Skripta Meření v elektrotechnice- návody k lab. cvič.

CÍHO PŘÍSTROJE
1.2.1 Chyby měření
Měření libovolné fyzikální veličiny je zatíženo chybou soustavnou a chybou náhodnou.
Chyba soustavná (systematická) je způsobena ovlivněním měřené veličiny samotným
měřicím procesem, reálnými vlastnostmi měřicích přístrojů atd. Tato chyba způsobuje
nesprávnost výsledku (chybu správnosti). Při opakovaných měřeních za dosažitelně shodných
podmínek se tato chyba projevuje stále stejně, její velikost nabývá určité hodnoty a znaménka.
Při méně přesných měřeních převažují zpravidla evidentní soustavné chyby (např. spotřeba
měřicích přístrojů), které lze vypočítat a výsledek korigovat. Se vzrůstající požadovanou
přesností měření se stává určení soustavných chyb obtížnější (vliv vnitřního
elektromagnetického pole, teplotní závislosti v důsledku vlastního ohřevu přístroje atp.).
Protože neexistuje obecná metoda jejich určování, musí se každá měřicí úloha analyzovat
samostatně, nebo se systematická chyba odhadne.
Chyba náhodná je způsobena náhodnými vlivy a způsobuje neurčitost měření (chybu stálosti).
Jednotlivá měření, prováděná za stejných podmínek, nabývají náhodných hodnot okolo jisté
hodnoty. Pro popis náhodných chyb (s výjimkou zaokrouhlovacích chyb) se předpokládá
normální (Gaussovo) rozdělením pravděpodobnosti ], ]. Na základě statistiky a počtu
pravděpodobnosti je možné náhodnou chybu kvantifikovat a určit tak neurčitost daného
měření.
[18 [22
1.2.2 Přesnost měření
Přesnost měření vyjadřuje míru blízkosti výsledku měření ke správné (pravé) hodnotě měřené
veličiny za daných podmínek. Stanovení přesnosti měření je základním kritériem pro
posouzení kvality měření. V praxi je kvantitativní hodnocení přesnosti založeno na určování
nepřesnosti daného měření, tj. na zjištění chyby přesnosti.
Chyba měření je odchylka měřené hodnoty X
M
měřené veličiny od její pravé hodnoty X
P

PMX
XX −=∆ . (veličina X) (1.1)
10 1 Kontrola měřicího přístroje a stanovení chyb při měření
Z fyzikálních důvodů nelze nikdy pravou hodnotu X
P
zjistit, proto se pro účely měření
nahrazuje tzv. konvenčně pravou hodnotou. Tu získáme nejčastěji jako aritmetický průměr
naměřených hodnot.
Rozdíl ∆
X
se nazývá absolutní chyba měření. Pro vzájemné porovnání přesnosti různých
měření je názornější relativní chyba měření, která je definována jako podíl absolutní chyby a
(konvenčně) pravé hodnoty
P
X
X
X
∆
=δ . (-)
(1.2)
1.2.3 Statistické zpracování změřených hodnot
Při měření je třeba s ohledem na nejistotu jednoho měření provést vždy měření několik a
výsledky statisticky zpracovat. Jediného měření lze použít pouze při orientačním zjišťování
hodnoty měřené veličiny.
Při konečném počtu měření je výběrová střední hodnota (aritmetický průměr) X
S
dána
vztahem
∑
=
⋅=
n
k
kS
X
n
X
1
1
. (veličina X)
(1.3)
Variabilita jednotlivých měření je určena výběrovým rozptylem (variací, disperzí)
odchylek jednotlivých měření od střední hodnoty
()
2
X
s
()
()
2
1
2
1
1
∑
=
−⋅
−
=
n
k
SkX
XX
n
s . (veličina X
2
) (1.4)
Výběrová směrodatná odchylka jediného měření
() ()
()
2
1
2
1
1
∑
=
−⋅
−
==
n
k
SkxX
XX
n
ss (veličina X) (1.5)
je měřítkem nejistoty jediného měření a tedy jeho nahodilé chyby. Poměrná velikost
směrodatné odchylky ke střední hodnotě se nazývá variační koeficient
()
S
X
X
s
v= . (-)
(1.6)
Systematická chyba ∆
syst
je pak dána rozdílem mezi aritmetickým průměrem naměřených
hodnot (5-4) a pravou hodnotou měřené veličiny
PSsyst
XX −=∆ . (veličina X)
(1.7)
Nejistotu určení střední hodnoty udává výběrová směrodatná odchylka střední hodnoty
()
() ()
()
()
∑
=
−⋅
−⋅
===
n
k
Sk
xX
X
XX
nnn
s
n
s
s
1
2
2
1
1
. (veličina X) (1.8)
Měření v elektrotechnice – laboratorní cvičení I 11
Celkovou absolutní chybu výsledku jediného měření ∆
X
lze pak psát jako součet absolutních
hodnot chyby systematické a chyby nahodilé
()XsystX
st⋅+∆=∆ , (veličina X)
(1.9)
pro n měření pak analogicky
()XsystX
st⋅+∆=∆ , (veličina X)
(1.10)
kde t je konfidenční koeficient, který určuje, s jakou pravděpodobností leží pravá hodnota
v intervalu
() ()XSXS
stXstX ⋅+⋅− ,
, resp.
() ()XSXS
stXstX ⋅+⋅− ,
. Pro t = 1 je tato
pravděpodobnost 68,27 % (vyplývá z normálního rozdělení), což není většinou pro měřicí
účely dostatečné. Proto se často uvažuje součinitel t = 3, kdy je zmíněná pravděpodobnost
99,73 %. Hodnotu t.s
(X)
nazýváme krajní (mezní) chybou měření. Pro soubory s malým
počtem měření se častěji používá Studentova konfidenčního součinitele t
S
, který je funkcí
počtu měření.
Detailní klasifikace a rozbor chyb měřicích přístrojů jsou uvedeny například v [1], ], ],
].
[5 [6
[18
1.2.4 Chyby měřicích přístrojů.
Chyby měřicích přístrojů se dělí na základní, které spočívají v nedokonalosti provedení
přístrojů a přídavné (vedlejší), které vznikají při nedodržení referenčních podmínek.
Chyba měřicích přístrojů má systematický charakter. Relativní chyba přístroje (základní) se
definuje třídou přesnosti, což je maximální dovolená absolutní chyba udaná v procentech
maximální hodnoty měřicího rozsahu X
R
100
syst
P
R
X
δ
∆
=⋅. (%)
(1.11)
Normou stanovené třídy přesnosti pro analogové MP jsou následující: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1; 2;
2,5; 5.

chyba (digit)
-0,3
+0,5
+0,3
-0,5
0
Dovolené pásmo
absolutní chyby
100
údaj
Digitální přístroj 0,2 % MH + 0,3 % MHMR
výchylka
chyba (dílků)
Dovolené pásmo
absolutní chyby
Analogový přístroj tř. př. 0,5
-0,5
+0,5
0
100
Obrázek 1.1: Pásma dovolené absolutní chyby měřicího přístroje
U číslicových měřicích přístrojů bývá chyba přesnosti vyjádřena dvěma čísly, což plyne
z principu měření číslicových přístrojů. První číslo udává část chyby jako poměrnou část
12 1 Kontrola měřicího přístroje a stanovení chyb při měření
měřené hodnoty, druhé číslo je část chyby udaná poměrnou částí měřicího rozsahu. Vzhledem
k obecně vyšší přesnosti číslicových přístrojů oproti analogovým se často místo údaje v (%)
používá jednotky (p.p.m.) (z anglického parts per million), což je jedna miliontina.
Příklad: Určitý číslicový 6
1
/
2
místný V-metr může mít přesnost udanou několika způsoby,
všechny vyjadřují totéž, např.:
± (0,005 % of Reading + 14 number of counts) ,
± (50 p.p.m. Rdng + 14 p.p.m. Rng),
± (0,005 % MH + 0,0014 % MHMR),
kde značí MH, Rdng........měřenou hodnotu,
MHMR, Rng....maximální hodnotu měřicího rozsahu.
1.2.5 Postup měření
Pro kontrolu měřicího přístroje lze použít dvě metody. První spočívá ve srovnání údaje
kontrolovaného měřidla s údajem etalonového přístroje, který má být nejméně o dvě třídy
přesnosti lepší než kontrolované měřidlo. Údaj etalonového měřidla přitom považujeme za
konvenčně pravou hodnotu. Při druhé metodě odvozujeme údaje kontrolovaného přístroje od
etalonů napětí a odporů, prakticky se tato metoda provozuje pomocí kalibrátorů. Způsob
kontroly měřidel s použitím kalibrátorů je složitý a náklady jsou značné.
Pracovní postup kontroly měřicích přístrojů je stanoven ČSN 35 6203: Elektrické měřicí
přístroje s příslušenstvím. Všeobecné technické požadavky. Základní ustanovení této normy
jsou:
‰ Teplota kontrolovaného přístroje musí být vyrovnána s teplotou okolí, která se má
rovnat vztažné teplotě ± 2 °C (± 1°C pro přístroje tř. př. 0,05 až 0,2). Vztažná
teplota je 23 C, pokud není výrobcem přístroje tato stanovena jinak.
‰ Před zapojením a před provedením kontroly je třeba u přístrojů s vyjádřenou
nulou nastavit nulový údaj.
‰ U měřicích přístrojů s několika rozsahy, kterých se dosahuje přepínáním přímo na
měřicím přístroji nebo připojením odděleného nezáměnného příslušenství se po
zjištění chyb v průběhu jednoho rozsahu překontroluje chyba ostatních rozsahů
pouze při 100 % daného měřicího rozsahu. U analogových měřicích přístrojů
s několika stupnicemi se zjišťují chyby na každé ze stupnic.
‰ Pro kontrolu přístroje komparační metodou se použije vždy přístroje minimálně o
dvě třídy přesnosti lepšího.
Výsledkem kontroly měřicího přístroje je korekční křivka, což je graficky vyjádřená závislost
korekce na indikované hodnotě K = f(X). Jednotlivé body grafu se spojují úsečkami. Korekce
nebo oprava K je záporně vzatá velikost systematické chyby měření, neboli rozdíl
(konvenčně) pravé a naměřené hodnoty; udává se v dílcích stupnice
SPsyst
XXK −=∆−=
. (veličina X)
(1.12)
Je to hodnota, kterou je třeba přičíst k naměřené hodnotě X, abychom dostali pravděpodobnou
skutečnou hodnotu.
Hodnota nahodilé chyby měření zůstává pro všechny rozsahy v podstatě stejná. Toto tvrzení
platí pro analogové měřicí přístroje a jednoduché číslicové měřicí přístroje; pro přesné
číslicové měřicí přístroje neplatí.
Měření v elektrotechnice – laboratorní cvičení I 13
Kontrola měřicího přístroje je prováděna srovnávací metodou; postup kontroly je řízen
počítačem, který také zpracovává výsledky. V dalším textu jsou položky menu ovládacího
programu zvýrazněny tučným písmem. Jako etalonový přístroj je použit digitální multimetr
(DMM) FLUKE 45. Tento multimetr je 4
1
/
2
místný (v módu nejvyššího rozlišení 5místný). Při
kontrole měřidla je programem nastaven mód nejvyššího rozlišení, kdy je výrobcem udávaná
přesnost přístroje FLUKE 45 podle tab. 1.1.
Tabulka 1.1: Chyby přesnosti přístroje FLUKE 45
Měřená veličina Maximální chyba Poznámka
VDC 0,025 % + 6 dig
ADC 0,05 % + 5 dig Pro rozsah 10 mA 0,05 % + 15 dig
VAC (50 Hz) 0,2 % + 100 dig Měří skutečnou efektivní hodnotu (TRMS)
AAC (50 Hz) 0,5 % + 100 dig Měří skutečnou efektivní hodnotu (TRMS)

Zapojte úlohu podle schématu na obr.1.2. Zapojení závisí na tom, zda kontrolovaným
přístrojem je stejnosměrný nebo střídavý V-metr nebo A-metr. Na kontrolovaném měřidle
(odpojeném) nastavte základní měřicí rozsah a proveďte kalibraci nulového údaje. Poté
přístroj připojte.
Spusťte program Kontrola. V menu Jména zadejte požadované údaje (jména a příjmení a
studijní skupinu), které budou vytištěny na protokolu. Poté zadejte údaje o kontrolovaném
měřidle (menu Přístroj):
‰ typ měřidla (analogový×digitální, stejnosměrný×střídavý, voltmetr×ampérmetr),
‰ udávanou třídu přesnosti (u analogového) nebo chybu přesnosti (u digitálního),
‰ výrobní číslo měřidla,
‰ kontrolovaný rozsah.
Zadané údaje zkontrolujte volbou Ukaž nastavení.
V menu Měření zvolte, zda se má kontrolovat hystereze. Poté zkontrolujte, zda je DMM
FLUKE zapnutý a spusťte měření příkazem Měření; dále se řiďte pokyny programu.
Při měření analogového přístroje bude každý bod stupnice kontrolován celkem šestkrát, což je
nutné z hlediska statistického zpracování. Měření proběhne třikrát při zvyšování hodnoty
měřené veličiny a třikrát při jejím snižování, aby byla vzata v úvahu i chyba vzniklá třením
v ložiscích a dopružováním spirálek. Výchylka měřidla se proto musí zvyšovat, resp. snižovat
bez kývání. Pokud dojde k překmitnutí ručky přes nastavovaný dílek stupnice, musíme se
vrátit zpět na předchozí kontrolovaný dílek a najíždět znovu.
Při kontrole číslicového přístroje bude každý bod proměřen jen jednou, neboť odpadá chyba
čtení údaje, resp. dvakrát (jednou při zvyšování a jednou při snižování hodnoty měřené
veličiny), pokud je zapnuta volba S hysterezí.
Při měření je kontrolován možný vznik hrubé chyby měření. Na možnou hrubou chybu
upozorní program varovným hlášením, pokud rozdíl změřené a předpokládané hodnoty je
větší než trojnásobek maximální povolené chyby pro danou třídu přesnosti. Toto hlášení lze
zakázat volbou hlášení Chyb.
14 1 Kontrola měřicího přístroje a stanovení chyb při měření
Pokud dojde při měření k chybě, lze se pomocí kláves PgUp, PgDn a kurzorových šipek ←,
→ vrátit na požadované místo v tabulce naměřených dat a od tohoto místa měření opakovat.
Dosud nezměřené hodnoty jsou zobrazovány jako „?????“.
Po skončeném měření lze zobrazit naměřené hodnoty a jim odpovídající výsledky pomocí
příkazu Naměřené hodnoty a Výsledky v menu Měření. Příkaz Graf chyb zobrazí graf chyb
s vyznačením systematické a náhodné mezní chyby měření; příkaz Korekční křivka zobrazí
korekční křivku.
Výsledný protokol o kontrole měřidla vytisknete v menu Tisk příkazem tisk Zprávy; graf
chyb příkazem tisk Grafu chyb a korekční křivku příkazem tisk Korekční křivky.
STABILIZOVANÝ
ZDROJ PROUDU
= / ~
A
DMM FLUKE
POČÍTAČ S
PROGRAMEM
KONTROLA
kontrolovaný
ampérmetr
STABILIZOVANÝ
ZDROJ NAPĚTÍ
= / ~
V
DMM FLUKE
POČÍTAČ S
PROGRAMEM
KONTROLA
kontrolovaný
voltmetr
Obrázek 1.2: Zapojení pracoviště pro kontrolu V-metru a A-metru
1.2.6 Zpracování naměřených hodnot
−∆
max
výchylka
0
mez třídy přesnosti
systematická
chyba
náhodná
chyba
∆
max
chyba
Všechny naměřené a vypočtené
hodnoty přehledně zpracujte a zapište
do zprávy o měření. Po jejich
vyhodnocení je srovnejte s požadavky
kladenými na elektroměr normou ČSN.
Zpracování výsledků měření je
automatické. Součástí vytištěného
protokolu o kontrole měřicího přístroje
je i graf chyb, viz obr. 3.3.

Poznámky ke grafu
Obrázek 1.3: Průběh hodnot systematické a
náhodné chyby. Tento přístroj vyhovuje třídě
přesnosti
Ve výsledném grafu chyb na obr. 1.3 je
zobrazen průběh systematické chyby,
která byla pro každý měřený dílek
stupnice spočtena podle vzorce
Ssyst
XN−=∆ , (veličina X)
(1.13)
kde X
S
je aritmetický průměr hodnot změřených etalonovým měřidlem a N je hodnota udaná
kontrolovaným měřidlem.
Na průběh systematické chyby je superponována náhodná chyba. Přerušovanými čarami je
vyznačeno dovolené pásmo absolutní chyby, které odpovídá zadané třídě přesnosti. Pokud
v některém bodě přesáhne celková absolutní chyba (1.9) pásmo dovolené chyby, je přístroj
označen jako nevyhovující.
Měření v elektrotechnice – laboratorní cvičení I 15
1.3 STANOVENÍ CHYB PŘI NEPŘÍMÉM MĚŘENÍ VÝKONU STEJNOSMĚRNÉHO
PROUDU
1.3.1 Teoretický úvod
Voltmetrem a ampérmetrem měříme napětí a proud zátěže (spotřebiče). Z naměřených hodnot
můžeme pomocí matematických vztahů, které jsou vyjádřením fyzikálního zákona, určit
výkon, případně odpor zátěže. Takový způsob určení výsledku měření nazýváme nepřímým
měřením.

Obrázek 1.4: Zapojení VA Obrázek 1.5: Zapojení AV
K současnému měření proudu a napětí na dané zátěži lze obvod zapojit dvěma způsoby. Ani v
jednom zapojení však neměří přístroje skutečné hodnoty proudu a napětí zátěže.
Výkon stejnosměrného proudu v zátěži je dán součinem
ZZZ
IUP ⋅= . (W) (1.14)
V uspořádání podle obr.1.14 měří ampérmetr proud zátěže, ale voltmetr měří součet napětí na
zátěži a na ampérmetru. Chceme-li určit skutečnou hodnotu napětí na zátěži, musíme odečíst
od údaje voltmetru úbytek napětí na ampérmetru. Výkon určený z údajů měřicích přístrojů je
ZAZZAZVAV
PPIUUIUIUP +=⋅+=⋅=⋅=′ )(, (W)
(1.15)
kde je U
v
.....................napětí udávané voltmetrem, (V)
U
A
....................úbytek napětí na ampérmetru, (V)
U
Z
....................napětí na zátěži, (V)
I
Z
......................proud procházející zátěží, (A)
I
A
......................proud udaný ampérmetrem, (A)
P
A
.....................výkon spotřebovaný ampérmetrem, (W)
P
Z
.....................výkon zátěže, (W)
P´.....................výkon určený z údajů přístrojů. (W)
Absolutní chyba metody ∆
M
je určena rozdílem výkonu vypočteného z údajů měřicích
přístrojů a skutečného výkonu zátěže, v případě zapojení na obr. 1.4 výkonem spotřebovaným
ampérmetrem
M ZA
PPP′′∆= − = . (W)
(1.16)
Výkon spotřebovaný ampérmetrem lze vyjádřit
2
AAA
IRP ⋅= , (W) (1.17)
16 1 Kontrola měřicího přístroje a stanovení chyb při měření
kde je R
A
.....................odpor ampérmetru. (Ω)
Relativní chyba metody je
100 100
ZA
M
ZZ
PP P
δ
′−
′ =⋅=⋅. (%)
(1.18)
Nyní si všimneme zapojení na obr. 1.5. Voltmetr měří skutečnou hodnotu napětí na zátěži a
ampérmetr měří proud procházející zátěží a voltmetrem. Výkon určený z údajů přístrojů je
ZVVZZAV
PPIIUIUP +=+⋅=⋅=′′ )(. (W)
(1.19)
Absolutní chyba metody je
M Zv
PPP′′ ′′∆= − =. (W)
(1.20)
Výkon spotřebovaný voltmetrem určíme ze vztahu
V
V
V
R
U
P
2
= , (W)
(1.21)
kde je R
V
.....................odpor voltmetru. (Ω)
Relativní chyba metody je
100 100
VZ
M
ZZ
PPP
δ
′′−
′′ =⋅=⋅. (%)
(1.22)
Ze vztahů pro chyby metod a spotřeby přístrojů plyne, že se snažíme vybrat měřicí přístroje
tak, aby ampérmetr měl co nejmenší vnitřní odpor a naopak voltmetr co největší vnitřní odpor
vzhledem k odporu zátěže. Při zachování těchto podmínek budou spotřeby obou přístrojů
malé a tedy i chyba metody bude mít malou hodnotu. Chyby metody patří mezi chyby
soustavné - lze určit jejich velikost a při vyhodnocení měření je korigovat.
Na celkové chybě měření se podílejí také chyby způsobené nepřesností měřicích přístrojů -
chyby údaje.
U analogových měřicích přístrojů určíme největší možnou absolutní chybu údaje z třídy
přesnosti přístroje
100
R
PAT
X
P
δ

∆=± ⋅


, (veličina X)
(1.23)
kde je X
R
.....................hodnota měřicího rozsahu, (veličina X)
δ
TP
....................třída přesnosti. (%)
Největší možnou relativní chybu údaje analogového měřicího přístroje lze určit ze vztahu
100
PA
PA
Mer
X
δ
∆
=± ⋅


, (%)
(1.24)
kde je X
Mer
..................měřená hodnota. (veličina X)
Základní chyba číslicového měřicího přístroje se obvykle udává jako součet dvou chyb
Měření v elektrotechnice – laboratorní cvičení I 17
()
M RČMP
δ δδ=± + , (%)
(1.25)
kde je δ
M
.....................mezní chyba z měřené hodnoty (je způsobena nedokonalým
nastavením přístroje), označuje se také δ
RDG
,(%)
δ
R
.....................chyba z největší hodnoty měřicího rozsahu, označuje se
někdy také δ
FS
(%)
Absolutní chyby údaje číslicového měřicího přístroje je dána vztahem
100
MMerRR
PČ
X Xδδ⋅+⋅
∆=±


. (veličina X)
(1.26)
Relativní chybu údaje číslicového měřicího přístroje určíme ze vztahu
100
PČ R
MRPČ
Mer Mer
X
XX
δδ
 ∆
=± ⋅ =± + ⋅
 
 
(%)
(1.27)
δ



.
Všimněme si vlivu chyb údajů měřicích přístrojů na výsledek nepřímého měření. Výkon
stejnosměrného proudu je dán součinem dvou proměnných
IUP ⋅= . (W) (1.28)
Derivujeme-li uvedený vztah, dostaneme pro absolutní chybu údaje měřicích přístrojů
nepřímého měření výkonu vztah
() () ( ) ()
P P UPIPU
PP
IU
UI
∂∂
∆ =± ⋅∆ + ⋅∆ = ⋅∆ + ⋅∆


PI
. (W)
(1.29)
Poměrná chyba údaje nepřímého měření výkonu potom bude
() ()
100
P
P PU PI
Z
P
δδ
∆
=± ⋅ =± +


δ. (%)
(1.30)
Je patrné, že výsledná maximální chyba údaje nepřímého měření výkonu je dána součtem
dvou mezních chyb - největších možných poměrných chyb údajů voltmetru a ampérmetru.
Mezní chyba nepřímého měření výkonu je dána součtem chyby zvolené metody a výsledné
maximální chyby údaje
()
MAX M P M
sign∆=∆+∆⋅ ∆, (W)
(1.31)
()
MAX M P M
signδ δδ δ=+⋅ , (%)
(1.32)
kde značí sign(∆
M
, δ
M
).....znaménka chyb metody. (+, -)
Celková chyba měření leží v intervalu δ
M
± δ
P
(%) a udává tolerance, v nichž leží skutečná
hodnota měřené veličiny. Měření je zatíženo největší možnou chybou jen tehdy, vyčerpají-li
oba měřicí přístroje svoji třídu přesnosti. Pokud jsou přístroje přesnější (jak obvykle bývají),
potom měření není zatíženo n