Signály a systémy skripta

techniky a komunikačních technologií VUT v Brně
1 Signály a systémy
1.1 Úvod a motivace
S pojmem „signál“ a „systém“ se setkáváme téměř denně aniž si to nějak uvědomujeme.
Když například telefonujeme, potom náš hlas (což je akustický signál) je převeden
mikrofonem (tj. systémem) na signál elektrický. Tento elektrický signál je pak dále přenášen
např. po metalickém vedení k protější stanici, kde je opět převeden reproduktorem (opět
systém) zpět na signál akustický. Situace je ukázána v levé části obrázku Obr. 1-1. V pravé
části obrázku je pak naznačen časový průběh akustického i elektrického signálu. Oba tyto
signály jsou definovány pro všechny časové okamžiky (pro spojitý úsek na časové ose) a jsou
proto nazývány signály se spojitým časem nebo zkráceně spojité signály. Systémy,
vyskytující se v tomto řetězci zpracovávají tyto spojité signály a jsou proto nazývány systémy
se spojitým časem nebo zkráceně spojité systémy.
převod na
elektrický
signál
převod na
elektrický
signál
mikrofon reproduktor
metalické
vedení
akustický
signál g(t)
elektrický
signál f(t)
akustický
signál g(t)
systém systém systém systém
g(t)
f(t)
t

Obr. 1-1: Signály a systémy se spojitým časem
Často jsou spojité signály převáděny do diskrétní podoby pomocí tzv. vzorkování tj. ze
spojitého signálu jsou v pravidelných časových intervalech Todebírány vzorky (spínač na
Obr. 1-2spíná v pravidelných časových intervalech na krátký okamžik). Tyto vzorky mohou
být dále zpracovávány, přenášeny nebo ukládány (např. v paměti počítače nebo na CD)
v digitální podobě ve formě posloupnosti čísel. Situace je v tomto případě schematicky
ukázána na Obr. 1-2. Takto vzorkované signály nejsou (na rozdíl od spojitých signálů)
definovány na spojitém časovém úseku, ale jsou definovány jen na diskrétní množině
vzorkovacích okamžiků ,...2,1,0=kkT a jsou proto nazývány signály s diskrétním časem
nebo zkráceně diskrétní signály. Systémy, pomocí kterých jsou tyto diskrétní signály
zpracovávány, se potom nazývají systémy s diskrétním časem nebo zkráceně diskrétní
systémy.
spojitý
signál f(t)
diskrétní
signál f(kT)
diskrétní
signál f(kT)
diskrétní
signál g(kT)
f(kT)
f(kT)
f(kT)
g(kT)
f(t)
f(t)
tt
T
vzorkování
T 2T 3T
.......0
algoritmus
systém

Obr. 1-2: Signály a systémy s diskrétním časem
Diskrétní systém představuje v podstatě nějaký algoritmus, pracující s posloupností
čísel (navzorkovaných hodnot signálu ( ) ,...2,1,0=kkTf ). Tento algoritmus bývá často
realizován na nějakém počítači nebo mikroprocesoru a jeho výslednými hodnotami (výstupem
diskrétního systému) je opět diskrétní signál tj. posloupnost čísel.
Signály a systémy 7
Teorie signálů i systémů má četné aplikace v různých oblastech. Často jsou systémy
(jak spojité tak i diskrétní) používány pro řízení různých fyzikálních zařízení nebo soustav.
Jeden takový příklad za všechny je uveden na následujícím Obr. 1-3. Tento příklad
reprezentuje tzv. programovatelné řízení teploty v nějaké místnosti. Z ekonomických důvodů
(místnost je využívána jen v určitých hodinách dne) je žádoucí, aby teplota v místnosti během
dne měla časový průběh takový, jak je naznačeno na obrázku. Skutečná teplota v místnosti je
měřena teploměrem, jehož signál (údaj o teplotě [ ]C
o
υ ) je převeden na signál elektrický (opět
systémem, který je tvořen převodníkem fyzikální veličiny). Tento signál je potom pomocí
analogově- číslicového převodníku A/Č (bývá obvykle součástí mikropočítače) diskretizován
(tj. převeden na číslo, uložené v počítači). Tato hodnota, měřená (přesněji řečeno
diskretizovaná) v časových okamžicích ,...2,1,0=kkT vstupuje do algoritmu (do diskrétního
systému, realizovaného programem mikropočítače). Do algoritmu dále vstupuje ve stejných
časových okamžicích i hodnota požadovaná (získaná pro daný časový okamžik
,...2,1,0=kkT z požadovaného časového průběhu teploty). Výstup algoritmu (výstup
diskrétního systému) potom ovládá pomocí výkonového členu elektromagnetický ventil EV a
tím řídí množství otopné vody, procházející radiátorem.

místnost
otopná voda
otopná voda
A/Č
převodník
převod na
elektrický
signál
15
20
0 6 12 18 24
υ[ C]
o
υ[ C]
o
t[hod]
žádaná hodnota teploty
a
l
gori
t
m
u
s
Display Nastavovací prvky
mikroprocesor
radiátor
EV
výkonový
člen
skutečná
teplota

Obr. 1-3: Programovatelné řízení teploty v místnosti
V následujícím textu jsou studovány základní vlastnosti jak spojitých a diskrétních
signálů tak i spojitých a diskrétních systémů.
1.2 Zařazení předmětu ve studijním programu
Předmět Signály a systémy je zařazen ve třetím semestru bakalářského studijního
programu Elektrotechnika, elektronika, komunikační a řídicí technika. Navazuje na předměty
Elektrotechnika 1 a Elektrotechnika 2 a také částečně na předměty Fyzika 1 a Fyzika 2.
Předchozí znalosti, které jsou požadované pro studium tohoto předmětu, jsou především
znalosti diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné proměnné, základní znalosti z
Laplaceovy a Fourierovy transformace a dále elementární znalosti maticového počtu. Tyto
znalosti jsou obsahem předmětů Matematika 1, Matematika 2 a Matematika 3 výše
uvedeného studijního programu.
1.3 Úvod do předmětu
Student se naučí matematicky popsat jak signály spojité tak i diskrétní a provádět
s těmito signály různé operace. Dále se seznámí nejen s časovým ale též s frekvenčním
8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
vyjádřením signálu. V dalších kapitolách se seznámí se systémy a to jak spojitými tak i
diskrétními a také s tím, jak se změní vlastnosti signálu průchodem nějakým systémem.
1.4 Vstupní test (zatím není)
Vstupní test je určen k vyhodnocením samotným studentem a jeho účelem je ověření
předchozích znalostí studenta, potřebných k úspěšnému zvládnutí studia předkládaného
výukového textu. Výsledky vstupního testu musí být uvedeny v dodatcích v závěru tohoto
textu.
2 Spojité signály a jejich analýza
Cíle kapitoly:
Test předchozích znalostí
Zde uveďte testové otázky nebo příklady, jejichž znalost je nutná pro pochopení textu.
Správné odpovědi na testové otázky jsou uvedeny v dodatcích – odstavec výsledky testů
Text zleva zvýrazněný text normalní italikou (nutno použít styl Italic Normální) text
zprava, nebo zase text zleva a ještě více zvýrazněný text tučným písmem (nutno použít
styl Bold) a nebo zase text zleva a nejvíce zvýrazněný text tučnou italikou (nutno použít styl
Italic Bold) text zprava (standardní písmo odstavce).
2.1 Základní spojité signály a jejich vlastnosti
V úvodní kapitole jsme se seznámili s pojmem signál se spojitým časem nebo zkráceně
spojitý signál. Pro další zpracování takového signálu jej musíme popsat nějakým
matematickým prostředkem. Tímto matematickým prostředkem je pojem funkce definované
na celé reálné ose. Ve skutečnosti žádný reálný signál nemůže začínat v mínus nekonečnu a
trvat do plus nekonečna. Protože budeme signály dále zpracovávat matematicky je z hlediska
matematiky vhodné uvažovat s tímto definičním oborem funkce ( )tf . Je tedy matematickým
modelem spojitého signálu funkce () ( )+∞∞−∈ ,,ttf .
2.1.1 Základní spojité signály
Jedním ze základních spojitých signálů je tzv. jednotkový skok ()tσ . Je definován
následujícím vztahem
()



<
≥
=
00
01
t
t
tσ
( 2.1 )
a jeho průběh je ukázán v levé části Obr. 2-1. V pravé části tohoto obrázku je ukázán
podobný signál ()εσ ,t , který je definován jako
() ()





+≥
+−∈−
−≤
=
21
2,25,0
20
,
ε
εεε
ε
εσ
t
tt
t
t
( 2.2 )

Signály a systémy 9
tt
σ(t) σ( εt, )
11
00+ε/2−ε/2

Obr. 2-1: Jednotkový skok

Z obrázku je zřejmé, že bude-li se parametr ε blížit nulové hodnotě, přejde funkce ( )εσ ,t
v jednotkový skok tj. ve funkci ( )tσ . Vyjádřeno matematicky
() ()tt σεσ
ε
=
→
,lim
0

( 2.3 )
Příkladem signálu typu jednotkový skok může být připojení stejnosměrného zdroje napětí 1
volt k nějakému spotřebiči v čase 0=t .
Dalším základním signálem je tzv. Diracův impuls ( )tδ (P.A.M.Dirac, 1902- 1984,
anglický teoretický fyzik). Je definován následujícím vztahem
()



=∞+
≠
=
0
00
t
t
tδ a současně ()
∫
+∞
∞−
=1dttδ
( 2.4 )
tj. jeho plocha je rovna 1. Jeho průběh je ukázán v levé části Obr. 2-2. V pravé části tohoto
obrázku je ukázán signál ()εδ ,t , který má tvar úzkého a vysokého impulsu a který je
definován jako
()
()



+−∈
+−∉
=
2,21
2,20
,
εεε
εε
εδ
t
t
t
( 2.5 )
tt
δ(t) δ( εt, )
1/ε
00+ε/2−ε/2

Obr. 2-2: Diracův impuls
Z obrázku je zřejmé, že bude-li se parametr ε blížit nulové hodnotě, přejde funkce ( )εδ ,t
v Diracův impuls tj. ve funkci ()tδ . Vyjádřeno matematicky
() ()tt δεδ
ε
=
→
,lim
0

( 2.6 )
Realizace Diracova impulsu není možná. Můžeme ale realizovat signál ()εδ ,t . Příkladem
signálu tohoto typu by bylo připojení stejnosměrného zdroje vysokého napětí k nějakému
spotřebiči na velmi krátkou dobu tak, aby plocha takového impulsu byla jednotková.
Lineárně rostoucí signál je dalším základním signálem. Jeho časový průběh je ukázán na
Obr. 2-3 vlevo. Tento signál je definován jako
10 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
()



<
≥
=
00
0
t
tt
tr
( 2.7 )
Rychlost nárůstu tohoto signálu (derivace ( ) 0>′ ttf ) je jednotková. Signál ()tar bude mít
rychlost nárůstu rovnu a. Podobně je možno definovat kvadraticky rostoucí signál
2
t pro
0≥t a 0 pro 0a potom exponenciální funkce roste od 0 nade všechny
meze jak t roste od ∞− do ∞+ jak je ukázáno v levé části Obr. 2-4. Jestliže 00 aa ) nebo klesne (pro 00
-1 -1 00
2cos tω
2s
i
n
t
ω

Obr. 2-5: Komplexní exponenciální signál
Příklad 2.1: Komplexní exponenciální signál
Vykreslete v komplexní rovině vektor
tj
e
2
pro 4,,2/,1,0 ππ=t . Nakreslete tentýž
vektor pro stejné ale záporné kmitočty.
2.1.2 Ohraničenost signálu v amplitudě a čase
Spojitý signál ()tf se nazývá ohraničený v amplitudě v časovém intervalu ()ba,
jestliže existuje reálná konstanta M taková, že
() ( )batMtf ,∈<
( 2.21 )
Specifikace časového intervalu je důležitá. Například reálný exponenciální signál
tj
e
ω

s parametrem 0T potom ()Ttf −− posouvá signál ( )tf − doleva o T sekund neboť
()()[]TtfTtf +−=−− viz Obr. 2-7 uprostřed. A naopak ( )Ttf +− posouvá signál ( )tf −
doprava o T sekund neboť ()( )[ ]TtfTtf −−=+− viz Obr. 2-7 vpravo.
Násobení signálů (multiplication). Uvažme dva signály ( )tf a ( )th definované pro všechna
()+∞∞−∈ ,t . Potom součin těchto signálů vytváří nový signál ( )()()thtftg = . Jestliže ( )th je
konstantní signál ( ) Ath = pro všechna ( )+∞∞−∈ ,t kde A je reálné kladné číslo větší než 1,
potom signál ()tg je zesíleným signálem ( )tf . Příklad je uveden na Obr. 2-8 vlevo pro
2=A . Původní signál ()tf je signál z Obr. 2-6 vlevo, výsledný signál ()tg je dvakrát
zesílen. Bude-li A kladné číslo ale menší jak 1 bude signál zeslaben. Bude-li A záporné číslo
dojde k inverzi hodnot signálu (viz. Obr. 2-8 vpravo).
14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
tt
g(t)=2f(t)
f(t)
f(t)
g(t)=-0,5f(t)
-2 -2-1 -10
0
1
1
2
2
22
3344
44

Obr. 2-8: Zesílení signálu (vlevo) a inverze signálu (vpravo)
Bude-li signál ()th roven jednotkovému skoku tj. ( ) ( )tth σ= bude výsledkem násobení
signál () () ()ttftf σ=
+
. Bude-li signál ( )th roven otočenému jednotkovému skoku tj.
() ( )tth −=σ bude výsledkem násobení signál ( ) ( ) ( )ttftf −=
−
σ tedy
()
()



<
≥
=
+
00
0
t
ttf
tf ()
( )



>
≤
=
−
00
0
t
ttf
tf
( 2.22 )
Situace je ukázána na Obr. 2-9. Operace násobení „vyřezává“ (truncation) v tomto případě z
původního signálu ()tf jeho kladnou nebo zápornou část.
ttt
f(t) f (t) f (t)
-2 -2 -2-3 -3 -3-1 -1 -10 0 01 1 12223 3 3
444
+-

Obr. 2-9: Vyříznutí kladné a záporné části signálu
Bude-li mít signál ()th tvar pravoúhlého impulsu o jednotkové amplitudě tj.
()



+−∉
+−∈
=
aat
aat
th
,0
,1

( 2.23 )
dojde k vyříznutí jen té části signálu ( )tf , která se nachází v intervalu aa+− , . Situace je
ukázána na Obr. 2-10. Takový tvar signálu ( )th se nazývá okno (window) a označuje se
obvykle ()tw . V tomto případě se jedná o tzv. pravoúhlé okno. Okna jsou při zpracování
signálu často používána a bude o nich ještě pojednáno v dalším textu.
ttt
f(t) w(t) f(t)w(t)
-2a -2a -2a-3a -3a -3a-a -a -a0 0 0aaa2a 2a 2a
222
3a 3a 3a
444

Obr. 2-10: Vyříznutí části signálu pravoúhlým oknem
Vraťme se na tomto místě ještě k jedné vlastnosti Diracovy funkce. Posuňme Diracův impuls
doprava o τ sekund. Nechť je dána nějaká spojitá funkce ( ) ( )+∞∞−∈ ,,ttf . Jelikož
()()()()τδττδ −=− tfttf
bude integrál
Signály a systémy 15
()() ()() ()() ()ττδττδττδ fdttfdttfdtttf
∫∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
=−=−=− .
Obdrželi jsme tedy následující výsledek
()( ) ()ττδ fdtttf
∫
+∞
∞−
=− . ( 2.24 )
Tento vztah se nazývá filtrační vlastnost Diracovy funkce. Filtrační proto, že Diracova
funkce ()τδ −t vyfiltruje ze všech hodnot funkce ( )tf jen hodnotu v bodě τ=t . Tuto
vlastnost budeme v dalším často používat.

Součet (rozdíl) signálů. Uvažme dva signály ( )tf a ( )th definované pro všechna
()+∞∞−∈ ,t . Potom součet (rozdíl) těchto signálů vytváří nový signál () () ( )thtftg += resp.
() () ()thtftg −= .
V následujících příkladech vytvořte požadované signály užitím předchozích operací se
signály.
Příklad 2.3: Manipulace se základními signály 1
Časovým posunem jednotkového skoku ( )tσ vytvořte impuls ( )tf
()
( )
()



+−∉
+−∈
=
1,10
1,11
t
t
tf
o jednotkové amplitudě a době trvání 2 sekundy, který je zobrazen v levé části Obr. 2-11.
Z obrázku je zřejmé, že platí
( ) ( ) ( )11 −−+= tttf σσ .
tt t
f(t) σ(t+1)
σ(t-1)
-2 -2 -2-1 -1 -10 0 01 1 12 2 2
1
1 1
3 3 34 4 4
22

Obr. 2-11: Jednotkový impuls a jeho konstrukce pomocí posunutého ()tσ
Příklad 2.4: Manipulace se základními signály 2
S pomocí jednotkového skoku ( )tσ , otočení časové osy a operace násobení vytvořte
tentýž signál jako v předchozím p