Skripta Elektrotechnika 1 - Laboratorní a počítačová cvičení

30
vypočtěte metodou uzlových napětí. Sestavte matici koeficientů G,
vektor pravé strany I
z
( zdroj proudu ) a soustavu řešte pomocí programu LINROV.
Dopočítejte větvová napětí U
12
, U
23
. Zjištěné hodnoty zapište do tab. 3.6-1 a vyhodnoťte ∆U,
δ
U
.

TABULKY NAMĚŘENÝCH HODNOT :

Tab. 3.6-1 Větvová napětí zadaného obvodu
parametry zdroje

U
10
U
20
U
30
U
12
U
I
z
= mA, G
i
= S
vypočtené U
v
V
měřené U
m

odchylka ∆U = U
m
– U
v
V
relativní chyba δ
U
= ∆U / U
v
%
23


POUŽITÉ PŘÍSTROJE A PŘÍPRAVKY
1. Zdroj stejnosměrného proudu
2. Voltmetr
3. Miliampérmetr
R
1
= 100 Ω, R
2
= 150 Ω, R
3
= 220 Ω, R
4
= 330 Ω, R
5
= 100 Ω. 4. Panel s rezistory
Elektrotechnika I – cvičení 23
3.7 METODA SMYČKOVÝCH PROUDŮ

ÚKOL:

1. V obvodu podle obr. 3.7-1 změřte smyčkové proudy I
s1
, I
s2
, I
s3
pro zadané napětí zdroje
U
z
.
2. Ověřte naměřené hodnoty výpočtem pomocí metody smyčkových proudů. Vyhodnoťte
chyby měření.

R
1
R
4
R
2
R
5
R
3
I
s3
I
s1
U
z
I
s2

Obr. 3.7-1 Princip metody smyčkových proudů

TEORETICKÝ ÚVOD:

Princip metody smyčkových proudů (MSP) je založen na aplikaci druhého
Kirchhoffova zákona (tzv. napěťový zákon) v nezávislých smyčkách analyzovaného obvodu.
Napětí ve smyčkách se vyjádří pomocí smyčkových proudů. Dostaneme tak soustavu
nezávislých rovnic pro neznámé smyčkové proudy. Po jejím vyřešení můžeme použitím
prvního Kirchhoffova zákona (tzv. proudový zákon) stanovit proudy ve zbývajících větvích
obvodu a pomocí Ohmova zákona určit napětí na všech jeho větvích.

Obecný postup při analýze obvodu metodou smyčkových proudů:

• Předpokládejme, že v obvodu se nacházejí pouze zdroje napětí. Případné zdroje
proudu v obvodu nahradíme ekvivalentními zdroji napětí.
• Na základě topologické analýzy obvodu zvolíme nezávislé smyčky.
• Zavedeme smyčkové proudy a zvolíme jejich orientaci.
• Pomocí druhého Kirchhoffova zákona sestavíme rovnice pro nezávislé smyčky tak, že
v nich sečítáme napětí na jednotlivých prvcích ve směru, daném orientací příslušného
smyčkového proudu. Napětí na větvích dané smyčky vyjádříme pomocí smyčkových
proudů a odporů rezistorů větví. Všechny rovnice upravíme tak, že napětí případných
zdrojů napětí převedeme na pravou stranu rovnic. Dostaneme soustavu rovnic pro
smyčkové proudy.
• Řešením soustavy rovnic dostaneme hledané smyčkové proudy.
• Použitím prvního Kirchhoffova zákona a známých smyčkových proudů stanovíme
ostatní větvové proudy analyzovaného obvodu.
24 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
• Pomocí Ohmova zákona a větvových proudů určíme větvová napětí.


Soustavu rovnic pro smyčkové proudy můžeme sestavit přímo v maticovém tvaru, na základě
pravidel vyplývajících z uvedeného obecného postupu. Obecný zápis této soustavy
v maticovém tvaru je

,
z
UIR =⋅ (3.7-1)


kde R je matice koeficientů soustavy - matice odporů,
I je vektor neznámých smyčkových proudů,
U
z
je vektor pravých stran rovnic - vektor zdrojů napětí.

Prvky matice odporů
Prvky hlavní diagonály matice R jsou dány součtem odporů všech rezistorů zapojených
v příslušných smyčkách, jejich znaménka jsou kladná.
Prvky matice R mimo hlavní diagonálu jsou rovny součtu odporů rezistorů, které jsou
společné dvěma smyčkám (protékají jimi oba proudy současně). Znaménko je kladné, je-li
shodný směr proudu v obou smyčkách, jinak je znaménko záporné. V případě, že je obvod
složen pouze z pasivních prvků a neřízených zdrojů, je matice odporů souměrná podle hlavní
diagonály.
Prvky vektoru zdrojů napětí jsou dané součtem napětí zdrojů zapojených v příslušných
smyčkách. Je-li směr čítací šipky napětí zdroje shodný se zvolených směrem smyčkového
proudu má napětí zdroje znaménko záporné, v opačném případě kladné.

R
3
R
2
U
z1 I
z2
G
i
R
1
a)

c)
R
3
R
2
U
z1
U
z2
R
i
I
s2
R
1
I
s1
b)


Obr. 3.7-2 K sestavení rovnic MSP

Pro ilustraci sestavíme pomocí MSP rovnice pro obvod podle obr. 3.7-2a. Obvod sestává
z rezistorů s odpory R
1
, R
2
, R
3
, zdroje napětí U
z
a zdroje proudu s parametry I
z2
, G
i
. Zdroj
proudu nahradíme podle obr. 3.7-2b ekvivalentním zdrojem napětí s parametry
./1,/
iii22
GRGIU
zz
==
Jak je vidět z grafu obvodu na obrázku obr. 3.7-2c, uvedený obvod má dvě hlavní větve
(vyznačené čárkovaně) a každou hlavní větví musí protékat právě jeden nezávislý smyčkový
Elektrotechnika I – cvičení 25
proud. Analyzovaný obvod má tedy dvě nezávislé smyčky a popíšeme jej soustavou dvou
rovnic, jejíž maticový zápis je pro zvolený směr I
s1
, I
s2


.
//1
i2
1
2
1
i323
331






=






⋅






++−
−+
GI
U
I
I
GRRR
RRR
z
z
s
s


Soustavu rovnic řešíme např. Gaussovou eliminační metodou, pomocí inverzní matice
koeficientů soustavy, použitím Cramerova pravidla apod.

SCHÉMA ZAPOJENÍ :

I
s3
I
s1
U
z I
s2
V

A
AA
R
3
R
1
R
4
R
5
R
2

Obr. 3.7-3 K metodě smyčkových proudů

PRACOVNÍ POSTUP:

1. Zapojte obvod podle schématu na obr. 3.7-3, k panelu s rezistory připojte vypnutý zdroj
napětí a voltmetr, pro měření smyčkových proudů zapojte do obvodu miliampérmetry.
Zapojení nechejte zkontrolovat, požádejte vyučujícího o zadání hodnoty napětí U
z
. Zapněte
zdroj a změnou výstupního napětí zdroje nastavte pomocí voltmetru napětí U
z
. Změřte proudy
I
s1
, I
s2
, I
s3
a naměřené hodnoty zapište do tabulky 7.1.
2. Hodnoty I
s1
, I
s2
, I
s3
vypočtěte metodou smyčkových proudů (sestavte matici koeficientů R,
vektor pravé strany U
z
, soustavu řešte pomocí programu LINROV). Zjištěné hodnoty zapište
do tabulky a vyhodnoťte ∆I, δ
I
.

TABULKY NAMĚŘENÝCH HODNOT :

Tab. 3.7-1 Smyčkové proudy
napětí zdroje

I
s1
I
s2
I
U
z
= V
vypočtené I
v
mA
měřené I
m

odchylka ∆I = I
m
– I
v

mA
relativní chyba δ
I
= ∆I / I
v

%
s3

POUŽITÉ PŘÍSTROJE A PŘÍPRAVKY:
1. Stabilizovaný zdroj napětí
2. 3 miliampérmetry
3. Voltmetr
4. Panel s rezistory R
1
= 100 Ω, R
2
= 150 Ω, R
3
= 220 Ω, R
4
= 470 Ω, R
5
= 100 Ω.
26 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
3.8 CHARAKTERISTIKY ČASOVĚ PROMĚNNÝCH PRŮBĚHŮ

ÚKOL:

1. Pro zadané časové průběhy zjistěte jejich efektivní, maximální a střední hodnotu,
stejnosměrnou a střídavou složku, frekvenci a periodu průběhu, úhlovou frekvenci.

TEORETICKÝ ÚVOD:

Základní pojmy a definice

Periodicky proměnný proud i(t) nebo napětí u(t)) jsou popsány periodickou funkcí, pro
niž platí
i(t) = i( t+kT ), nebo u(t) = u( t+kT ), (3.8-1)

kde k je celé číslo a T = konst. se nazývá perioda funkce, jednotkou je sekunda, značka s.
Periodická funkce je plně určena svým průběhem v době jedné periody.
Reciproká hodnota periody se nazývá kmitočet (frekvence) s jednotkou 1 Hz (hertz)

f = 1/T. (3.8-2)

Dalším parametrem, který používáme při popisu, je úhlový kmitočet (úhlová frekvence)
ω = 2 π f = 2 π/T, (3.8-3)
jednotkou je rad/s (radián za sekundu).

Průměrnou hodnotu proměnného napětí nebo proudu v daném časovém intervalu udává
střední hodnota proudu nebo napětí. Např. v intervalu daném dobou jedné periody T je
střední hodnota periodického proudu i(t) dána vztahem
∫
=
T
dtti
T
I
0
0
)(
1
. (3.8-4)

Tato střední hodnota se často označuje jako stejnosměrná složka periodického průběhu.
Stálý (stejnosměrný) proud nebo napětí jsou takové obvodové veličiny, jejichž okamžitá
hodnota nezávisí na čase.

a) b)
f(t)

t

0

f(t)

t

0

c)
f(t)

t

0

f
ss
(t)

t

0

f
st
(t)
t

0

= +











Obr. 3.8-1 Stálá a střídavá obvodová veličina
Elektrotechnika I – cvičení 27
Střídavá obvodová veličina je periodická veličina, jejíž střední hodnota je rovna nule.
Příklad časového průběhu stálé (stejnosměrné) obvodové veličiny je na obr. 3.8-1a, časový
průběh střídavé obvodové veličiny je na obr. 3.8-1b. Na obr. 3.8-1c je znázorněn časový
průběh, který obsahuje obě složky - stejnosměrnou i střídavou.

Efektivní hodnota proudu i(t) ( napětí u(t)) je definována jako ekvivalentní hodnota stálého
proudu (napětí), který do rezistoru o stejném odporu dodá za určitý časový interval stejnou
energii jako i(t) s periodou T. Efektivní hodnota proudu I je

∫
=
T
dtti
T
I
0
2
)(
1
. (3.8-5)

f(t)

a) harmonická funkce b) neharmonické funkce periodické
t

0

f(t)

t

0

f(t)

t

0

f(t)

t

0

T

f(t)

t

0

T

T

T
T

F
m

Obr. 3.8-2 Okamžitá hodnota periodických funkcí

Periodicky proměnný průběh může být daný harmonickou funkcí (sinus nebo kosinus) nebo
neharmonickou funkcí (obdélníkový, pilovitý, trojúhelníkový průběh, apod.). Harmonicky
proměnná funkce je zobrazena na obr. 3.8-2a, maximální hodnota harmonicky proměnné
veličiny se nazývá amplituda. Některé příklady neharmonického periodického průběhu jsou
uvedeny na obr. 3.8-2b.



SCHÉMA ZAPOJENÍ:

output

Generátor
u(t)
Osciloskop
V
output

Generátor
u(t)
a)
b)

Obr. 3.8-3 K měření parametrů periodického signálu


28 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

PRACOVNÍ POSTUP:

1. Propojte výstupní svorku (“output“) generátoru a vstupní svorku osciloskopu podle obr.
3.8-3a, oba přístroje zapněte. Na generátoru zvolte tvar periodického signálu, nastavte zadaný
kmitočet a maximální hodnotu napětí.
2. Pomocí osciloskopu odečtěte periodu T , stejnosměrnou složku U
ss
a maximální hodnotu
U
max
střídavé složky periodického signálu. Měřené hodnoty zapište do tab. 3.8-1.
Z naměřených hodnot vypočtěte kmitočet f, úhlový kmitočet ω, efektivní hodnotu napětí U a
střední hodnotu napětí U
0
. Tvar zobrazeného průběhu načrtněte, v náčrtu vyznačte veličiny T,
U
max
, U
ss
.
3. Podle obr. 3.8-3b propojte výstupní svorku (“output“) generátoru a vstupní svorky
voltmetrů pro měření efektivní a střední hodnoty napětí, naměřené efektivní a střední hodnoty
napětí U
mer
, U
0mer
porovnejte s vypočtenými.
4. Postup podle bodů 2. a 3. opakujte pro všechny zadané tvary periodického signálu.



TABULKY NAMĚŘENÝCH HODNOT :


Tab. 3.8-1 Parametry zadaných periodických průběhů
tvar u(t) T U
ss
U
max
f ω U U
0
U
mer
U
0mer

s V V Hz rad/s V V V V
harmonický
obdélníkový
trojúhelníkový
pilovitý




POUŽITÉ PŘÍSTROJE
1. Generátor HP
2. Osciloskop
3. Voltmetr pro měření efektivní hodnoty PU 516
4. Voltmetr pro měření střední hodnoty PU 510

Elektrotechnika I – cvičení 29
3.9 PŘENOS VÝKONU VE STEJNOSMĚRNÉM ELEKTRICKÉM
OBVODU

ÚKOL:

1. Měřením stanovte přenášený výkon P
z
reálného zdroje stejnosměrného napětí v závislosti
na velikosti zatěžovacího odporu R
z
. Měření proveďte nepřímou metodou. Vyhodnoťte
relativní chyby měřených hodnot napětí a proudu, chybu metody pro obě zapojení podle
obr. 3.9-2 a maximální chybu měření.
2. Na základě měření stanovte závislost účinnosti η při přenosu výkonu na R
z
.
3. Závislosti P
z
(R
z
) a η(R
z
) vyneste ve vhodném měřítku do jednoho grafu a graficky určete
velikost účinnosti η při maximálním přenosu výkonu P
max
.


TEORETICKÝ ÚVOD:

I
z
U
0
R
i R
z
U
z
a)

b)

Výkon v elektrickém obvodu
Předpokládejme, že máme v elektrickém
obvodu reálný zdroj elektrické energie s vnitřním
napětím U
0
a vnitřním odporem R
i
, zátěž je daná
rezistorem s odporem R
z
podle obr. 3.9-1a. Je
zřejmé, že výkon P
z
zzz
IUP =
zátěže
, (3.9-1)
kde U
z
je napětí na zátěži a I
z
proud zátěže. Na
obr. 3.9-1b je jako příklad pro zvolené parametry
zdroje U
0
= 100V, R
i
= 100 Ω znázorněna závislost
výkonu P
z
na velikosti odporu zátěže R
z

2
2
0
)(
)(
zi
z
zz
RR
R
URP
+
= . (3.9-2)
Obr. 3.9-1 K přenosu výkonu
Z obrázku je vidět, že pro maximální přenos výkonu musí být velikost zátěže R
z
= 100 Ω tj.
iz
RR = . (3.9-3)
Stejný výsledek bychom dostali nalezením extrému funkce (3.9-2). Stav kdy R
z
= R
i

nazýváme výkonové přizpůsobení zátěže a zdroje, velikost maximálního výkonu na zátěži
P
max
je
i
iz
R
U
RRP
4
)(
2
0
max
== . (3.9-4)
Dosazením dostaneme , což odpovídá hodnotě získané z grafu
na obr. 3.9-.1b.
W25)1004/(100
2
max
=⋅=P
Jedním z parametrů charakterizujících přenos výkonu je účinnost. Účinnost přenosu η je
definovaná jako procentuálně vyjádřený podíl výkonu na zátěži P
z
k výkonu zdroje P
0

30 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
zi
zz
RR
R
P
P
+
== 100100
0
η . (3.9-5)

Z definice (3.9-5) je vidět, že účinnost při přenosu nezávisí na vnitřním napětí zdroje a její
maximální hodnotu dostaneme pro . Grafická závislost η(P
iz
RR >>
z
) je nakreslena na
obr. 3.9-1b.

Chyby měření

Chyba metody
U nepřímých metod se hodnota měřené veličiny získává výpočtem z jiných přímo
měřených veličin. Přímým měřením napětí a proudu v obvodu napájeném ze stejnosměrného
zdroje můžeme nepřímo stanovit velikost přenášeného výkonu. Jak je vidět z obr. 3.9-2a
a 3.9-2b, je možné zapojit obvod dvěma způsoby, ale ani v jednom zapojení neměří přístroje
současně skutečnou hodnotu proudu a napětí na zátěži. Zjištěná hodnota velikosti výkonu je
potom zatížena chybou metody.
1. Zapojení podle obr. 3.9-2a
Voltmetr udává hodnotu napětí U, která je součtem úbytků napětí na zátěži U
z
a na
ampérmetru U
A
; ampérmetr měří hodnotu proudu I
z
zátěží. Označme P
a
výkon stanovený
z údajů voltmetru a ampérmetru zapojených podle obr. 3.9-2a; jeho velikost je
zAzzzAzzAza
PPIUIUIUUIUP +=+=+== )( . (3.9-6)
Zde P
z
je výkon na zátěži podle (3.9-1), P
A
je výkon spotřebovaný ampérmetrem a lze jej
vyjádřit
22
zAAAA
IRIRP == , (3.9-7)
kde R
A
je odpor ampérmetru. Pro dané zapojení je relativní chyba metody δ
a
vyjádřená v %
.100100100
z
A
z
A
z
za
a
R
R
R
R
P
PP
==
−
=δ (3.9-8)
2. Zapojení podle obr. 3.9-2b
Ampérmetr měří proud I, který je součtem proudu zátěže I
z
a proudu voltmetrem I
V
.
Voltmetr udává napětí U
z
zátěže. Označme P
b
výkon stanovený z údajů voltmetru a
ampérmetru zapojených podle obr. 3.9-2b, jeho velikost je
zVzzVzzVzzb
PPIUIUIIUIUP +=+=+== )( . (3.9-9)
Zde P
z
je výkon na zátěži podle (3.9-1), P
V
je výkon spotřebovaný voltmetrem a lze jej
vyjádřit
V
z
V
V
V
R
U
R
U
P
22
== , (3.9-10)
kde R
V
je odpor voltmetru. Relativní chyba metody δ
b
vyjádřená v % je
. (3.9-1) 100100100
V
z
z
V
z
zb
b
R
R
P
P
P
PP
==
−
=δ
Z rovnic (3.9-8) a (3.9-11) vyplývá, že chybu metody můžeme omezit vhodným výběrem
použitých měřicích přístrojů.
Elektrotechnika I – cvičení 31
Ampérmetr by měl mít co nejmenší vnitřní odpor (v ideálním případě nulový) a naopak
voltmetr co největší vnitřní odpor (v ideálním případě nekonečně velký) ve srovnání
s velikostí odporu zátěže.

Chyba údaje
Chyba údaje je způsobena nepřesností měřicích přístrojů a podílí se na celkové chybě
měření. Nepřesnost analogových (ručkových) měřicích přístrojů je určena jejich třídou
přesnosti. Třída přesnosti je číslo TP, které udává, že mezní (absolutní) chyba údaje ∆
MU
je
TP % z největší hodnoty zvoleného měřicího rozsahu MR, a to pro všechny hodnoty odečtené
na tomto rozsahu, tj.
MR
100
TP
±=∆
MU
. (3.9-12)
Relativní chybu δ
M
údaje X
M
měřeného přístrojem na daném rozsahu MR dostaneme
MR
TP
100
M
RR
MU
XX
±=
∆
±=δ . (3.9-13)
Měříme-li např. ampérmetrem s třídou přesnosti TP = 0,5 na rozsahu MR = 600 mA, je mezní
chyba údaje ∆
MU
= ± 3 mA. Ze vztahu (3.9-13) je dále vidět, že v případě, když odečítáme na
stejném rozsahu postupně proudy 10 mA, 100 mA, 200 mA, 300 mA, 600 mA, bude
odpovídající relativní chyba δ
I
± 30 %, ± 3 %, ± 1,5 %, ± 1 %, ± 0,5 %.
Z uvedeného vyplývá, že k zajištění minimální relativní chyby údaje δ
M
, je třeba vždy
zvolit vhodný měřicí rozsah přístroje - v praxi se proto snažíme měřit hodnoty v poslední
třetině daného rozsahu, při malých měřených hodnotách se relativní chyba rychle zvětšuje.
Poznámka:
Základní chyba číslicového měřicího přístroje se obvykle udává jako součet mezní chyby
z měřené hodnoty δ
RDG
(je způsobena nedokonalým nastavením přístroje) a chyby z největší
hodnoty měřicího rozsahu δ
FS
. Relativní chyba údaje číslicového měřicího přístroje je určena








+±=
M
X
MR
FSRDGč
δδδ . (3.9-14)

Chyba výsledku nepřímých měření
Získáme-li hledanou veličinu X
M
nepřímo součinem přímo měřených veličin X
M1
a X
M2
,
pak absolutní chybu údaje při měření veličiny X
M
můžeme přibližně vyjádřit pomocí
zjednodušeného tvaru zákona šíření chyb
21122
2
21
1
1
21
)()(
MMMMM
M
MM
M
M
MM
M
XX
X
XX
X
XX
∆+∆=∆
∂
⋅∂
+∆
∂
⋅∂
=∆ . (3.9-15)
Relativní (poměrná) chyba údaje
21 MMM
δδδ += . (3.9-16)
Použitím vztahu (3.9-16) dostaneme relativní chybu údaje nepřímém měření výkonu pomocí
ampérmetru a voltmetru
IUP
δδδ += , (3.9-17)
kde δ
U
a δ
I
jsou relativní chyby voltmetru a ampérmetru. Maximální chyba údaje nepřímého
měření výkonu je součtem dvou mezních chyb.
Největší možná chyba nepřímého měření výkonu je pak dána součtem chyby zvolené
metody (δ
a
nebo δ
b
) a výsledné maximální chyby údaje podle (3.9-17)
32 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
IUaPa
δδδδδδ ++=+=
max
nebo
IUbPb
δδδδδδ ++=+=
max
. (3.9-18a,b)
SCHÉMA ZAPOJENÍ:
I
z
U
0
R
i
R
z U
a)

A

V
I
U
z
b)

U
0
R
i
R
z
A
V

Obr. 3.9-2 Měření přenášeného výkonu nepřímou metodou

PRACOVNÍ POSTUP:

1. Sestavte zapojení podle schématu na obr. 3.9-2a, jako zátěž použijte odporovou dekádu
XL6. Do obvodu zapojte miliampérmetr, připojte zdroj napětí a voltmetr, vnitřní odpor zdroje
je R
i
=1 kΩ. Zapojení nechejte zkontrolovat. Zdroj napětí zapojte do sítě.
2. Pro hodnoty R
z
= 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9; 1,0; 1,1; 1,3; 1,5; 1,7; 1,9; 2,1 kΩ, nastavované na
odporové dekádě, změřte proud a napětí v obvodu. Pomocí výchylky α a konstanty přístroje
k stanovte hodnotu měřené veličiny X
M
. Pro počet dílků stupnice α
max
je konstanta přístroje
kXk
M
⋅== α
α
,
MR
max
.
Výsledky zapište do tabulky 3.9-1, počet řádků volte podle počtu hodnot R
z
.
3. Sestavte zapojení podle schématu na obr. 3.9-2b a postup měření opakujte, výsledky zapište
do tabulky 3.9-2.
4. Vyhodnoťte přenos výkonu, účinnost, relativní chyby obou měření.

TABULKY NAMĚŘENÝCH HODNOT :

Tab. 3.9-1