nebo t´eˇz metodou neurˇcit´ych koeficient˚u. Nˇekter´e uˇcebnice tak´e
p´ıˇs´ı o zvl´aˇstn´ı prav´e stranˇe. Jej´ı pouˇzit´ı je moˇzn´e jen v pˇr´ıpadˇe, ˇze prav´a strana
rovnice (3.1) m´a speci´aln´ı tvar. Naformulujeme tvrzen´ı o tom, ˇze partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı
m´a jist´y a dosti konkr´etn´ı tvar. D˚ukaz tohoto tvrzen´ı nebudeme uv´adˇet. Nebylo
by vˇsak obt´ıˇzn´e ho prov´est, protoˇze d˚ukaz tvrzen´ı, ˇze jist´e funkce mohou b´yt par-
tikul´arn´ımi ˇreˇsen´ımi lze prov´est s pomoc´ı symbolick´ych polynomi´aln´ıch oper´ator˚u
podobn´ym zp˚usobem, jak´ym jsme v ˇc´asti 2.3 (viz Lemma 1) provˇeˇrovali, ˇze funkce
uveden´ych typ˚u jsou ˇreˇsen´ımi homogenn´ı rovnice.
3.1. METODA ODHADU 49
Vˇeta o metodˇe odhadu
Pouˇzit´ı metoda odhadu je zaloˇzena na n´asleduj´ıc´ı vˇetˇe.
Vˇeta 9 (Metoda odhadu) Pˇredpokl´adejme, ˇze prav´a strana rovnice (3.1) m´a tvar
g(x) = eαx ·
bracketleftBig
P1s (x)cosβx +P2m(x)sinβx
bracketrightBig
, (3.3)
kde P1s (x) a P2m(x) jsou polynomy stupˇn˚u s a m. Potom m´a partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı
rovnice (3.1) (s pˇresnost´ı do koeficient˚u polynom˚u) tvar
yp(x) = xkeαx ·
bracketleftBig
R1r(x)cosβx +R2r(x)sinβx
bracketrightBig
,
kde R1r(x) a R2r(x) jsou polynomy stupˇn˚u nejv´ıce r = max{s,m}. ˇC´ıslo k je rovn´e
nule, nen´ı-li v´yraz α+i·β koˇrenem charakteristick´e rovnice asociovan´e homogenn´ı
rovnice. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe ud´av´a ˇc´ıslo k n´asobnost tohoto koˇrene.
Pozn´amka 2. Koeficienty polynom˚u R1r(x) a R2r(x) lze urˇcit pˇresnˇe dosazen´ım
tvaru partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı yp(x) do rovnice (3.1) a porovn´an´ım koeficient˚u pˇri
stejn´ych funkcion´aln´ıch v´yrazech. Takov´y je praktick´y postup pˇresn´eho ,,dourˇcen´ı“.
Jak jiˇz bylo uvedeno, v pˇr´ıpadˇe, ˇze prav´a strana g(x) rovnice (3.1) nem´a uveden´y
tvar, metoda odhadu nen´ı funkˇcn´ı. V takov´em pˇr´ıpadˇe lze uˇz´ıt univerz´aln´ı metodu
- metodu varice konstant, kterou uvedeme v ˇc´asti 3.2.
Ilustrace metody odhadu
Uk´aˇzeme na pˇr´ıkladech, jak lze metodu odhadu pouˇz´ıt.
Pˇr´ıklad 15. Naleznˇete ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy
braceleftBigg yprimeprime −2yprime +y = 2−x,
y(0) = 3, yprime(0) = 6. (3.4)
ˇReˇsen´ı. Prav´a strana rovnice je polynomem prvn´ıho stupnˇe. Je tedy funkc´ı, defi-
novanou na cel´em intervalu I = R. Proto zde bude definov´ano tak´e ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı
´ulohy (3.4). ˇReˇsen´ı ´ulohy najdeme ve tˇrech kroc´ıch:
a) Prvn´ı krok spoˇc´ıv´a v nalezen´ı obecn´eho ˇreˇsen´ı asociovan´e homogenn´ı rovnice
yprimeprime −2yprime +y = 0.
Charakteristick´a rovnice m´a tvar
λ2 −2λ+ 1 = 0
a jej´ı koˇreny jsou
λ1 = λ2 = 1.
50 KAPITOLA 3. PARTIKUL´ARN´IHO ˇREˇSEN´I NEHOMOGENN´I LDR
Obecn´e ˇreˇsen´ı asociovan´e homogenn´ı rovnice je (podle Vˇety 8) urˇceno tvarem
y = (C1 +C2x)ex,
kde C1 a C2 jsou libovoln´e konstanty.
b) Ve druh´em kroku najdeme partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice. Snadno lze
ovˇeˇrit, ˇze prav´a strana uvaˇzovan´e rovnice m´a tvar (3.3), uveden´y ve Vˇetˇe 9 pro
α = 0, β = 0, P11 (x) = −x + 2.
ˇC´ıslo α + i · β = 0 nen´ı koˇrenem charakteristick´e rovnice. Proto budeme hledat
partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı ve tvaru
yp(x) = x0e0·x [(ax +b)cos(0·x) +R2(x)sin(0·x)] = ax +b
kde a a b jsou vhodn´e konstanty. M˚uˇzeme je naj´ıt dosazen´ım pˇredpokl´adan´eho par-
tikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı yp(x) do v´ychoz´ı nehomogenn´ı diferenci´aln´ı rovnice. Dost´av´ame
yprimeprimep −2yprimep +yp = −2a+ax +b = 2−x,
odkud a = −1 a b = 0. Po dosazen´ı vid´ıme, ˇze partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı je urˇcen´e vztahem
yp(t) = −x.
c)Ve tˇret´ım a posledn´ım kroku sestav´ıme obecn´eˇreˇsen´ı v´ychoz´ı nehomogenn´ı rovnice
a zvol´ıme hodnoty libovoln´ych konstant tak, abychom obdrˇzeli ˇreˇsen´ı, vyhovuj´ıc´ı
dan´ym poˇc´ateˇcn´ım podm´ınk´am. Obecn´ym ˇreˇsen´ım asociovan´e nehomogenn´ı rovnice
je funkce
y(x) = (C1 +C2x)ex −x,
kde C1 a C2 jsou libovoln´e konstanty. Urˇceme je tak, aby partikul´arn´ıˇreˇsen´ı vyhovo-
valo poˇc´ateˇcn´ım podm´ınk´am. Dosazen´ı poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek do nalezen´eho ˇreˇsen´ı
a do jeho derivace
yprime(x) = C2ex + (C1 +C2x)ex −1
vede ke vztah˚um
3 = C1,
6 = C2 +C1 −1.
Tento syst´em m´a ˇreˇsen´ı C1 = 3, C2 = 4. Hledan´e ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy je
y(t) = (3 + 4x)ex −x.
Pˇr´ıklad 16. Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice
yprimeprime +y = xcosx+ sinx. (3.5)
3.1. METODA ODHADU 51
ˇReˇsen´ı. I v tomto pˇr´ıkladu je prav´a strana funkc´ı, definovanou na cel´em intervalu
I = R. Na tomto intervalu bude urˇceno tak´e obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (3.5). ´Ulohu
vyˇreˇs´ıme ve dvou kroc´ıch:
a) Prvn´ı krok opˇet spoˇc´ıv´a v nalezen´ı obecn´ehoˇreˇsen´ı asociovan´e homogenn´ı rovnice
yprimeprime +y = 0.
Charakteristick´a rovnice je tvaru
λ2 + 1 = 0
a m´a koˇreny
λ1,2 = ±i.
Obecn´e ˇreˇsen´ı asociovan´e homogenn´ı rovnice urˇc´ıme (podle Vˇety 8) jako
y = C1 cosx +C2 sinx,
kde C1 a C2 jsou libovoln´e konstanty.
b) Druh´y krok spoˇc´ıv´a v hled´an´ı partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice. Snadno
lze ovˇeˇrit, ˇze prav´a strana uvaˇzovan´e rovnice m´a tvar (3.3), uveden´y ve Vˇetˇe 9 pro
α = 0, β = 1, P11 (x) = x, P20 (x) = 1.
ˇC´ıslo α + i · β = i je koˇrenem charakteristick´e rovnice. Proto budeme hledat par-
tikul´arn´ı ˇreˇsen´ı ve tvaru
yp(x) = xe0·x [(ax +b)cosx + (cx +d)sinx)] = (ax2 +bx)cosx + (cx2 +dx)sinx,
kde a,b,c a d jsou vhodn´e konstanty. Najdeme je dosazen´ım pˇredpokl´adan´eho par-
tikul´arn´ıhoˇreˇsen´ıyp(x) do v´ychoz´ı nehomogenn´ı diferenci´aln´ı rovnice. Po pˇredbˇeˇzn´em
pomocn´em v´ypoˇctu
yprimep(x) = (2ax +b)cosx+ (2cx +d)sinx−(ax2 +bx)sinx + (cx2 +dx)cosx =parenleftBig
cx2 + (d+ 2a)x+b
parenrightBig
cosx +
parenleftBig
−ax2 + (−b+ 2c)x+d
parenrightBig
sinx
a
yprimeprimep(x) = (2cx +d+ 2a)cosx + (−2ax−b+ 2c)sinx−parenleftBig
cx2 + (d+ 2a)x +b
parenrightBig
sinx +
parenleftBig
−ax2 + (−b+ 2c)x +d
parenrightBig
cosx =
parenleftBig
−ax2 −bx + 4cx + 2d+ 2a
parenrightBig
cosx+
parenleftBig
−cx2 −4ax−dx+ 2c−2b
parenrightBig
sinx
dost´av´ame
yprimeprimep +yp = (4cx + 2d+ 2a)cosx + (−4ax + 2c−2b)sinx = xcosx + sinx.
Porovn´an´ım koeficient˚u pˇri stejn´ych funkc´ıch vede k hodnot´am koeficient˚u
a = 0, b = −14 , c = 14 , d = 12 .
Obecn´ym ˇreˇsen´ım nehomogenn´ı rovnice je funkce
y(x) = C1 cosx +C2 sinx− 14xcosx + 14
parenleftBig
x2 +x
parenrightBig
sinx,
kde C1 a C2 jsou libovoln´e konstanty.
52 KAPITOLA 3. PARTIKUL´ARN´IHO ˇREˇSEN´I NEHOMOGENN´I LDR
Vznik rezonance
Vyuˇzijeme metody odhadu k objasnˇen´ı matematick´e podstaty jevu, kter´y naz´yv´ame
rezonance. Hovoˇrili jsme o n´ı v ´uvodu prvn´ı modulu – vzpomeˇnte si na obr´azky
pochoduj´ıc´ıho vojska. Tak´e jsme se zm´ınili o tom, co se m˚uˇze st´at, pokud rezonance
vznikne.
Vztah tohoto jevu a stavebnictv´ı je velmi ´uzk´y – kmity konstrukc´ı, desek, v´yˇskov´ych
budov – to jsou jen nˇekter´e pˇr´ıklady, kde k tomuto jevu m˚uˇze doj´ıt.
V ˇc´asti 2.4 na stranˇe 41 jsme vedli diskuzi o rovnici s konstantn´ımi koeficienty (2.17),
kter´a m´a bohat´e uplatnˇen´ı v r˚uzn´ych discipl´ın´ach. Tuto rovnici jsme nesestavovali,
i kdyˇz to nen´ı obt´ıˇzn´e. Napˇr´ıklad, pˇri popisu kmit˚u z´avaˇz´ı (hmotn´eho bodu), up-
evnˇen´eho na pruˇzinˇe je vyuˇzit druh´y Newton˚uv z´akon. Pokud ve sv´ych ´uvah´ach
zanedb´ame tˇren´ı, potom m´a rovnice popisuj´ıc´ı kmity z´avaˇz´ı tvar rovnice (2.17), kde
a = 0, tj. rovnice m´a tvar
yprimeprime +b2y = 0. (3.6)
Jakoy je znaˇcena odchylka z´avaˇz´ı od nˇekter´eho zvolen´eho poˇc´atku souˇradnic. Rovnice (3.6)
byla v ˇc´asti (2.4) vyˇreˇsena a jej´ı ˇreˇsen´ı mˇelo tvar
y(x) = C1 cosbx +C2 sinbx (3.7)
kde C1 a C2 jsou libovoln´e konstanty. Vid´ıme, ˇze kmity jsou periodick´e s periodou
2pi/b. Pˇredpokl´adejme, ˇze na pruˇzinu p˚usob´ı nˇejak´a (nezanedbateln´a) periodick´a
vnˇejˇs´ı s´ıla s periodou 2pi/ϕ popsan´a vztahem
F(x) = F0 sinϕx,
kde F0 je jej´ı amplituda. Rovnice, popisuj´ıc´ı pohyb z´avaˇz´ı na pruˇzinˇe m´a v takov´em
pˇr´ıpadˇe tvar
yprimeprime +b2y = F0 sinϕx. (3.8)
Najdˇeme obecn´eˇreˇsen´ı rovnice (3.8). Obecn´eˇreˇsen´ı asociovan´e homogenn´ı rovnice je
pops´ano vztahem (3.7). Proto zaˇcneme sestavovat partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı
rovnice. Charakteristick´a rovnice odpov´ıdaj´ıc´ı rovnici (3.6):
λ2 +b = 0
m´a koˇreny
λ1,2 = ±b.
Proto se, v souladu s n´avodem dan´ym ve Vˇetˇe 9, budeme zab´yvat dvˇema pˇr´ıpady:
b negationslash= ϕ a b = ϕ.
Ot´azka pro v´as:
Dok´aˇzete uspokojivˇe zd˚uvodnit, proˇc nelze hled´an´ı omezit jen na jeden pˇr´ıpad?
3.1. METODA ODHADU 53
a) Pˇr´ıpad b negationslash= ϕ. Tento pˇr´ıpad znaˇc´ı, ˇze perioda vlastn´ıch (nebo t´eˇz vnitˇrn´ıch)
kmit˚u z´avaˇz´ı na pruˇzinˇe (ˇc´ıslo 2pi/b) je r˚uzn´a od periody vnˇejˇs´ı s´ıly (tj. ˇc´ısla 2pi/ϕ).
Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı hled´ame ve tvaru
yp(x) = M cosϕx +N sinϕx,
kde mus´ıme urˇcit konstanty M a N. Protoˇze
yprimep(x) = −Mϕsinϕx +Nϕcosϕx,
yprimeprimep(x) = −Mϕ2 cosϕx−Nϕ2 sinϕx,
dosazen´ı partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı do rovnice (3.8) d´av´a
M(−ϕ2 +b2)cosϕx +N(−ϕ2 +b2)sinϕx = F0 sinϕx.
Odtud vypl´yv´a:
M = 0, N = F0−ϕ2 +b2 .
Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı m´a tvar
yp(x) = F0−ϕ2 +b2 sinϕx.
Obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (3.8) je pops´ano vzorcem
y(x) = C1 cosbx +C2 sinbx + F0−ϕ2 +b2 sinϕx, (3.9)
kde C1 a C2 jsou libovoln´e konstanty. Toto ˇreˇsen´ı je rovno souˇctu dvou typ˚u period-
ick´ych funkc´ı s r˚uzn´ymi periodami. Graf partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı yp(x) je na n´aˇcrtku
(viz obr. 3.1)
b) Pˇr´ıpad b = ϕ. Tento pˇr´ıpad znaˇc´ı, ˇze perioda vlastn´ıch kmit˚u z´avaˇz´ı na pruˇzinˇe
je stejn´a s periodou vnˇejˇs´ı s´ıly. Tento pˇr´ıpad popisuje naprosto jin´y mechanismus
kmit˚u. Protoˇze v tomto pˇr´ıpadˇe je ˇc´ıslo ϕ koˇrenem charakteristick´e rovnice, hled´ame
partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı ve tvaru
yp(x) = Mxcosbx +Nxsinbx,
kde urˇc´ıme konstanty M a N. Protoˇze
yprimep(x) =M cosbx +N sinbx−Mbxsinbx +Nbxcosbx,
yprimeprimep(x) =−Mbsinbx +Nbcosbx−Mbsinbx +Nbcosbx
−Mb2xcosbx−Nb2xsinbx =
2Nbcosbx−2Mbsinbx−Mb2xcosbx−Nb2xsinbx,
dosazen´ı partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı do rovnice (3.8) d´av´a
2Nbcosbx−2Mbsinbx−Mb2xcosbx−Nb2xsinbx +
b2(Mxcosbx +Nxsinbx) = F0 sinbx.
54 KAPITOLA 3. PARTIKUL´ARN´IHO ˇREˇSEN´I NEHOMOGENN´I LDR
Odtud vypl´yv´a:
2Nbcosbx−2Mbsinbx = F0 sinbx
a proto
N = 0, M = −F02b .
Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı m´a tvar
yp(x) = −F02bxcosbx.
Obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (3.8) je nyn´ı pops´ano vztahem
y(x) = C1 cosbx +C2 sinbx− F02bxcosbx, (3.10)
kde C1 a C2 jsou libovoln´e konstanty. Graf partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı yp(x) je na n´aˇcrtku
(viz obr. 3.1)
V´yznaˇcnou zmˇenou, kter´a nastala ve vzorci (3.10) vzhledem k pˇredchoz´ımu obecn´emu
ˇreˇsen´ı (3.9), je pˇr´ıtomnost v´yrazu yp(x) s neohraniˇcenou amplitudou.
Interpretujeme-li x jako ˇcas, potom s jeho r˚ustem (tj. pro x →∞) roste amplituda
v´yrazu do nekoneˇcna. Proto popis kmit˚u z´avaˇz´ı na pruˇzinˇe jiˇz nen´ı periodick´ym
v´yrazem. Vnˇejˇs´ı s´ıla, kter´a p˚usob´ı na z´avaˇz´ı m´a v tomto pˇr´ıpadˇe stejnou periodu
jakou maj´ı vlastn´ı kmity z´avaˇz´ı na pruˇzinˇe. Popsan´a situace se naz´yv´a rezonanc´ı.
Doch´az´ı k st´ale vˇetˇs´ımu rozkmitu a nakonec aˇz k destrukci syst´emu, coˇz jste si jistˇe
schopni barvitˇe (i kdyˇz moˇzn´a nˇekteˇr´ı m´enˇe nadan´ı jen ˇcernob´ıle:-) pˇredstavit.
Uˇzit´ım metody odhadu urˇcete obecn´e ˇreˇsen´ı dan´ych diferenci´aln´ıch rovnic:
1) yprimeprime +y = sinx 3) yprimeprime +y = sinx+ cos2x
2) yprimeprime +y = cos2x 4) yprimeprime −3yprime + 2y = x + 1−e−2x
V´ysledky:
1) y = c1 cosx +c2 sinx− 12xcosx; 2) y = c1 cosx +c2 sinx− 13 cos2x;
4) y = c1ex +c2e2x − 112e−2x + 12x + 54.
3.1. METODA ODHADU 55
Obr´azek 3.1: Ilustrace ke vzniku rezonance
56 KAPITOLA 3. PARTIKUL´ARN´IHO ˇREˇSEN´I NEHOMOGENN´I LDR
3.2 Urˇcen´ı partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı
line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice metodou variace
konstant
Budeme se zab´yvat nehomogenn´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnici n-t´eho ˇr´adu (1.2).
y(n) +an−1(x)y(n−1) +···+a1(x)yprime +a0(x)y = g(x).
Uk´aˇzeme, jak lze naj´ıt jej´ı partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı za pˇredpokladu, ˇze zn´ame obecn´e
ˇreˇsen´ı asociovan´e homogenn´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice (1.3)
y(n) +an−1(x)y(n−1) +···+a1(x)yprime +a0(x)y = 0.
Pˇredpokl´