Signály a systémy skripta

říkladu. Z Obr. 2-12 je zřejmé, že platí
() ( ) ( )11 −−+= tttf σσ .

tt t
f(t) σ(t+1)
σ(-t+1)
-2 -2 -2-1 -1 -10 0 01 1 12 2 2
1
1 1
3 3 34 4 4
22

16 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Obr. 2-12: Jednotkový impuls- konstrukce pomocí násobení otočeného a posunutého ( )tσ
Příklad 2.5: Manipulace se základními signály 3
Vytvořte periodický signál ()tq s periodou P, dobou trvání a2 a amplitudou A,
ukázaný na Obr. 2-13. Využijeme výsledku předchozího příkladu. Jednotkový impuls ( )tf ,
získaný v předchozím příkladu, vynásobíme amplitudou A a vytvoříme jeho kopii posunutou
o (),...3,2,1=ii period P
() ( ) ( ) ( )[ ]iPatiPatAiPtAftf
i
+−−++=−= σσ .
Všechny takto vytvořené kopie potom sečteme s původním impulsem ( )0=i a obdržíme
() () ( ) ( )[]
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
+−−++==
ii
i
iPatiPatAtftq σσ .
t
q(t)
A
-2P-2P-a -2P+a -P+a +a P+a 2P+a 3P+a-P-a -a P-a 2P-a 3P-a-P 0 P 2P 3P

Obr. 2-13: Periodický impuls o amplitudě A, době trvání a2 a s periodou P
2.1.4 Shrnutí kapitoly 2.1
1. Signály se spojitým časem (spojité signály) jsou definovány pro všechna ()+∞∞−∈ ,t .
Samotná funkce ()tf popisující signál ale nemusí být spojitá z matematického hlediska
(viz např. jednotkový skok ()tσ je funkce, která není spojitá v bodě 0=t ). Jedna jediná
hodnota signálu v izolovaném bodě nenese žádnou informaci. Proto např. hodnotu
jednotkového skoku ( )tσ v bodě 0=t můžeme definovat jako 1nebo 0.
2. Mezi všemi spojitými signály můžeme vytipovat základní signály, ke kterým počítáme
jednotkový skok, Diracův impuls, lineárně rostoucí signál, sinusový signál, reálný a
komplexní exponenciální signál. Signály mohou být neperiodické (např. jednotkový skok,
Diracův impuls, lineárně rostoucí signál, reálný exponenciální signál) nebo periodické
(sinusový signál, komplexní exponenciální signál).
3. Se signály lze provádět různé matematické operace- posunutí v čase, otočení časové osy,
násobení, sčítání a odčítání. Pomocí těchto operací lze ze základních signálů vytvořit další
složitější signály.
2.1.5 Cvičení ke kapitole 2.1
1. Nechť jsou dány dva signály ( ) ( )tftf
21
, viz Obr. 2-14. Nakreslete signály
()()( )2,2,1
111
+−−+ tftftf . Jaký je vztah mezi těmito dvěma signály?
Signály a systémy 17
tt
f (t) f (t)
-2 -2-1 -10 01 1223 344
11
12

Obr. 2-14: Dva signály k příkladu 1
2. Vyjádřete signály z předchozího příkladu pomocí jednotkového skoku a lineárně
narůstajícího signálu.
3. Vyjádřete signály z Obr. 2-15 pomocí jednotkového skoku a lineárně narůstajícího
signálu.
tt
t
f (t) f (t) f (t)
-2 -2
-2
-1 -1
-1
0 0
0
1 2 1
1
3 2
2
4 3
3
2
2
1
12
1
1
-1
-3
-3

Obr. 2-15: Tři signály k příkladu 3
4. Funkce ()tf se nazývá sudá (even), jestliže ( ) ( )tftf −= . Funkce ()tf se nazývá lichá
(odd), jestliže ( )()tftf −−= . Nechť je dána funkce ( )tf a vytvořme dvě nové funkce
()
() ( )
2
tftf
tf
e
−+
= ()
( )()
2
tftf
tf
o
−−
= .
Dokažte, že ()tf
e
je sudou funkcí a ( )tf
o
je lichou funkcí. Dále dokažte, že každou funkci
()tf je možno vyjádřit jako součet její sudé a liché části tj. ( )()()tftftf
oe
+= .
5. Je funkce t
0
cosω sudou nebo lichou funkcí? Jaká je její základní perioda? Je funkce
t
0
sinω sudou nebo lichou funkcí? Jaká je její základní perioda?
6. Na Na Obr. 2-16 jsou ukázány tři periodické signály. Jednocestně usměrněné harmonické
napětí (vlevo), dvoucestně usměrněné harmonické napětí (uprostřed) a pilovitý průběh
(vpravo). Vyjádřete je pomocí základních signálů.
ttt
f (t) f (t) f (t)
-2 -2 -2-1 -1 -10 0 0112 2 23 3 34 4 4
22
123
... ... ...... ... ...


Obr. 2-16: Příklady periodických signálů
7. Načrtněte funkce ()
t
etf
2,0
1
−
= , ( ) ttf 4cos
2
= , ( ) ( ) ( )tftftf
213
= . Je funkce ()tf
3
omezená
v čase? Diskutujte proč. Kterou hodnotu času lze u této funkce považovat za reálné
„nekonečno“ (kdy funkční hodnota klesne na 1% své počáteční hodnoty).

18 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
2.1.6 Cvičení v MATLABu ke kapitole 2.1
Zabýváme se signály se spojitým časem (zkráceně nazývané spojité signály). Takový signál je
z matematického hlediska definován pro všechny časové okamžiky reálné osy času tj. pro
všechna reálná čísla z této osy. Takový signál v číslicovém počítači nelze reprezentovat.
V číslicovém počítači lze signál reprezentovat jen jako konečnou posloupnost hodnot signálu
v jistých časových okamžicích (obvykle ekvidistantních). Osa času je tedy diskrétní a signál
je v těchto časových okamžicích vzorkován, a to po nějakou konečnou dobu P. Počet vzorků
za tuto dobu označme N. Předbíháme tak ve výkladu o signálech (vzorkování bude náplní
následujících kapitol), ale bez toho by nebylo možno realizovat úlohy v MATLABu.
Vytvořme diskrétní časovou osu pomocí příkazů MATLAB:

P=100; % time interval [sec]
N=512; % number of samples
t=linspace(-P/2,P/2,N); % discrete time axis

Vytvořme signál typu jednotkový skok ( )tσ a zobrazme jej:

name='Step function';
ft(1:N)=0;
ft((round(N/2)+1):N)=1;
plot(t,ft)
axis([-P/2 P/2 -0.2 1.2])
title(name);
xlabel('t');
ylabel('f(t)');

Výsledkem je následující průběh.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Step function
t
f(
t
)


Tento signál budeme v dalším často používat. Proto jej vytvoříme jako MATLABovskou
funkci s tím, že do ní ještě zavedeme časový posuv o a sekund. Budeme mít tedy
naprogramovánu funkci ()at+σ tj. posunutý jednotkový skok:

% function StepFunction(t,a)
% t= time axis [sec]
% a= shift time [sec] (a=min(t))

function [ft]=StepFunction(t,a)
P=max(t)-min(t); % observation time [sec]
Signály a systémy 19
N=length(t); % number of samples [-]
if abs(a)>P/2 % limit of shift time [sec]
a=sign(a)*P/2;
end;
ft=t;
ft(1:N)=0;
n=sign(a)*round(abs(a)*(N-1)/P); % a is real, n must be integer
ft((round(N/2)+1-n):N)=1;
return;

Tento program uložte pod názvem „StepFunction.m“. První tři řádky jsou komentář, který lze
využít k popisu chování funkce a významu jednotlivých parametrů. Napíšete-li do
příkazového okna MATLAB následující text

function StepFunction(t,a)
t= time axis [sec]
a= shift time [sec] (a=min(t))

Nyní budeme funkci StepFunction.m volat. Toto volání si také vytvoříme jako funkci kterou
nazveme StepFunctionPlot.m. Budeme předpokládat, že naše signály reprezentují čásový
průběh napětí ve voltech. []V . Bude

% function StepFunctionPlot(a,A)
% a= time shift [sec]
% A= amplitude [V]

function StepFunctionPlot(a,A);

P=100; % time interval [sec]
N=512; % number of samples [-]
t=linspace(-P/2,P/2,N); % discrete time axis

name='Step function';
ft=A*StepFunction(t,a);
plot(t,ft)
axis([-P/2 P/2 -0.2*A 1.2*A])
title([name,' a='num2str(a),' A=',num2str(A)]);
xlabel('t [sec]');
ylabel('f(t) [V]');
return

a po zavolání StepFunctionPlot(0,1) obdržíme předchozí obrázek. Volejte tuto funkci s různou
hodnotou parametru a případně A a sledujte generované obrázky.

20 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Step function a=0 A=1
t [sec]
f
(
t)
[
V]


Nyní s pomocí funkce „StepFunction.m“ vytvoříme jednotkový impuls o šířce a2 a středu b
s využitím operace posunu v čase a rozdílu jednotkových skoků. Opět naprogramujeme jako
funkci pojmenovanou UnitImpuls.m neboť ji budeme v dalším používat. Bude:

% function UnitImpuls(t,a,b)
% t=time axis [sec]
% a= half width of impuls [sec]
% b= centre of impuls [sec]

function [ft]= UnitImpuls(t,a,b);
P=max(t)-min(t);
if abs(b)>P/2 % limit of impuls center
b=sign(b)*P/2;
end;
ft=StepFunction(t,b+a)-StepFunction(t,b-a);
return

Volání této funkce naprogramujte opět jako funkci s názvem UnitImpulsPlot.m. Bude

% function UnitImpulsPlot(a,b,A)
% a= half width of impuls [sec]
% b= center of impuls [sec]
% A= amplitude of impuls [V]

function UnitImpulsPlot(a,b,A);
P=100; % time interval [sec]
N=512; % number of samples
t=linspace(-P/2,P/2,N); % discrete time axis

name=('Unit impuls');
ft=A*UnitImpuls(t,a,b);
plot(t,ft)
axis([-P/2 P/2 -0.2*A 1.2*A])

title([name,' a='num2str(a),' b=',num2str(b),' A=',num2str(A)]);
Signály a systémy 21
xlabel('t [sec]');
ylabel('f(t) [V]');
return

a po zavolání UnitImpulsPlot(10,0,1) obdržíte následující průběh. Volejte funkci s různými
parametry a sledujte výsledný obrázek.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Unit impuls a=10 b=0 A=1
t [sec]
f
(
t)
[
V]


Poznámka: Tento impuls můžeme také vytvořit pomocí operace otočení časové osy (flipping)
a součinu takto:

name='Unit impuls(use flip)'
a=10;
A=1;
ftp=A*StepFunction(t,a); % shifted unit step
ftn=fliplr(ftp); % flipping of ftp
ft=ftp.*ftn; % multiplication element-by-element
plot(t,ft)
axis([-P/2 P/2 -0.2*A 1.2*A])
title(name)
xlabel('t [sec]');
ylabel('f(t) [V]');


Vytvořme pomocí jednotkového skoku impuls o jednotkové amplitudě mající obě polarity.
Bude:

name='Unit impuls- both polarities'
a=10;
A=1;
ft=A*StepFunction(t,a)-2*A*StepFunction(t,0)+A*StepFunction(t,-a);
plot(t,ft)
axis([-P/2 P/2 -1.2*A 1.2*A])
title(name)
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
22 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Unit impuls- both polarities
t [sec]
f
(
t)
[
V]


Vytvořme lineární signál o délce trvání a2 . Bude:

name='Linear impuls'
a=25;
A=1;
ft=(A/a)*t;
ft=ft.*UnitImpuls(t,a,0);
plot(t,ft);
axis([-P/2 P/2 -1.2*A 1.2*A])
title(name)
xlabel('t [sec]');
ylabel('f(t) [V]');

a je ukázán na následujícím obrázku.

Signály a systémy 23
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Linear impuls
t [sec]
f
(
t)
[
V]


Dalším užitečným signálem, který si vytvoříme jako MATLABovskou funkci bude
trojúhelníkový impuls, který nazveme TriangleImpuls.m a naprogramujeme ho opět jako
funkci. Bude

% function TriangleImpuls(t,a,b)
% t= time axis [sec]
% a= half width of impuls [sec]
% b= centre of impuls [sec]

function [ft] = TriangleImpuls(t,a,b);
P=max(t)-min(t);
if abs(b)>P/2 % limit of impuls center
b=sign(b)*P/2;
end;

ftp=(1/a)*(t+b+a);
ftp=ftp.*(StepFunction(t,a+b)-StepFunction(t,b));
ftn=(1/a)*(-t-b+a);
ftn=ftn.*(StepFunction(t,b)-StepFunction(t,-a+b));
ft=ftp+ftn;
return

Jeho volání opět naprogramujeme jako funkci

% function TriangleImpulsPlot(a,b,A)
% a= half width of impuls [sec]
% b= centre of impuls [sec]
% A= amplitude of impuls [V]

function TriangleImpulsPlot(a,b,A)

P=100; % time interval [sec]
N=512; % number of samples [-]
t=linspace(-P/2,P/2,N); % discrete time axis

24 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
name=('Triangle impuls');
ft=A*TriangleImpuls(t,a,b);
plot(t,ft)
axis([-P/2 P/2 -0.2*A 1.2*A])
title([name,' a='num2str(a),' b=',num2str(b),' A=',num2str(A)]);
xlabel('t [sec]');
ylabel('f(t) [V]');
return

a po zavolání TriangleImpulsPlot(10,0,1) je výsledek na následujícím obrázku. Volejte funkci
s různými parametry a sledujte výsledný obrázek.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Triangle impuls a=10 b=0 A=1
t [sec]
f
(
t)
[
V]


Ještě jeden signál, a to tlumený kosinusový signál si vytvoříme jako funkci
DampedCosineImpuls.m. Bude

% function DampedCosineImpuls(t,a,b,w0)
% t= time axis [sec]
% a= damping parameter [1/sec]
% b= centre of impuls [sec]
% w0= cosine frequency [rad/sec]

function [ft] = DampedCosineImpuls(t,a,b,w0);
P=max(t)-min(t);
if abs(b)>P/2 % limit of impuls centre
b=sign(b)*P/2;
end;

ft=cos(w0*(t+b)).*exp(-a*abs(t+b));
return;

Volání této funkce opět naprogramujeme jako funkci DampedCosineImpulsPlot.m

% function DumpedCosineImpulsPlot(a,b,w0,A);
% a= damping parameter [1/sec]
% b= centre of impuls [sec]
Signály a systémy 25
% w0= frequency of cosine [rad/sec]
% A= amplitude of impuls [V]

function DumpedCosineImpulsPlot(a,b,w0,A);

P=100; % time interval [sec]
N=512; % number of samples [-]
t=linspace(-P/2,P/2,N); % discrete time axis

name=('Damped cosine impuls');
ft=A*DampedCosineImpuls(t,a,b,w0);
plot(t,ft)
axis([-P/2 P/2 -1.2*A 1.2*A])
title([name,' a='num2str(a),' b='num2str(b),' w0=',num2str(w0),'
A=',num2str(A)]);
xlabel('t [sec]');
ylabel('f(t) [V]');
return;

Volání této funkce DampedCosineImpulsPlot(0.05,0,1,1) generuje následující obrázek.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Damped cosine impuls a=0.05 b=0 w0=1 A=1
t [sec]
f
(
t)
[
V]


Experimentujte s parametry volání a sledujte výsledek. Prověřte např., že pro 0=a je
generována netlumená kosinusovka nebo pro 00=w je generován exponenciální signál, nebo
pro 00τ
−τ−τ
22
33
2,7
0,370,37
(0,37)
2
(0,37)
2

Obr. 2-23:Signál s konečnou (vlevo) a nekonečnou energií (vpravo)

32 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Signál () ( )+∞∞−∈=
−
,
1
tetf
at
kde a je libovolné kladné číslo viz Obr. 2-23 vpravo není
signálem s konečnou energií neboť
() +∞=






−
===
+∞
∞−
+∞
∞−
−
−
+∞
∞−
−
∞
∫∫
a
e
dtedteE
at
atat
2
2
2
2
2
.
Signál ()tf jsme nazvali signálem s konečnou dobou trvání, jestliže je nenulový pouze na
konečném intervalu ()
21
,tt a mimo tento interval je ( ) .0=tf Signál ()tf jsme nazvali
omezeným v amplitudě, jestliže existuje taková konečná konstanta M , že () Mtf < pro
všechna ()+∞∞−∈ ,t . Každý ohraničený signál s konečnou dobou trvání má konečnou
energii neboť
() ()∞ω nebo po směru hodinových ručiček je-li