Skripta - Obyčejné diferenciální rovnice II

evextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
je tzv. Vandermond˚uv determinant, kter´y je uvaˇzov´an v Pˇr´ıkladu 8, kde je uk´azano,
ˇze za uveden´eho pˇredpokladu navz´ajem r˚uzn´ych hodnot λ1,λ2,...,λk, je Vander-
mond˚uv determinant r˚uzn´y od nuly. Pak m´a syst´em (1.14) pouze ˇreˇsen´ı C1 = C2 =
··· = Cn = 0 a nez´avislost dan´eho syst´emu funkc´ı je prok´az´ana.
´Ukol pro v´as: Ukaˇzte, ˇze dan´y determinant a Vandermond˚uv determinant z
Pˇr´ıkladu 8 jsou skuteˇcnˇe stejn´e. Pˇritom vyuˇzijte sv´ych poznatk˚u o vlastnostech
determinant˚u.
Uved’me i odliˇsn´y zp˚usob ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ı ´ulohy. Vyuˇzijeme pouze tzv. hlavn´ı vˇetu
algebry.
Tato vˇeta ˇr´ık´a, ˇze kaˇzd´a polynomi´aln´ı rovnice stupnˇe s m´a pr´avˇe s koˇren˚u (kaˇzd´y
1.5. LINE´ARN´I Z´AVISLOST SYST´EMU FUNKC´I 13
koˇren je poˇc´ıt´an tolikr´at, jak´a je jeho n´asobnost). Necht’ vztah (1.13) plat´ı pro nˇejak´e
konkr´etn´ı a ne vˇsechny nulov´e hodnoty C∗1,C∗2,··· ,C∗k na intervalu I. Pak m´a poly-
nomi´aln´ı rovnice
C∗1 +C∗2x +···+C∗kxk−1 = 0 (1.15)
vzhledem k nezn´am´e veliˇcinˇe x nejv´yˇse k−1 koˇren˚u x = x1, x = x2, ... , x = xk−1.
(Pˇrijdete na to, proˇc za t´eto situace nemus´ı b´yt poˇcet koˇren˚u roven pˇresnˇe ˇc´ıslu k−1
a kdy je poˇcet koˇren˚u pˇresnˇe roven ˇc´ıslu k −1?) Pak je ale v´yraz uveden´y v (1.15)
roven nule pouze pro tyto uveden´e hodnoty. Vezmeme-li jinou hodnotu, napˇr´ıklad
x = x∗ tak, aby x∗ negationslash= x1, x∗ negationslash= x2, ... , x∗ negationslash= xk−1, mus´ı platit
C∗1 +C∗2x∗ +···+C∗kxk−1∗ negationslash= 0.
To je ale spor s v´ychoz´ım pˇredpokladem. ProtoC∗1 = C∗2 = ··· = C∗k = 0 a nez´avislost
dan´eho syst´emu funkc´ı je tak´e t´ımto postupem prok´az´ana.
Jak poznat line´arn´ı nez´avislost syst´emu funkc´ı,
pojem wronski´anu
Nen´ı nutn´e vˇzdy zjiˇst’ovat line´arn´ı z´avislost ˇci line´arn´ı nez´avislost syst´emu funkc´ı
pˇr´ımo podle uveden´ych definic nebo na z´akladˇe naˇsich kombinaˇcn´ıch schopnost´ı.
V t´eto ˇc´asti pˇredkl´ad´ame postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku pro zjiˇstˇen´ı, zdali je dan´y syst´em
funkc´ı line´arnˇe nez´avisl´y. Nejprve zavedeme n´azev pro jeden konkr´etn´ı druh deter-
minantu, kter´y naz´yv´ame wronski´anem.
Definice 3. Necht’ je d´an syst´em funkc´ı v1,v2,...,vk zobrazuj´ıc´ıch interval I
doR. Pˇredpokl´adejme nav´ıc, ˇze tyto funkce maj´ı na intervalu I spojit´e derivace
do ˇr´adu k−1 vˇcetnˇe. Pak determinant W : I →R definovan´y pˇredpisem
W(x) = W(v1(x),v2(x),...,vk(x)) :=
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
v1(x) v2(x) ... vk(x)
vprime1(x) vprime2(x) ... vprimek(x)
··· ··· ··· ···
v(k−1)1 (x) v(k−1)2 (x) ... v(k−1)k (x)
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
.
naz´yv´ame wronski´anem syst´emu funkc´ı v1,v2,...,vk.
Vˇeta 3. Pˇredpokl´adejme, ˇze re´aln´e funkce v1,v2,...,vk jsou definovan´e na intervalu
I a maj´ı zde spojit´e derivace do ˇr´adu k−1 vˇcetnˇe. Jestliˇze pro nˇekter´e x1 ∈ I plat´ı:
W(x1) = W(v1(x1),v2(x1),...,vk(x1)) negationslash= 0, (1.16)
14 KAPITOLA 1. STRUKTURA ˇREˇSEN´I LDR
pak jsou funkce syst´emu v1,v2,...,vn line´arnˇe nez´avisl´e na intervalu I. Opaˇcn´e
tvrzen´ı neplat´ı, tj., pro syst´em line´arnˇe nez´avisl´ych funkc´ı nemus´ı v ˇz´adn´em bodˇe
x1 ∈ I platit nerovnost (1.16).
D˚ukaz. Provˇerka formulovan´e vlastnosti je pˇripomenut´ım poznatk˚u o ˇreˇsen´ı alge-
braick´ych rovnic. Pro snaˇzˇs´ı pˇrehlednost budeme uvaˇzovat jen syst´em dvou funkc´ı,
tj. poloˇz´ıme k = 2. Pˇredpokl´adejme, ˇze pro nˇekter´e x1 ∈ I plat´ı W(x1) negationslash= 0 a ˇze
existuj´ı konstanty C1 a C2 takov´e, ˇze
C1v1(x) +C2v2(x) = 0 (1.17)
pro vˇsechny hodnoty x ∈ I. Uk´aˇzeme, ˇze obˇe konstanty mus´ı b´yt nulov´e. De-
rivov´an´ım vztahu (1.17) dost´av´ame
C1vprime1(x) +C2vprime2(x) = 0. (1.18)
Uvaˇzujme syst´em line´arn´ıch algebraick´ych rovnic vzhledem ke konstant´am C1 a C2,
kter´y vznikne dosazen´ım hodnoty x = x1 do vztahu (1.17) a (1.18):
C1v1(x1) +C2v2(x1) = 0,
C1vprime1(x1) +C2vprime2(x1) = 0. (1.19)
Syst´em (1.19) sest´av´a ze dvou rovnic o dvou nezn´am´ych. Determinant jeho matice
koeficient˚u je wronski´anem W(x1). Podle pˇredpokladu je W(x1) negationslash= 0. Proto m´a
syst´em (1.19) pouze jedin´eˇreˇsen´ı. Protoˇze jakoˇreˇsen´ı vyhovuj´ı hodnoty C1 = C2 = 0
nem˚uˇze jin´a alternativa existovat. Jsou splnˇeny podm´ınky Definice 2, uvaˇzovan´y
syst´em funkc´ı je tedy line´arnˇe nez´avisl´y. T´ım je prvn´ı ˇc´ast vˇety dok´az´ana.
To, ˇze opaˇcn´e tvrzen´ı neplat´ı provˇeˇr´ıme na konkr´etn´ım pˇr´ıkladu. Staˇc´ı, napˇr´ıklad,
poloˇzit k = 2 a pouˇz´ıt funkce v1 a v2, kter´e byly definov´any v Pˇr´ıkladu 4. Snadno
ovˇeˇr´ıme, ˇze pro wronski´an tohoto syst´emu funkc´ı na intervalu (−1,1) plat´ı
W(x) = W(v1,v2) = 0.
V´ıme ale, ˇze Pˇr´ıklad 4 ukazoval, ˇze funkce v1 a v2 jsou na intervalu (−1,1) line´arnˇe
nez´avisl´e. Opaˇcn´e tvrzen´ı tedy neplat´ı. a50
Pˇr´ıklad 7. Ukaˇzme, ˇze funkce v1(x) = eλ1x a v2(x) = eλ2x jsou na intervalu I = R
line´arnˇe nez´avisl´e v pˇr´ıpadˇe, kdy pro konstanty λ1 a λ2 plat´ı λ1 negationslash= λ2.
1.5. LINE´ARN´I Z´AVISLOST SYST´EMU FUNKC´I 15
ˇReˇsen´ı. ´Ulohu vyˇreˇs´ıme pomoc´ı wronski´anu uveden´ych funkc´ı, vypoˇc´ıtan´y v
bodˇe x1 = 0. Wronski´an v libovoln´em bodˇe je
W(x) = W
parenleftBig
eλ1x,eλ2x
parenrightBig
=
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
eλ1x eλ2x
λ1eλ1x λ2eλ2x
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
a
W(0) =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
1 1
λ1 λ2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle = λ2 −λ1 negationslash= 0.
T´ım je podle Vˇety 3 prok´az´ana line´arn´ı nez´avislost uveden´ych exponenci´aln´ıch
funkc´ı.
Pˇr´ıklad 8. [Vandermond˚uv determinant] Funkce testovan´e v pr´avˇe vyˇreˇsen´em Pˇr´ı-
kladu 7 se ˇcasto objevuj´ı jako ˇreˇsen´ı line´arn´ıch diferenci´aln´ıch rovnic. ˇReˇsme proto
obecnˇejˇs´ı ´ulohu - uk´aˇzme, ˇze syst´em exponenci´aln´ıch funkc´ı
eλ1x,eλ2x,...,eλkx,
ve kter´em jsou vˇsechna ˇc´ısla λ1,λ2,...,λk navz´ajem r˚uzn´a, je syst´emem line´arnˇe
nez´avisl´ych funkc´ı na intervalu I = R.
ˇReˇsen´ı. ´Ulohu ˇreˇs´ıme podobnˇe jako v Pˇr´ıkladu 7. Sestav´ıme wronski´an
W(x) = W
parenleftBig
eλ1x,eλ2x,...,eλkx
parenrightBig
=
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
eλ1x eλ2x ... eλkx
λ1eλ1x λ2eλ2x ... λkeλkx
... ... ... ...
λk−11 eλ1x λk−12 eλ2x ... λk−1k eλkx
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
a najdeme jeho hodnotu, napˇr´ıklad, v bodˇe x = 0, tj. vypoˇc´ıt´ame
W(0) =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
1 1 ... 1
λ1 λ2 ... λk
... ... ... ...
λk−11 λk−12 ... λk−1k
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
.
Pr´avˇe tento determinant se naz´yv´a Vandermondov´ym determinantem.
Pˇripomeˇnme jeˇstˇe, ˇze pˇredchoz´ı pˇr´ıpad je speci´aln´ım pˇr´ıpadem naˇs´ı ´ulohy. Odpovˇed’
uv´ad´ıme pro vˇsechny kategorie ˇreˇsitel˚u (postup je uveden, napˇr´ıklad, v knize [10]).
Hodnota determinantu je:
W(0) = productdisplay
1≤i k plat´ı
(D−λI)m
parenleftBig
tkeλt
parenrightBig
= 0. a50
Uk´aˇzeme, ˇze pr´avˇe testovan´e funkce tvaru
xkeλx
mohou slouˇzit jako ˇreˇsen´ı homogenn´ı diferenci´aln´ı rovnice.
Obecn´e ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice vyj´adˇren´e v komplexn´ım
tvaru
Pr´avˇe dosaˇzen´y v´ysledek o tvaru funkc´ı, kter´e jsou symbolick´ym polynomi´aln´ım
oper´atorem anulov´any vyuˇzijeme v n´asleduj´ıc´ı ´uvaze. Pˇredpokl´adejme, ˇze charak-
teristick´a rovnice (2.3) m´a koˇreny λj ∈ C, j = 1,2,...,q s n´asobnostmi mj kde
m1 +m2 +···+mq = n. Pak m˚uˇzeme charakteristick´y polynom
p(λ) = λn +an−1λn−1 +···+a1λ+a0,
vyj´adˇrit jako souˇcin
p(λ) = (λ−λ1)m1(λ−λ2)m2 ...(λ−λq)mq.
Potom, na z´akladˇe vlastnost´ı symbolick´ych diferenci´aln´ıch oper´ator˚u, m˚uˇzeme poly-
nomi´aln´ı oper´ator p(D) rozloˇzit podobnˇe
(D−λ1I)m1(D−λ2I)m2 ...(D−λI)mqy
a diferenci´aln´ı rovnici (2.1) lze pˇrepsat ve tvaru
(D−λ1I)m1(D−λ2I)m2 ...(D−λqI)mqy = 0.
38 KAPITOLA 2. HOMOGENN´I LDR S KONSTANTN´IMI KOEFICIENTY
Kromˇe toho m˚uˇzeme jednotliv´e souˇcinitele tohoto souˇcinu zapisovat v libovoln´em
poˇrad´ı. Pak z Lemmy 1 vypl´yv´a, ˇze kaˇzd´a funkce
xkeλjx, (2.10)
kde k = 0,1,...,mj − 1 a j = 1,2,...,q, definuje nˇekter´e ˇreˇsen´ı rovnice (2.1).
Obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (2.1) je pak definovan´e jako line´arn´ı kombinace takov´ychto
funkc´ı, proto je takt´eˇz ˇreˇsen´ım rovnice (2.1). Snadno se d´a ovˇeˇrit, ˇze vˇsechny funkce
definovan´e pomoc´ı vztahu (2.10) (tj. cel´y syst´em tˇechto funkc´ı odpov´ıdaj´ıc´ıch vˇsem
hodnot´am k = 0,1,...,mj − 1 a j = 1,2,...,q) jsou line´arnˇe nez´avisl´e a jejich
celkov´y poˇcet je n. Tuto provˇerku jsme prov´adˇeli jen ˇc´asteˇcnˇe pro dva v´yznaˇcn´e
podsyst´emy tohoto syst´emu funkc´ı (viz Pˇr´ıklad 6 a Pˇr´ıklad 8). Celkovou provˇerku
jiˇz prov´adˇet nebudeme, i kdyˇz nen´ı komplikovan´a. Zesumarizujeme proveden´e ´uvahy
do n´asleduj´ıc´ı vˇety. Pˇripomeˇnme jeˇstˇe, ˇze v´yraz (2.11) v t´eto je obecn´ym ˇreˇsen´ım
rovnice (2.1) podle Vˇety 5.
Vˇeta 7 (Obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (2.1)) Necht’ m´a charakteristick´a rovnice (2.3)
koˇreny λj ∈C, j = 1,2,...,q s n´asobnostmi mj (kde m1 +m2 +···+mq = n). Pak
je v´yraz
y(x) = P1(x)eλ1x +P2(t)eλ2x +···+Pq(x)eλqx, (2.11)
kde Pj(x) jsou libovoln´ymi polynomy stupnˇe mj −1 obecn´ym ˇreˇsen´ım rovnice (2.1).
Moˇzn´a v´as pˇrekvapilo, ˇze se ve vzorci (2.11) nehovoˇr´ı o libovoln´ych konstant´ach.
Vˇse je ale v naprost´em poˇr´adku. Libovoln´ych konstant je v obecn´em ˇreˇsen´ı celkem
n. Jak´e k tomuto pˇr´ıpadu pod´ate vysvˇetlen´ı?
Pˇr´ıklad 12. Najdˇete obecn´eˇreˇsen´ı line´arn´ı homogenn´ı diferenci´aln´ı rovniceˇctvrt´eho
ˇr´adu
y(4) −6y(3) + 12yprimeprime −8yprime = 0. (2.12)
ˇReˇsen´ı. Charakteristick´a rovnice odpov´ıdaj´ıc´ı rovnici (2.12) je
λ4 −9λ3 + 27λ2 −27λ = 0.
Snadno se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze plat´ı rozklad
λ4 −9λ3 + 27λ2 −27λ = λ(λ−3)3
a proto jsou jej´ı koˇreny koˇreny λ1 = 0 a λ2,3,4 = 3. Podle Vˇety 7 je obecn´e ˇreˇsen´ı
rovnice (2.12) dan´e vzorcem
y(x) = C1 +C2e3x +C3xe3x +C4x2e3x,
kde C1, C2, C3 a C4 jsou libovoln´e konstanty.
2.3. OBECN´E ˇREˇSEN´I HOMOGENN´I ROVNICE 39
Pˇr´ıklad 13. Najdˇete obecn´eˇreˇsen´ı line´arn´ı homogenn´ı diferenci´aln´ı rovniceˇctvrt´eho
ˇr´adu
y(4) −6y(3) + 12yprimeprime −8yprime = 0. (2.13)
ˇReˇsen´ı. Charakteristick´a rovnice odpov´ıdaj´ıc´ı rovnici (2.13)
λ4 −6λ3 + 12λ2 −8λ = 0,
m´a koˇreny λ1 = 0 a λ2,3,4 = 2. Proto, dle Vˇety 7, je obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (2.13)
dan´e relac´ı
y(x) = C1 +C2e2x +C3te2x +C4x2e2x,
kde C1, C2, C3 a C4 jsou libovoln´e konstanty.
Transformace komplexn´ıchˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice na re´aln´a
ˇreˇsen´ı
Ve Vˇetˇe 7 byl uveden pˇresn´y tvar obecn´eho ˇreˇsen´ı rovnice (2.1). ˇCasto je vˇsak
potˇrebn´e pracovat pouze s re´aln´ymi v´yrazy. Tento doplˇnuj´ıc´ı poˇzadavek Vˇeta 7
nebere do ´uvahy, protoˇze v jej´ı formulaci je pˇredpoklad, ˇze koˇreny charakteristick´e
rovnice mohou b´yt komplexn´ı.
Pˇredpokl´adali jsem,ˇze koeficientyan−1,...,a1,a0 jsou re´aln´ymiˇc´ısly. Proto jsou tak´e
koeficienty odpov´ıdaj´ıc´ı charakteristick´e rovnice (2.3) re´aln´e. Pˇripomeˇnme zn´amou
vlastnost koˇren˚u polynomi´aln´ıch rovnic s konstantn´ımi koeficienty - m´a-li charak-
teristick´a rovnice komplexn´ı koˇren, pak je koˇrenem charakteristick´e rovnice takt´eˇz
ˇc´ıslo komplexnˇe sdruˇzen´e; m´a-li charakteristick´a rovnice n´asobn´y komplexn´ı koˇren,
pak je koˇrenem charakteristick´e rovnice takt´eˇz ˇc´ıslo komplexnˇe sdruˇzen´e se stejnou
n´asobnost´ı. Jinak ˇreˇceno, existuje-li q r˚uzn´ych koˇren˚u λ1,λ2,...,λq charakteristick´e
rovnice (2.3), kde q < n a je-li (pro nˇekter´e j ∈{1,2,...,q}) ˇc´ıslo
λj = µ+iω
komplexn´ım koˇrenem n´asobnosti mj = m, potom pro nˇekter´y jin´y index k ∈
{1,2,...,q}, k negationslash= j plat´ı
λk = λj = µ−iω a mk = m.
Tˇemto koˇren˚um charakteristick´e rovnice odpov´ıdaj´ı ve vzorci (2.11) v´yrazy ob-
sahuj´ıc´ı komplexn´ı ˇc´ısla:
Pj(x)·eλjx +Pk(x)·eλkx, (2.14)
40 KAPITOLA 2. HOMOGENN´I LDR S KONSTANTN´IMI KOEFICIENTY
kde Pj a Pk jsou polynomy stupnˇe ne vyˇsˇs´ıho neˇz m−1. Ukaˇzme postup vedouc´ı k
z´ısk´an´ı re´aln´ych ˇreˇsen´ı. Uprav´ıme uveden´e v´yrazy pomoc´ı Eulerova vzorce. Pˇredt´ım
ho jeˇstˇe pˇripomeneme - plat´ı
eλjx = eµx ·(cosωx+i·sinωx)
a podobnˇe
eλkx = eµx ·(cosωx−i·sinωx),
kde i je tzv. komplexn´ı jednotka (plat´ı pro ni i2 = −1). Nyn´ı provedeme slibovanou
transformaci:
Pj(x)·eλjx +Pk(x)·eλkx =
Pj(x)·eµx ·[cosωx+i·sinωx] +Pk(x)·eµx ·[cosωx−i·sinωx] =
[Pj(x) +Pk(x)]·eµx ·cosωx+i·[Pj(x)−Pk(x)]·eµx ·sinωx) =
Q(x)·eµx ·cosωx+i·R(x)·eµx ·sinωx,
kde Q a R jsou polynomy stupnˇe nejv´yˇse m−1, definovan´e pˇredpisy
Q(x) := Pj(x) +Pk(x), R(x) := Pj(x)−Pk(x).
V´yraz (2.14) je ˇreˇsen´ım rovnice (2.1), proto je i ekvivalentn´ı v´yraz
Q(x)·eµx cosωx+i·R(x)·eµx sinωx (2.15)
jej´ım ˇreˇsen´ım. Komplexn´ı ˇc´ısla, zapsan´a v algebraick´em tvaru jsou stejn´a, maj´ı-
li stejn´e re´aln´e a imagin´arn´ı sloˇzky. Posledn´ı v´yraz (2.15) je zaps´an v algebraick´em
tvaru. Protoˇze je po dosazen´ı do rovnice (2.1) n´asoben pouze re´aln´ymiˇc´ısly, dosp´ıv´ame
k z´avˇeru, ˇze ˇreˇsen´ım rovnice (2.1) bude jak jeho samostatn´a re´aln´a sloˇzka, tak
jeho samostatn´a imagin´arn´ı sloˇzka. Proto m˚uˇzeme komplexn´ı ˇreˇsen´ı (2.14) nahradit
dvˇema re´aln´ymi ˇreˇsen´ımi
Q(x)·eµx ·cosωx a R(t)·eµt ·sinωt.
Vˇetu 7 m˚uˇzeme pˇreformulovat takto:
Vˇeta 8 (Konstrukce obecn´eho ˇreˇsen´ı v re´aln´em tvaru)
a) Kaˇzd´emu k-n´asobn´emu re´aln´emu koˇrenu λ charakteristick´e rovnice (2.3) odpov´ıd´a
celkem k partikul´arn´ıch (a line´arnˇe nez´avisl´ych) ˇreˇsen´ı
eλx, xeλx, x2eλx, ..., xk−1eλx.
b) Kaˇzd´e dvojici s-n´asobn´ych komplexnˇe sdruˇzen´ych koˇren˚u
λ1 = α +β ·i, λ2 = α−β ·i, α,β ∈R
2.4. APLIKACE ROVNIC DRUH´EHO ˇR´ADU – HARMONICK´E KMITY 41
charakteristick´e rovnice (2.3) odpov´ıd´a celkem 2s partikul´arn´ıch (a line´arnˇe nez´avisl´ych)
ˇreˇsen´ı tvaru
eαx cosβx, xeαx cosβx, x2eαx cosβx, ..., xs−1eαx cosβx,
eαx sinβx, xeαx sinβx, x2eαx sinβx, ..., xs−1eαx sinβx.
c) Souˇcet n´asobnost´ı vˇsech koˇren˚u je roveˇn stupni n charakteristick´e rovnice (2.3),
proto je poˇcet vˇsech partikul´arn´ıch ˇreˇsen´ı, konstruovan´ych podle bod˚u a) a b) roven
n. Obecn´e ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice (2.1) je line´arn´ı kombinac´ı vˇsech tˇechto par-
tikul´arn´ıch ˇreˇsen´ı s n libovoln´ymi koeficienty.
Pˇr´ıklad 14. Najdˇete obecn´e ˇreˇsen´ı line´arn´ı homogenn´ı diferenci´aln´ı rovnice p´at´eho
ˇr´adu
y(5) + 2y(4) + 2yprimeprimeprime + 4yprimeprime +yprime + 2y = 0. (2.16)
ˇReˇsen´ı. Nen´ı tˇeˇzk´e uhodnout, ˇze jeden koˇren charakteristick´a rovnice
λ5 + 2λ4 + 2λ3 + 4λ2 +λ+ 2 = 0
odpov´ıdaj´ıc´ı rovnici (2.16) je λ1 = −2. Rozkladem polynomu na lev´e stranˇe
dost´av´ame
λ5 + 2λ4 + 2λ3 + 4λ2 +λ+ 2 = (λ+ 1)(λ4 + 2λ2 + 1) = (λ+ 2)(λ2 + 1)2.
Rovnice
(λ2 + 1)2 = 0
m´a koˇreny
λ2 = λ3 = i, λ4 = λ5 = −i.
Podle Vˇety 8 je obecn´e ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice (2.16)
y = C1e−2x + (C2 +C3x)cosx + (C4 +C5x)sinx,
kde C1, C2, ... , C5 jsou libovoln´e konstanty.
2.4 Aplikace rovnic druh´eho ˇr´adu – harmonick´e
kmity
K d˚uleˇzit´ym typ˚um rovnic s konstantn´ımi koeficienty patˇr´ı line´arn´ı rovnice druh´eho
ˇr´adu. Lze jimi popisovat, napˇr´ıklad, kmity pruˇziny, jednoduch´e elektrick´e obvody i
tˇreba zjednoduˇsen´y pohyb fyzik´aln´ıho kyvadla. Proto se budeme podrobnˇeji zab´yvat
line´arn´ı rovnic´ı druh´eho ˇr´adu s konstantn´ımi koeficienty tvaru
yprimeprime + 2ayprime +b2y = 0, (2.17)
42 KAPITOLA 2. HOMOGENN´I LDR S KONSTANTN´IMI KOEFICIENTY
kde pˇredpokl´ad´ame a ≥ 0, b > 0. Tato rovnice uveden´e jevy dobˇre popisuje.
Rovnici (2.17) naz´yv´ame rovnic´ı tzv. line´arn´ıho oscil´atoru. Charakteristick´a rovnice
λ2 + 2aλ+b2 = 0, (2.18)
odpov´ıdaj´ıc´ı rovnici (2.17), m´a koˇreny
λ1 = −a+√a2 −b2, λ2 = −a−√a2 −b2.
Proved’me nyn´ı diskusi ˇreˇsen´ı rovnice (2.17).
Pˇr´ıpad I: a2 < b2. Charakteristick´a rovnice (2.18) m´a komplexnˇe sdruˇzen´e koˇreny:
λ1 = −a+i√b2 −a2, λ2 = −a−i√b2 −a2.
Pak je obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (2.17) d´ano vzorcem
y(x) = e−ax
parenleftBig
C1 cos√b2 −a2 x+C2 sin√b2 −a2 x
parenrightBig
kde C1, C2 jsou libovoln´e konstanty. V tomto pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ame, ˇze jde o periodick´e
kmity, kter´e se naz´yvaj´ı podkriticky utlumen´e nebo slabˇe tlumen´e (viz n´aˇcrtek 2.1).
Pˇr´ıpad II: a2 = b2. Charakteristick´e rovnice (2.18) m´a dvojn´asobn´y re´aln´y koˇren
λ = λ1,2 = −a. Obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (2.17) je pops´ano vzorcem
y(x) = C1e−ax +C2xe−ax
nebo
y(x) = e−ax (C1 +C2x)
kde C1, C2 jsou libovoln´e konstanty. V tomto pˇr´ıpadˇe jde o aperiodick´e kmity, kter´e
jsou kriticky tlumen´e (viz n´aˇcrtek 2.2).
Pˇr´ıpad III: a2 > b2. Koˇreny charakteristick´e rovnice (2.18) jsou re´aln´e a r˚uzn´e.
Obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (2.17) je
y(x) = C1eλ1x +C2eλ2x
nebo
y(x) = e−ax
parenleftBig
C1e
√a2−b2 x
+C2e−
√a2−b2 xparenrightBig
kde C1, C2 jsou libovoln´e konstanty. V tomto pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ame, ˇze jde o aperiodick´e
kmity, kter´e jsou silnˇe tlumen´e (viz n´aˇcrtek 2.3).
Pˇr´ıpad IV: a = 0. Koˇreny charakteristick´e rovnice (2.18) jsou ryze imagin´arn´ı:
λ1 = ib, λ2 = −ib.
Obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (2.17) je
y(x) = C1 cosbx +C2 sinbx
2.4. APLIKACE ROVNIC DRUH´EHO ˇR´ADU – HARMONICK´E KMITY 43
Obr´azek 2.1: Slabˇe tlumen´e kmity
Obr´azek 2.2: Kriticky tlumen´e kmity
44 KAPITOLA 2. HOMOGENN´I LDR S KONSTANTN´IMI KOEFICIENTY
Obr´azek 2.3: Silnˇe tlumen´e kmity
Obr´azek 2.4: Harmonick´e kmity
2.4. APLIKACE ROVNIC DRUH´EHO ˇR´ADU – HARMONICK´E KMITY 45
kde C1, C2 jsou libovoln´e konstanty. V tomto pˇr´ıpadˇe ˇr´ık´ame, ˇze jde o tzv. harmon-
ick´y line´arn´ı oscil´ator jehoˇz kmity jsou netlumen´e (viz n´aˇcrtek 2.4).
Pro netrivi´aln´ı ˇreˇsen´ı C21 +C22 negationslash= 0 upravme posledn´ı vztah takto:
y(x) =
radicalBig
C21 +C22

 C1radicalBig
C21 +C22
cosbx + C2radicalBig
C21 +C22
sinbx

.
Kladn´e ˇc´ıslo
A =
radicalBig
C21 +C22
se naz´yv´a amplitudou kmit´an´ı a ´uhel φ vyhovuj´ıc´ı vztah˚um
sinφ = C1radicalBig
C21 +C22
, cosφ = C2radicalBig
C21 +C22
naz´yv´ame f´az´ı kmit´an´ı. ˇC´ıslo b naz´yv´ame kruhovou frekvenc´ı kmit´an´ı. Nyn´ı m˚uˇzeme
ˇreˇsen´ı zapsat ve tvaru
y(x) = A(sinφ·cosbx + cosφ·sinbx)
nebo
y(x) = Asin(bx +φ).
Pan Pˇr´ısn´y, v´aˇs pˇr´ısn´y pr˚uvodce studiem: Hodnˇe zjednoduˇsenˇe se d´a ˇr´ıci,
ˇze kapitola, kterou jste pr´avˇe prostudovali, v´am vytvoˇrila jen urˇcit´e ,,pˇredmost´ı“
pro studium dalˇs´ı teorie – jen jak´ysi ,,odrazov´y m˚ustek“ pro V´aˇs skok k dalˇs´ımu
pokoˇren´ı vyˇsˇs´ı matematiky (jak se kdysi tˇemto parti´ım matematiky bˇeˇznˇe ˇr´ıkalo).
A jak by v´as pouˇcil kaˇzd´y element´arn´ı kurz vojensk´e taktiky (o takov´e jste byli v
d˚usledku zruˇsen´ı vojensk´ych kateder na civiln´ıch vysok´ych ˇskol´ach ochuzeni), nen´ı
radno pouˇstˇet se do ,,nepˇr´atelsk´eho vnitrozem´ı“,