Skripta Elektronické součástky 2002

čty při teplotě absolutní nuly
E=0
vodivostní pás
zakázaný pás
valenční pás
vnitřní pás
C
E
V
E
G
E
Obr. 1.5: Jednoduchý
pásový model pevné látky
8 FEKT Vysokého učení technického v Brně
jsou jenom teoretickou abstrakcí, která nám umožňuje jednodušší postupy a snazší pochopení
problému, než při uvažování reálných teplot.
U izolantů je valenční pás zaplněn elektrony, nad ním ležící zakázaný pás je širší než
3 eV (např. diamant 5,48 eV při 0 K). Izolanty téměř nevedou elektrický proud, protože příliš
široký zakázaný pás nedovoluje elektronům přejít z valenčního pásu do pásu vodivostního (to
platí za všech teplot - až do tepelného nebo elektrického průrazu).
Pásový diagram polovodičů je shodný s pásovým diagramem izolantů, ovšem šířka
zakázaného pásu je 0,1 až 2 eV (u Ge 0,66 eV a u Si 1,12 eV při 0 K). Za teploty 0 K je
vodivostní pás prázdný, tj. v polovodiči nejsou žádné volné elektrony, které by mohly
přenášet náboj (vést proud), a proto se polovodič chová jako izolant. Při zvyšování teploty
mohou některé elektrony získat dostatečnou energii a přejít do vodivostního pásu - polovodič
začíná vést proud.
U kovů se vyskytují dva případy. Monovalentní kovy (např. sodík, rubidium) mají velmi
úzký zakázaný pás (E
G
< 0,1 eV) a vodivostní pás je i za teploty 0 K částečně zaplněn.
Bivalentní kovy (např. měď) nemají zakázaný pás a vodivostní pás se překrývá s valenčním.
Kovy jsou proto dobré (elektrické i tepelné) vodiče, a to i za velmi nízkých teplot. Mrak
volných elektronů v kovu se též nazývá elektronovým plynem.
Tab. 1.1: Měrný odpor kovů, polovodičů a izolantů
LÁTKA KOVY (VODIČE) POLOVODIČE IZOLANTY
(NEVODIČE)
měrný odpor

[Ωcm]
se stoupající teplotou
se zvětšuje
10
-5
až 10
-6

se stoupající
teplotou
se zmenšuje
10
-2
až 10
8

se stoupající teplotou
se zmenšuje
10
8
až 10
18


Polovodiče netvoří samostatnou ostře ohraničenou skupinu látek. V podstatě jsou to
izolanty, které se působením vnitřních nebo vnějších činitelů (teplo, světlo, tlak, elektromag-
netické pole, radioaktivní záření, poruchy krystalové mřížky) mění na částečné vodiče
elektrického proudu.
Některé charakteristické vlastnosti kovů. polovodičů a izolantů jsou shrnuty v Tab. 1.1.
a na Chyba! Nenalezen zdroj odkazů..
Elektronické součástky 9


1.3 Elektrická vodivost polovodičů
U polovodičů existují dva typy vodivosti, tzv. vlastní a nevlastní vodivost. Vlastní
(intrinsickou) vodivostí se vyznačují všechny polovodiče, nevlastní vodivost existuje jen u tzv.
příměsových (dotovaných, extrinzických, nevlastních, legovaných) polovodičů.
1.3.1 Vlastní polovodiče
Dokonalý vlastní
polovodič (dokonalý
krystal bez poruch a
příměsí) se v přírodě
nevyskytuje, při pečlivé
výrobě se mu však
můžeme přiblížit. Vlastní
(intrinzický) polovodič se
podobá izolantu. Za
teploty 0 K je vodivostní
pás prázdný, tj. v
polovodiči nejsou žádné
volné elektrony, které by
mohly vést proud. Vlivem
teploty nebo jiného
vnějšího vlivu však může
elektron získat
dostatečnou energii a "přeskočit" do vodivostního pásu. Hovoříme o tzv. ionizaci, k níž je
nutné určité množství tzv. ionizační energie. Ionizační energie (užívá se termín aktivační
energie) je nutná k překonání zakázaného pásu a uvolnění elektronu z vazby, její velikost
musí tedy být nejméně E
G
.
Si Si Si Si
Si Si Si Si
Si Si Si Si
Si Si Si Si
C
V
+ -
-
+
E
E
Obr. 1.7: Vznik páru elektron - díra u vlastního polovodiče;
pokud nepůsobí elektrické pole, může se volný elektron
pohybovat libovolným směrem
10 FEKT Vysokého učení technického v Brně
Elektron, který se uvolní, zanechá po sobě ve valenčním pásu atom postrádající jeden
elektron (chová se potom jako kladný iont). Tento kladný iont se může zneutralizovat přijetím
elektronu, který k němu přejde ze sousedního atomu. Tím se však z tohoto sousedního atomu
stane kladný iont a může být opět zneutralizován příchodem dalšího elektronu. Vidíme, že
atomy se jako pevná součást mřížky nepohybují, ale kladný náboj se může přemisťovat. Tento
kladný náboj nazýváme díra. Přestože díra jako reálná částice neexistuje, je užitečné jí
přiřadit některé vlastnosti materiální částice (podobné, jako má elektron, ale opačný náboj
+q).
Ve vlastních polovodičích mohou tedy přenášet elektrický proud za teplot nad 0 K
jednak volné elektrony ve vodivostním pásu (každý elektron přenáší náboj -q), jednak
pohyblivé díry ve valenčním pásu (náboj +q). Pro obě tyto částice se užívá název nosiče (nebo
nositelé) náboje. Protože současně vzniká volný elektron a pohyblivá díra, hustota elektronů
se rovná hustotě děr
i
npn ==
(1.2)
kde n je počet elektronů, p je počet děr a n
i
je intrinzická koncentrace nosičů na
jednotku objemu; podle soustavy SI je to 1 m
3
, v praxi i v literatuře se však běžně používá 1
cm
3
.
Je užitečné si zapamatovat, že intrinzická koncentrace nosičů je při 300 K pro křemík
10
16
m
-3
(10
10
cm
-3
) a pro germanium 10
19
m
-3
(10
13
cm
-3
), intrinzická koncentrace však silně
závisí na teplotě. Proces uvolňování elektronů při ionizaci atomů nezpůsobuje změnu
výsledného náboje daného objemu polovodiče (po uvolněném elektronu zůstává v krystalové
mřížce ionizovaný atom s kladným nábojem).
Vlastní polovodiče jsou tedy při teplotách kolem 300 K vodiče elektrického proudu,
vlivem závislosti intrinzické koncentrace na teplotě i jejich vodivost silně závisí na teplotě.
Rozsah jejich měrných odporů je přibližně 10
-2
až 10
9
Ωcm (dobré vodiče mají měrný odpor
< 10
-6
Ωcm, izolanty > 10
14
Ωcm).
1.3.2 Nevlastní polovodiče
Na elektrickou vodivost polovodičů mají výrazný vliv cizí atomy zabudované do
krystalové mřížky (poruchy), které jsou v reálném krystalu vždy přítomny. Příměsové atomy
jsou do co nejčistšího materiálu zaváděny i uměle, abychom získali materiál s vhodnými
elektrickými vlastnostmi. Tento technologický postup, kdy se do základního materiálu
přidávají atomy cizích prvků, nazýváme dotování (nebo též dopování či legování; přidávaná
látka se nazývá dopant či legura). Nejčastěji přitom vstupují atomy příměsí do krystalové
mžížky jako náhrada některých původních atomů (tzv. substituce).
Polovodič typu N
Je-li atom krystalové mřížky čtyřmocného prvku (prvku IV. skupiny - např. Si, Ge)
nahrazen atomem pětimocného prvku (prvku V. skupiny - např. P, As, Sb), pak čtyři z jeho
valenčních elektronů se účastní vytvoření vazby se sousedními atomy, pátý elektron je nad-
bytečný a je vázán k atomu velmi slabě. Tento elektron může být uvolněn dodáním velmi
malé (aktivační) aktivační energie a účastnit se vedení proudu. Typická hodnota aktivační
energie je asi 0,05 eV pro běžné příměsi v Si; každá příměs má svoji typickou hodnotu
aktivační energie. Tuto energii elektron získá už při nízkých teplotách, takže při pokojové
teplotě jsou téměř všechny atomy příměsi ionizovány. Vznikají tak kladné ionty příměsí, které
zůstávají v mřížkových polohách, a volné elektrony. Proto se pětimocné příměsi nazývají
donory (dodávají elektrony do vodivostního pásu).
Elektronické součástky 11
V pásovém
diagramu
vytvářejí
donorové atomy
tzv. donorovou
hladinu (s energií
E
D
), která se
nachází v
zakázaném pásu
těsně pod dnem
vodivostního pásu
(E
C
) - V
polovodiči typu N
(v polovodiči s
elektronovou
vodivostí)
převažují jako
nosiče proudu
elektrony, nazýváme je proto majoritní nosiče.
Polovodič typu P
Podobně nahradíme-li atom krystalové mřížky čtyřmocného prvku atomem
trojmocného prvku (prvku III. skupiny - např. B, In, Ga, Al), pak se všechny tři jeho valenční
elektrony účastní vazeb se sousedními atomy a čtvrtá zůstane neúplná. Stačí malá energie k
tomu (opět typická hodnota je asi 0,05 eV pro Si), aby se některý z elektronů ze sousedních
vazeb uvolnil a zaplnil neúplnou vazbu trojmocného atomu - tj. trojmocný atom se ionizuje
záporně a vytvoří v sousedství "kladnou" díru (tj. nedostatek jednoho elektronu). Tato díra se
může pohybovat a umožnit tak vedení proudu (působí-li na ni vnější elektrické pole).
Trojmocné příměsi se nazývají akceptory (přijímají, lépe řečeno zachycují elektrony
z valenčního pásu). V pásovém diagramu vytvářejí akceptorové příměsi tzv. akceptorovou
hladinu (s energií E
A
),
ležící těsně nad stropem
valenčního pásu (E
V
) -
viz Obr. 1.8. Již za
malé teploty jsou téměř
všechny akceptorové
příměsi ionizovány a ve
valenčním pásu jsou
vytvořeny díry, které v
polovodiči typu P (v
polovodiči s děrovou
vodivostí) převažují
jako nosiče proudu -
majoritními nosiči jsou
zde díry.
Vodivost
příměsových polovodičů (typu N a P) se nazývá souborně nevlastní (extrinzickou) vodivostí.
Při ionizaci (aktivaci) příměsi vzniká jeden pohyblivý nosič a jeden nepohyblivý iont. Při
ionizaci atomů ve vlastních (intrinzických) polovodičích vzniká pohyblivý elektron a
pohyblivá díra.

Si Si Si Si
Si Si Si
Si Si Si Si
Si Si Si Si
C
V
1,12
0,045 eV
B
+
A-
+
E
E
E
Obr. 1.8: Krystalová mřížka Si s jedním akceptorovým atomem a
pásový model polovodiče typu P; pokud nepůsobí elektrické pole,
může se volná díra pohybévat libovolným směrem
12 FEKT Vysokého učení technického v Brně
Případ vlastního polovodiče bez příměsi i případy čistě donorového nebo čistě
akceptorového polovodiče (bez příměsi opačného typu) jsou případy pouze teoretické, protože
reálné technologické možnosti nám neumožňují takovéto ideální polovodiče vyrobit.
Při zvyšování koncentrace příměsí se donorové nebo akceptorové hladiny štěpí -
vznikají pásy příměsí. Při velké koncentraci příměsí splývá akceptorová hladina s valenčním
pásem a donorová hladina s vodivostním pásem - polovodič se chová jako kov (degenerovaný
polovodič).
Teplotní závislost koncentrace nosičů náboje v polovodičích
Kromě nevlastní vodivosti má i nevlastní polovodič vlastní vodivost. Je možné odvodit,
že za tepelné rovnováhy platí mezi koncentrací děr a volných elektronů důležitý vztah:
2
i
nnp = (1.3)
Koncentrace volných nosičů náboje závisí na koncentraci donorů a akceptorů, teplotě a
pásové struktuře polovodiče. Pro pochopení principů vlastní a nevlastní vodivosti nám dobře
poslouží závislost koncentrace volných nosičů na teplotě např. pro polovodič typu N - viz
Obr. 1.9.
Při nulové teplotě (T = 0 K) je koncentrace obou typů nosičů rovna nule. Při zvyšování
teploty dochází nejprve k aktivaci nevlastních příměsí, protože lokální hladiny donorů jsou v
těsné blízkosti vodivostního pásu. Koncentrace volných elektronů je přibližně rovna
koncentraci těchto aktivovaných donorů (N
D
+
). Při tzv. první aktivační teplotě T
1
(pro Si asi
80 K) dochází téměř k plné aktivaci příměsí a při dalším zvyšování teploty až do teploty T
2
je
koncentrace nosičů téměř konstantní a rovná koncentraci donorů (N
D
). Při teplotě T
2
, která se
nazývá druhou aktivační teplotou, dochází k aktivaci mechanizmu vlastní generace a z
nevlastního polovodiče se stává polovodič vlastní. Oblast mezi první a druhou aktivační
teplotou (označenou jako oblast 2 na Obr. 1.9.), tedy přibližně interval 100 až 450 K,
vymezuje normální pracovní teplotní rozsah většiny polovodičových součástek (tzv.
extrinzickou teplotní oblast), kdy se polovodič chová jako nevlastní s poměrně malou
závislostí vodivosti na teplotě. Pod první aktivační teplotou se polovodič nachází v oblasti
zamrznutí (oblast 1) a nad druhou aktivační teplotou (oblast 3) v intrinzické teplotní oblasti.
Sklon přímky ln n = f(1/T) v oblasti 3 odpovídá aktivační energii, respektive ∆E
G
.
Elektronické součástky 13
Podrobněji se budeme problematikou teplotní závislosti koncentrace nosičů zabývat
později, až se seznámíme s dalšími důležitými pojmy z fyziky polovodičů.
1.4 Elektrony v pevných látkách a jejich energetické rozdělení
Dosud byly naše poznatky o vlastnostech polovodičů spíše kvalitativní. Pro praktické
výpočty však potřebujeme znát například číselnou hodnotu koncentrace nosičů náboje nebo
jejich energetické rozložení v příslušném energetickém pásu. Proto se teď budeme elektrony v
pevných látkách zabývat podrobněji.
1.4.1 Hustota stavů
Jak můžeme vyvodit z našich předchozích poznatků, celkový počet dovolených stavů ve
vodivostním a valenčním pásu Si je roven čtyřnásobku počtu atomů v krystalu (každý atom Si
má čtyři valenční elektrony). Nyní si položíme otázku, jak jsou tyto dovolené stavy
energeticky rozloženy, tj. kolik dovolených stavů můžeme nalézt pro nějakou danou energii
ve valenčním nebo vodivostním pásu. Tomuto energetickému rozložení dovolených stavů
říkáme hustota stavů. Výpočet hustoty stavů je založen na kvantově mechanické analýze
problému a přesahuje rámec těchto skript. Uvedeme zde proto jenom souhrn výsledků. Pro
energie nepříliš vzdálené od hranice pásu můžeme odvodit [2, 3]:
g
C
(E) =
()
m2mEE
nn C
23
∗∗
−
π h
= konst. EE
C
− , E ≥ E
C

(1.4)
g
V
(E) =
()m2mE E
ppV
23
∗∗
−
π h
= konst. EE
V
− , E ≤ E
V

(1.5)
2,0
1,5
1,0
0,5
0 10 200 300 400 500 600
T [K]
TT
1/T 1/T
1/T
ln n
12
2 1
n
n
p
i
i
n
ln N
D
123
++++++
C
D
V
n=0 n=n
i
T=0 K
++ ++
n=N
D
+
0> N
A
nebo N
D
-
N
A
≈ N
D
. Z podmínky nábojové neutrality plyne
p - n + N
D
= 0
(1.27)
a z podmínky tepelné rovnováhy (1.3)
p = n
i
2
/n
(1.28)
Po dosazení vztahu (1.28) do (1.27) dostaneme
n
i
2
/n - n + N
D
= 0
(1.29)


n
2
- nN
D
- n
i
2
= 0
(1.30)
což je kvadratická rovnice s neznámou n, jejíž řešení je
n =
NN
n
DD
i
22
2
2
1/ 2
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
(1.31)
Odtud můžeme pro daný polovodič a teplotu spočítat koncentraci elektronů n a z (1.28)
pak koncentraci děr p. Pro většinu běžných výpočtů nám však postačí následující úvaha: Při
pokojové teplotě je pro křemík n
i
asi 10
10
cm
3
Koncentrace dopantů bývá nejméně 10
14
cm
-3
, tedy N
D
>> n
i
. Z (1.31) potom plyne
n ≈ N
D
a p ≈ n
i
2
/N
D
. Analogickou úvahu můžeme provést i pro polovodič typu P. Shrneme-li
tyto výsledky, pak pro nedegenerovaný polovodič typu N s plně ionizovanými příměsemi a
při splnění podmínek N
D
>> N
A
a N
D
>> n
i
platí:
n = N
D
, p = n
i
2
/N
D

(1.32)
a pro nedegenerovaný polovodič typu P s plně ionizovanými příměsemi a při splnění
podmínek N
A
>> N
D
a N
A
>> n
i

p = N
A
, n = n
i
2
/N
A

(1.33)
Při vzrůstající teplotě se intrinzická koncentrace n
i
zvětšuje (viz vztah (1.22) a Obr.
1.11) a při dostatečně vysoké teplotě může dokonce přesáhnout koncentraci příměsí N
A
nebo
N
D
. Jestliže bude teplota dále vzrůstat, n
i
>> N
D
a z rovnice (1.31) vyplyne, že n ≈ n
i
. Z (1.32)
potom dostaneme také p ≈ n
i
. Při dostatečně vysokých teplotách se každý polovodič stává
vlastním polovodičem (viz také Obr. 1.8).
Elektronické součástky 19
1.5.3 Výpočet polohy Fermiho hladiny
Z Obr. 1.11. a ze vztahů (1.11) a (1.12) nebo (1.19) a (1.20) je zřejmá závislost
koncentrace nosičů na poloze Fermiho hladiny. Jestliže za rovnovážných podmínek známe n
nebo p, můžeme vypočítat E
F
nebo naopak.
Vlastní polovodič
Protože pro vlastní polovodič platí n = p, pak ze vztahů (1.11) a (1.12) plyne
N
C
exp[(E
F
- E
C
)/kT] = N
V
exp[(E
V
- E
F
)/kT]
(1.34 )
Řešením této rovnice pro E
F
a dosazením za N
V
a N
C
z (1.13) a (1.14) dostaneme
E
F
=
EE kT N
N
CV V
C
+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
22
ln =
EE kT
m
m
CV
p
n
+
+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
∗
∗
22
32
ln
/
(1.35)
Protože efektivní hmotnost elektronů a děr není při teplotách větších než 0 K stejná,
můžeme vypočítat, že Fermiho hladina se s teplotou posunuje v zakázaném pásu nahoru a leží
asi 0,012 eV nad středem zakázaného pásu při teplotě 300 K. Pro běžné výpočty však
můžeme tuto odchylku zanedbat.
Nevlastní polovodič
Pro nevlastní polovodič typu N platí přibližně n = N
D
a po dosazení do (1.19)
N
D
= n
i
exp[(E
F
- E
i
)/kT]
(1.36)
Odtud plyne
E
F
- E
i
= kT ln(N
D
/n
i
)
(1.37)
Analogicky pro polovodič typu P dostaneme
E
i
- E
F
= kT ln(N
A
/n
i
)
(1.38)

Z rovnic (1.37) a (1.38) vyplývá, že
Fermiho energie je závislá na koncentraci
příměsí v nevlastním polovodiči a na
teplotě. Fermiho hladina se posunuje se
vzrůstající teplotou i se vzrůstající
koncentrací příměsí nahoru v polovodiči
typu N a dolů v polovodiči typu P. Tato
závislost je schématicky naznačena na
Obr. 1.13. Jestliže se Fermiho hladina
přiblíží k E
C
nebo E
V
na méně než 3kT,
dostaneme degenerovaný nebo vysoce
dotovaný polovodič, který označujeme
jako N
+
nebo P
+
materiál. Maximální
koncentrace příměsí pro nedegenerovaný
polovodič jsou při 300 K pro Si N
D
≅
1,6.10
18
cm
-3
a N
A
≅ 7,7.10
17
cm
-3
.
1.00E+06
1.00E+07
1.00E+08
1.00E+09
1.00E+10
1.00E+11
1.00E+12
1.00E+13
1.00E+14
1.00E+15
1.00E+16
1.00E+17
1.00E+18
1.00E+19
0.
5
11.
5
22.
5
33.
5
4
1000/T [1/K]
intrinzická koncentrace ni [cm-3]
GaAs
Si
Ge
Obr. 1.12: Teplotní závislost intrinzické
koncentrace nosičů n
i
[cm
-3
]
pro GaAs, Si a Ge
20 FEKT Vysokého učení technického v Brně
E
E
E
E
10 10 10 10 10 10
N nebo N [cm ]
C
i
V
11 1 1 20
D A
-3
3kT
3kT
degenerovaný
polovodič
polovodič typu N
polovodič typu P
E
E
F
F

E
E
E
C
i
V
E
E
A
D
E
E
E
polovodič typu N
polovodič typu P
F
F
T T
1 2
T
0


Obr. 1.13: a) Poloha Fermiho hladiny v křemíku v závislosti na koncentraci příměsí. V
označeném bodě je nakreslena b) závislost polohy Fermiho hladiny na teplotě (pro
degenerovaný polovodič). Teploty T
1
a T
2
jsou první a druhá aktivační teplota. Poloha
Fermiho hladiny u intrinzického polovodiče je označena E
i
. Se stoupající teplotou se také
zužuje šířka zakázaného pásu se strmostí řádu 10
-4
eV K
-1

1.6 Vedení proudu v polovodičích
Dosud jsme se zabývali vlastnostmi polovodičů za rovnovážných podmínek. Tyto
podmínky nastanou v normální polovodičové součástce jen v případě, že jí neteče žádný
proud. Běžné operační podmínky polovodičové součástky se však od rovnovážných liší.
Můžeme rozlišit tři základní mechanizmy podílející se na vedení proudu v polovodičích:
drift, difúzi a generaci - rekombinaci.
1.6.1 Drift nosičů náboje
Drift je definován
jako pohyb nabité částice
způsobený přiloženým
elektrickým polem. Můžeme
jej popsat následovně:
Jestliže na polovodič
přiložíme elektrické pole E,
pak na díry s nábojem +q
působí síla urychlující jejich
pohyb ve směru elektrického
pole a na elektrony s
nábojem -q působí síla
urychlující jejich pohyb proti směru elektrického pole. Z mikroskopického hlediska není sice
pohyb nosičů náboje přímočarý, protože jsou rozptylovány kolizemi - tepelné kmity mřížky a
ionizované atomy příměsí. Sledujeme-li však jejich pohyb z makroskopického hlediska,
zjistíme, že se všechny nosiče stejného typu pohybují s konstantní driftovou rychlostí v
d
. Na
Obr. 1.14. je driftový pohyb nosičů náboje znázorněn.
E
+
-
v
v
d
d
+
-
Obr. 1.14: Znázornění driftového pohybu nosičů náboje, a) v
makroskopickém a b) v mikroskopickém měřítku
Elektronické součástky 21
Nyní určíme driftový proud,
který teče polovodičem vlivem
přiloženého elektrického pole.
Uvažujme hranol z polovodiče typu P
s průřezem o ploše A (viz Obr. 1.15.).
Protože proud je definován jako náboj,
který za jednotku času projde
libovolnou plochou kolmou ke směru
toku nosičů, můžeme například
driftový proud děr spočítat podle vztahu
I
p,drift
= qpv
d
A
(1.39)
Protože proud je většinou uvažován jako skalární veličina, je někdy užitečné pracovat s
proudov